Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part5-1)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part5-1)

Trước hết ta nhắc lại định nghĩa của số

nguyên tố

Số nguyên tố là số tự nhiên khác 1 và

không có ước nào khác ngoài số 1 và chỉnh

nó Với định nghĩa đó của số nguyên tố thì

ta chứng minh được định lí cơ bản sau đây :

"Mọi số tự nhiên lớn hơn ! đều biểu diễn

được một cách duy nhất thành tích các thừa

SỐ nguyên tố" Đến đây đương nhiên đặt ra

vấn đề "có bao nhiêu số nguyên tố" Cách

đây hơn hai nghìn năm Oclid da tra lai được

vấn để này bằng định lí : "có vô số số nguyên

tố" Để đi sâu hơn nữa người ta xét sự phân

bố các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên

Ta goi z (x) là số các số nguyên tố không lớn

hơn x, vi du (5) = 8 Vì có ba số nguyên

tố là 2, 3, ö là không lớn bơn 5 Bài toán về

phân bố số nguyên tố chủ yếu là so sánh Z(x)

với x Vì số các số nguyên tố là vô hạn nên

a(x) tang v6 han cing v6i x, tuy vay cũng

lại đã chứng minh được rằng khi z khá lớn

#4) là rất nhỏ so với x, hay nói bằng ngôn

ngữ của lí thuyết giới hạn là tỉỈ số 76) dan

tới không khi mà z tăng lên vô hạn, Việc

chứng minh mệnh đề này không khớ lắm

Người ta muốn được những kết quả tốt hơn

nữa, nên đã cố gắng đi tìm một hàm số quen

thuộc mà nó xấp xỈ bằng z (+) tại các giá trị

khá lớn cua x Da từ lâu người ta dự đoán

hàm số đơ có thể là = (Inx là logarit cơ số e

của +, e = 2,71828 ) Phải trải qua hơn một

thế kỈ với sự đóng góp của nhiều nhà toán

học thiên tài như Logiangdra, Gaoxa,

Sébusep, Riman mai dén nam 1896 Adama

va Đờ La Valê Pútsanh, đồng thời và độc lập

với nhau, mới giải quyết được vấn đề trên,

chứng minh được rang tl s6 x (x): m= có

giới han la 1 khi x trở nên vô cùng, Việc

chứng minh định li này phải dựa và lí thuyết

hàm số phức và người ta đã có ý nghỉ cho

rằng không thể chứng minh được định lí này

mà không dùng đến lí thuyết hàm số phức

Nhưng đến năm 1948 thì Selbéc đã chứng

minh được định lí này bằng phương pháp sơ

cấp nghĩa là không phải sử dụng lí thuyết

hàm số phức vào việc chứng minh Cần phải

nói rằng chứng minh định lí trên là rất khớ,

ở đây chúng tôi chỉ giới thiệu vấn để để

mong giải đáp cho một số bạn đọc về vấn đề

phân bố số nguyên tố

342

Một vấn đề thứ hai cũng được đề ra đã

từ lâu là tìm một biểu thức đơn giản phụ

thuộc vào một biến số tự nhiên mà tất cả

các giá trị đếu là số nguyên tố Trước hết người ta nghĩ đến một đa thức nguyên, nhưng vấn đề này được giải quyết ngay : dễ chứng minh được rằng không có một đa thức nguyên nào mà tất cả các giá trị của nó ứng với giá trị tự nhiên của biến số đều là nguyên tố cả Tuy nhiên người ta cũng đã thấy tam thức z? + x + 41 lấy các giá trị

nguyên tố (khác nhau) với x = 0, 1, , 39,

và tam thức z? ~ 79x + 1601 lấy các giá trị nguyên tố (không phải là tất cả đều khác nhau) với z = 0, 1, ,79 Cũng đã nảy ra vấn

để là có hay không một đa thức nguyên lấy

vô số giá trị nguyên tố Đối với nhị thức bậc nhất thì có thể chứng minh được rằng mọi

nhị thức az + ð với (a, b) = 1 đều lấy vô số

giá trị nguyên tố, song người ta chưa biết

được một đa thức nào bậc cao hơn 1 mà có

tính chất đó Về vấn để biểu thức cho số nguyên tố Fecma đã phát biểu rằng các số

F, = 274+ lin = 0, 1 ) đều là số nguyên

tố, và đã thử thấy rằng : F, = 3, F, = 5,

F, = 17, F, = 257, F, = 65587 đều là các

số nguyên tố Đến năm 1732 Óle tìm ra rằng

số F, = 2” + 1 = 4294967297 là một hợp

số mà chia hết cho 641 Bây giờ người ta

biết khá nhiều số Fecma (số F, được gọi là

số Fecma) là hợp số Các số nguyên tố Fecma

có điều rất bổ Ích là nó liên quan mật thiết đến bài toán chia vòng tròn thành những phần đều nhau bằng thước và compa Nhân đây xin giới thiệu ý nghỉ của bạn Trền Mơi

Chí, cho rằng số 9” + 3?” là nguyên tố với

moi œø Thử lại thì ta thấy với n = 0, 1, 2 biểu thức trên cho các số nguyên tố lần lượt

Ja 5, 13 va 97, song với n = 3 ta có

2?`+ 82 = 6817 = 17 x 401 là một hợp

số Bạn Nguyễn Toàn hỏi rằng công thức fín) nào để cho với n ta tính được số nguyên tố thứ ø hay không ( ƒ(1) = p = 2, f(2) = p,

