Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part4-5)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part4-5)

những nước có nền khoa học kí thuật tiên

tiến Nó được ứng dụng rất có hiệu quả

trong kinh tế (để tổ chức quá trình sân xuất,

kiểm tra sản phẩm điều tra thiên nhiền và

dân cư, dự báo thời tiết, v.v ), trong quân

sự (lí thuyết bán, lÍ thuyết thông tin v.v )

Kinh tế ngày càng phát triển, sự sản xuất

hàng loạt và ki thuật tự động ngày càng phổ

biến thì vai trò của lÍ thuyết xác suất ngày

càng quan trọng LÍ thuyết xác suất đã là

công cụ rất mạnh mẽ và không thể thiếu

được của vật H học, hóa học khi các khoa

học đó đi sâu vào thế giới đẩy sự ngẫu nhiên

của phân tử, nguyên tử v.v LÍ thuyết xác

suất cũng đã giúp cho y học, sinh vật học

hiện đại cùng nhiều ngành khoa học khác

đạt được những thành tựu xuất sắc

Trong phạm vi bài báo này chỉ có thể sơ

bộ giới thiệu với các bạn về khái niệm xác

suất chứ không thể nào nơi lên được nội

dung phương hướng (dò chỉ là những điểm

chủ yếu) và những ứng dụng to lớn của môn

toán học phong phú như lí thuyết xác suất

Bài toán săn thú

a) Hai người đi săn độc lập với nhau đồng

thời bắn vào một con thú Giả thiết rằng :

với khoảng cách như vậy, thông thường mỗi

một trong hai người bắn trúng thú một

trong ba trường hợp Tính xác suất để con

thú bị bắn trúng trong trường hợp này

b) Giải bài toán với trường hợp ba người

đi săn

e) Giải bài toán với trường hợp mœ người

đi săn

(Nếu ở đây thay người đi săn bàng chiến

sĩ phòng không và con thú bằng chiếc máy

bay địch thì ta có bài toán săn máy bay)

Lời giải :

a) Dé tinh xác suất ta có thể thay hai

người đi sản bằng hai người rút vé Cơ hai

chiếc hộp, mỗi hộp đựng 2 vé có ghi chữ S

(S là viết tắt chữ sai) và 1 vé ghi chữ 7'

(trúng) Hai người rút hú họa một cách độc

lập với nhau từ trong hai hộp ra một chiếc

vé Chữ 7' tương ứng với trường hợp con thú

bị bấn trúng, còn chữ ŠS tương ứng với

trường hợp ngược lại Ta kết hợp 3 "kết cục

có thể" *) (hai kết cục cho chữ § và một kết

cục cho chữ 7) của người thứ nhất với 3 "kết

cục cổ thể" của người thứ hai, ta sẽ có tất

cả 9 kết cục sau") ;

Rõ ràng là 9 kết cục này có khả năng xẩy

ra đồng đều như nhau (không thiên vị một kết cục nào) Mà trong 9 "kết cục có thể" đó chi 5 kết cục có chứa chữ 7T (tức B kết cục ứng với trường hợp con thú bị bấn trúng)

5 như vậy xác suất phải tìm là 8 b) Xét trường hợp ba người đi săn - ta cũng thay ba người đi săn bằng ba người rút

vé, trường hợp này có tất cả 27 kết cục có thể và đồng khả năng (kết hợp 9 kết cục trên với 8 "kết cục có thể" của người thứ ba)

T tính số kết cục có chứa chữ 7 Số kết cục

có chứa chữ 7' trong hai chữ đầu là 5 x 3

= 15 (két hợp 5 kết cục chứa chữ 7 trong phần a) với 3 kết cục có thể của người thứ ba) còn số kết cục mà chữ 7' chỉ đứng sau cùng là 4 (kết hợp 4 kết cục không chứa chữ

T trong phần a) với kết cục 7 của người thứ ba) Vậy trong 27 "kết cục có thể” và đồng khả năng ở trên có 15 + 4 kết cục ứng với trường hợp con thú bị bắn trúng Xác suất phải tìm là +

c) Trong trường hợp có người đi săn cùng bắn một lúc vào con thú, cũng tương

tự như các trường hợp ø, Ò ta đễ dàng thấy

là có 8? "kết cục cớ thể" và đồng khả năng Tuy nhiên việc tính số các kết cục có chứa chữ 7 sẽ phức tạp hơn nhiều Ta cd thé làm một cách đơn giản hơn là tính số các kết cục

(1) Giả sử ta thực hiện ø tần nhóm các điều kiện nói trên Ta kí hiệu số lần xuất hiện biển cố ngẫu nhiên 4 —

"

biến cố mà ta theo dõi — là na, khi đó = được gọi là tắn

số xuất hiện biến cố 4 Thí du nếu ta tung một đồng xu (không méo) 100 lần mà mặt ngửa xuất hiện 54 lần thì ta nói tắn số xuất hiện mặt ngửa là 54/100

*} Ở đây trong mỗi hộp có 3 chiếc vé, mỗi chiếc vé đều

có thể được rút ra, vì vậy kết quả rút vé của mỗi người có thể rơi vào một trong ba trường hợp : hai trường hợp cho chữ § và một trường hợp cho chữ 7 Ta gọi ba trường hợp

