Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part4-1)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part4-1)

lượng mà ta muốn, nơi cách khác : làm thế

nào tÌm một phân số hay một số thập phân

hữu hạn biểu diễn gần đúng số vô tỈ đó, với

độ chính xác cho trước ?

2 Trường hợp đơn giản nhất là với các

căn bậc hai của các số, người ta đã tÌm ra

một thuật toán để giải quyết vấn đề trên

(thuật toán khai phương các số) Tuy nhiên

nhiều bạn có thể không biết thuật toán này,

một số bạn khác có thể biết, nhưng không hiểu

cơ sở lí luận của thuật toán và vì không dùng

thường xuyên nên có thể không còn nhớ

Bây giờ, nếu có người nhờ bạn : "viết giúp

Y3 gần đúng đưới dạng một phân số thường

hay một số thập phân, với sai số không quá

1/105", bạn có thể sử dụng kiến thức của lớp

đấu cấp II thôi để trả lời được không ?

Sau đây là một cách rất đơn giản giúp

bạn trả lời câu hỏi đó

Chú ý rằng

ta cd thé dat :

¥3 = 1+ Va, (a, nguyén duang)

a, = V3 = Ù = (V8 + 17/2

Do (1), nén có thể đặt :

a= (Vỗ + 1/2 = 1+ l/a, (a, nguyén

đương) hay là

a; = 2/Š - 1) = V8 +1

Do (1), nén cd thể đặt :

a =ý3+1=2+ 14a; (ø; nguyên dương)

hay là a, = 14¥3 - 1) = (Vã + U/2

Ta thấy ø; = ơ,, do đó có thé viét a, =

1+ lia, (với a,= 2,), a= 2+ la, (với a,

do dé

= ty) viv

Tém lại ta cơ :

V3 = 1+ Lai

a, = 1+ la,

a, = 2+ lla,

a,=1+ Wa,

a,= 2+ la,

a,=1+ la,

trong đó tất

đương

Từ các kết quả trên đây, ta có thể tìm

phân số biểu diễn gần đúng Vũ với độ chính

xác ngày càng cao Chẳng hạn nếu ta lấy

aj =1 thì Ÿ§ = 1+ 1/1 = 2

cả các œ, đều là số nguyên

Fo TOTH

Nếu lấy

a, = 2 thì V8 ~1+

a, = 1th V3 =1+—+ _-7

1

2+1 (tính từ đưới lên : 2+ 4 = 81+

3 7

1+ =2)

Nếu lấy a, = 2 thi duge

đãx~i+—1 „19 1+ 1 11

2+

14 3° 3

a, = 1 thi duge V3 = 1 + ——— _ =

1#—————

2+

1

2+1

Các bạn có thể thấy rằng các phân số trên đây cho giá trị ngày càng chính xác của Vã :

2, 5/3, 7/4, 19/11, 26/15, v.v

Thực vậy, bình phương các số đó ta có các giá trị gần đúng bằng 3, với sai số ngày càng bé :

22 = 4, (5/3)? = 25/9 = 9/71

(7/4)? = 49/16 = 8,05

(19/11)? = 861/121 = 2,98

(20/15)? = 676/225 = 3,004

8 Các biểu thức như

HN TH l+p lt=—n

2+7

được gọi là các iiên phân số Một cách tổng quát, liên phân số öức k là biểu thức dạng

257

trong đó ø là nguyên, còn ai, a2; ., 2, là 86

nguyên dương Liên phân số bậc k được kí

hiệu gọn là

Tag, Gy, By a]

Qua các thí dụ ở trên, ta đã thấy có thể

đổi một liên phân số thành một phân số

thường Người ta chứng minh rằng ngược

lại, mỗi số hữu tÌ đều có thể biểu điễn duy

nhất dưới dạng một liên phân số bậc š nào

đó Thí dụ :

= 2+ 1-24 h = [2, 5, 3, 7)

8

lt,

4 Nếu ta kéo đài mãi cách tìm căn bậc

hai của Võ như đã làm ở trên thì ta đi đến

một liên phân số uô hạn :

1

1

1

1

1

tư

Người ta đã chứng mỉnh rằng mỗi liên

phân số uô hạn biểu diễn một số uô ti, va

ngược lại mỗi số uô tỉ được biểu diễn bôi

một liên phân số uô hạn

Liên phân số vô hạn biểu diễn V3 là một

liên phân số vô hạn tuần hoàn, chủ kì là (1,

2) Ta viết :

1+

2+

1+

2

8 =I,15i

Các bạn đễ dàng tìm thấy rằng :

