Mục tiêu: - Kiến thức cơ bản: khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từn
Trang 1GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 BAN CƠ BẢN
TÍCH PHÂN
I Mục tiêu:
- Kiến thức cơ bản: khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần)
- Kỹ năng: hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo cả hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
II Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp
- Phương tiện dạy học: SGK
III Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
- Phiếu học tập, bảng phụ
+ Chuẩn bị của học sinh :
- Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà
- Đọc qua nội dung bài mới ở nhà
IV Tiến trình tiết dạy :
1 Ổn định lớp :
2 Kiểm tra bài cũ :
- Trình bày phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm
- Viết công thức tính nguyên hàm từng phần (dạng đầy đủ và dạng rút gọn)
Trang 2GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 BAN CƠ BẢN
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của
Hs
Nội dung ghi bảng
I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1 Diện tích hình thang cong:
Hoạt động 1 :
Ký hiệu T là hình thang vuông giới
hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục
hoành và hai đường thẳng x = 1; x = t
(1 t 5) (H45, SGK, trang 102)
1 Hãy tính diện tích S của hình T
khi t = 5 (H46, SGK, trang 102)
2 Hãy tính diện tích S(t) của hình T
khi t [1; 5]
3 Hãy chứng minh S(t) là một
nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1, t [1; 5] và diện tích S =
S(5) – S(1)
Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi
dấu trên đoạn [a ; b] Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b
Thảo luận nhóm để:
+ Tính diện tích S của hình T khi t =
5 (H46, SGK, trang 102) + Tính diện tích S(t) của hình T khi t [1; 5]
+ Chứng minh S(t) là một nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1, t
[1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1)
TÍCH PHÂN
I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1 Diện tích hình thang cong: ( sgk )
Trang 3GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 BAN CƠ BẢN
được gọi là hình thang cong (H47a,
SGK, trang 102)”
Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK,
trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc
tính diện tích hình thang cong
2 Định nghĩa tích phân :
Hoạt động 2 :
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên
hàm của f(x) Chứng minh rằng F(b) –
F(a) = G(b) – G(a) (tức là hiệu số F(b) –
F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên
hàm)
Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;
b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến
b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;
b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
( )
b
a
f x dx
Ta còn ký hiệu: ( )F x b aF b( )F a( )
Thảo luận nhóm để chứng minh F(b) – F(a) = G(b) – G(a)
2 Định nghĩa tích phân :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến
Trang 4GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 BAN CƠ BẢN
Vậy: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dxF x F b F a
Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui
ước :
Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK,
trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa
nêu
II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
( )
b
a
f x dx
Ta còn ký hiệu: ( )b ( ) ( )
a
F x F b F a
Vậy: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dxF x F b F a
Nhận xét:
+ Tích phân của hàm số f từ a đến b có
thể ký hiệu là ( )
b
a
f x dx
b
a
f t dt
phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f, các cận
a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay
t
+ Nếu hàm số f(x) liên tục và không
âm trên đoạn [a; b] thì ( )
b
a
f x dx
là diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b (H 47 a, trang 102)
Vậy : S = ( )
b
a
f x dx
II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN + Tính chất 1:
Trang 5GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 BAN CƠ BẢN PHÂN
Hoạt động 3 :
Hãy chứng minh các tính chất 1, 2
Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK,
trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính
chất vừa nêu
III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN
1 Phương pháp đổi biến số:
Hoạt động 4 :
Cho tích phân I =
1
2
0 (2x 1) dx
a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x +
1)2
b/ Đặt u = 2x + 1 Biến đổi (2x + 1)2dx
thành g(u)du
Thảo luận nhóm để chứng minh các tính chất
1, 2
+ Tính chất 2:
+ Tính chất 3:
III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 Phương pháp đổi biến số:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số
x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [;
] sao cho () = a; () = b và a (t)
b với mọi t thuộc [; ] Khi đó:”
' ( ) ( ( )) ( )
b
a
Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b] Để tính ( )
b
a
f x dx
ta chọn hàm số u =
u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên
Trang 6GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 BAN CƠ BẢN c/ Tính:
(1)
(0)
( )
u
u
g u du
và so sánh với kết
quả ở câu a
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b] Giả sử hàm số
x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[; ] sao cho () = a; () = b và a
(t) b với mọi t thuộc [; ] Khi đó:”
' ( ) ( ( )) ( )
b
a
Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK,
trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu
Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b] Để tính ( )
b
a
f x dx
ta chọn hàm số u =
u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên
[a; b] và u(x) thuộc [; ] Ta biến đổi
f(x) = g(u(x)).u’(x)
Khi đó ta có:
( )
b
a
f x dx
( )
( ) ( )
u b
u a
g u du
Gv giới thiệu cho Hs vd 6, 7 (SGK,
trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu
[a; b] và u(x) thuộc [; ] Ta biến đổi f(x)
= g(u(x)).u’(x)
Khi đó ta có:
( )
b
a
f x dx
( )
( )
( )
u b
u a
g u du
2 Phương pháp tính tích phân từng phần:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
Trang 7GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 BAN CƠ BẢN
2 Phương pháp tính tích phân từng phần:
Hoạt động 5 :
a/ Hãy tính (x 1)e dx x bằng phương
pháp nguyên hàm từng phần
b/ Từ đó, hãy tính:
1
0 (x 1)e dx x
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
b a
Hay
b a
Gv giới thiệu cho Hs vd 8, 9 (SGK,
trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa
nêu
Thảo luận nhóm để:
+ Tính
(x 1)e dx x
bằng phương pháp nguyên hàm từng phần + Tính:
1
0 (x 1)e dx x
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
b a
Hay
b a
V Củng cố:
+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức
Trang 8GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 BAN CƠ BẢN
+ Dặn BTVN: 1 6 SGK, trang 112, 113