đó là 3 "kết cục có thể" trong việc rút vé của mỗi người riêng biết

” Ö đây ta xét việc rút vé của cả hai người, chữ 57

chẳng hạn là ứng với kết cục trong đó người thứ nhất rút

trúng chữ $, người thú hai rút trúng chữ T

325

ứng với việc cả ba người đều bắn sai Trong

8 "kết cục có thể", rõ ràng số kết cục ứng

với người thứ nhất bấn sai bằng

2

gH 2.971 Trong 2.3°~ Í trường hợp

mà người thứ nhất bán sai ấy thì có 5 28 —!

trường hợp người thứ hai cũng bắn sai

Trong 22 8!” ? trường hợp cả hai người đầu

bán sai này thì có 2a gr? trường hợp

người thứ ba cũng bắn sai nốt Tiếp tục lÍ

luận đó ta sẽ có 2? kết cục trong 3" "kết cục

có thể" ứng với việc cả œ người đều bắn sai,

Vậy số kết cục ứng với việc con thú bị bấn

trúng (tức là ít nhất có một người bấn trúng)

bang 3” — 2", Xác suất phải tìm bằng

3 71- (3)

Bằng cách dùng chiếc que mà xác

định được gần đúng số + !

Ta biết rằng số x (bằng tỈ số giữa chu vi

vòng tròn và đường kính của nở) là một số

vô tỉ, hơn nữa nó không thể được biểu diễn

dưới dạng một biểu thức đại số hữu hạn Tuy

nhiên, có nhiều cách biểu diễn nớ được dưới

đạng một biểu thức đại số vô hạn, nhờ đó

có thể tính gần đúng số z với độ chính xác

tùy ý Thí dụ sau đây là một vài công thức

cổ điển đối với số x

Công thức Viết (1540 - 1608) :

x

2° ft ft, 2f2

3V2*2\2*

{1 atg A fy 3° 37 1

Công thttc Ole :

“ =.l+—+

„ha

Công thức Laynit (1646 — 1716)

4t-g?g 7+

Công thức Valit (1616 - 1708)

2224486

ˆ“1'5'5'515 17“

NV

326

Sau đây sẽ đưa ra một cách xác định gần đúng số x bằng phương pháp xác suất Phương pháp đó sẽ rút ra ngay được từ lời giải của một bài toán xác suất được gọi là bài toán Bupphông (1707 - 1788)

Trên mặt phẳng kẻ hai đường thẳng song song cách nhau một khoảng 2ø Tung hú họa xuống mặt phẳng một chiếc que nhỏ có độ dai 2a Chứng minh rằng xác suất để que cắt một trong hai đường thẳng song song bằng 2 = 0,637

Chú ý : Chữ tung hú họa ở đây phải hiểu

theo nghĩa : 1) Tâm của que rơi hú họa trên đoạn thẳng 2a vuông góc với hai đường thẳng song song

đã cho và kèm giữa chúng

3) Góc x là góc lập bởi que lí, với phương các đường thẳng song song lấy hú họa giá trị trong đoạn [0, z] (một cách độc lập với vị trí tâm của que)

Lời giải : ta kí hiệu khoảng cách từ tâm của que đến đường thẳng gần nhất trong hai đường thẳng song song 14 y (hinh 1)

Theo hai diéu kiện L), 2) ta thấy 0 « x

<~,Ũ<y <a, tất cà các kết cục có thể xảy ra được biểu thị bởi cặp số (x, y} trong

đó x lấy hú họa giá trị trong đoạn (0, z], còn + độc lập với x lấy hú họa giá trị trong đoạn ï0, ø] Tập hợp tất cả các "kết cục có thể"

đó có thể minh họa bằng tập hợp tất cả các điểm lấp đầy hình chữ nhật OMNP có các canh OM = a OP = x (hinh 2) va diém (z, y)

sẽ rơi hú hoa (không thiên về vị trí nào) trên hình

chữ nhật đó Theo

"đồng khẢ năng"

này ta cổ xác suất

để điểm (x, y) rơi vào một phần nào đó của hình chữ nhật sẽ bằng tỈ số diện tÍch của phẩn ấy trên diện tích hình chữ nhật OMNP Điều kiện cần và đủ để cho que cắt một trong các đường thẳng song song là y « asinr VÌ vậy xác suất p phải tìm chính là xác suất để

Hình 1

Hình 2

điểm (, y) rơi vào phía dưới đường cong

y=œsin Diện tích hình chữ nhật OMNP

bằng az còn diện tích phần nằm phía dưới

đường cong y = asin bằng 2ø Vậy :

34 _ 2

Ti sự trỉnh bày khái niệm xác suất ở phần

đầu ta biết rằng có thể xác định gần đúng xác

suất p (tức cũng là xác định gần đúng số z)

nhờ tẩn số, vi vậy ta suy ra ngay tức khác

cách làm thế nào để tưng chiếc que nhiều lần mà xác định được gần đúng số œ Nhớ rang trong việc làm đó phải cố gắng chú ý dam bào hai điều kiện L), 2) Cũng cẩn nói

rõ với các bạn ; ban nào muốn chơi trò chơi nay thi hãy xem lại lòng kiên tâm của mình đấy, vì để xác định số z với độ chính xác lớn thì nói chung cần phải tung rất nhiều lần Thí dụ người ta đã tung 5000 lần và xác

