Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part5-4)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part5)

KHORICHIAN GUIGHENXO

(1629 - 1695)

Khorichian Guighenxo 1a mét nhà toán

học và vật lý học nổi tiếng người Hà Lan

Ông đã biểu lộ năng khiếu khoa học và lòng

say mé hoc tập khi còn rất nhỏ tuổi Lên 8

tuổi, Guighenxơ đã nắm vững bốn phép tính

số học và học tập tốt tiếng la tỉnh ; lên 10

tuổi cậu đã say mê nghiên cứu luật thơ la

tỉnh và say mê chơi đàn ví cẩm Từ 14 đến

16 tuổi, Guighenxơ học toán theo chương

trinh và sách giáo khoa do một giáo sư viết

riêng cho cậu học trò xuất sắc của mình, Qua

mấy năm say sưa học tập, năm lô tuổi

Guighenxơ đã nắm rất vững "số học" của

Didphang, hinh hoc cha Décac, lam quen với

tất cả các bài toán tìm cực trị của Pheema

và các bài toán độc đáo về hình học giải tích

Nam 16 tuổi, Guighenxơ vào học trường Đại

học Ở đây, ông bát đầu quan tâm đến tác

phẩm bất hủ của Acsimet và "Tiết diện hình

nón" của Apôlôniut

Khi nghiên cứu "Số học" của Xehevin,

Guighenzơ bị lôi cuốn vào một điều xác nhận

rảng hình dáng của một sợi chỉ vật chất treo

cân bằng tự do giữa hai điểm là đường

parabôn Ông nhận thấy rằng điểu này

không đúng và đã chứng minh rằng trong

trường hợp tổng quát, nơ có hỉnh dạng như

một đường có từng mát xích nổi lại với nhau

Rhi nhận được cong trình khoa học đầu tay

này của nhà toán học trẻ tuổi, Đêcác hết sức khen ngợi và cho rằng Guighenxơ sẽ trở thành nhà bác học lỗi lạc Chỉ vài năm sau, lời tiên đoán của Đêcác đã thành sự thực, Trong tác phẩm "Đo đường tròn", Acsimét

đã tính giá trị gần đúng của số + : 3 + 10/71

< z < 8+ 1/7 bằng cách dựng hình đa giác đều 96 cạnh Guighenxơ đã viết tác phẩm

"Về cầu phương hình tròn" trong đó ông đã phát triển ý của Acsimet, và đã nêu ra phương pháp có hiệu quả hơn để tính gần

đúng số z ; chẳng hạn ông đã có được kết

quả trên đây của Acsimet từ việc khảo sát hình 12 cạnh và 6 cạnh đều, Guighenxơ còn nghiên cứu về một ngành toán học trẻ là lí

thuyết xác suất

Guighenxơ còn có nhiều công trình nổi tiếng về cơ học và thiên văn học Chẳng hạn,

nhờ những máy đo khúc xạ tự chế tạo, ông

đã quan sát được sao Thổ ; lần đầu tiên, ông

đã mô tả đám tỉnh vân trong chòm sao Thiên Lạp và đã thông báo về đường vết trên bề mặt sao Mộc và sao Hỏa Về cơ học thực hành, ông đã phát minh ra đồng hồ quả lắc nổi tiếng và viết tập sách gồm 4 cuốn về

công trình này

P.H sưu tầm

BLEDƠ PAT-SCAN

(1623 - 1662)

Ngày 19-6-1973 đánh dấu 350 nam ngày

sinh của B Pat-scan, một trong những

người nổi tiếng nhất trong lịch sử nhân loại

Suốt 350 năm qua, biết bao người khác

nhau ở các thời đại khác nhau đã coi B

Pat-scan như người cùng thời đại với mỉnh

Những lời phát biểu về B Pat~scan đã được

410

gộp thành nhiều tuyển tập Thường chúng

ta chỉ nhác đến B Pat-scan là một nhà toán học, một nhà vật lí học Nhưng ông còn là

một nhà tư tưởng, một nhà văn lớn

Về thời niên thiếu của B, Pat-scan,

thường người ta hay nhắc đến môn hỉnh học

“cái gậy và đồng tiền" Số là hồi nhỏ B Pat-scan

a

rất ham mê môn hình học Chính cha ông

(Êten Pat-scan, một người rất ham mê toán

học và kết thân với nhiều nhà toán học lớn

của Pháp hồi đó) đã gây cho B Pat-scan

lòng ham mê này Nhưng B Pat~scan lại rất

yếu nên Êten Pat-scan không đám đậy toán

cho con, sợ những suy nghỉ căng thẳng sẽ

ảnh hưởng không tốt tới sức khỏe con mình,

Ông giấu tất cả sách vở và tất cả những vật

dụng gì có liên quan đến toán học Thế là

B Pat-scan phải tự "nghiên cứu” môn khoa

học này Cậu đã tự xây dựng môn hình học

riêng của cậu Cậu vẽ các hình, tự đặt tên

(nBư : đường thẳng là "cái gây", đường tròn

là "đồng tiền", hình chữ nhật là "mặt bàn",

hình tam giác là "thước thợ", ) và chứng

JZ,

Hình 1

minh hết định lí này đến định lí khác Trong

các định lí đó, có định lí tổng các góc trong

của một "thước thợ" bằng nửa tổng các góc

trong của một "mặt bàn"