=3, ,ffm) = Đụ ) câu trả lời là không Còn như muốn nới ƒz) là một hàm số thì đẳng thie fin) = pạ là một hàm số hoàn toàn xác định vì dãy các số nguyên tố 2, 8, 5, 7, 11, thì được coi là đã biết đẩy đủ Một loại số

nguyên tố nữa thường được nói đến nhiều là

số nguyên tố Mensen có dạng M, = 2P-1,

với p là nguyên tố Số Mensen có một ý

nghia quan trọng vì nó có vai trò đặc biệt

trong bài toán vê số hoàn chỉnh Về vấn dé

biểu thức cho số nguyên tố còn có nhiều biểu

thức khác nữa chúng ta không thể trình bày

hết ở đây được Cần phải nơi rằng người ta

đã chứng minh được rằng có số vô tỈ Á sao

cho [4**] ([y] là phần nguyên của y nghĩa là

số nguyên lớn nhất mà không lớn hơn ?) lấy

các giá trị nguyên tố với mọi giá trị tự nhiên

của x, Song vấn để này chỉ có ý nghĩa lí

thuyết mà thôi vì thực tế thì tính cụ thể các

số nguyên tố đó ra là việc không phải bao

gid cing làm được Người ta cũng đã chứng

minh duge rằng có số thực œ = a, mA tht

cả cdc 86 [2%], [2%], , với a„ xác định quy

nạp bởi công thức œ„= 2“a- đều là số

nguyên tố Kết quả này cũng như kết quả

trên chỉ có ý nghĩa lí thuyết mà thôi Liên

hệ với vấn đề này bạn Trần Mai Chí cho

B, = Pps Py — 408 C, = PyPy~ Py Pay

đều là số nguyên tố với œ > 2 (p, là số

nguyên tố thứ ¡ trong thứ tự quen thuộc

Pị =2,p;ạ=3 ) chỉ cần thử lần lượt

với n = 3, 4, 7 ta thấy rằng B, = 11,

B, = 101, B, = 1151 1a nguyén t6, nhung

By = 3.5.711.13 - 4 = 15011 = 17.883 là

một hợp số

C, = 23, C, = 199, C, = 2297, C, = 30013

đều là số nguyên tố, nhung C, = 510491 = 41.12451

là một hợp số

Đối với A„ thì cũng bằng cách thử ta thấy

rang cfc 86 Aj, Ay, As, A,, A, déu là nguyên

tố Tuy nhiên như vậy không có cơ sở nào

để khẳng định rằng Á, là nguyên tố với mọi

n > 2 Có lẽ bằng cách thử với một vài giá

trị nữa của œ ta có thể được một hợp số A,

nào đớ Còn nếu dự đoán của bạn Chí là

đúng thì cũng có nhiều chắc chắn rằng việc

chứng minh mệnh đề đơ là rất khó, và nếu

như nó chưa có được ý nghĩa lí thuyết nhất định nào đớ Cũng cần phải nói rằng việc kiểm tra xem một số khá lớn có là nguyên

tố hay không là một việc giải được về nguyên tác, nhưng cũng khó vì phải làm nhiều phép tỉnh Tuy nhiên đối với các số không lớn lắm thì bằng các máy tính hiện nay việc đó không phải khó khăn lắm Đối với các số mà bạn Chí nêu ra thì để kiểm tra Ag, ta céin làm khoảng trên 300 phép chỉa và đối với Ay cần khoảng 1300 phép chia, va nhu thé có thể mất vài buổi làm tính

Bây giờ chúng ta chuyển sang một vấn

đề khác là vấn đề khoảng cách giữa hai số nguyên tố Ta xét hiệu p„„¡ — p„ Có thể chứng minh được rằng trong đãy số tự nhiên

có đoạn lớn tùy ý không chứa một số nguyên

tố nào Thật vậy cho trước K, thì trong K số

tự nhiên liên tiếp (K + L) ! + 2, & + J)L+ 3,., (+) !+(K+1) K ! 1a tich & 86 tu

nhiên đầu tiên) không có một số nguyên tố nào Song một mặt khác lại gặp rất nhiều cặp số nguyên tố liên tiếp (gọi là số nguyên

tố sinh đôi) mà hiệu của chúng bằng 2 (hiển nhiên là chỉ có một cặp duy nhất hai số nguyên tố 2, 3 là hai số tự nhiên liên tiếp)

Có giả thuyết cho rằng có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi Cặp số nguyên tố sinh đôi lớn nhất người ta biết là

p = 1900000009649 và p + 2 Vấn đề này được mở rộng thành vấn đề "Mỗi số chắn có thể biểu diễn được bằng vô số cách thành hiệu của hai số nguyên tố hay không ?”, Người ta cũng thấy có nhiều "bộ bốn số nguyên tố liên tiếp" gồm hai cặp số nguyên

tố sinh đôi, nghĩa là p, p + 2, p +6,p+8 đều là nguyên tố, ví dụ 11, 13, 17, 19 hay

3251, 3253, 3257, 3259 Bộ bốn số như thế lớn nhất mà người ta biết là p = 2863 308 T81 vàp +2,p +6 p+8 Cũng có giả thuyết cho rằng có vô số bộ bốn số nguyên tố như vậy

