Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part6-1)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part6-1)

2) Một thành phố có 10.000 xe đạp mang

số hiệu từ 1 đến 10.000 Tìm xác suất để

cho biển số chiếc xe đạp mà em gặp đầu tiên

không chứa con số 8

Bài toán 82

T6/140 Xét bảng số gồm ø đòng n cột :

Fa m2 đạp

trong đó a, © (0, +1, £2, +3} Hay tim tat

cả các giá trị n sao cho tồn tại bảng A, có

các tính chất sau :

1) Ở mỗi dòng, mỗi cột đều có một số 1

(hoặc —1), một số 2 (hoặc ~2), một số 3 (hoặc

~3), các số còn lại bằng 0

2) Ứng với mỗi bộ (¡ j, ), mà aya, * 0,

có duy nhất mot cot m sac cho

“im im = —0/điy

3) Ứng với mỗi bộ (, Jj, #*), mà tt, # 0,

có duy nhất một dòng m sao cho

đụ ự = 6 đả,

Bài toán 83

T10/152 Giả sử có + ngôi nhà và một nhà

máy điện Hỏi có bao nhiêu cách mắc điện

tới các ngôi nhà sao cho nhà nào cũng có

điện

Bài toán 84

T1/154 Cho mat phẳng kẻ ô vuông đơn

vị Hay tÌm đường tròn cớ bán kính lớn nhất

chỉ đi qua các đỉnh ô vuông mà không cất

một cạnh hình vuông nào cả,

Bài toán 85,

13/157 Tim số các phân hoạch tập hợp

(1,3, n} thành 3 tập con Á,,Á,, Á, (các

tập này có thể rỗng) sao cho các điều kiện

sau được thỏa mãn :

1) Sau khi sắp xếp các phần tử của

A,, A.A, theo thi tự tăng dần thì 2 phần

tử liên tiếp luôn cớ tính chẵn, lẻ khác nhau

2) Nếu cả ba tập 4,4, Á; đều không

rỗng thì cớ đúng một tập có số nhỏ nhất là

số chân

Bài toán 86

T12/158 Các bức tường của một phòng

triển lãm chấn trên nền nhà thành một đa

giác phẳng n cạnh Hãy chứng minh rằng để

428

chiếu sáng toàn bộ các gian của phòng triển

lãm người ta chỉ cán 2 ngon đèn (kí hiệu {z] chỉ phần nguyên của số z)

Bài toán 87, T8/164 Có z cạp vợ chồng tham dự một buổi dạ hội Biết rằng, mỗi người đều trò chuyện với tất cả những người khác, trừ vợ hoặc chồng mình Các cuộc trò chuyện lập thành các nhóm người CC, uy C, vOi các

tính chất sau : không có một cập vợ chồng

nào nói chuyện trong cùng một nhơớm, nhưng với mọi cặp không phải là vợ chồng thì đều

có đúng một nhớm để họ trò chuyện Chứng minh rang, néu n > 4 thik = 2n

Bài toán 88

T6/146 Cho hai đường tròn (O,) va (O,)

bang nhau Chia méi dudng tron thanh 7 cung tròn bằng nhau (n > 2) Tại các điểm

chia trên đường tròn (O,) ta gán các số tự nhiên từ l1 đến ø một cách tùy ý Chứng

minh rằng 1) Néu 2 1a số chẩn thì với mỗi cách gán

các số tự nhiên từ 1 đến n lên trên các điểm chia trên đường tròn (Ở;), ta đều có thể đặt hai đường tròn lên nhau sao cho có hai số

i, j Gi # j) của đường tròn (Ø,) trùng với hai

số bằng chúng trên đường tròn (0)

2) Nếu n là số lẻ thì tồn tại một cách gán các số tự nhiên từ 1 đến ø lên các điểm chia trên đường tròn (O,) sao cho ở mỗi cách đặt

đường tròn (Ø,) lên đường tròn (O,) đều chỉ có nhiều nhất một số ¡ trên đường tròn (Ø,) trùng với số bằng chính nó trên đường tròn (O,)

Bài toán 89

T3/53 Trên mạt phẳng cho 5 điểm phân

biệt tùy ý A, B, C, D, E Hai điểm bất kì trong 5 điểm ấy được nối với nhau bằng một

đường cong liên tục không tự cất và không

đi qua các điểm còn lại Chứng mình rằng

không thể vẽ được tất câ các đường cong

như thế sao cho hai đường bất kÌ đều không cắt nhau ở điểm khác với các điểm đã cho

Bài toán 90

T8/62 Trong mặt phẳng cho ñ điểm

Aj, Ay A,, trong dé khong c¢ ba diém nao

thẳng hàng và trong các đoạn thẳng nối chúng từng đôi một không có hai đoạn nào song song Qua mỗi điểm A; (i = 1,7) ta vé che đường thẳng sơng song với tất câ các đoạn

thang A, A, voi j # &, j,k © {1, 2, 0} 0)