Êten Pat-scan bát gặp con đang nghiên

cứu Sau khi nghe B Pat-scan kể, ông đã

sưng sướng tới phát khóc khi biết con mình

có thể sẽ trở thành nhà toán học lớn Từ đó

ông đã trao sách vở cho con đọc và hướng

dẫn con nghiên cứu Khi đó B Pat-scan mới

12 tuổi

13 tuổi, B Pat-scan đã tham gia nhém

nghiên cứu toán Ông tìm được người thày

giáo tin cây của mình là Đê-dac (1593 -

1662), kĩ sư, kiến trúc sư, người đã sáng lập

môn hình học chiếu Luận văn của Dê-dac

dinh 2

hồi đó rất Ít người đọc tới Nhưng B

Pat-scan đã nám rất vững và phát triển lên

ÐB Pat-scan đã ứng dụng lí thuyết hình

chiếu từ một tâm của Đê-dac vào việc nghiên cứu các tiết diện hình nón Kết quả

là vào năm 1640, B Pat-scan đã công bố luận văn "về tiết diện hÌình nón", trong đó

có định lí Pat-scan : Giả sử trên tiết diện

hình nón L (ð hình 1, L là một parapôn ; ở

hình 2, P Q, H là giao điểm của các cap

đường thẳng (1, 2) uù (4, õð) ¡ (2, 3) uà (5, 6); (ồ, 4) uà (6, 1) Khi đó, P, Q, R sẽ nằm trên một dường thằng (Với cách đánh số đơn

giản nhất như ở hình 2 L la mot élip), ta tùy ý chọn và đánh số 6 điểm Gọi P Q, R

là các giao điểm của các cập cạnh đối diện

của lục giác) Định lí mà Pat-scan gọi là "lục

giác thần kÌ" này đã được ông dùng như một chia khóa để mở ra lí thuyết tổng quát về thiết điện hình nón, rộng hơn định lí của Apôlôniút

Đê-dac đánh giá cao định lí này và gọi

nó là "định lí lớn Pat-scan" Ông khẳng định

nó đã bao hàm được cả bốn cuốn sách đầu của Apôlôniút

Pat-scan đã rút ra được gần 400 hệ quả

từ định lí của mình Một trong những hệ quả khá quan trọng là : tiết diện hình nón được xác định duy nhất bởi B điểm bất kì của nó

Công trình sau đây cũng không kém thú

vị Vào đầu năm 1640, gia đình Pat-scan chuyển về Ruan Ở đơ cha Pat-scan chuyển

sang làm công tác tài chính Cha Pat-scan phải tiến hành rất nhiều tính toán cổng

kếnh mà Pat-scan phải giúp đỡ luôn Cuối

411

nam 1640, Pat-scan nẩy ra ý định chế tạo

máy tính Ý nghĩ nẩy ra rất nhanh và luôn

thường trực trong đầu óc Pat-scan ; ” mỗi

trục hay mỗi bánh xe ở thứ tự nào đó sẽ gắn

với 10 chữ số Mỗi khi quay đi một vòng,

chúng sẽ làm dịch chuyển một con số ”

Nhưng ý nghĩ sáng sủa và rõ ràng mới là

bước dau Dé biến nó thành hiện thực còn

phải tốn kém nhiều sức lực không thể lường

được Sau 5 năm lao động cảng thẳng,

Pat-sean mới chế tạo xong chiếc máy tính

làm được bốn phép tính số học rất tin cậy

tuy rằng không nhanh jdm, Nguyên liệu sử

dụng là gỗ, ngà voi, thau, đồng Người thời

đó gọi nớ là "bánh xe Pat-scan",

Chúng ta còn biết Pat-scan là một trong

những người sáng lập ra môn thủy tĩnh học

Những thực nghiệm thiên tài đã đưa lại định

luật Pat-scan nổi tiếng về sự cân bằng của

chất lỏng Định luật này ngay hồi đớ đã được

ứng dụng có hiệu quả, chẳng hạn việc chế

tạo máy ép nhờ sức nước

Và đây lại là một chuyện H thứ nữa Vào

năm 1651, Pat-scan nhận được một bức thư

của Đơ Mere Do Mere la một người học cao

biết rộng nhưng cũng rất kiêu căng Gặp bài

toán ; "deo hai con xúc x4c, tinh s6 lan deo

cần thiết để xác suất xuất hiện Ít nhất một

lần hai con 6 lớn hơn xác suất không lần

nào xuất hiện hai con 6 cá", Đơ Mere giải

bằng hai cách khác nhau và đi đến hai kết

quả khác nhau ; 24 ya 25 Tin vào cả hai

phương pháp giải, Đơ Mere đã nghỉ ngờ cả

cơ sở toán học và biên thư cho Pat-scan,

Pat-scan da giải những bài toán phức tạp

hơn và trao đổi những vấn đề này với Fecma

Những cuộc trao đổi đó đã làm nảy sinh một

ngành toán học mới : lí thuyết xác suất Vào

năm 1654, trong thông báo của Viện hàn

lâm khoa học Pari, Pat-scan đã liệt kê một

loạt công trình sắp công bố của mỉnh Trong

đó có một luận văn với tên đề làm mọi người

phải ngạc nhiên : "Toán học của sự ngẫu

nhiên"