LÍ THUYẾT NHÓM

Cấu trúc nhớm là một cấu trúc đại số

quan trọng vào bậc nhất Nó thâm nhập vào

hầu hết mọi ngành của Tbán học : trong Đại

số, trong Hình học, trong H thuyết Phương

trình vi phân, ; ngoài ra nớ có các ứng

dụng quan trọng trong các ngành khoa học

quan trọng khác như : Vật lÍ học, Cơ học

lượng tử, Hóa học, Tỉnh thể học

Khái niệm nhớm ra đời vào khoảng đầu

thế kÍ 19 với các công trình của Côsi về các

phép thế, của Aben về một lớp phương trình

giải được bàng đại số Nhưng phải nơi

Ga-loa là người nhận thấy liên hệ sâu sắc

giữa nghiệm của các phương trình đại số và

tập hợp các phép thế mà Ga-loa gọi là nhớm

các phép thế (1830) Và cũng chính Ga-loa

là người nhìn thấy tầm quan trọng của khái

niệm nhóm là ở cấu trúc của nó chứ không

phải ở tính chất của các phần tử lập thành

nhóm Như vậy ở nửa đầu thế kỉ thứ 19, lí

thuyết nhóm phát triển qua lí thuyết nhóm

các phép thế Tới nửa cuối thế kÌ 19, các nhà

toán học cho chúng ta khái niệm nhớm các

phép dời chỗ và tổng quát hơn, nhớm các

phép biến hình Khái niệm nhớm các phép

biến hình đã giúp Cơ-lai thống nhất được

các hình học đang phát triển mạnh mẽ ở thời

đó Cơ-lai đã phân loại các hình học theo

nhóm các phép biến hình Các tính chất của

một không gian bất biến qua một nhớm biến

hình lập thành một hình học

Sau khi đã tách được "cấu trúc nhóm” qua

một số các nhớm cụ thể (nhớm các phép thế,

nhóm các phép biến hình ) các nhà toán học

đã đi tới định nghĩa nhớm trừu tượng và

phát triển một cách độc lập lí thuyết nhóm

6 đây ta lại được một thí dụ về sự cố gắng

không ngừng của toán học để đi từ cụ thể

tới trừu tượng và tổng quát, do đó cho phép

các ứng dụng rộng rãi mà ta đã thấy trong

toán học ngày nay

Bây giờ chúng ta hãy đi vào định nghĩa

một nhớm

Giả sử N là một tập hợp bất kì không

rống mà các phần tử kí hiệu là a, b,c Gia

344

HOANG XUAN SiNH

sử trén N ta đã xác định một luật hợp thành trong, nghĩa là một quy tác cho phép ta từ hai phan tt bat kl a, 6 € X thành lập một phần tử c xác định cũng thuộc N Néu ta ki hiệu luật hợp thành trong bằng dấu * thì c

kí hiệu e = ø * ö (thường thường trong toán học ta dùng dấu + và., do đó c kí hiệu theo

thứ tự e = ø +b,e = œ5,

Nếu ta dùng kí kiệu + thì luật hợp thành gọi là phép cộng, nếu dùng kí hiệu, thì luật hợp thành gọi là phép nhân Tập hợp X với luật hợp thành trong kí hiệu * gọi là một nhóm nếu luật hợp thành * cớ các tính chất sau đây :

XỊ) Luật hợp thành có đính chất kết hợp nghĩa là a * ø * e) = (a * 6) * ¢ vai moi a,

bce, EN

ÁN;) Luật hợp thành có phần tử trung hòa, nghĩa là có một phần tử e G X sao cho e *

a =a”e=a với mọi a € N Phần tử e gọi

là phần tử trung hòa

N;) Mọi phần tử z € N đều có phần tủ dõi xing a’ © N, nghia laa * a’ =a’ *a =e, N,) Luat hop thành có tính chất giao hodn nghia laa * 6 = 6 * a với moia,b EN thì nhớm X gọi là một nhóm giao hoán hay

nhớm aben (do tên nhà toán học Aben)

Trong trường hợp luật hợp thành kí hiệu bằng dấu + thì nhớm gọi là nhóm cộng (người ta thường dùng kí hiệu + cho các nhớm giao hoán), phần tử trung hòa e kí hiệu O gọi là phần tử không, phần tử đối xing a’ cia phần tử a gọi là phần tử đối của phần tử ø, kí hiệu -ø Trong trường hợp luật hợp thành kí hiệu bằng đấu thì nhớm N gọi là nhớm nhân, phần tử trung hòa £ gọi

là phần tử đơn vị và kí hiệu 1, phần tử đối xứng a` của phần tử ø gọi là phần tử nghịch đào của phần tử ø, kÍ hiệu a~Ì,

Ta hãy lấy một số ví dụ về những nhớm : Xét tập hợp 7° các số thực dương, phép nhân các số thông thường là một luật hợp thành trong xác định trên 7",

Thật vậy, nếu ø và ð là hai số thực dương

thi tích ø.b cũng là một số thực dương, nghĩa

là nếu a va b & T* thic = ab € T* Ta hay

thử xem 7” với phép nhân có thỏa mãn ba

tính chất N,), N,), N3) không Tính chất N))

thì đương nhiên được thỏa mãn vì phép nhân

các số có tính chất kết hợp Vì số 1 € 7" nên

Ñ,) cũng được thỏa mãn, Cuối cùng cho một

số thực đương ø, nghịch đảo a~! cũng là một

số thực dương, cho nên Xa) được thỏa mãn

Vậy tập hợp các số thực dương lập thành

một nhóm đối với phép nhân các số thông

thường Ta gọi nhớm đó là nhóm nhân các

số thực dương Dễ dàng thấy rằng do 14 một

nhóm œöen

Nếu ta lấy tập hợp 7' các số thực (không

nhất thiết là dương nữa) với luật hợp thành

là phép cộng các số thông thường, thì cũng

làm như ở trên, ta thấy ngay 7 lập thành

tnột nhóm giao hoán đối với phép cộng mà

ta gọi là nhớm cộng các số thực

Bay giờ ta hay đưa vào một số ví dụ mà

các phần tử của nhóm không phải là những

số và luật hợp thành không phải là phép

cộng hay phép nhân thông thường như

các số

Ta hãy xét ba vật tùy ý mà ta kí hiệu là

A, B, C Cé sáu phép mà ta gọi là phép thế

để trao đối ba vật A, B, C với nhau Th hãy

đặt tên cho sáu phép thé do 1a 7, J, K, R, S,

7 và viết các phép thế đó bằng cách viết các

vat A, B, C sau đó bên phai mdi vat A, B, C

viết vật mà vật đó trở thành sau phép thế ;

chẳng hạn

E=|BC|S=|BB|T= |BA

phép thế 7 biến vật A thành vật B, vật B

thành vật A, vật C thành vật C ; phép thế

I khong làm thay đổi vật nào cả, người ta

gọi là phép thế đồng nhất

Như vậy ta được một tập hợp mà ta kí

hiệu G; gồm sáu phần tử 1, J, X, R, S, 7

Bây giờ ta hãy xác định trên G¿ một luật

hợp thành trong mà ta gọi là phép nhân

Chẳng hạn ta hãy thực hiện lần lượt hai

phép thé J, R trén A, B, C

B¬C¬B

C>A=>A Két qua 14 A bién thanh C

8 biến thanh B

C bién thanh A

Như vậy thực hiện lần lượt hai phép thế

ở, RE cho ta cùng kết quả như thực hiện phép thế 9 Ta định nghĩa tích của hai phép

thé J, , kí hiệu IR là phép thế 8

Th cũng tiến hành tương tự như vậy để định nghĩa tích các phép thế khác Ta chú ý

Rj = T, do đó phép nhân ở đây không giao hoán (đây là một điều cẩn chú ý vì phép

nhân và phép cộng các số là giao hoán, cho

nên ta có xu hướng cho mọi phép toán là giao hoán)