VE = [I, 5], Võ = (2, 31, Vể = [2, 2, 41

Nhưng không phải bao giờ ta cũng có kết

quả "đẹp" như vậy Từ giữa thế kỉ XVHI, nhà

toán học vi đại Ó-le đã chứng minh rằng

258

moi sé vO ti dang (a + bVe)d (a, b, ¢, d nguyên và ö, e, đ # 0) có thể viết dưới dang liên phân số vô hạn tuần hoàn, và ngược lại mỗi liên phân số vô hạn tuần hoàn biểu diễn một 86 v6 ti cd dang (a + bÝ€)/d Như vậy, liên phân số giúp ta thấy một nét bản chất của các số vô tÌ đạng này Nói riêng, liên phân số vô hạn tuần hoàn

1

tư TS 1

_

=[1,1] biểu diễn số

p = (1 + Vồ)/2 Số ø xuất hiện trong "phép chia vàng" ; phép chia một đoạn thẳng thành hai phần +, y được gọi là một "phép chia vàng" (tức là một phép chia rất đẹp), nếu

+

x lẻ

+ 1ấy y = 1 thì FS Ý= hay x2 =z =1 0, Nghiệm dương của phương trình này chính

là số Từ thời thượng cổ, người ta đã thấy rằng một hình chữ nhật (hỉnh dạng quyển sách, mặt bàn, khung cửa ) có hai cạnh tỉ

lệ với x, y như trên thì được nhiều người ưa thích nhất, trông đẹp mắt nhất, do đó "phép chia vàng" được sử dụng rộng rãi trong đời sống

Đối với số e (cơ số của lô~ga-rit tự nhiên), người ta tìm thấy rằng

e=I21.2,1,1,4, 1,1,6, 1,1, 8, 1, 1,

10, 1, 1, «J Liên phân số vô hạn này không tuần hoàn, nhưng cũng được lập theo một quy luật : 1, 2, hai lần 1, 4, hai lần 1, 6, hai lần

1, 8 Đối với số z, người ta chưa tìm thấy một quy luật gì trong biểu diễn nó bằng liên phân số : z = [3, 7, 15, 1, 292, 11, .]

5 Liên phân số là một công cụ có hiệu lực trong nhiều vấn đề toán học Nói riêng,

nó giúp biểu diễn xấp xÌ các số thực rất tiện

lại

Cho số thực ø biểu điễn bởi liên phân số

d = {a,, @), a, wl Xét liên phân số

d, = [8g 8 «5 a)

Sau khi thực hiện các phép tính trong ở„ (từ dưới lên), ta được một phân số PQ, Ta goid, = P/Q, là giản phân bộc n của d (nếu ở có bậc là & thin < &)

Trong thí dụ trên đây vé tim giá trị

của VÑ :

Võ =[1,1,2,1,2, 1,2,1, }

ta đã tính các giản phân

d, = (1, 1] = 2A, d, = [1, 1, 2] = 7⁄4,

đ; = [1, 1, 2, 1] = 19/11,

Gọi dạ = PJ/Q và đ vi = P6, vị là

các giản phân bậc ø và bậc n + 1 của liên

phân số ở biểu diễn số ø Người ta chứng

minh duge rằng nếu dùng P/@, biểu diễn

sé a thi sai số mắc phải sẽ nhỏ hơn

14Q,@,, 1) Thí dụ nếu coi đ¿ = 19/11

(Q; = 11) gần đúng bằng V3 thì, chú ý rằng

da, = 26/15 Ni = 1ð), ta mắc sai số nhỏ hơn

1/11.15) < 0,007, tức là nhỏ hơn 1/100,

Tương tự như vậy, các bạn có thể kiểm tra

lại rằng nếu ta biểu diễn số j2 bằng giản

phân [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2] = 239/169, thì sai

số sẽ nhé hon 1/104 ; do đó nếu đổi sang số thập phân thì vÌ 239/169 = 1,41420 nên

ta có thể viết 2 = 1,414 cà ba chữ số thập phân đều chính xác)

Đối với số z, ta có xz = [3, 7, 15, 1, 292,

11, ]

nên đ, = [3, 7] = 29/1,

ở, = 13, 7, 15] = 133/106,

d, = (8, 7, 15, 1] = 355/118,

d, = [8, 7, 15, 1, 292] = 103993/33102

Do đó, nếu lấy œ œ 22/7 thì sai số nhỏ hon 1/(7.106) < 0,002 ; vi 22/7 = 3,1428 nên có thể viết x = 3,14 (ca hai chữ số thập

phân đều chính xác) Nếu lấy z = 355/113

thì sai số sẽ nhỏ hơn 1/(118.33102) < 0,0000008, va vi 355/113 = 3,1415929 nén

có thể viết z = 3,14159 (cả năm chữ số thập

phân đều chính xác)