định được giá trị gần đúng z ~ 3,159

KHÁI NIỆM VỀ

LÍ THUYẾT NHẬN DẠNG

Ta hãy vào thăm một lớp vỡ lòng Cô giáo

viết lên bảng chữ ø, chit e, chit i doc to cho

các em nghe Mỗi chữ cô giáo đều viết nhiều

lần Chữ cô thật là nắn nót, tuy vậy các chữ

œ cô viết cũng không thể hoàn toàn giống

nhau (xem hình 1) các chữ e cũng vay Mac di

như thế các em vẫn đần dần phân biệt được

cdc mau chit a với các mẫu chữ e, chit i, v.v

Giai đoạn học đã xong, bây giờ các em

thi Cô giáo (hoặc một thày giáo khác) viết

lên bảng một chữ ø chữ này không hoàn toàn

giống các mẫu chữ œ mà cô giáo đã viết,

nhưng còn giống chúng hơn các chữ khác

Do đó các em dễ đàng đọc được a

Lớn lên, các em làm quen dần với các

mẫu chữ ø do nhiều người viết, có khi viết

rất ngoáy Tuy không giống với những mẫu

chữ ø do cô giáo đã dạy, nhưng chúng vẫn

được các em phân biệt với các chữ khác

Rõ ràng khi trông thấy một mẫu chữ ø mới,

các em tuy có so sánh nơ với những mẫu chữa

đã học, nhưng không cẩn trông thấy hai hình

trùng khít với nhau mới kết luận rằng đơ là

chữ ø, Thực ra các em chỉ làm một phép phân

loại các mẫu chữ đã học ra thành các lớp

chit a, chữ e, chữ ¿ v.v Sau đó các em không

cần nhớ từng mẫu chữ a đã học, mà đường

như chỉ cần nhớ một khái niệm chung, một

"mẫu đại điện" đối với mỗi lớp Gặp một mẫu

ANH DƯƠNG

chữ mới, đường như các em chỉ làm một phép so sánh với những "mẫu đại điện" đớ, rồi trên cơ sở sự gần giống (chứ không phải

là giống hẳn) mà xếp mẫu mới vào một lớp

nào đó

Bộ ốc con người

loại các mẫu chữ đã học và nhận biết một,

mẫu mới nên xếp vào Hink I

lớp chữ nào cho đúng Đó là khả năng nhận dạng Khả năng này thể hiện rất rộng rãi Con người không phải chỉ nhận đạng chữ viết, mà có thể nới : sở di nhận thức được muôn vàn sự vật quanh mình, chính là nhờ khả năng nhận dạng

Thí dụ như việc phân biệt chớ với mèo, lợn, gà, Khi em bé được bố mẹ trỏ cho trông thấy mấy con chớ vàng, vện đầu tiên đang rén chơi với mấy chú mèo đen, mèo tam thể thì trong óc em đã hình thành sự phân loại khái niệm về chớ và mèo Sau này em trông thấy mèo mướp và chớ mực, tuy chẳng giống hoàn toàn những con chớ, con mèo đã gặp, nhưng em vẫn nhận đạng được chúng

Từ ngữ "nhận dạng" không chỉ bó hẹp trong phạm vi những hỉnh dạng có thể nhìn thấy Người ta có thể "nhận dang" cA âm

337

thanh chẳng hạn, như dễ dàng phân biệt

tiếng đàn và tiếng sáo, tiếng bom và tiếng

súng, v.v

Lồi người đã từng băn khoăn tự phân

tích khả năng "nhận dạng" của bộ ĩc mình

Người ta nhận đạng bằng cách nào ? Đớ là

câu hỏi thật khớ giải đáp

Như trên đã nơi, để nhận dạng, bộ ĩc

khơng bao giờ yêu cầu mang mẫu mới ra so

sánh với từng mẫu ci đã học chơ tới khi

trùng khít nhau giữa mẫu mới với mẫu cũ

nào đø Bộ ĩc chỉ làm cơng việc so sánh để

phân loại mà thơi Trong quá trình học, bộ

ĩc phân loại các mẫu do người dạy đưa cho

xem (hoặc nghe, ngửi, sờ v.v ) Trong giai

đoạn thi, bộ ĩc xếp mẫu mới vào một trong

những loại đã được phân trước đây

Phải chăng việc phân loại đĩ thực hiện

được là nhờ người dạy đã miêu tâ các mẫu

cho bộ ĩc nắm được tiêu chuẩn của từng loại

mẫu ? Chẳng hạn cơ giáo đã dạy các em

phân tích các nét chữ :

"4 tờ giống mĩc cả hai

‡ ngắn cĩ chấm, tờ đài cĩ ngang"