Cũng vào nam nay, Pat-scan công bố một

trong những công trình phổ biến nhất :

"Luận văn về tam giác số" Nhờ nớ ta tính

được một cách đơn giản các hệ số trong khai

triển nhị thức Niutơn

412

Nhưng vào cuối năm 1654 Pat-scan đã t một tai nạn lớn : Sau khi cha mất, chị gá Pat-scan bó đi tu, Pat-scan sống mét min!

và trong một buổi đị lễ, khí qua một chiế

cầu, bất thần hai con ngựa trước của cỗ xụ

tứ mã đã hoàng sợ nhẩy xuống sông làn

chiếc xe lật tung trên cầu, Pat-sean ché

ngất đi, Sau đó ông mắc bệnh thần kinh ngồi ở bàn cũng phải quây ghế bốn chung quanh vÌ sợ ngã Ông chán chường tất cả và

bỏ vào tu viện Ở đây ông đã viết "những

bite thu" No da được đánh giá là một trong

những tác phẩm vĩ đại nhất của nền văn học

Pháp

Những nghiên cứu khoa học của Pat-scan

sau khi bị tai nạn hầu như đã bị đỉnh trệ

Nhưng một năm rưỡi trong khoảng thời gian

đố, Pat-scan lại có một loạt công trình toán học về đường xielôit (đường do một điểm

trên đường tròn lăn không trượt theo một

đường thẳng tạo nên) Chuyện như sau ;

Đầu mùa xuân năm 1658 vào một đêm nào

đó, Pat~scan bị đau Tăng Cảm giác vô cùng đau đớn Pat~scan đã nghĩ ra một cách chữa răng : tập trưng tất cả suy nghĩ vào nghiên

cứu toán học Thế là một loạt bài toán về

xíclôit được giải quyết và sáng hôm sau ông

đã khỏi bệnh đau răng ! Tiếp theo nhiều công trỉnh được hoàn thành và mãi sau theo

lời khuyên của bè bạn ông mới tập hợp lại

để công bố Những bài toán về xiclôit do những người khác giải thường sử dụng những công cụ sơ cấp Nhưng những bài toán do Pat~scan đặt và giải thường phức tạp hơn rất nhiều , trong đó Pat-sean đã đi

rất gần đến phép tính vị phân và tích phân

ma Niuton va Lepnit da chia nhau niém vinh

dự sáng lập ra nơ

Từ giữá năm 1659 do sức yếu và ảnh

hưởng của nhà thờ, Pat-scan chấm dứt hẳn

mọi nghiên cứu cả về vật lÍ lẫn toán học

Chúng ta có thể hiểu những ngày tháng này

của ông qua bức thư sau đây ông gửi cho

Fecma vào cuối năm 1660, khi Fecma mời ông lại chỗ mình :

*„ Hiện nay tôi nghiên cứu những thứ quá xa với hình học, đến nối tôi khó có thể nhớ được điều gì về hình học Mặc dù tôi

biết ngài là một nhà toán học lớn nhất chau

Âu, nhưng điều đớ cũng chẳng lôi cuốn được

tôi TBi thấy toán học là một thứ để luyện

tập tốt cho trí tuệ, nhưng đồng thời tôi cũng

thấy nó vô dụng Tôi khó phân biệt một nhà

hình học với một người làm nghề thủ công

Vi vay tôi gọi nớ là một nghề thủ công đẹp

dé Nhung di sao thi nd cũng chỉ là thủ

công Tôi thường nói nó chỉ để thử sức chứ

không phải để dụng sức " Những dòng cuối

cùng, ông viết về tình trạng sức khỏe của

mình ; "Tôi yếu đến nỗi tôi không thể đi

được mà không phải chống gậy, không thể leo lên thang gác, không thể ngồi xe ngựa quá hai đặm "

Vào tháng 12-1660, Huy-ghen đã đến

thăm Pat-scan hai lần, thấy Pat-scan là

một ông già lụ khụ, không thể ngồi nơi chuyện được (lúc đó Pat-scan mới 37 tuổi)

B Pat-scan chết ngày 19-8-1662,

DANG HY

AL - KHOREDOMI

(Thế ki IX)

Nhà đại số học vi đại Udơbêch khoảng ba

chục năm đầu của thế kỉ IX Muhamet ben

Muxa Al - Khôredơmi đã làm lừng lẫy tên

tuổi của mình bằng hai luận văn toán học :

một về đại số là "Khixabơ al-giep

Van-Mukabala" và một luận văn về số học

mang tên "Số học"

Al~-Khôredơmi là một nhà bác học xuất

chúng về thời đớ Ông sống trong cung của

chúa AI-Mamuna (813 - 833) là người bảo

hộ rất am hiểu về khoa học Theo ý kiến của

vị chúa này, nhiều trước tác của các tắc giả

kinh điển cổ Hy-lạp và của các nhà bác học

Ấn Độ đã được dịch ra tiếng Ả -rập Cũng

chính theo sự chỉ dẫn của Mamuna, AI -

Khôredơmi đã thành lập một hợp tuyển gồm

các bảng thiên văn của các nhà toán học Ấn

Độ AI - Khôredơmi đã có những sửa chữa

cần thiết các bang cát tuyến của Ptôlêmây

để dùng trong thiên văn Ngoài ra ông còn

tham gia đo độ kinh tuyến trái đất và viết

hàng loạt luận văn, trong số đó có "luận văn

về dụng cụ đo góc" và "luận văn về đồng hổ

mặt trời"