Hỏi số giao điểm tối đa của các đường thẳng

đã vẽ

Bài toán 91

Tö/67 Trong một khu vực có œ thành

phố Giữa hai thành phố được nối với nhau

bằng một đoạn đường không tự cất Hai

đoạn đường bất kì chỉ gặp nhau tại một

thành phố mà thôi Từ một thành phố bất

ki, bao gid cing có thể đi đến một thành phố

khác tùy ý bằng một đường gấp khúc nào đó

(gồm nhiều đoạn đường nối tiếp nhau)

Chứng minh rằng

1) Nếu khu vực đó không có đường vòng

(tức là đường gấp khúc kín) thì số đoạn

đường có tất cả là nø - 1

2) Bao giờ cũng cổ w — m +u = 1, trong

đó m là số đoạn đường, u là số đường vòng

đơn (tức là đường gấp khúc kín không bao

quanh bất kÌ một đường gấp khúc kín nào khác ở bên trong nớ)

8) Bao giờ cũng có Ít nhất một thành phố

mà tại đó có nhiều nhất là 5 đoạn đường đi đến các thành phố khác

Bài toán 92

'T2/85 Cho một bảng ô vuông có (n x n)

6, với n là một số lẻ Mỗi 6 của bảng ta đặt một số 1 hoặc -1 Gọi ø, là tích các số ở các

ô của cột š, b, là tích các số ở các ô của hàng

* Chứng minh rằng

Det Dy #0

k=1 k=1

§4 Các bài toán chứng minh hình học

Bài toán 93

(T10/153) Giá sử D là một điểm nằm

trong tam giác ABC Các đường thẳng AD,

BD va CD lần lượt cắt các cạnh BC, CA và

AB 6 X, Y va Z Chứng minh rằng nếu hai

trong ba tứ giác DYAZ, DZBX và DXCY có

thể ngoại tiếp được đường tròn thì tứ giác

thứ ba cũng vậy

Bài toán 94

(T2/1ã8) Cho đường thẳng ở nằm ngoài

đường tròn (Ø) Gọi A là chân đường vuông

góc hạ từ O xuống đ Trên ở lấy hai điểm B

và C đối xứng với nhau qua A Qua B vA C

vẽ hai cát tuyến tùy ý, lần lượt cắt (Ó) ở các

cặp điểm M, N va P, Q Gọi R và S lần lượt

là các giao điểm của các đường thẳng NP và

M@ với d Chứng minh rằng R và 6 đối xứng

với nhau qua A

Bài tập Đố (T10/167) Xét một tam giác

không vuông ABC Ba đường thẳng Ly lle

lan lugt dung qua cée dinh A, B, C nhu sau :

Goi A’ la chan dudng cao ha tit dinh A xuống

cạnh 8C, đường tròn đường kính ÁA' cất AB

ðM, AC ởN thì ‡¿ là đường thẳng qua A

vuông góc với MA Các đường thẳng line

được dựng một cách tương tự Chứng minh rang L,, ly va ‡ đồng quy ở một điểm Bài toán 86

(T10/178) Các đường phân giác trong các gúc

A, B và C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại

tiếp tam giác lần lượt ở các điểm Ai, Bị, C, Goi S là diện tích phần chung của hai tam giác ABC và A,B,C Chitng minh rang :

Se 32 (ABC)

Khi nào thì xảy ra đẳng thức

Bài toán 97 (T2/179) Cho tam giác ABC Dựng các tỉa Cz, Cy thuộc nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B sao cho tia Cx nằm giữa hai tia

CB, Cy và Cx || AB Một đường thẳng bất

kd qua B cdt Cx, Cy theo thứ tự ở các điểm

D, E Gọi Ƒ là giao điểm của (AD) và (BC), chứng minh rằng đường thẳng EƑ luôn luôn

đi qua một điểm cố định

Bài toán 98

(T3/183) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường

tròn (Ø) Dựng tia Ax L AD, Ax n BC = E,

tia Ay 1L AB, Ay ñ CD = F Chitng minh ring

429

đường thẳng EF đi qua tâm O của đường

tròn

Bài toán 99,

(T10/138) Giả sử Mã là một đường kính

bất kì của đường tròn (Ø) ngoại tiếp tam

giác đếu ABC và AAi,BB,, CC, là ba day

cung của (O) và cùng vuông góc với MN

Chứng minh :

MA‘ + MB‘ + MCt = NA‘ + NB + NCS =

= AAt + BBY + cct

Bai toán 100

(T9/140) Cho hai tam giác ABC, A'B'C?