Bố mẹ muốn dạy các em phân biệt con

chớ với con mèo cĩ thể nơi đến cái mõm dài,

cái thân hình to lớn hơn và đơi mắt khơng

trịn to xanh biếc, tiếng sửa khơng êm ái như

tiếng kêu meo meo

Đúng là việc phân tích tiêu chuẩn của hai

mẫu cĩ nhiều khi giúp cho việc phân loại và

nhận đạng dễ đàng hơn Nhưng sự vật nhiều

khi phức tạp lắm, phân tích tiêu chuẩn

khơng đủ đi sâu vào các khía cạnh phân biệt

các loại mẫu Biết bao nhiêu chữ cái khơng

thể miêu tả tỈ mỉ được và chác khơng phải

là cơ giáo hễ viết một chữ cái như h, g, r, s,

v.v lại phải nêu hình ảnh mĩc câu, cái mũ,

cái cột, cái gáo, v.v để miêu tả từng chữ

Dường như bộ ớc cĩ khả năng phân biệt được

những hÌnh ảnh đĩ mà khơng cần đến những

tiêu chuẩn chặt chẽ và tỉ mỉ để phân loại

cho chính xác Chẳng thế mà khơng những

ĩc phân biệt được những chữ cái với nhau,

ma cịn phân biệt được nét chữ do người này

hoặc do người khác viết Khi bố mẹ đến cổng

trường đĩn các em thì trong hàng trăm

giong ndi của học sinh, bố mẹ vẫn nhận ngay

được tiếng con mình mà chẳng cần phân biệt

âm sắc, âm giai gì chặt chế cả

328

Do đĩ, các nhà triết học đuy tâm cho rằng

bộ ĩc nhận dạng được là do trực giác, nĩi xa hơn nữa, là do thượng đế phú cho con người khả nâng bẩm sinh đĩ, cảm thơng trực tiếp với sự vật mà nhận thức ngay được bản chất Nhưng cái thử lập luận duy tâm ấy đã phá sân hồn tồn trước những thành tựu của khoa học, dùng máy tính điện tử để nhận dạng Quá trình nhận dạng của bộ đc đã được phân tích và mơ hình hớa tới một chừng mực nào đĩ trên máy tính điện tử, nhờ đĩ người ta dần đà đi sâu khám phá thêm cơ chế làm việc khá tỉnh vi của bộ dc

Người ta đã áp dụng trên máy tính điện

tử nhiều thuật tốn nhận dạng Sau đây, ta hãy xét một thuận tốn đơn giản nhất

Hình 2a

Giả sử máy đã học 3 loại chi H, E, I trên những mẫu trong hình 2a Những mẫu này cùng kích cỡ do đĩ ta cĩ thể đặt chúng lên những hình chữ nhật bằng nhau, giả sử mỗi chữ nhật chia làm 6 x 8

= 48 ơ vuơng Th cho mỗi chữ nhật mang hình chữ cái tương ứng với một

mã 48 chữ số 0 hoặc 1 theo quy ước sau đây : -Ơ vuơng nào cĩ nét chữ đi qua tương ứng với chữ số l, ơ vuơng nào để trắng tương ứng với chữ số 0

— Các chữ số 0 và 1 được viết liền nhau

từ trái sang phải, tương ứng với các ơ vuơng

từ hàng trên xuống hàng dưới và từ trái sang phải

Như vậy chữ Ưï đầu tiên sẽ tương ứng với

ma 100001.100001.100001.111111.100001.100001

-100001.100001 Chi H thi 3 tuong ứng với mã 110011.100001,100001.101101.111111

100001.100001.100001

Hình 2b

Chữ E thứ nhất tương ứng với mã

111111.100000 100000.111100.100000 100000

100000.111111

Ta dễ đàng viết được mã tương ứng với

những chữ khác (việc mã hóa ở đây tương

tự như việc mã hóa đã nói trong bài "Máy

tắnh điện tử với các bài toán phi sốỢ đăng

báo Toán học và tuổi trẻ số 7Ở8~1972),

Bây giờ giả sử cho một mẫu mới, như

hình 2b Cần đoán nhận xem đó là mẫu

chữ gì

Trước hết, ta viết mã tương ứng với mẫu

mới :

111111.100000.100000.100100.111100

.100100.100000.111111

Bây giờ ta đếm chữ số không giống nhau ở

những vị trắ tương ứng trong mã mẫu mới và

mã các mẫu chữ đã học Th kắ hiệu những số đếm

duige IB dy ody ody ode vd, ide ody od dy sấy

và gọi là khoảng cách giữa _ mẫu mới với các

mẫu chữ thứ 1, thứ 2, thứ 3, chữ e thứ 1,

thứ 2, thứ 3 v.v

Te có: d, =21, d, = 15, d= 6

Tuong ty nhu vay, ta có thể đếm duge d, = 19,

2

d, = 4,4, = 8,d; = 20, d, = 19, d, = 21

Ta tắnh khoảng cách trung bình đ, giữa

mẫu mới với các mẫu chữ & :

d, = (dụ + dụ, + d, J8 = 55/8 = 188

Tương tự như vậy, ta tắnh khoảng cách

trung bình ở, giữa mẫu mới với các mẫu

chữ e

đ,=(d, + d, +d, J8 = 18/8 = 6

Ta cũng tắnh được đ, = 60/3 = 20

5o sánh 3 khoảng cách ta thấy đ_ nhỏ

nhất, chứng tỏ mẫu mới gần chữ e nhất Do

đó máy sẽ đoán nhận mẫu mới là chữ e

Thuật toán trên đơn giản, nên kết quả

nhận dạng chỉ đúng chừng 70% Cải tiến

thêm, có thể thu kết quả đúng tới 90 - 95%

Nhưng thuật toán của máy nhận hÌnh (còn gọi

là pec-xep-td-rôn) còn có hiệu quả cao hơn

Hãy xét một máy nhận hình đơn giản hóa

(xem hình 3) gồm một tấm màn in hỉnh ậ,

một bộ phần tử gọi là phần tử kết hợp A và

một phần tử phản ứng # Máy này phân biệt

được 2 loại hình đạng khác nhau, chẳng hạn chữ B và chữ E

Hình 3

Màn S chia ra n ô vuông, mỗi đô đều có

tế bào quang điện và được nối một cách ngẫu nhiên tới một trong các phần tử kết hợp Số phần tử kết hợp bằng m % n, do đó mỗi phan tử kết hợp đều được nối với Ít nhất một ô vuông nào đơ Mỗi phần tử kết hợp