Trong luận văn nổi tiếng về đại số,

Al-Khôredơmi có mục đích viết một tuyển

tập ngắn gọn về các cách tính toán nhờ

phương pháp "phục hồi" (al-đơgiep) và "so

sánh" (Val-mukabala) Theo lời ông thì ông

rất hài lòng về cách trình bày Nó rất gọn nhẹ và dễ hiểu về mặt số học và gồm những vấn đề đụng chạm đến luôn trong các tính

toán tiền nong, trao đổi buôn bán và trong

việc đo đạc, tính toán ruộng đất v.v

VÌ vậy nó nhằm trình bày sơ giản những

kiến thức cần thiết nhất có tính chất thực hành

Trong tuyển tập này lần đầu tiên giải quyết vấn đề giải phương trình bậc nhất và

bậc hai, trong đó tác giả xét sáu trường hợp :

1) x? = ax 2Qe=a 3) ax = b 4) x2 +ax =6 5) x? +4@ = bx 6) ax +b = x?

Cả sáu trường hợp, AI - Khôredơmi đều

xét trong các thí dụ bằng số Dể giải phương trình tương tự, ông đề ra phương pháp "phục

hồi" (al-đơgiep) và "so sánh" (val~mukabala) Chẳng hạn phương trỉnh

z2 -Bx— 12 =x - 14 bằng phép "al-đơgiep" chúng có dạng

+2 + 14 =x+õx +12

và sau ghép "val-mukabala" đưa về dạng

z?+2 = br

418

Do đó bằng hai phép toán chỉ ra ở trên

phương trình đã cho được đưa về dạng

"chuẩn" Trong trường hợp này nớ là trường

hợp thứ 5ð, tức là dạng

x2 +a = bx

bó

| |

Để giải phương trình dạng đó,

AI Khôredơmi đã có một quy tác phát biểu bằng

lời mà dùng kí hiệu bây giờ ta có công thức

xz= bía + {b?⁄4—d

Để giải phương trình bậc hai, có lẽ

AI - Khôredơmi đã sử dụng hai công cụ là

hình học và đại số Công cụ hình học dựa

trên sự so sánh các diện tích biểu diễn hình

học phương trình đã cho Chẳng bạn, để giải

phương trình z2 + ax = ð, ông đã xét hình

vuông lớn gồm bốn hình chữ nhật và năm

hình vuông nhỏ Kí hiệu § là diện tích của

hình vuông xuất phát, ta có

S =x? + 4(0/4)? + 4 (4/4) =

(x? + ax) + 4(a/4)? = b + 42/4

Mặt khác S = (x + a/2)2 So sánh hai đẳng

thức chúng ta nhận được

& + a/2? = 6 +a7/4

x = -a/2 + Vo+a74

Một nhà toán học Ba-tư đã viết các

phương pháp "al-đơgiep" và "Val-mukabala" thành những bài vè :

Al-dagiep

Khi giải phương trình nếu trong một vế bat kl vé nao Gặp một từ âm cộng vào hai vế

một từ như thế

chỉ khác dấu thôi

Dễ lắm bạn ơi

*

Val-mukabala Bay giờ nhìn lại xem nào, Những từ đồng dạng gộp vào, nhanh lên !

Việc so sánh cũng chẳng phiền

Bỏ phần giống ở hai bên phương trình

Nói về luận văn "số học" của Al-khôredơmi

thi nó là một nguồn truyền bá vào các nước Trung

Cận Dông và châu Âu hệ tính thập phân do các nhà toán học Ấn Độ sử dụng trước đó Tất nhiên khó có thể đánh giá được các luận văn về đại số và số học của Al-Khôredơmi,

vì cả hai đều đóng một vai trò rất lớn trong lịch sử không phải chỉ có toán học mà trong

cả lịch sử văn hóa của loài người

Để kết luận, cũng cần chú ý rằng danh

từ "algeble" (đại số) là tên gọi quốc tế của

một môn khoa học toán chính là xuất phát

từ chữ "al-đơgiep", tức là tên bài luận văn

của Al-Khôredơmi "Khixabo al-dogiep Val-mukabala" Một điều thú vị nữa là từ

"algôrít" (cách giải tổng quát một bài toán bất kÌ) không có gì khác chính là tên

*Al-Khéredémi”

MAY GIAI THOAI VE CAC NHA TOAN HOC

"Lời tiên đoán" ?

"Tôi không có tuổi ấu thơ, vì tôi đã học

từ khi vừa biết nói Tôi không có tuổi niên

thiếu, vì tôi không cớ bạn đồng niên và

không biết một trò chơi Tôi không có tuổi

414

thanh xuân, vì tôi thiếu nhất là tình yêu, và cuối cùng, tôi sẽ không có tuổi già, bởi vì tôi

sẽ chết sớm Ï”,

Urưxôn, nhà toán học thuộc loại chủ lực

của một trường phái toán học Liên Xô người

đã có nhiều công trình quan trọng, nhiều

định lí nổi tiếng trong lĩnh vực đại số và

tôpô khi còn rất trẻ đã tự nói về mỉnh

như vậy

Một sự tỉnh cờ : Urưxôn đã bị chết trong

một lần đi tắm biển Sóng biển xô anh vào

đá Khi đó anh mới 34 tuổi Mọi người

thương tiếc anh Tuy nhiên, cũng không Ít

người nông nổi nơi rằng anh đã "tiên đoán”

trọn vẹn cuộc đời mình Thực ra ở tuổi anh,

với tỉnh yêu khoa học, với những thành quả

anh đã đạt được, không phải suy nghỉ nhiều,

chắc các bạn trẻ yêu toán cũng đồng ý với

tôi : lời "tiên đoán" của anh chỉ đúng một

phần : anh không có tuổi giả !