đồng dạng với tỉ số k z 1 và có cùng hướng

Chứng minh rằng nói chung tổn tại một tam

giác (T) có độ dài các cạnh bằng AA'.BC,

.BB'.CA và CC'AB Khi nào thì không tồn tại (T)

(cũng tức là (T) suy biến thành đoạn thẳng) ?

Bài toán 101

(T?/142) Trên các cạnh của một tứ giác

lôi cố diện tích S, về phía ngoài người ta

dựng các hình vuông Trên các hình vuông

đó tạo thành một tứ giác có diện tích 5q

Chứng minh rằng :

a) S, 2 2s

b) S, = 25 khi và chỉ khi các đường chéo

của tứ giác ban đầu bằng nhau và vuông góc

với nhau

Bài toán 102

(17/145) a) Goi m,,m,, tị; bị hạ, hy in

và # lần lượt là độ dài các đường trung

tuyến, đường cao, bán kính các đường tròn

nội và ngoại tiếp một tam giác có ba góc

nhọn Á,4;A; Chứng minh rằng :

+ m mM

a4 x + cz <Ii+#

b) Phát biểu và chứng minh bất đẳng

thức tương tự đối với tứ diện A,A,A„4,

©) Khi nào xảy ra đẳng thức trong các hệ

thức đó ?

Bài toán 103

(T7/151) Cho tứ giác lồi ABCD không nội

tiếp một đường tròn Gọi A', B8”, C' và D' lần

lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam

giác BCD, CDA, DAB và ABC ; ta kí hiệu :

AB'CĐ' = T(ABCD) Lại lấy A'”B”C"?D”' =

= T(AB'C'D) = T(T(ABCD))

1

430

a) Chứng mỉnh rằng A“B”C”D” ¬ ABCD

b) Hệ số đồng dạng & phụ thuộc vào độ lớn các góc của tứ giác ABCD, hãy xác định

hệ số này

Bài toán 194, (T9/165) Cho parabol y=z? Từ một điểm ï trong mặt phẳng tọa độ kẻ hai tiếp

tuyến, tiếp xúc với parabol ở M va N Một cát tuyến qua ï cắt parabol ở A và B, cắt

MN 6 J Chitng minh ring A, B, I, J lap thành một hàng điểm điều hòa

Bai toán 105

(T10/168) Các phân giác trong của các góc

A, B và C của tam giác ABC gặp đường tròn ngoại tiếp tam giác đó theo thứ tự ở các điểm

A, B' và C' Chứng minh rằng diện tích tam giác AB'C' lớn hơn hoặc bằng điện tích tam

giác ABC Khi nào thì xây ra đẳng thức ?

Bài toán 106

(T9/169) Cho tam giác nhọn ABC Gọi u,

0 và là các khoảng cách lần lượt từ các đỉnh A, B và C đến một đường thẳng A bất

kì nằm trong mặt phẳng tam giác Chứng minh rằng :

utgA + vtgB + wtgC = 2S,

trong dé S la dién tích tam giác ABC Khi nào thì xây ra đẳng thức ?

Bài toán 107

(T10/169) Gọi 7 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có độ dài các cạnh

BC = a, CA = 6, AB = c Kéo dài 1A, IB,

IC v6 phia A, B, C va trén do lay A) B,C, sao cho AA, =alA, BB, = bIB, CC, = cIC Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A,B,C, cd cing trong tam

Bài toán 108

(T11/169) Về phía ngoài của tam giác nhọn 48C người ta dựng các tam giác đều BCF, CAE va ABD Chitng minh rằng các đường thang đi qua céc trung diém M, N, P của các cạnh BC, CA, AB và theo thứ tự vuông góc với các đường thẳng DE, DF, EF

đồng quy ở một điểm

Bài toán 108

(T9/170) Giá sử Aƒ là một điểm bất kì

trong mặt phẳng của tam giác ABC không nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh

tam giác Chứng mỉnh rằng :

a) Các đường thẳng đối xứng với AM, BM

và CM lần lượt qua các đường phân giác

trong của các góc 4,B va C cha tam giác

ABC hoặc đồng quy hoặc song song với nhau

b) Trong trường hợp ba đường thẳng nói

trên đồng quy tại một điểm A⁄' thì, các hình

chiếu của hai điểm M va M’ trén cdc đường

thẳng BC, CA và AB cùng nằm trên một

đường tròn (gọi là đường tròn sáu điểm)

Bài toán 110

(T10/171) M là một điểm nào đó nằm

trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Chứng minh rằng tổng MAT + MB“ + MCt+

không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên

đường tròn

Bài toán 111

(T10/172) Cho tam giác ABC Kéo dài ba

đường cao ÁÁ,, BB,, CC, vé phia A, B, C va

trên đó lần lượt lấy các điểm A„ B;, C; sao

cho AA, AA, = BB, BB, = CC,.CC, = 1

Chứng minh rằng hai tam giác ABC và

A,B,C, cd cing trong tam

Bài toán 112

{T9/181) Tam giác ABC có độ dài các

cạnh BC = a, CA = 6 va AB = c Đường

trdn (2) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với

các cạnh BC, CA và AB lần lượt ở các điểm

A, B, va Œ Chứng minh :

a) Chu ví tam giác A,B,C, khong vugt

quá nửa chu vi tam giác ABC Dấu bằng xây

ra khi nào ?