A, tương ứng với một hệ số Ư, cho trước, J;

có thể dương hoặc âm, Khi ta in một hình nào đó, chẳng hạn hình chữ E lên màn S, thì những đ vuông có nét chữ đi qua bị kắch thắch (đo tế bào quang điện đã chuyển ánh sáng thành dòng diện và truyền tắn hiệu tới phần tử kết hợp tương ứng Phần tử A, nào nhận được ft nhất & tắn hiệu ( là một BỐ CỔ định cho trước) thì sẽ bị kắch thắch và truyền sang phần tử R số Ư, ni trên Như vậy với một hình ảnh nhất định (chẳng hạn chữ E) thì R nhận được một tổng số r = Ặ, +h + tị, trong dé i,, i cối là số hiệu các ` Nên tử A,

bị kắch thich lếu r > 0 thỉ quy ước máy trả lời là chữ B, ngược lại r < 0 thì máy trả lời

là chữ E

Trong quá trình đạy cho máy học, người

ta làm thay đổi các hệ số ¡, dựa trên kết quả phản ứng của # Nếu chiếu lên man S chữ B mà # phản ứng là r < 0 (tức là máy nhận đạng nhầm chữ B ra chữ E Khi do, phải tăng các Ư, ứng với các A, bi kắch thắch,

để lần sau nếu chiếu chữ B cũ đó lên man

S, thi may thu được r > 0 Ngược lại, nếu chiếu lên màn S chữ mà thu được r > Ô thì ta phải giảm các !¡ tương ứng với các A,

bị kắch thắch Cứ như vậy, dần dà ta sẽ có Í

hệ thống ắ, sao cho r z 0 đối với hình các chữ B và r < 0 đối với E

Thuật toán này cải tiến thêm sẽ cho phép

ta phân biệt không phải chỉ 2 chữ, mà một

số chữ tùy ý Mức độ chắnh xác đạt từ 95% đến 99%, Tốc độ làm việc cực kì nhanh

329

chóng, chẳng hạn muốn dạy cho máy học 26

chữ cái, chỉ cần phóng lên màn S trung bình

một vài chục mẫu chữ cho mỗi chữ cái Máy

sẽ tính toán để điều chỉnh các hệ số 1, với

tốc độ điện tử (hàng vạn phép tính một

giây) Như vậy, máy có thể thuộc mặt chữ

cả bộ chữ cái trong vòng mấy phút, thậm chí

mấy giây Không những thế, máy còn co kha

năng "rút kinh nghiệm" ngay trong giai đoạn

thi Thật thế, khi thi nếu máy đoán nhầm,

thì sau khi "người coi thí" báo cho máy biết

GIẢI PHƯƠNG

Khi giải các bài "phân phối vé bóng đá"

và "ghép tên họ" trong báo "Tbán học và tuổi

trẻ” số 2 (mục "Giải trí toán học"), chắc

không mấy ai trong các bạn nghỉ rằng đó là

một bờ¿ (oán, có thể giải được bằng cách đặt

phương trình, vÌ nói đến toán, thường các

bạn chỉ nghỉ đến cái gÌ có bình hoặc có số

rõ ràng

Sau đây, xin giới thiệu với các bạn một đại

số mới, có nhiều điểu giống mà cũng có

nhiều điều khác với đại số mà các bạn đang

học ở trường, giúp các bạn giải được những

"bài toán" như các bài nói trên

1 Mệnh đề : Mệnh để là một câu nói cớ

tính chất hoặc đúng hoặc sơi Thí dụ : các

câu sau đây là mệnh đề :

1) 86 z lớn hơn 2 (đúng)

2) Quá đất vuông (sai),

3) Hình chữ nhật có một góc vuông

(đúng)

Nhưng các câu như : "§ố z lớn hơn 2",

"Hôm nay là thứ mấy ?" không phải là mệnh

đề, vì không thể nới các câu đó đúng hay sai

được

Trong số học, ta dùng chữ thay số 6 day,

ta ding chit thay cho ménh dé Chang han

ta goi ménh dé 1) trén day 14 @, ménh dé 2)

la 6, mệnh để 8) là c Nếu một mệnh đề p

là đúng thì ta viết p = 1 (p có giá trị chan

330

là nhầm máy sẽ tự động sửa các hệ số ¿;¡ như trong giai đoạn "học"

Máy nhận hình, cũng như mọi máy nhận dạng khác, đều có thể thay thế bởi một máy tính điện tử thông thường, có gần thêm một

số thiết bị phụ, chẳng hạn như một bộ phận thu nhận hình ảnh tương tự như man S V1 vậy, máy tính điện tử có thể dùng để nhận dạng Trong lĩnh vực ứng dụng quan trọng này, con người đã đạt được những thành tựu

kì diệu mà ta sẽ nói đến trong dịp khác

TRÌNH LÔGIC

HOÀNG CHÚNG

1 là 1), nếu p sai thì viết p = 0 @ có giá trị chân lí là 0) Trong ba mệnh để trên thì