Phép nhân các phép thế không giao hoán nhưng nó kết hợp, có phần tử trung hòa I

mà ta gọi là phần tử đơn vị Cuối cùng cho một phép thế bất kÌ, ta đều tìm thấy phần

tử nghịch đảo của nó Chẳng hạn phần tử nghịch đảo của ở là K, của # là R vì

JK= KJ =I RR=!I

Két luan tap hgp G, lap thanh mét nhém đối với phép nhân các phép thế Nhớm G, gọi là nhóm các phép thế của ba phần tử Ta

có thể lập bảng nhân như sau :

œlm|s|=lm|sis BIS

Các phép quay chung quanh một trục cố định trong không gian lập thành một nhớm giao hoán (tích của hai phếp quay có góc quay là ø và œ` là một phép quay có góc là

œ + a) Tổng quát hơn, các phép đời hình trong không gian lập thành một nhớm

Nhĩm các phép biến hình cho phép các nhà

hình học phân loại các hình học Chẳng hạn

hình học khơng gian ƠcHt nghiên cứu các

tính chất bất biến qua các phép dời hình

Oclit

Bây giờ chúng ta hãy giới thiệu một cơng

cụ đác lực dùng trong lí thuyết nhớm, đĩ là

khái niệm đẳng cấu (phải nĩi khơng phải chỉ

M thuyết nhớm mới ding cơng cụ này, mà

tồn bộ tốn học ngày nay) Ta tưởng tượng

cĩ hai nhớm, như hai lâu đài tốn học bề

ngồi khơng cĩ gÌ giống nhau Nhưng khi

nghiên cứu thật kí ta thấy chúng cùng "kiến

trúc”, ta bảo hai nhĩm đớ là hai mơ hinh cu

thể của một nhớm trừu tượng, ta bảo chúng

đẳng cấu với nhau

Chúng ta hãy định nghĩa một cách chính

xác thế nào là hai nhớm đẳng cấu với nhau

Ta hãy xét một nhém N với phép tốn kí

hiệu và một nhớm thứ hai Mì; với phép

tốn kỉ hiệu +, Ta ? ? nhớm W và nhĩm N’

đẳng cấu với nhau nếu :

1) Cĩ một sự tương ứng một đối một ¢

giữa N và N, nghĩa là ứng với một phần tử

a CN là một và chỉ một phần tử a € N’ kf

hiệu (ø), và với một phần tử bất kì b G

N’ ta tim thấy một phần tử b € N sao cho

6` = g(È)} Người ta gọi sự tương ứng một

đối một ø là một song ánh Từ tương ứng

một đối một ø ta dễ dàng thấy rằng nếu W

hữu hạn thì N° cũng hữu hạn và hai tập hợp

cĩ cùng số phần tử

2) Song anh ø biến phép nhân trong N

thành phép cộng trong N°, nghĩa là :

® (A, b) = ø (a) +p 6b)

Th lấy một thí dụ cụ thể để hiểu khái

niệm đẳng cấu và đồng thời nhìn thấy tầm

quan trọng to lớn của khái niệm dod

Chúng ta đều biết rằng cộng hai số với

nhau thì để hơn nhân hai số với nhau, nhất

là trong trường hợp số lớn, chẳng hạn cộng

hai số 68975314 và 95143687 thì thoải mái

hơn là nhân hai số đĩ với nhau nhiều Trong

thiên văn học các khoảng cách trong vũ trụ

đều được đo bằng năm ánh sáng Để cĩ một

khái niệm về các khoảng cách trong vũ trụ,

chúng ta hãy nhớ rằng một năm ánh sáng

bằng 9.460.800.000.000 km Tém tat lại các

nhà thiên văn phải sử dụng những con số

346

rất lớn để tính tốn, và ta phải nhớ rằng ở thé ki 15, 16 ngudi ta chưa cĩ máy tính như ngày nay Đứng trước tỉnh hình đĩ, để cĩ thể nhân những số lớn, người ta đã tim cach biến phép nhân thành phép cộng bằng khái niệm logarit của một số Khái niệm này cho

ta một thí dụ về hai nhớm đẳng cấu với nhau

Thật vậy ta hãy xét nhớm nhân các số

thực dương T* va nhém cộng các số thực T;

? la@eT — ø(ø) = logø € 7, ø rõ rang

là một tương ứng một đối một

2) dị pad) = logia.b) =

= loga + logb = pla) + ø(b)

Th bảo song ánh ø biến phép nhân thành phép cộng Để biết kết quả của tích hai số

øœ và b, ta lấy logz cộng với logb, do đớ biết log (að) Biết log(a) ta được øb Như vậy ta chỉ phải cộng bai số logz và logb và tránh được việc nhân hai số ø và b

Qua thí dụ trên chúng ta cũng hình dung được một phần nào tẩm quan trọng của khái niệm đẳng cấu : ta cĩ hai nhớm đẳng cấu với nhau, nếu việc tính tốn trong nhĩm này phức tạp ta chuyển sang tính tốn ở nhớm đẳng cấu với nĩ mà trong đĩ tất nhiên việc tính tốn đơn giản hơn Đớ là một việc làm thường xuyên của người làm đại số hiện đại Muốn nghiên cứu một nhớm, nếu việc nghiên cứu thuận lợi người ta nghiên cứu ngay trong nhớm đĩ, nếu khơng người ta nghiên cứu trong một nhớm đẳng cấu với nhĩm đơ, với điều kiện là nhớm đẳng cấu cho ta nhiều điều kiện nghiên cứu dễ dàng hơn Nhờ khái niệm đẳng cấu, Cơlai đã đưa việc nghiên cứu nhĩm của một đa diện đều

về nhĩm của một phương trình bậc năm,

Pộngcarê đã đưa việc nghiên cứu các hàm

Phúc-sơ về việc nghiên cứu nhớm các phép đời hình trong mặt phẳng Lơbatrepski Và

ta cịn vơ vàn ví dụ tương tự như vậy vì làm Đại số hiện đại là như thế

Trong thiên nhiên khơng phải chỉ cĩ cấu trúc nhớm, cịn cĩ nhiều cấu trúc khác nữa,

nhưng cấu trúc nhớm là cấu trúc khá đơn giản cho nên ta gặp nĩ trong nhiều địa hạt của khoa học Do đĩ mà nớ chiếm một địa