Chuyển động con lắc

Nhà toán học, cơ học và vật lí học vĩ đại

người Pháp Ximôn Đơni Poaxông, sinh năm

1781 tại thị trấn Pitiven Mẹ của nhà toán

học tương lai này chỉ vì sức khỏe quá kém

đã phải gửi con mình cho một người vú em

ở nông thôn, gần thị trấn

Một lần cha Poaxông đến thăm con Ông

không gặp người vú em ở nhà (bà đi làm

đồng) Ông đi vào nhà và hết sức kinh ngạc

khi nhìn thấy cậu bé bị treo trên trần nhà !

Nhưng sau đó ông đã hiểu : người ta làm

như thế để súc vật thả rông quanh nhà khỏi

xông vào "ăn thịt" cậu bé, vì ngôi nhà nhỏ,

cửa liếp quá yếu ớt

Điều thú vị là Poaxông lại là người đầu

tiên nghiên cứu phương trình toán học của

chuyển động con lắc Khi Poaxông đã thành

một nhà khoa học, ông hay kể lại chuyện

trên và nói đùa : "Không còn nghỉ ngờ gi

nữa, tôi bị lắc từ bên này sang bên kia, và

bằng cách đó, tôi da bất đầu nghiên cứu

chuyển động con lắc !"

Cái hích ban đầu :

Txăc Niutơn là nhà toán học và vật lí học

thiên tài của Anh Khi mới sinh ra Niutơn

là một đứa trẻ ốm yếu, quặt quẹo, đến nỗi

ai cũng nghĨ may lắm thì cậu cũng sống được

vài tiếng đồng hồ Người được cử di lấy thuốc

cũng dềnh dàng vì cho là vô ích, và khi về

thấy Niutơn còn sống đã phải kêu lên vì kinh

ngạc Vậy mà ông đã thọ 8õ tuổi, không hề

rụng một cái răng Chúng ta ai cũng biết về

định luật quán tính của Niutơn Theo ông

thì nếu không có ma sát, vật nào đứng yên

sẽ đứng yên mãi, còn vật nào chuyển động

(do nhận được một "cái hích ban đầu") sẽ

chuyển động mãi mãi Trong Cơ học các

thiên thể ông cũng xem các hành tỉnh như các bộ phận của một chiếc đồng hồ vi đại

Nhờ "Chúa" ban cho mét "cdi hich ban đầu"

mà đi vào một chuyển động vĩnh cửu

"Cái hích ban đầu" đã được sử dụng rộng

rãi theo một nghĩa bóng : để có kết quả

trong một lĩnh vực nào đó người ta cũng cần

một "cái hích ban đầu", tức là một sức bật,

một thành tích quyết định, v.v

Điều thú vị là chính thiên tài của Niutơn

có được cũng do một "cái hích ban đẩu" theo nghĩa đen của từ này,

Hồi học ở trung học, lúc đầu Niutơn chỉ hay đọc chuyện văn học, kết quả học tập rất xoàng Nhưng một lần, trong giờ giải lao, một học sinh nghịch ngợm đã tống vào bụng Niutơn một cái mạnh đến nỗi cậu bị ngất đi

Cảm giác cực kì đau đớn truyền khắp cơ

thể, mắt hoa lên trong giây lát không nhìn

thấy gì nữa, cậu lấy hết sức bình sinh nén

sự đau đớn Kẻ phạm lỗi đã không lấy làm xấu hổ, lại còn lấy làm khoái trá về cú đánh

của mình và cười chế riễu Niutơn Niutơn

căm giận, muốn trả thù ngay, nhưng "kẻ thù" lại quá mạnh so với mình Buc bội mãi, cuối cùng Niutơn nghỉ ra một cách trả thù

rất thú vị : đối phương chính là người đang ngồi ở vị trí đanh dự : "giỏi nhất lớp" Niutơn

quyết định phải ngồi thay vào chỗ đó NÑiutơn thực hiện kế hoạch không chê vào đâu được Chỉ một tháng sau, cậu đã được khen trước lớp, được ngồi vào vị trí danh dự và cậu không rời bỏ chỗ đó nữa

Công thức khai triển "nhị thức Niutơn"