1A.IB.IC > 1

aA? + bIB? + IC? 8 Y3

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Bài toán 118

€T10/132) Chứng minh rằng có hình hộp

mà tất cả các mặt của nớ là những hình thoi

bằng nhau cớ một góc bằng 609

Các thiết diện thẳng của hình hộp đó là

hình gì ? Có bao nhiêu thiết diện thẳng là

hình thoi ?

Bài toán 114

{T9/136) Cho một nửa mặt cầu tâm O

bán kính # cố định và hai hình cầu nhỏ thay

đổi nhưng luôn tiếp xúc với nhau và nội tiếp

trong nửa mặt cầu đã cho Chứng mỉnh rằng

tiếp điểm của hai hình cẩu nhỏ luôn nằm

trên một mặt cầu cố định

Bài toán 115

(T9/137) Qua trọng tâm G của tứ diện

ABCD ta dựng một mặt phẳng (P) tùy ý Gọi

AAi,BB,,CC, và DD, là khoảng cách lần

lượt từ A, B, Œ và D đến (P) Chứng minh

rằng trong bốn đoạn thẳng AA,, BB,, CC, va

DĐ, hoặc có một đoạn bàng tổng của ba đoạn kia, hoặc tổng của hai đoạn nao dé bằng tổng của hai đoạn còn lại:

Bài toán 116

{T10/141) a) Chứng mình rằng trong một

hình hộp, trung điểm các cạnh không xuất

phát từ hai đầu mút của một đường chéo nào đó, là các đỉnh của một lục giác phẳng

có tâm đối xứng, b) Tìm tất cả những hình hộp có tính chất

là tất cả các lục giác phẳng ứng với tất cả

các đường chéo là lục giác đều, Bài toán 117

(T11/155) Cho một hình hộp thoi ABCDAP'C'?D' có các cạnh bằng nhau và

bằng ÁC', góc tam điện đỉnh A là đều 8) Tính số đo góc các mặt của tam điện đỉnh A

b) Một mặt phẳng cắt các cạnh AB, AD

và ÁÁ' theo thứ tự ở M, W, P và cắt AC' ở

Q Chứng minh rằng :

“¬

Bài toán 118

(T11/168) Mặt phẳng đi qua một cạnh (AB) và trung điểm (#) của cạnh đối điện

(CD) của một tứ điện (ABCD) gọi là một mặt

trung diện của tứ diện đớ Mặt phẳng đối xứng với một mật trung diện của một tứ điện qua mặt phân giác của nhị diện, phát xuất từ cùng một cạnh với mặt trung diện

đó gọi là một mặt phẳng đối trung của tứ

diện Chứng mỉnh rằng trong một tứ diện,

sáu mặt phẳng đối trung đồng quy tại một

điểm (điểm này gọi là điểm đối - trọng tâm của tứ diện)

Bài toán 119

(T12/173) Tứ diện ABCD thay đổi về vị trí các đỉnh trong không gian và độ dài các

cạnh nhưng luôn giữ cho hai cạnh đối nhau

thì bing nhau (BC = DA, CA = DB, AB = DC;

một tứ diện như vậy gọi là một tứ điện gần

đều) ; đồng thời giữ cho các đỉnh A, B, C lần

lượt chạy trên ba mặt cầu đồng tâm O, cớ bán kính là rị = 12m, r; = 16em, r; = 48em

Chứng minh rằng đỉnh thứ tư Ð không

bao giờ vượt ra khỏi một mặt cầu có tâm và

bán kính mà ta sẽ xác định

Bài toán 120

(T11/177) Goi G là trọng tâm tứ diện

ABCD Mặt phẳng quay xung quanh AG

481

cắt các cạnh DB và DC lần lượt ở M và N

Goi V = v(ABCD) va Vì =u(DAMN) ; chứng

minh rang :

oly <| a

<

Bài toán 121

(T11/179) Cho ba đường thẳng a, ð, c

song song với nhau và không đồng phẳng

Trên ø, 6, c lấy ba điểm A, B, € cố định lần

lượt thuộc ba đường thẳng đớ Một mặt

phẳng thay đổi cát a, 6, ¢ 6 M, N, P sao cho

M, N, P & v6 cing một phía đối với mặt phẳng ABC và tổng diện tích các hình thang