vị khá quan trọng trong tốn học cũng như trong một số lớn ngành khoa học khác

TỪ BÀN TÍNH GẢY

ĐẾN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ

Ngay từ thời thượng cổ để đếm đúng số

súc vật săn bắn được hoặc đếm số người

trong bộ lạc, con người đã lấy những đốt

xương sống của súc vật lồng vào một cái que

và gày dần từng đốt lên một đầu que mỗi

khi đếm một đơn vị Công cụ đó dần dần

giúp cho các "nhà toán học" thô sơ của chúng

ta biết phép tính cộng và sau này đã phát

triển thành bàn tỉnh gây của Trung Quốc và

của Âu châu

Có tài liệu nói rằng bàn tính Trung Quốc

đã xuất hiện gần 6000 năm nay, và Ít nhất

ta cũng có thể khẳng định được rằng công

cụ này đã được sử dụng rộng rãi từ đời

Nguyên (thế kỉ 18) Bàn tính gây du nhập

vào Âu châu qua nước Nga vào thời đại phục

hưng, hình đáng hơi khác bàn tính Trung

quốc ở chỗ không có then ngang và mối cột

có đủ 10 viên bí Hiện nay ở Trung Quốc các

công xã đều dùng bàn tính Còn ở Liên Xô

mặc dù rất nhiều máy tính hiện đại, người

ta vẫn không quên bàn tính Thí dụ như ở

trường Lômônôxôp, ai cũng trông thấy các

bà bán hàng một tay gây bàn tính, một tay

bấm nút trên một máy tính điện tự động !

VÌ vậy, các bạn chớ coi thường ban tinh gay,

nhất là các bạn cấp hai, trong chương trình

có dạy bàn tính gẩy, các bạn cố học cho cẩn

thận sử dụng cho thành thạo

Noi chung ban tinh gay cd thé lam được

mọi phép cộng trừ nhân chia và khai căn,

nhưng thông dụng nhất vẫn là cộng trừ Bàn

tính gây đã phần nào đáp ứng được nhu cầu

tính toán, về nông nghiệp như tính toán

ruộng đất, chia hoa mầu, thu chỉ các khoản

don gian v.v Bàn tính và một số dụng cụ

tính toán thô sơ khác đã góp phần vào việc

xây dựng những ngôi đền bằng đá đầu tiên

ở một số thành phố Nga ngày xưa như Kiếp,

Nốpgôrớt v.v

Nhưng sang thế kỈ thứ 16 - 17 công

nghiệp và thương mại phát triển đòi hỏi

thêm công cụ tính toán Năm 1617 Nêpe

phát minh những "cây đũa" giúp cho làm

phép nhân khá tiện lợi, năm 1942, Pátcan

mới 17 tuổi, đã giúp cho ông bố làm công

VŨ SƠN

tác tài chính đỡ vất và, đã sáng chế ra một máy tính công có thể tự động chuyển được

số nhớ từ hàng dưới lên hàng trên Năm

1694, Lépnit đã xây dựng thành công chiếc máy tính cơ khí đầu tiên thực hiện được đủ

4 phép tính số học Như vậy đi đôi với cuộc cách mạng kỉ thuật cơ giới hóa, các công cụ tính toán cũng đã dần da sử dụng nguyên tấc cơ khí như bánh xe răng cưa, khấc hình bậc thang v.v chứ không phải chỉ nhờ ngón tay gẩy như ở bàn tính Cuộc cách mang ki thuật càng đẩy mạnh, thì các công cụ tính toán dé càng phát triển nhất là từ thế kỉ

thứ 19 Năm 1874 Ốtne sáng chế ra máy

tính gài số trên hình trục, sau này cải tiến thành những chiếc máy kiểu Phêlixơ của Liên Xô hoặc Phi mã của Trung Quốc, mà hiện nay ở ta vẫn thường dùng

Từ khi cao trào điện khí hóa bất đầu, những máy tính cơ khí đã dần da trở thành những máy tính bấm điện như những loại Ascota và Nisa của Tiệp rất thông dụng ở ta Đồng thời những máy tính sử dụng bìa đục lỗ cũng ra đời Ngay từ năm 1801 Lácca

đã sáng chế ra một máy dệt điều khiển bằng

những tấm bìa đục lỗ để dệt ra các loại vải khác nhau Nhưng phải đợi ngót một thế kÌ sau mới đủ điểu kiện cơ khí và điện khí hóa

để thành hình một loạt loại máy sử dụng bìa đục lố như : máy đục lỗ, máy kiểm tra, máy lập bảng v.v Cho đến nay, các máy này vẫn đang phục vụ đắc lực trong các cơ quan thống ke, tài chính, ngân hàng, thương mại Một số máy như máy đục lỗ, máy kiểm tra, máy đục kết quả được tham gia vào làm một

bộ phận của máy tính điện tử chữ số vạn năng VÌ thế đôi khi các em nghe nới về loại máy này, có thể tưởng lầm đó là máy điện

tử Sự thực loại máy này chủ yếu chỉ sử dụng điện hoặc điện từ Gần đây có một số máy cũng sử dụng bìa đục lỗ xây dựng với kỉ thuật điện tử và đóng vai trò trung gian giữa loại máy trên và máy tính điện tử chữ số

Từ khoảng cuối thế kỈ 19 đầu thế kỉ 20 trở

đi còn dần dà thành hình loại công cụ tính toán mô hình như thước tính LôgarÍt, diện