2 Ta có thể nối các mệnh đề đơn giản lại

để được các mệnh đề phức tạp Chẳng hạn

từ hai mệnh đề "Hôm nay là ngày chủ nhật" (a),

"Hôm nay là ngày lễ" 6), ta có thể lập mệnh

đề : "Hôm nay là ngày chủ nhật øà (hôm nay) là ngày lễ, và kí hiệu mệnh để này bằng ø & b (đọc : a và b) ; là một hội của

œ và b,

Rõ ràng là hội ø & ð trên đây chỉ đúng (= 1) khi cả ø lẫn ö cùng đúng (ø = b = l), tức là nếu hôm nay đúng là ngày chủ nhật (ø = 1), mà cũng đúng là ngày lễ ( = 1), a

& b sai ( = 0) trong mọi trường hợp khác :

œ & b sai nếu hôm nay là ngày chủ nhật (œ

= 1), nhưng không phải là ngày lễ ( = 0} hoặc hôm nay là ngày lễ (® = 1) nhưng không phải là ngày chủ nhật (z = 0), hoặc hôm nay không phải là chủ nhật (ø = 0), hoặc hôm nay không phải là chủ nhật (œ = 0) mà cũng không phải là ngày lễ (b = 0)

Sự phụ thuộc của giá trị chân lÍ của ø & b vào giá trị chân lí của ø và của ö được ghỉ trong bảng 1, gọi là bảng chân lí của phép hội

Từ hai mệnh đề a và ö ở trên, ta cũng có thể lập mệnh đề : "Hôm nay là ngày chủ nhật hzy iè hôm nay là ngày lễ", Ta kí hiệu

a b la&pb ménh 46 nay binge v

6 (doc : @ hay là b) và

1 0 0 eda a va b; V gọi là

0 I 9 phép tuyển Bảng chân

Bảng 1 bảng 2 : tuyển avob

đúng khi ¡£ nhất một

av trong 2 mệnh dé a va b

# | P | ạ — là đúng sai khi cảø lẫn

ð cùng sai (hôm nay

1 | † | Í không phải là chủ nhật,

1 0 1 mà cũng không phải là

9 | † | Ì ngày lẽ

Bảng 2 minh dé dang cdc "cong

thức" sau đây :

@&b&e=ak(b &e) (4)

(aVvb)&c=(a&c)v(b&c) (B5)

Muốn chứng minh các công thức này, ta

lập bảng chân lí của mệnh để ở vế phải và

mệnh để ở vế trái, và thấy rằng hai mệnh

để đó luôn luôn có cùng giá trị chân lí, với

moi gid tri cla a, b và c

Bảng 3 Chẳng hạn công thức (1) được chứng

minh bang bang 3

So sánh các công thức trên với các công

thức trong đại số :

atb=bta axb=6xa

q) (2) (@@ x b) +e =at+(b +0) (8)

ta thấy rằng phép tuyển (V} có tính chốt

giống phép cộng (+) va phép hội (&) giống

phép nhân (x) : phép tuyển và hội cd tinh

giao hoán [các công thức (1) và (2)] và tính

kết hợp [(3) va (4)], phép bội có tính phân phối đối với phép tuyển (5) Vì vậy người ta cũng gọi œ V b là một "tổng", œ & b là một tích, và viết a.b hay ab thay cho ø và b

Do các công thức (1) - (5) mà trong "đại

số mệnh để" ta có thể thực hiện các phép biến đổi như bỏ dấu ngoặc, đạt thành "thừa số" chung, v.v như trong đại số thông thường

Trong "đại số mệnh đề" ta cũng có các công thức

3VÔ=0Vza =0 (ương tự ø +0 = 0+a = ga) a.1= 1ø = ø (tưởng tự đ.1 = lø = ø trong đại số thông thường)

œ0 = 0ø = 0 (tương tự 2.0 = Oa = 0 trong đại số thông thường)

4 Nhưng trong đại số mệnh đề, có những công thức đặc biệt mà trong đại số thông thường không cớ, chẳng hạn :

ee

nlana

da =a.qd a =d

—_—_——

n lần a

Các công thức này có thể chứng minh đễ dàng, dựa vào bàng 1 và 2 : nếu ø = 0 thi aVa=0VvV0=0=¿zø

aa=00=0 , néua = 1 thì œ@Va=1V]=l=ũaaa=ll=l=a, nghĩa là với mọi giá trị của a, ta luôn luôn

có Vơ = q, ơ.a = d

Nhờ các công thức đặc biệt này mà việc tính toán trong đại số mệnh đề đơn giản hơn trong đại số thông thường nhiều T5 áp dung

để giải bài toán sau : Trong một cuộc thi đấu bóng bàn giữa bốn vận động viên An, Bác, Chính, Dũng có mấy người xem dự đoán như sau :

1) Bắc đoạt giải nhất, An nhì

2) Bác chỉ nhì thôi, Dũng thứ ba

3) Chính nhì, Dũng tư

Hỏi kết quả xếp hạng như thế nào, biết rằng mỗi dự đoán trên đây đều ndi ding được về một người