được chứng minh ngay hồi Niutơn học ở

trường trung học phổ thông

Chúc các bạn trẻ yêu toán tạo được cho mình một cái bích ban đầu, đương nhiên

không phải cứ bằng một "cái hích vào bọng mỡ" như trường hợp của Niutơn

ĐẶNG HẤN

415

VE LICH SU LUONG GIAC HOC

Cũng như mọi khoa học và các phân môn

khác của toán học, lượng giác học ra đời và

phát triển do những nhu cầu của đời sống

Nay sinh từ sự cần thiết phải đo lại ruộng

đất sau những trận lụt hàng năm ở sông

Nin, hinh hoc thai cổ Ai Cập cách đây 4000

nam đã đạt tới một trình độ đáng lưu ý Nó

cũng đã được ứng dụng vào việc xây dựng

Kim Tự Tháp, một kì quan của thế giới Với

sự phát triển của hình học, lượng giác học

đã hình thành Trong những tài liệu toán học

của người cổ Ai Cập còn thấy cà những yếu

tố tiền thân của lượng giác học, chẳng hạn

tỉ số những độ đài của những đoạn thẳng ở

những hình chớp

Ở Trung Hoa, những kiến thức hình học

và lượng giác cũng đã nảy nở sớm Ngay từ

khoảng năm 1100 trước công lịch người ta

đã tạo những góc vuông bằng cách dùng tam

giác có các cạnh 3, 4, õ đơn vị, đã xác định

chiều cao nhờ đo bớng, đã tính chiều sâu và

khoảng cách nhờ những tam giác vuông

Tiếc rằng nền toán học sớm của Trung Quốc

còn để lại ít dấu vết vì tất cả những sách và

tài liệu văn hóa của nước này đã bị Tần

Thủy Hoàng ra lệnh thiêu hủy

8o với toán học Ai Cập thì toán học

Babilon, trong đó có hình học và lượng giác,

đã đạt tới một trình độ cao hơn, Hiện nay

còn giữ lại được những tài liệu về những vấn

đề toán học khoảng 5000 năm về trước Ở

Mêsôpôtami, một vùng nằm giữa sông

Ophơrát và sông Tigdrơ, do phải xây dựng

những con đê phục vụ nông nghiệp, người ta

phải tính độ đốc của thành đê và chiều rộng

của mặt đê Trong những tính toán này, tỉ

số độ đài của những đoạn thẳng đóng một

vai trò quan trọng

Những vấn đề nây sinh trong thực tế đã

dẫn tới những kiến thức toán học Sự tỈ lệ

của các cạnh tương ứng trong những tam

giác đồng dạng và định H Pitago đã được

phát hiện Toán học Babilon cũng đã liên hệ

chặt chẽ với thiên văn học Mặc đầu thiên

văn học Babilon thời đó liên quan nhiều với

416

mê tín dị đoan nhưng cũng đã đạt được một

số kiến thức thiên văn thật sự Những quan sát hàng nhiều trăm năm đã cho thấy tính chư kì của những hiện tượng trong bầu trời, đặc biệt là sự lặp lại một cách cơ quy luật của hiện tượng nhật thực và nguyệt thực

Hiện vẫn còn giữ lại được những bảng tính những quá trình thiên văn cớ tính chu kì

Nếu biểu thị những giá trị số này trong một

hệ trục tọa độ (điều này thiên văn học thời

đó chưa làm) thì được một đường sin

Khoảng năm 1900 trước công lịch, những

nước nội địa như Ai Cập và Mêsôpôtami đã không còn tạo được những điều kiện thuận lợi nhất cho kinh tế và khoa học nữa Vai

trò này đã chuyển sang những nước ở ven

biển do sự phát triển của ngành đóng tẩu

Nhờ liên hệ mật thiết với Mêsôpôtami và

Ai Cập, toán học Hi Lạp đã tiếp nhận rất

nhiều công trình khoa học và đã đi tới những

nhận thức mới Thiết (624 ? - 548 ? trước

công lịch) đã đo chiều cao của những cái

tháp bằng cách đo bóng của chúng vào lúc bóng của ông vừa đúng bằng bản thân ông Ông cũng đã tính khoảng cách từ tầu thủy

đến cảng nhờ những tam giác đồng đạng Về sau toán học Hy Lạp đã phát triển đến một

trình độ đáng ngạc nhiên Tuy nhiên dần dần nó rơi vào ảnh hưởng của triết học duy

tâm, đặc biệt là của trường phái Pơlatông và

do đó bị đứt liên hệ với thực tế Trong xã hội chiếm hữu nô lệ mọi hoạt động thực tế

bị coi là Ít giá trị và người ta cho rằng không cần thiết phải ghi chép lại những phương pháp của toán thực tế, trong do co lượng

giác học

Vào những thế kÌ cuối trước công lịch,

yêu cẩu đối với khoa trắc địa tăng lên Những sự đo đạc này thúc đẩy khoa thiên văn Do đó lượng giác học, với tư cách là