tích kế, títh phân kế và máy tính điện tử

mô hình Bước đường tiến triển của loại máy

tính này cũng đi từ thấp đến cao : diện tích

kế chỉ gồm những bộ phận cơ giới đơn giản

như bánh xe răng cưa và chỉ dùng để tính

được tích phân những hàm số mà ta vẽ được

đồ thị, trong khi đó máy tính điện tử mô

hình sử dụng kĨ thuật điện tử, giải được một

số lớp phương trình vi phân khá rộng

Nhưng, như ta đã biết, những máy này

khác xa máy tính điện tử chữ số vạn năng

về nguyên tắc cấu tạo Máy mô hình chỉ giải

được một số bài toán nhất định với một độ

chính xác chừng 3, 4 số lẻ, trong khi máy

tính điện tử chữ số vạn năng giải được bất

kì loại bài toán nào cớ thuật toán, với độ

chính xác tùy ý Máy tính điện tử chữ số vạn

năng cũng khác xa với các loại máy tính cơ

khí, hoặc điện khí nói trên, ở chỗ trong máy

tính điện tử mức độ tự động hớa không dừng

lại trong phạm vi từng phép tính, mà tự

động hóa toàn bộ quá trình tính toán, kể cả

khâu chuyển tiếp từ phép tính này sang

phép tính khác, dù việc chuyển tiếp đó phụ

thuộc vào sự suy luận lôgic lắt léo hoặc vào

điều kiện xung quanh tác động phức tạp đến

mức nào cũng được VÌ vậy, máy tính điện

tử có khả năng sử dụng không những như

một công cu tính toán, mà còn như một công

cụ điểu khiển tự động Chính vi vậy, máy

tính điện tử chỉ có thể ra đời và bắt buộc

phải ra đời trong cuộc cách mạng kĩ thuật

về tự động hớa

Tất nhiên, đã có những thiên tài thấy

trước từ lâu một số nguyên tac vi dai cia

máy tính điện tử chữ số vạn năng, Bébitgia

(Babbedge) một giáo sư người Ảnh, ngay từ

năm 1833 đã đề ra một phương án máy tính,

trong đơ trình bày đẩy đủ các nguyên tác địa

chỉ và lưu trữ chương trình, các phép tính

lôgíc, phép chia nhanh v.v Nhưng Babbedge

không thể vượt quá thời đại của mình trong

việc thực hiện, vÌ dùng cơ khí như thời đó

thì những bánh xe răng cưa cổng kềnh phức

tạp sẽ không chuyển động được với tốc độ

và mức chính xác thực tế Vì vậy chẳng bao

lâu, công trình của Babbedge đã bị lãng

quên, mặc dầu mấy chục năm sau, con cháu

ông đôi lần vẫn nhắc đến nơ

Phải đợi đến đầu thế kỉ 20, những khái

niệm cực kÌ mới mé về toán học hiện đại dẫn

đến sự hình thành lí thuyết, thuật toán

(khoảng năm 20) và lí thuyết máy tự động,

đặc biệt là máy Turinh (Turing) (năm 30)

348

khi đó lí thuyết về máy tính điện tử mới được xây dựng lại trên cơ sở mới

Nhưng lần này các tiên đề cần thiết cho

sự ra đời của máy tính điện tử chữ số vạn năng đã chín mùi :

~ Về nhu cầu kinh tế, sản xuất thì sự kiến thiết quy mô trên toàn thế giới đòi hỏi phải tính nhanh, nhiều và chính xác Nhu cầu về

tự động hóa sản xuất đòi hỏi máy tính tham gia đắc lực vào khâu tự động hớa Một như cầu trực tiếp là nhu cầu về pháo binh phòng không (xem Toán học và Tuổi trẻ số tháng

7~1967) đã tập hợp một số nhà toán học từ năm 1940 để chế ra máy tính hiện đại

— Về cơ sở kỉ thuật thì công nghiệp điện

và điện tử đã đạt mức độ cao, đáp ứng được nhu cầu chế tạo các bộ phận này

— Về cơ sở toán học, nhất là lôgie học đã

đủ tỉnh vi để phục vụ cho cấu trúc luận lí

của máy tính hoàn toàn tự động hóa

Tuy vậy, việc nghiên cứu còn nhiều khớ khăn trở ngại Từ năm 1940, trong một số phòng thí nghiêm về điện thoại và ở trường

Đại học Hacvarơ, người ta đã chế ra một số

máy tính dùng rơle điện từ, như máy Mark

- 1 và Mark ~ 2 nhưng đều thất bại Phải

đợi đến năm 1945, máy Eniac ra đời, dùng bóng đèn điện tử bấy giờ mới bắt đầu thành công trong việc xây dựng máy tính điện tử chữ số

Do như cầu thực tiễn sản sinh ra, nên máy tính điện tử cũng trở lại phục vụ thực tiến rất đắc lực như trong mấy bài báo trước

đã giới thiệu và sau này sẽ giới thiệu thêm, Chỉ xin bổ sung một điểm : Ngay sau khi mới

ra đời, máy tính điện tử đã giải một bài toán

về vật lí hạt nhân và một bài toán về quỹ đạo thiên thể là những bài toán thực tế không thể

giải được nếu thiếu máy tính điện tử Máy tính

điện tử không ngừng cài tiến và ngày càng

phát triển trên khấp thế giới Các nước xã hội

chủ nghia cũng rất chú trọng đến ngành này Ngay từ năm 19ð8, Liên Xô đã chế tạo được máy bĐCM là máy tính mạnh nhất châu Âu hồi đó và ngày nay đã sân xuất được máy tính nhanh hàng triệu phép tính một giây Trung Quốc đã phát động được nhiều trường Đại học

và cả trường Trung học chuyên nghiệp chế tạo lấy máy tính điện tử của mình Ba Lan, Cộng hòa dân chủ Đức, Bungari, v.v cũng

đã sản xuất được máy tính điện tử Và chắc hẳn, trong số các em thế nào cũng có nhiều

em trở thành các nhà khoa học về máy tính

điện tử của nước ta !

NEU TUOC MAT CHU "KHONG"

TRONG NGON NGU

Bạn thử tưởng tượng xem, nếu bây giờ

cấm bạn dùng chữ "không" trong cuộc sống

hàng ngày thì chắc sẽ xảy ra lắm điều phiền

phức Thí dụ đến bữa có người mời bạn an

cơm, vì lí do nào đó bạn không muốn ăn, tất

nhiên câu trả lời đơn giản là "tôi không ăn"

Nếu cấm bạn dùng chữ "không", thì thực

cũng khó tìm được cách trả lời Tùy từng

trường hợp, bạn cơ thé thay câu trả lời nói

trên bằng những câu đại loại như "tôi no rồi",

"tôi vừa mới ăn xong" v.v nhưng rõ ràng là

những câu đó cũng không thể diễn đạt nổi

cái nội dung đầy đủ của câu "tôi không ăn",

những câu thay thế sẽ hoặc thừa hoặc thiếu

Có thể nói, cấm dùng chữ "không " là tước

mất một nửa hả năng nhận thức và diễn

đạt Trong bài này, tôi không dám bàn đến

chữ "không" nói chung, mà sẽ chỉ nơi chút

Ít về chữ "không " trong toán học thôi,

Ta bát đầu bàng một vài thí dụ đơn giản :

khi học về số thực ta phát biểu định lí :