Giải : Gọi mệnh để "Bác nhất" là b¡, "An nhì"

là ø; "Báe nhỉ" là ö„, "Dũng ba" là dy Vv Trong dự đoán thứ nhất có hai mệnh đề :

bị và ø, trong đó có một mệnh đề đúng (dự đoán đúng về một người), do đó tuyển 6, v a, phải đúng, nghĩa là ta có phương trình" :

331

6, va, =1, @

Với đự đoán thứ hai và thứ ba, cổ các

phương trình :

Nhân từng vế phương trình (1) và (2), có

hay là

Gị V a2) @y V dị) =1,

bib V bids V a6, V a,d, = 1

Nhung 6,5, = 0 (1 không thể có đồng thời

6, = 6, = 1, tie “Bac nh&t vA Bac nhi" duge),

cting nhu a,b, = 0 (vi An va Bac khong thé

cùng nhì), do đơ còn lại :

bd; V ad, =1

Lại nhân từng vế phương trình này với

phương trình (3), có :

bide, V andse, Vv bd.d, Vv add, = 1

ma vi 2 = bydd, = a;dyd, = 0, nên

bd, = 1 tice 6, =d,= e, = 1 Bắc nhất, Chính nhì, Dũng ba, do đó An phải thứ tư

Thử lại thấy đúng

Bây giờ, mời các bạn hãy giải các bài

"Phân phối vé bóng đá" và "Ghép tên, họ"

trong báo "Toán học và tuổi trẻ" số 2 (mục giải trí), bằng cách đặt phương trình lôgic

Trên đây có thể xem là phần mở đầu rất đơn giản để giới thiệu với các bạn về đại số Bun (Boole) và lôgic toán, một ngành toán rất quan trọng và có nhiều ứng dụng thực

tế Chắc các bạn đều đã đọc tiểu thuyết nổi tiếng "Ruồi trêu" ; tác giả cuốn sách này là

nữ văn sĩ E.Vôinitsơ, con gái của nhà toán học Anh Bun (G Boole, 1815 - 1864)

CAY

Trong tờ báo số 1 các bạn đã giải một bài

toán về cây Đồng chí Lê Văn Thiêm đã cho cây

mọc theo một quy luật nhất định - đó là quy

luật của đãy "Fibônasi" (Fibonacci) nổi tiếng

Nhất định các bạn sẽ đặt cho mình nhiều

câu hỏi VÍ dụ : nếu cây nơi trên đề nhánh

theo quy luật đó thì nó có thể đề nhánh theo

quy luật khác không ? các quy luật đẻ nhánh

của cây có dạng như thế nào ? Những quy

luật đề nhánh đó có tác dụng lí luận và thực

tiến gì không ? Một câu hỏi khó trả lời

nhưng không ngây thơ lắm là : cây cối ta

gặp trong thiên nhiên khi đẻ nhánh có theo

quy luật nào không ? và nếu có thì dạng của

quy luật đó như thế nào ?

Nhiều vấn đề nêu lên trên đây rất quan

trọng nhưng rất mới Nớ thuộc một ngành

DV

332

TẠ QUANG BỬU

toán học lí thú : Lí thuyết đồ thi tue Topo

tổ hợp Trong bài này, vì trình độ có hạn của người viết và do tuổi trẻ của người đọc, nên chỉ xin gợi ý một số điểm

1 Từ ngày cách mạng thành công ta làm chủ vận mệnh nước ta và làm chủ bản thân mình nên mỗi khi giải quyết vấn để gì, ta phải tính toán xem có bao nhiêu khả năng, mỗi khả năng cớ lợi có hại như thế nào, cớ triển vọng (xác suất) xẩy ra Ít hay nhiều rồi mới quyết định lấy một khả năng (ví dụ lấy khả năng 2 trong hình 1) Nhưng cuộc đời

là một dãy quyết định Sau quyết định vừa rồi lại phải tính toán cớ bao nhiêu khả năng, rồi lại chọn một khả năng (ví dụ khả năng

3 trong hình 2) Sau đó lại chọn tiếp v.v

như vậy ta được một con đường, có thể gọi

là con đường đời

Nếu các khả nang do co tinh chat logic (tức là sự việc chỉ có thể xẩy ra theo các khả năng đó không thể xẩy ra cách khác), thi con đường đó là con đường lôgic, và lí thuyết cây có thể dùng trong lôgic học Nếu các khả năng đó có là con đường ngẫu nhiên Do đó

l thuyết cây cũng có Ích cho lÍ thuyết xác

suất và lí thuyết các quá trình ngẫu nhiên

Cố nhiên trong cuộc đời phải khéo phối hợp

lôgic với quy iz@¿ của ngẫu nhiên

@)

Mang

SER

°

2 Trong việc tính toán các mạng lưới

phức tạp, các ki sư điện thường thay những

mạng điện (a) bởi cái cây (b) va mang bd

sung (c) ma người ta cũng gọi là có-cây,

Các bạn có thể thử nghiệm dé dàng

rằng một mạng với z nút sẽ có một cây

với n — 1 nhánh

bởi bỏ nhánh a b bởi bỏ nhánh øb và cả

Trong những bài toán phức tạp hơn có

khi phải dùng những 2 - cây, có được từ một

cây bằng việc bỏ đi một nhánh, n- cây, có

được từ một cây bằng bỏ đi (+ - 7) nhánh

Nhiều tài liệu gọi ø- cây với n bất kì là một

rừng toán học

Trên đây là một vài ứng dụng của lí

thuyết cây làm cơ sở cho các phương pháp

áp dụng tôpô tổ hợp vào kỉ thuật, được phát triển mạnh trong mấy năm gần đây từ những công trình rất đặc sắc của kỉ sư Gabrien Krôn (Gabriel Kron)