công cụ toán học quan trọng, cũng có những tiến bo

Aritxtacốt (khoảng năm 270 trước công

lịch) đã thử đo tỉ số khoảng cách trái đất —

mặt trăng với khoảng cách trái đất - mặt

trời theo con đường lượng giác bằng cách đo

góc giữa mặt tràng, trái đất và mặt trời lúc

bán nguyệt thực Do dụng cụ thời đó chưa

được tốt, ông nhận được tỉ số 1 : 19 trong

khi giá trị đúng là 1 : 370

Việc biến đổi lượng giác có sử dụng các

tỈ số sin, cosin, tang và cotang ở tam giác

vuông đã được những nhà học giả Ả-rập tiến

hành vào thế kỉ thứ 9 Trong khi ở châu Âu

khoa học bị kÈm hãm do ảnh hưởng của nhà

thờ Giatô giáo thì nền văn hóa Ẩ-tập nở rộ,

trong đó toán học đặc biệt là đại số và lượng

giác rất được khuyến khích phát triển Abu

Nát (khoảng năm 1000) da tim ra dinh lí

hàm số sỉn trong lượng giác phẳng Ất ~ Tút

(1201 - 1274) là người đầu tiên đã tập hợp

tất cả những thành tựu của lượng giác học

thành một tòa lâu đài hoàn chỉnh Người ta

đã tính được cả những bảng thiên văn và

lượng giác rất phức tạp, chẳng hạn Ulúc Bée

(1892 - 1449) da lap bang ham s6 lượng giác

với độ chính xác tới 17 chữ số thập phân

Lượng giác học và thiên văn học Ấn Độ

cũng đã đạt tới một trình độ cao tương tự

Dén thé ki 15 toán học châu Âu đuổi, kịp

và vượt nền toán học cổ Hi Lạp và La Mã

Ít nhất là ở một số bộ phận Những kết quả

mới đã đạt được là do đời sống xã hội đã đặt

ra những vấn đề mà việc giải quyết chúng

đòi hỏi phải sử dụng những phương pháp

toán học mới Điều này cũng xẩy ra cả trong

lượng giác học

Trong xã hội phong kiến đã phát triển

một giai cấp mới, giai cấp tư sản Giai cấp

này khuyến khích thương mại, mở rộng thị

trường ở hải ngoại Đường biển tới Ấn Độ

và một châu mới đã được phát hiện Tẩu

thuyền đi lại trên biển cả đòi hỏi một trình

độ cao về thiên văn học và lượng giác học

Cà thiên văn học cũng dat ra cho lượng

giác học những yêu cầu cao Bằng cách đo

đạc trong bầu trời nhờ những công cụ thiên

van đã được cải tiến, người ta nhận thấy

rằng quan niệm của Pơtôlême về địa tâm hệ

(trái đất là trung tâm) là không đúng Với

kĩ-rTcTr

tác phẩm khoa học "Về sự quay của các thiên

thể" mà trong đó nhật tâm hệ (mặt trời là

trung tâm) được lập luận, nhà bác học Ba Lan Côpécních (1473 - 1543) đã tạo nên bước quyết định cho sự phát triển của thiên văn học

Việc trang bị đại bác cho quân đội cũng

đòi hỏi cấp bách sự phát triển của ngành trac địa và đo đó của lượng giác học Để bán

đại bác trúng mục tiêu, người ta cần những phương pháp đo chính xác những khoảng

cách trên mặt đất,

Do những yêu cầu thực tế đó và cả những

yêu cầu thực tế khác nữa, lượng giác học đã phát triển rất nhanh vào thế kỉ 15, 16 và

17 Iohanet Phôn Gơmunden (1380 ? - 1442) và tiếp theo là Giêoóc Phôn Poibác

(1423 — 1461) đã tiến hành tính bảng lượng giác mở rộng Công trình phức tạp này cuối

cùng đã được Râghiômôntan (1436 ~ 1476)

hoàn thành Rêghiômôntan là một nhà toán học lỗi lạc của châu Âu thời đó Trong công

trình "Năm cuốn sách về tất cả các tam giác"

mà mãi đến năm 1533 mới được ïn, ông đã thâu tớm tất cả các phương pháp, định lí và bảng lượng giác mà thời đó đã đạt được Nhờ Réghidméntan lượng giác học ở châu Âu đã trở thành một khoa học nhất quán và về mặt

nội dung toán học nó đã đạt tới trình độ như

ngày nay

Về sau những bảng lượng giác còn được

cải tiến tốt hơn hẳn nhờ các nhà toán học Leticut (1614 - 1576), Viết (1540 — 1608) và nhà thiên văn học lớn lIôhannét Kêpơle

(1571 — 1630) Những tên gọi và kÍ hiệu mà hiện nay dùng trong lượng giác học thì mãi

sau này mới được đưa vào Về căn bản người

ta sử dụng những tên gọi kí hiệu do nhà toán

học thiên tài người Thuy sĩ là Lêôna le

(1707 — 1783) đã đặt ra : xz là số đo độ dài nửa đường tròn đơn vi, a, 6, ¢ là kí hiệu các cạnh của một tam giác : sin, cos, tang la kí hiệu những hàm số lượng giác,

NGUYEN BA KIM

417

LEONA OLE

(1707 - 1783)