Phương trình x2 + ! = 0 khóng có nghiệm

thực Và chứng minh như sau : Giả thử có số

thực z sao cho z + 1 = 0 Khi dé x? = -1 Một

số không âm (x?) bằng một số âm ! Vô lí Vậy

không có số thực x nào nghiệm đúng x? + 1 = 0

Ta có thể thay cả đoạn đó bằng một đoạn với

nội dung tương đương mà hoàn toàn mất chữ

"không" : Định lí : Với mọi số thực x, z2 + 1

là một số khác 0 Chứng minh : x là số thực,

vậy +2 là số dương hoặc 0, cộng thêm 1 được

số z2 + 1, số này là đương, vậy +2 + 1 khác 0

Bạn có thể đồng ý rằng hai câu "phương

trình x2 + L = 0 không có nghiêm thực" và

"với mọi số thực z, z2 + 1 là một số khác 0"

có nội dung tương đương, nhưng chác chắn

rằng bạn có thể thắc mắc : Tránh dùng chữ

"không" thì lại phải dùng chữ "khác", nào có

hơn gì ? Một số khóc 0 chẳng phải được định

nghĩa như là một số không bằng 0 là gì ?

Muốn giải quyết được thắc mắc đó, ta phải

tìm cách định nghỉa khái niệm "khác" mà

tránh dùng chữ không, tức là "khác" được

định nghĩa độc lập với "không bằng", Có thể

PHAN ĐÌNH DIỆU

làm như sau : Chẳng hạn nếu x va y là những số nguyên, thì ta có thể định nghia

*x lớn hơn y nếu có số dương ư sao cho

z =y +u" và sau đó "x khóc y nếu hoặc x lớn hơn y, hoặc y lớn hơn x" Với trường hợp

số thực, thì có phiền phức hơn chút ít Ta

biết rằng mỗi số thực x đều có một cách biểu

diễn thành phân số thập phân vô hạn :

Nếu ta không kể những phân số thập

phân mà từ một lúc nào đó trở đi mọi chữ

số đều là 9 thi mọi số thực có một cách biểu diễn duy nhất thành phân số thập phân vô hạn (thí dụ ta không viết ; = 0,4000 ma

1 chi viét 27 0,5000 ) Giả thử số thực y cơ cách biểu diễn :

y =, b, by by Ta dinh nghia "x khée y nếu

có một chỉ số z nào đó sao cho ø, khác ö " (vì ø„ và b„ là số nguyên, nên khái niệm "d„ khác b,„" coi như đã biết)

Lấy thêm vài thí du : những định lÍ sau đây : 1) Số 2 không có căn bậc hai là số hữu ti; 2) Không có hình chữ nhật nào là hình

tròn cả ;

Bạn có thể thay

3) Trong những hình có chu vi p cho trước thì hình vuông khóng phải là hình có diện tích lớn nhất v.v

Chẳng hạn bằng những định lí có nội

dung tương tự như sau : 1) Với mọi số hữu tÌ ø, luôn luôn a? khác 2 ;

2) Với mọi hình chữ nhật P và mọi điểm .A luôn luôn có thể tim trên chu vi của P hai điểm 8 và C sao cho ÁB có độ dài khác AC 3) Với mọi hình vuông có chu vi p, luôn luôn có một hình với chư vi p và có diện tích lớn hơn diện tích của hình vuông đó

(*) Trong cách biểu didn dd, a, là số nguyên : ai a; là những số nguyên ldy nhitng gid wi từ 0 đến 9

Nói vài điểu như vậy để nếu bạn đồng ý

thì để nghị bạn thử làm một việc như sau :

Khi đọc một khái niệm, một định lí hay một

chứng minh nào, nếu trong đó có chữ

"không" thì bạn thử tập tìm một cách diễn

đạt khác cho khái niệm, định H hay chứng

minh đó mà đừng dùng chữ "không" Làm

như thế cũng là một cách tập dượt tư duy

lôgic của bạn, và chắc hẳn cũng không phải

là một việc vô Ích, viển vông Từ nông đến

sâu, bạn có thể làm việc đó trong phạm vi

một định lÍ, một chứng mỉnh, rồi đi ngược

lên, làm việc dé cho những định lí đã có

trước Và cao hơn hết là bạn sẽ đi đến ý nghĩ

làm việc đó cho toàn bộ toán học ! Di nhiên

việc vứt chữ "không" không phải bao giờ

cũng làm được dễ dàng đâu

Nhân đây xin nói thêm một tí Cái ý định

xây dựng một thứ toán học hoàn toàn không

có chữ "không" cũng đã được một số nhà

toán học chú ý Người đề xướng và tích cực

làm việc này là Griss Ông ta cho rằng mọi

khái niệm, chứng minh cớ dinh đáng đến chữ

"không" đều là mơ hồ Ví dụ cái câu "không

eó hình chữ nhật nào tròn" là rất mơ hồ Nào

có ai biết "hÌnh chữ nhật tròn" là cái gì Nếu

khẳng định "không có hình chữ nhật nào tròn" thế thì anh phải biết "hình chữ nhật tròn" là cái gì nếu như nó cớ chứ ? Đối với chứng mỉnh cũng vậy Thí dụ khi chứng

minh rằng "phương trình z?+ 1 = 0 không có nghiệm thực", ta giả thử rằng có số thực x

sao cho z2 +1 = 0 rồi đi đến vô Ii, tu do ta

quả quyết phương trình x2 + 1 = 0 không có nghiệm thực Đã không có x sao cho x2 + 1 = 0 thì sao lại cớ quyền giả thử rằng nó có ! Thế

là vớ vẩn Từ một điều vớ vẩn suy ra một điều vớ vẩn rồi tung ra một định lí Như vậy không được ! Nhưng thôi xin dừng ở đây vì người viết cũng không có ý định tuyên truyền cho tư tưởng của Giss Ban than người viết không phải là môn đồ của thuyết toán Griss và cũng mong các bạn sẽ không

là môn đồ của thuyết toán đơ Vì nói cho cùng, chữ "không" đối với chúng ta vẫn đáng quý lắm Viết bài này chỉ có mỗi một Tục đích là giới thiệu với các bạn một cách để tập dượt tư duy lôgie khi học toán mà thôi, chứ tuyệt đối không muốn các bạn vì mot vài lập luận cớ tính chất bài bác trên kia của Griss mà coi thường những phương pháp logic chúng ta vẫn ding trong toán học