AMNB, BNPC và CPMA không đổi Chứng minh rằng hình chiếu của trọng tâm G của

tam giác ABC lên mặt phẳng MNP nằm trên

một mặt cầu cố định

$5 Các bài toán quỹ tích

Bài toán 122,

(T12/149) Trong mặt phẳng cho một

đường tròn (O) và hai đường thẳng vuông

gốc với nhau d vA d’ OA va OB 1a hai ban

kính thay đổi vuông gốc với nhau Qua A ké

Ax || đ và qua B kẻ By || d’ Tìm quỹ tích

giao điểm M của Ax va By

Bài toán 123

(T11/162) Cho tam giác không đều ABC

có hướng dương (tức là các đỉnh sắp xếp

ngược chiều kim đồng hổ) Tìm quỹ tích tâm

đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều

4'B'C' có hướng đương, ở đó các bộ ba điểm

A, B’, C’ cing nhu B, C’, A’ va Cc, A B’

thang hang

Bài toán 124

(T11/164) Cho tam giác ABC Hai điểm

M và N lần lượt chuyển động trên hai cạnh

AB và AC sao cho BM = CN Gọi P là điểm

đối xứng của W qua C Tìm quỹ tÍch trọng

tâm các tam giác AMN và AMP

Bài toán 125

(T2/170) Gọi O là giao điểm hai đường

chéo AC và BD của tứ giác lôi ABCD Tìm

tập hợp các điểm P thỏa mãn điều kiện :

OP < min (AP, BP, CP, DP)

Bài toán 126

(T11/173) Cho góc xÓy Hai điểm A va

'B lần lượt chuyển động trên hai cạnh Ox va

Oy sao cho OA + OB = ¡ không đổi

a) Chứng minh rằng đường trung trực

của AB luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác OAB

432

Bài toán 127

(T9/156) Cho tam giác ABC nội tiếp

đường tròn (O) Tìm quỹ tích những điểm

M nam trong đường tròn sao cho ba dây cung đi qua Äf là AA, BB’ va CC’ théa mãn

hệ thức :

MA MB _MC _

Ma’ * MB * MC

Bài toán 128

(T9/183) Cũng như trên, thay hệ thức (*) bởi hệ thức sau đây :

MA MB MC

MA' ° MB ` MŒ <8

Bai todn 129

(T11/172) Trên mặt cầu C(O, R} cho n

điểm cố định Apl¿z Á, (6 « 2) Tìm

quỹ tích những điểm M sao cho các dây

cung di qua M la A.A’; (i = 1, 2, , n) thỏa mãn hệ thức : ——

a AM

2, MA;

trong đó & là một số thực cho trước, k > n Bài toán 130

(T11/174) Trong mặt phẳng (P) cho tam

giác nhọn ABC Một điểm D thay đổi vị trí trong không gian sao cho tất cả các mặt của

tứ diện ABCD đều là các tam giác nhọn Tìm

quỹ tích các hình chiếu của D trên mat phẳng (P)

Bài toán 131

(T10/181) Cho tứ điện ABCD Tìm tập hợp những điểm M nằm trong tứ diện đã

cho mà khoảng cách từ đớ đến mặt phẳng của tứ diện bàng tổng các khoảng cách từ

đó đến ba mặt còn lại

(**)

- §6 Các bài toán dựng hình

Bài toán 132

(T8/143) Cho hai điểm A và B nằm ở

ngoài đường tròn (O) Dựng một đường tròn

(K) di qua A, B và cắt (O) theo một dây cung

có chiều dài ở cho trước

Bài toán 133

(T8/147) Trong mặt phẳng cho một

đường tròn (0) và một đường thẳng A không

cắt (0) Hai điểm M và N chuyển động trên

4 sao cho đường trdn đường kính MA bao

giờ cũng tiếp xúc ngoài với đường tròn ()

đã cho Chứng minh rằng trong mặt phẳng

tổn tại một điểm P luôn luôn nhìn các đoạn

MỊN dưới một góc không đổi ø Xác định độ

lớn của MNP = ø theo bán kính # của (0)

và khoảng cách ở = CO từ tâm € của (o}

đến A

Bài toán 134

€T10/140) Mặt phẳng đi qua một cạnh và

chia đôi cạnh đối diện của một hình tứ diện

gọi là một mặt trung diện của tứ diện đó

Mặt phẳng đi qua một cạnh và chia đôi góc

nhị diện thuộc cạnh đó gọi là mặt phân giác

(trong) của tứ điện đớ

Hãy tÌm tất cả các hình tứ diện đặc trung

bởi tính chất là mỗi mặt phân giác của một

nhị điện trùng với mặt trung diện xuất phát

từ cạnh của nhị diện đớ

Bài toán 135

(79/148) Tim điều kiện mà hình chóp tứ giác S.ABCD phải thỏa mãn để có một mặt cầu đi qua các đỉnh A, B, C, D của đáy và các hình chiếu (vuông góc) B', C” D° của

đỉnh A trên các cạnh S8, SC và SD

Bài toán 136

CT10/150) Qua một điểm M cho trước thuộc một cạnh của một hình lập phương có thể dựng được bao nhiêu mặt phẳng cát hình lập phương do sao cho thiết diện thu được

là một hình vuông ?