Su sach da ghi lai ngay 18 thang 9 nam

1783, ngày thiên tài toán học Lêôna Ole

ngừng làm toán và cũng là ngày ông từ trần

Nhưng tên tuổi và sự nghiệp của Ớle vẫn còn

sống mãi với khoảng ð0 công thức, phương

trình, định lí, con số và những kí hiệu toán

học được mang tên ông

Lé6na sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707 tai

Benơden Thuy sĩ Nghề nghiệp của người cha

và các bài giảng của Giôhan Becnuli đã dẫn

Ole đến với toán học Năm 20 tuổi (1727),

Lê@ôna Óle đến làm việc ở Viện Hàn lâm khoa

học Pêtecbua, vừa mới thành lập và là nơi thu

hút các tài năng trẻ của trung và tây Âu đến

làm việc Tám năm sau (1735), khi Viện Hàn

lâm Pêtecbua phải tiến hành những tính toán

thiên văn để thiết lập bản đổ, Ole đã đảm

nhận với thời hạn 3 ngày một khối lượng công

việc mà các viện sĩ cho rằng phải cần mấy

tháng mới làm được, và ông đã hoàn thành

công việc với thời hạn làm mọi người kinh

ngạc : một ngày một đêm ! Tuy vậy, để có

được một kì công như thế, ông đã phải làm

việc hết sức tập trung và cực kì căng thẳng,

cho nên ông bị hỏng mất mắt phải Với một

mắt cén lai, Ole vẫn làm việc say sưa với năng

suất không hể giảm sút

Năm 1741 ông trở về làm việc ở Viện Hàn

lâm khoa học Beclin (Đức) theo yêu cầu của

vua Friedrich đệ nhị O đây ông đã cống hiến

toàn lực cho khoa học, ngày đêm miệt mài

nghiên cứu và sáng tạo, tham gia công tác

lãnh đạo giới toán học, đóng gớp trong công

tác tổ chức và cả trong những công việc quản

H, hành chính

Ở Beclin Ole vẫn duy trì quan hệ chặt chế

với Viện Hàn lâm Pêtecbua Chính M V

Tômônôxôp, nhà bác học Nga trẻ tuổi và tài

năng, "người cha của nổn khoa học Nga", đã

được Cle thư từ trao đổi, dìu dất và được tiếp

nhận tới Beclin

Trong thời gian này Ớle làm việc rất có kết

quả và đã trở thành nhà toán học bậc thầy

của châu Âu

Năm 1766 Lé6na Ole dén Pétecbua léin thứ

hai theo một thỏa thuận với Nữ hoàng Nga

atêrina đệ nhị Bốn năm sau (1770), do ngày

đêm làm toán quên mình, con mắt còn lại của

Óle bị hỏng nốt

Tiếp theo đó một loạt bất hạnh đã xẩy đến

với Óle : nhà cháy, mất sạch của cải, người vợ

thân yêu của ông qua đời ! Song những tổn

thất vật chất và tỉnh thần đó cùng với sự

418

giảm sút súc khoẻ của tuổi gia vẫn không ảnh

hưởng tới sức sáng tạo và năng suất lao động

của Ole Ông đọc cho người khác viết hết, công

trình này đến công trình khác Từ năm 1766 cho đến lúc qua đời ông đã để lại 416 công

trình, tức trung bình 2ð công trình mỗi năm

(trước đó từ 7 đến 14 công trình mỗi năm),

Khi ông mất, số công trình chưa công bố của

ông để lại đã được đăng trên tạp chí của Viện Hàn lâm đến 80 năm sau mới hết, gấp 4 lần con số mà chủ tịch Viện Hàn lâm Pêtecbua đã

có lần yêu cầu ông trước lúc ông qua đời

Những công trình của Ởle đề cập đến hầu

hết các lĩnh vực của toán học thời bấy giờ và đến nhiều ngành khoa học và kỉ thuật khác Theo nhà nghiên cứu lịch sử tên tuổi Tiên Xô A.P Yuskêvich, 40% nghiên cứu của

Ole danh cho đại số, lí thuyết số và giải tích, 18% cho hình học, 28% cho cơ học và vật lí,

11% cho thiên văn Phần còn lại đành cho lí thuyết đường đạn bản đồ, tàu thuyền và xây dựng, H thuyết âm nhạc, thần học và triết học Năm 1911, ở quê hương ông, toàn bộ

những công trình của ông được in thành bộ

sách với tên đề "Leonhardi Euleri Opera Omnia! gồm 8õ quyển cỡ lỡn và gần 40.000 trang Sự xuất bản này là một đài kỈ niệm văn hóa xứng đáng với công lao to lớn của thiên

tài toán học le

Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã biết đến tên tuổi Ole qua “dudng thang Ole, đường tròn le" (đường tròn 9 điểm) trong

tam giác, định lÍ Ole về liên hệ giữa số đỉnh, cạnh và mặt trong một đa điện lổi, v.v Chúng ta đã và đang làm toán với những kí

hiéu cla Ole : s6.z, 85 i (= ¥—1), sin, cos, tg,

cotg, Ax (số gia), 2 (tổng) /fx) hàm f của x), v.v

Những thành tựu sâu sắc, phong phú và

muôn vẻ của Lêôna Ole là những minh hoạ

tuyệt vời cho nhận định : "Tbán học chỉ cho ta

những phương pháp hoặc những con đường dẫn tới chân lÍ Toán học làm cho những chân

lí ẩn khuất nhất trở thành minh bạch và phơi

bày chúng ra trước ánh sáng, Một mặt toán học làm giàu sự hiểu biết của chúng ta, mặt khác né

làm cho suy nghỉ của chúng ta thêm sâu sắc"

Cuộc đời của Lêôna le là một tấm gương sáng chới về tính thần lao động sáng tạo không biết mỏi Đối với le, làm toán cũng tự

nhiên và cần thiết cho đời sống như là thở hút

khí trời vậy Sống là lao động sáng tạo, sống

là làm toán, và ông chỉ ngừng làm toán khi

trai tim ngừng đập

NGÔ ĐẠT TỨ

Phần thứ hai

CAC BAI TOAN CHON LOC

419