PHƯƠNG PHÁP XẤP Xi LIEN TIEP

Như các bạn đều thấy, việc giải một

phương trình đại số bậc nhất một ẩn

là một việc hết sức đơn giản

Lại nữa, đối với phương trình bậc hai

0x2 + bz +c= 0 (2)

ta có những công thức rất đẹp để tìm nghiệm

#t; = (b + VE? ~ 4ac)/2a

Đến như phương trình bậc ba

a3 + bz2 + cx + đ = 0 (8)

thì việc tỉm nghiệm đã phức tạp hơn nhiều

Bằng phép thế ta đưa được (3) về dạng

350

HỒ THUẦN (Ha Noi)

Đối với (4) ta có công thức giải có đạng y= 3 ~g/2 + Vara +p27 +

+ 4 4/2 + vai + phai

Ở đây ta hiểu đối với một phương trình nào đó có công thức giải nếu như có thể biểu thị các nghiệm của phương trình đó theo các đại lượng có mặt trong phương trình nhờ

vào các phép tính số học (cộng, trừ, nhân,

chia), phép khai căn, các hàm lũy thừa, hàm lôga và các hàm số vòng thuận và ngược Với phương trình bậc bốn ta vẫn còn có công thức để giải nhưng hết sức phức tạp

Một câu hỏi hết sức tự nhiên là : thế còn đối với phương trình bậc năm và phương

trình bậc cao han thi sao ? Nam 1826 nha

toán hoc Na uy Nin Henric Abel (va sau đó

là nhà toán học Pháp Galoa) đã chứng minh

rằng với n > ð thì nói chung không có công

thức biểu diễn nghiệm của phương trình

đại số

ax tax”) + +a,=0

nhờ vào các phép tÍnh số học và phép khai

căn Đối với hầu hết các phương trình siêu

việt, chẳng hạn

e + e* = Yeosx (e = 2,71828 )

thì tình hình cũng như vậy

Tuy nhiên điều đó hoàn toàn không có

nghĩa là chúng ta chịu bó tay trước những

phương trình loại đó Trong quá trình nghiên

cứu cách giải các phương trình, các nhà toán

học đã xây dựng được một phương pháp tổng

quát để giải các phương trình được gọi là

phương pháp xấp xỈ liên tiếp (hay phương

pháp lặp) mà ý cơ bản là như sau :

Giả sử phải giải phương trình

Th viết lại phương trình (5) dưới dạng

Nói chung có nhiều cách viết (5) dudi

dạng (6) Sau đó ta chọn một giá trị gần

đúng ban đầu *s (việc chọn này nói chung

là tùy ý) và thế vào vế phải của phương trình

(6), để tính giá trị gần đúng thứ nhất

*zị =Œ,)

Một cách tổng quát, một khi có giá trị

gần đúng thứ ø là x„, thì giá trị gần đúng

tiếp theo nè được xác định theo công thức

Như vậy ta xây dựng được dãy số

Xe ty X;, 4 X,y - VA trong trudng hợp dãy số

đó hội tụ

limx, = § n> © thì £ chính là nghiệm của phương trình

x = p(x) (© dy ta gid thiét p(x) là hàm liên

tục, có nghĩa lim p(x) = p(a))

xa

Thực vậy, xét đẳng thức (7?) ta thấy khi

»ø tiến tới vô cùng vế trái tiến tới ÿ còn vế

phai do g(x) là hàm liên tục nên tiến tới

ø() Từ đó £ = ø(£) Điều đó có nghĩa £ là nghiệm của phương trình + = g(x)

Trong thực tế ta tiến hành như sau Gia

sử sau một số bước ta có #„=„+¡ với độ chính xác cho trước Khi dé vì

#,+¡= #(x„) nên ta cũng có x„=(x„) với

độ chính xác cho trước Do đó cơ thể lấy #n

là giá trị gần đúng của nghiệm của phương trình z = ø()

Ta lấy một ví dụ : Giải phương trinh

10% ~ 1 - cosx = 0

với độ chỉnh xác tới 0,001

Ta viết lại (8) dưới dạng sau

x = (1 + cosx)/10 (9) Chon x, = 0 và thay vào vẽ phải của (9),

ta có

(8)

x, = (1 + cos0/10) = 0,2 Lại thay x = 0,2 vào vế phải của (9), ta có

#¿ = (1 + cos0,2)/10 = (1 + 0,98/10 = 0,198 Tiếp tục ta có

X3 = (1 + cos0,198/10 = 0,198

Ta thấy đẳng thức #„ =x; được thỏa mãn

với độ chính xác tới 0,001 Điều đó có nghĩa

là số x; = 0,198 là nghiệm với độ chính xác tới 0,001 của phương trình

x = (1 + cosx)/10

Trên đây đã trình bày bản chất của phương trình xấp xỈ liên tiếp để giải phương

trinh f(x) = 0 Van dé con tổn tại là hàm

ø() trong (6) phải như thế nào để quá trình lặp hội tụ (tức day {x,} hoi tu) va khi dé cần đánh giá tốc độ hội tụ của quá trình lặp (tức đãy các giá trị gần đúng Xe», 2o tiến tới nghiệm của phương trình z = ø(z) nhanh chậm ra sao) Để giải quyết các vấn để đó

ta cẩn đưa vào khái niệm ánh xạ co (Vì chỉ

xét trên trục số thực nên ở đây ta có thể

hiểu ánh xạ là hàm số thông thường)

Cho ham (x) xác định trên đoạn [ø, b]

Đó là một quy tắc làm ứng với mỗi x € [ø, J()

một giá trị hoàn toàn xác định và duy nhất

v(x) Quy tắc đó dược gọi là ánh xạ Nếu (x) & [a, 6] véi moi x € [a, 5] thi ta noi øŒ@) là ánh xạ từ [a, b] vào chính nớ

(1)xz€ [a, 6] doe 1 “x thuộc |a, b], có nghĩa x là một

điểm của [a, b}

351