Bài toán 137

(T11/170) Trong không gian cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D khong đồng phẳng Gọi M, M'; W, N' và P, P' lần lượt

là trung điểm của các cặp đoạn thẳng BC,

DA ; CA, DB và AB, DC Hỏi tứ điểm {A,

8, C, Dì phải thỏa mãn điều kiện gì để sáu điểm nói trên cùng nằm trên một mặt cầu ?

§7 Cực trị hình học

Bài toán 138

(T7/133) Cho tam giác ABC Tìm một

điểm M nằm ở trong tam giác sao cho đại

lượng BC.MA + CA.MB + AB.MC đạt giá trị

nhỏ nhất

Bài toán 138

{T9/134) Cho gớc xÓy cố định Một điểm

A chạy trên Óx và một điểm Ö chạy trên Oy

sao cho :

a,b OA” 0B”

trong do a, 6 là các độ dài cho trước và k la

một số thực dương cho trước TÌm vị trí của

A và B để tam giác OAB có chu vi nhỏ nhất,

Bài toán 140

€T10/146) Bốn xã cớ vị trí ở bốn đỉnh của

một hình vuông có độ dài cạnh bằng 10 km,

Người ta muốn xây dựng một hệ thống

đường liên xã sao cho từ bất cứ một xã nào

cũng có thể dẫn đến bất cứ một xã nào khác

k,

#§ - TÉTH

a) Hỏi với vật liệu đủ xây dựng 28 km đường, người ta có thể đạt được mục đích

đã để ra hay không ?

b) Hỏi tổng độ dài các con đường ngắn

nhất là bao nhiêu ? Bài toán 141

(78/144) Goi Ry, Ry R, va R, là bán kính

các mặt cầu lần lượt bàng tiếp các góc tam diện có đỉnh là A, B, Œ và D của một tứ diện ABCD, ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước Hãy xác định tứ diện để tổng

tị + R, + Ry + R, có giá trị nhỏ nhất Bài toán 142

(T9/149) Hai điểm C và D lần lượt chạy

trên hai nửa đường thẳng Ax và By chéo

nhau cho trước sao cho :

AC ` BD trong đó ø, b là hai độ dài cho trước, còn

là một số thực dương cho trước

=h,

433

a) Chứng mỉnh rằng đoạn CD luôn luôn cắt một đoạn thẳng cố định

b) Xác định vị trí của C và D để thể tích

tứ dién ABCD là nhỏ nhất

Bài toán 148

(T12/153) Cho tứ diện ABCD có BC =

DA = a, CA = DB = b và AB DC = c2 Pla

một điểm nào đó trong không gian Tính giá

trị nhỏ nhất của ƒ{P) = PA + PB + PC + PD

Bài toán 144

(T12/154) Cho góc tam diện vuông Óxyz

và một điểm Mí cố định nằm trong góc đó

Qua AM dựng một mặt phẳng cất Ox, Oy, Oz

lần lượt ở A, B, C sao cho :

a) OA + OB + OC nhỏ nhất ;

434

b) Tổng bình phương các cạnh của ta giác ABC nhỏ nhất

Bài toán 145

CT12/164) Cho hai hình cầu đồng tam bán kính 1 và 4 Xét hình ch S.A¡A; A„ có đỉnh S thuộc mặt cầu nÈ các đỉnh A, của đáy đều thuộc mặt cầu l

( = 1,2, , n) Hãy xác định $ và Á, (¡ = 3, n) để thể tích hÌình chóp là lớn nhã Bài toán 146

(T9/147) Cho tam giác ABC cố định T' trong không gian một điểm D sao cho diện ABCD có thể tích u cho trước và b kính mặt cẩu nội tiếp tứ diện đó là /ớn nh

§1 Phương trình, bất phương trình và hệ

Bài toán 1 (T7/182) (1)

Gia su x= +; là nghiệm của hệ

Thay vào hệ và cộng các vế của các bất

đẳng thức ta được :

@+bo+c)@tx,+1) <0

“a+bö+c<0

Nếu z = 1 không là nghiệm của một trong

ba phương trình ax2 + bz + c = 0,

bx? + ex+a=0 và cx2 + gx + b = 0 thì suy

raa+b+c<0 và hệ

ax + bx+0<0 bx? +ex+a<0 ex? +ax+b <0

không có nghiệm duy nhất Suy ra hệ đã cho

không có nghiệm duy nhất

Vậy x = 1 phải là nghiệm của một trong

ba phương trình trên, suy ra z+b+c=0

và hệ đã cho

Œ— 1 (@x—e) =0

( — 1)(ex ~ b) = 0

(vÌ (ø + b + ø) Gì + xạ + 1) = 0)