3 Bây giờ ta hãy trả lời câu hỏi hắc búa thuộc về vật lí sinh học Các cây thiên nhiên mọc theo cách nào ? Sau đây tôi xin giới thiệu giả thuyết của trường phái Rasepxki (Rashevsky), để các bạn tham khảo

Cây không có chân tay, không thể chạy kiếm thức ăn được nên cẩn diện tÍch rong

để lấy thức ăn từ ngoại giéi Do dé phai cớ nhiều nhánh và nhiều rễ, vậy về mặt toán học một cây gồm hai cây : một cây hướng về trời, một cây hướng về lòng quả đất (hình 3) Sau đây, ta chỉ chú ý cây hướng về trời

\Z

SUE

Nếu cho ty 7, là độ dài và bán kính của thân ; ¿, r độ dài và bán kính trung bình của nhánh ; z tổng số nhánh và ð là tỉỈ trọng trung bình thì tổng khối là :

Goi q là sự trao đổi chất (matabolit) mỗi đơn vị khối ta có : gM tÌ lệ với tổng số lá tức là tỈ lệ điện tích cây (xem lá là nhánh cuối cùng)

nhánh không thể dài quá vì quá dài thi cay gãy, đo đó / phụ thuộc vào r và ð

Thân phải khỏe, do đó #¿ phải phụ thuộc

ry va 6

=f ty dW; (4)

d6ng thdi r, phai du cho luéng trao déi chat

Và r cũng vậy :

r=f, (M6) (@

333

Ta có 6 phương trình để tính Đụ nạn, Ì,

r, 6 từ M và q

Nhưng ð đại lượng Lato? Í, ð cũng đủ để

xác định được dạng cây Có 3 dạng như sau :

1 7 ahd, œ lớn là loại bụi (ø)

4, nhỏ, r„ to z nhỏ và ¿ lớn thì (b)

Ly Pym to và 1, n nhé thÌ (e)

Dùng các đạng thích hợp cho f, fy f, ta od

thể được các dạng cây làm hàm số của M và g

Say

Tém lai sự phát triển của một cây thiên nhiên rõ ràng là một chương trình động Trong hoàn cânh của từng cây, có thể nói mỗi cây là một lời giải tối ưu

CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

làm đại số có thể nói chủ yếu là tính

toán Một thí dụ cụ thể : Bốn phép toán :

cộng, trừ, nhân, chỉa trên các con số Như

vậy là ta đã lấy một tập hợp đối tượng toán

học nào đó (trong thí dụ vừa rồi là tập hợp

các số) rồi ta thực hiện một số phép toán

trên các đối tượng đớ Một thí dụ khác : giải

hệ phương trình :

Cộng vế với vế hai phương trình (1) va (2)

ta được

(2x + y) + (8x ~ y) = 8+ 2 hay da = 5

do đố x = 1,y = 1

Ta nhận thấy để giải hệ phương trình, ta

đã lấy 2x + y cộng với 3x - y Nếu ta gọi là

đạng tuyến tính mọi biểu thức øx + ðy trong

đó a, 6 là hai số cho trước, thì ta đã vừa

làm một việc là thực hiện một phép cộng

trên hai dạng tuyến tính 2x + y và 3x - y

Qua thí dụ này ta thấy là người ta làm các

phép toán không những chỉ trên các con số

mà còn trên các đối tượng toán học không

phải là số Ta còn vô vàn thí dụ khác trong

một giáo trình toán học cao cấp về những

334

HOÀNG XUÂN SÍNH

phép toán thực hiện trên một đối tượng không phải là số Qua thực tiến đớ, con người đã đi tới nguyên lí chủ đạo của toán

học hiện đại Điều quan trọng đối uới nhà toán học không phải là bản thân cóc đối tượng toán học trên đó người ta nghiên cứu, nghĩa là điều quan trọng không phải là các đối tượng đó là các số hay các dạng tuyến tỉnh, mè diều quan trọng là các tính chất của các phép toán thục hiện trên các đối tượng đó Đại số học là một ngành của toán học đã đạt được trình độ trừu tượng đó trước moi ngành toán học khác Đã từ lâu người

ta đã quen coi Đại số như một bộ môn toán chuyên nghiên cứu các phép toán đại số trên các tập hợp mà các phần tử đã rời bỏ mọi

tính chất riêng tư là số hay là dạng tuyến tính v.v , mà ta thường kí hiệu bằng các chữ abe

“Thực hiện một phép toán đại số mà ta có thể kÍ hiệu bằng +, x, *, L, T' trên hai phần tử a, 6 của cùng một tập hợp E, là cho tương ứng với cặp (ø, b) một phần tử thứ ba xác định e của tập hợp E Phần tử đe được

ki hituc =a+6,axba*bat,aT b, tùy theo cách ta kí hiệu phép toán Nơi