Nếua=b=c= 0 thì (2) có vô số nghiệm

Nếu a? + 6? + ¢? > 0 va cd 186 bang 0 thi

(2) có nghiệm duy nhất Nếu cà 3 số a, b,c

đều khác 0 thì đo ø +b +e = 0 nên không

thé xdy ra : a/b = ble = cla # 1 Vay (2)

không thể có nghiệm z = +; #1

Kết luận : Hệ đã cho có nghiệm duy nhất =

a+b+c=0

g2 + 62 + c2 >0

Bài toán 2 (5/115) Tời giải KÍ hiệu

thì ta có

và hệ phương trình đã cho tương đương với

hệ sau

đ4{ + (b — l8, †c =X, axg + (~ Ix, te = X,

om, +- Ie, +e=X,_, Gái + (b- 1x, te =X,

~ Néu (6 - 1)? — 4ac < 0 thi cée x, @ = 1,

2, nø) luôn cùng dấu với ø, do vậy không

thể có đẳng thức (1), trong trường hợp này

hệ đã cho vô nghiệm

~ Nếu (b ~ 1)? — 4øc = 0 thi hé đã cho có

duy nhất nghiệm

4) Fx, = =1„ = (1 ~ b)/2a

Còn các giá trị khác của x; sẽ lam cho X,

cùng dấu với ø, đẳng thức (1) sẽ không cớ

- Nu ( — 1)? - dae > 0, hé da cho có ít

nhất hai nghiệm :

ị=(1—b + ý@ ~ ĐĨ~ 4ao/2a

¿=1,2, , 1%

và z=(1~ð — Ý@ — DF— 4ae)/2a

@=1,2 0,0

485

Bài toán 3 (8/160)

Xét 3 trường hợp :

1) cos2xz > 0 = cog2x — sin2x = eos2x > 0

> cos’x > sintx

Mà 2 + V2 >1

nên (2 + V8)°tÈ — (2 + YEOH <Q

= Phương trình đã cho cớ

Vế trái < (2-— V2)°9% < (1 + ý3/2)o#x

(do (2 — ¥2)°°2* < 1),

2) cos2x < 0 : tương tự trên => Vẽ trái >

vế phải

3) cos2x = 0 ©+x = z/4 + kx/2, k G Z

Vậy phương trình đã cho chỉ cớ nghiệm

x = xi4 + kn/2

Bài toán 4 (7/163)

Điều kiện của phương trình là sinz z 0,

cosy z 0, |a| > |b| hay là z = ## ; y # z/2

+z và |ø| > |b| Với điều kiện trên phương

trình đã cho tương đương với

a= = Yar — 6? 2Zcogy siny, hay 1a

sinc

<= Ya? — 8? sin(2y) (1)

Do |sin2y| < 1 nén ti (1) có :

a — beosx

| “dime | < Yo?

++ (a ~ bcoax)? < sin’x (a2 — b2)

+> (a — bcosx)? « (1 — cos2x) (a2 — b2)

«>8? — Đabcosr + b2eosx <

<a? — b? — a2costx + bcos

++a? cos’x + b? — 2abcoat < 0

++ (acom — b)? < 0

a=0

b=0

x thy y

ồ

cose = — a

Thay vào (1), dat a € [0, z] là góc thỏa

man cosa, - „ kÍ hiệu sig (a) là đấu của a

thì (1)

436

*, y tùy ý |x, y tùy ý,x # km, y # xi2 + Ix

xa, t+ 2kt >Jx= da, + 2km

sindy’ = sig(a) ý = sig(a) 2/4 + ix

x= -a,+ 2km Ìx = —a, + 2kx sindy = —sig(a) |y = —sig(a) 2/4 + in

‘Tom lại : 1) |a| < |ð| vô nghiệm

2)ø=b = 0x, ÿy tùy ý x # kx,

+ # x/2 + br

œ=0,b # 0 vô nghiệm 8) lai > lö| có nghiệm

xa, + Qkn ages alA + In

ly = ~sig(a) x/4 + lx

Bài toán 5 (7/164) Viết phương trình về đạng :

cosr — cos7x — 3 V3 sinz = 0

eo Qsindx sindx — 3 Vỗ sinx = 0

©>2sindxsinr (3 — 4sin2x) — 3 V3 sint = 0

=sinz [2sin4x (1 + 2cos2x) — 3 V8] = 0

sim =0 (1)

= | agindx (1 + 2cosdx) =- (2)

Ta cd : (1) x = kn, Rk = 0, +1, 2

ava

(2) «> sindxcos2x + sindx = >

33

4sin2xcos22x + sindx = > (3)

Ấp dụng bất đẳng thức Côai cho ba số

sin22z

cos’2x cos?2x

2 va —s— ta được

1 =sin22x + coer + — >

2

23 (Gindwood es) Say ra:

2 sin2xcos’2x < |sin2xcos*2x| < ——

3/3

Do đó :

343

Asin2xcos’2x + sindx < _2-Ö +i<— (4)

Từ (4) và (3) suy ra phương trình (2) vô

nghiệm Vậy phương trình đã cho chỉ có duy nhất

một họ nghiệm z = &z ; & = 0, +1, +2

Bài toán 6 (15/173)

Th chứng mỉnh bài toán bằng phương

pháp phản chứng Giả sử phương trình đã

cho cớ nghiệm hữu ti a Khi dé œ sẽ là

nghiệm hữu ti của đa thức :

PŒ) = 1+” + ng? — Lự+ + ny/BE + +

+ mlx2JÐ! + nlx/1! + nị

Nhung do P(x) là đa thức bậc œ với hệ số

nguyên, hơn nữa hệ số của z” bằng 1, nên

suy ra œ phải là số nguyên ; và ta có :

tnt t+ t+ atop + +

Gọi p là một ước nguyên tố của n

VÀ = l,n, kỉ hiệu ?, là số mũ cao nhất của

p thỏa mãn & l‡ p%+, taco:

rụ = IRp] + ip?) + + ep") @)

với s là số nguyên không Am thỏa mãn

ph<k<pt1

Từ (2) suy ra :

rụ © kịp + kip? + + hips =

= k.(1~ 1°)/(p— U<k

Do dé Tạ — Tý >rạ — k, Suy ra

Tự —T„ ®ry— k + 1 VÌ vậy ta được :

nliktt plo **+) ve = Tn (3)

Hon nita, don pnén ti (1) tacd a": p,

va do dé ai p Suy rack: pk, vk = Tyn

Kết hợp điểu này với (3) ta được

nLa*jkt: p.?Í, Vb = 1, n, Từ đây và (1) ta

suy ra n!¡ p'a f1, Mau thuẫn vừa nhận được

chứng tỏ giả sử ban đầu là sai va vi vậy ta

có dpem

Bai toán 7 (T7/173) :

Xét các trường hợp sau :

1)y = 0 Khi đó (1) trở thành :

0.|x| <— ãz?

Suy ra tất cả các cặp số nguyên đạng

(, 0) đều là nghiệm của bất phương trình

đã cho

2) y < 0 Viết lại (1) dưới đạng tương đương ;

(2)

‘TW day, ta thấy với x 1A số nguyén théa man

V3 (1-7)

~y3

ye (t3? [zl)

fx] >

ta luôn tìm được số nguyên y thỏa mãn (2) Suy ra (1) có vô số nghiệm nguyên trong trường hợp này,

3)y > 0 Th thấy nếu cặp số nguyên

(xạ, ya) là nghiệm của (1) thì ta phải có ly] « y De đó :

a) Néu 0 < y < 1 thi y, = 0 Suy ra:

Vi YB > V3 (do 0 < y < 1) nên ta có

#ạ = 0, +1 luôn thỏa mãn (3) Như vậy, nếu Ø<z< I thì (1) luôn nhận ba cặp số nguyên

(0, 0), (0, -1), (0, +1) làm nghiệm Từ đây suy ra nếu 0 < y < 1 thì (1) luôn có ít nhất

ba nghiệm nguyên và nó sẽ có đúng ba

nghiệm nguyên khỉ và chỉ khi

VB < Vy < 3, hay VŠ/2 < y < 1

b) Néu y > 1 thì các giá trị yọ =0,yạ +

1 sẽ luôn thỏa mãn | Yol < y, Vy Bằng cách thay trực tiếp vào (1) ta số thấy Vy > 1, bất phương trình (1) luôn nhận ba cặp số nguyên (0, —1), (0, 0), (0, 1) làm nghiệm Suy ra với

y > 1 bất phương trình đã cho có Ít nhất ba

nghiệm nguyên và sẽ cớ đứng ba nghiệm

nguyên khi và chỉ khi nó chỉ nhận các cặp

số nguyên (0, ~1), (0, 0), (0, 1) lam nghiệm Điều kiện cần và đủ để cớ điểu này là : {ower

om 2)

0< BF) woo, +1

Từ đây ta có V3 <y <2

Tom lại, qua kết quả xét các trường hợp

ở trên ta được : Luôn có Ít nhất ba cặp số nguyên thỏa rnãn (1) và sẽ có đúng ba cặp số nguyên thỏa

mãn (1) khi và chỉ khí hoặc V8/2 <y< 1 hoặc Vỗ < y < 2

Vậy tất cả các giá trị y cần tìm là :

Vã/ <y< 1 và {8 <y<2

437