PHÉP NGHỊCH ĐẢO

Báo "Toán học và tuổi trẻ" số 16 ra tháng

1 năm 1966 có đăng lời giải của đề thi hình

học sau đây trong kì thi kiểm tra học sinh

giỏi toán lớp 8 để vào lớp toán dự bị của

trường Đại học Tổng hợp Hà Nội :

Cho một đường thẳng A và một điểm Ø

cố định ở ngoài đường thẳng ấy Ứng với mỗi

điểm M chạy trên Á người ta vẽ một điểm

⁄ trên nửa đường thẳng OAƒ sao cho

OM ON = 1

1) Chứng mỉnh rằng quỹ tích của điểm N

là một vòng trèn (C) đi qua O

2} Cho A là một điểm cố định trên đường

thẳng A Người ta vẽ một vòng tròn bất kì

đi qua Ø và A, cắt tại vòng tròn (C) (quỹ

tích của giao ở một điểm thứ hai P (khác Ø)}

và cắt đường thẳng A ở một điểm thứ hai @

(khác A) Chứng mình rằng PQ đi qua một

điểm cố định trên vòng tròn (C)

Cac ban học sinh lớp 8 đã được học về

phép vị tự : cho Ø là một điểm cố định, ¿ là

một số không đối, nếu M và W thẳng hàng

L

PHẠM VĂN HOÀN

với O va ON/OM = k thì N gọi là điểm biến

đổi (hay ảnh) của M trong phép vi tu tam

O, tỈ số & Các bạn cũng đã biết :

"Qua một phép vị tự : 1) Một đường thằng đi qua tâm biến thành chính nó

2) Một đường thẳng không qua tâm biến thành một đường thẳng song song

3) Một đường tròn biến thành một đường tròn”

Ta hay xét trường hợp ON,.OM = hk, sti dụng kết quả sẽ đạt được để giải bài toán trên và nêu lên một số bài toán khác

1 Định nghĩa

Cho Ø là một điểm cố định, & là một số không đổi Nếu M và W thẳng hàng với O và

ỒN.OM =k

thì W gọi là điểm biến đổi (hay ảnh) của M trong nghịch ddo tam O, phương tích &, kí hiệu 70 ; k)

2ã9

Ta thấy ngay ring néu N 1a anh cia M

trong phép nghịch đảo 1(O ; k) thi M cang

là ảnh ? ? trong phép nghịch đảo đó

2 Ảnh của một đường thang

Định lí 1 Qua một phép nghịch đảo, một

đường thẳng đi qua tâm biến thành chính

nó, định lí này là hiển nhiên

Dinh Hi 2 Qua một phép nghịch đảo, một

đường thẳng không đi qua tâm biến thành

một đường tròn đi qua tâm nghịch đảo

Chúng mình

'Từ tâm nghịch đảo O ta hạ OA vuông góc

đường thẳng A đã cho Gọi B là ảnh của

M qua phép nghịch đào !{O ; k) và M là

một điểm của A (hình 1 : & > 0; hình 2 :

k<0)

Hình 1

Hình 2

Muốn cho điểm N của đường thẳng OM là ảnh

eta M trong phép nghịch đảo I(O ; k) điều

kiện cần và đủ là :

ON.OM=k=OB.OA

tức là bốn điểm N, MBA _ð trên cùng một

đường tròn, tức là OWB = OMA = 1 vuông

260

Vậy quỹ tích của N là đường tròn đường kinh OB

3 Ảnh của một đường tròn Dinh li 3 Qua một phép nghịch đảo, một đường tròn đi qua tâm biến thành một đường thẳng vuông góc với đường kính xuất phát từ tâm nghịch đảo

Hinh 3

Chúng mình

Giả sử Ó là tâm nghịch dado, A là điểm của đường tròn đã cho đối xứng với Ở qua tâm của đường tròn, B là anh cia A trong phép nghịch đảo ï(O ; k)

Gọi M là một điểm bất kÌ của đường tròn Muốn cho điểm X của đường thing OM la anh của ă trong phép nghịch đảo /(O ; &) điều

kiện cần và đủ là : ON AM = k = OB OA

tức là bốn điểm W, M, A, B ở trên cùng một đường tròn, tức là : OBN = OMA = 1

vuông Vậy quỹ tích của N 1a đường thẳng

di qua B và vuông góc với đường kinh OBA Định lÍ 4 Qua một phép nghịch đào, một đường tròn không đi qua tâm biến thành một đường tròn

Ching mink

Giả sử Ó là tâm nghịch đảo, M là một

điểm bất kÌ của đường tròn (C), p = OM.ON là phương tích của điểm Ø đối với đường tròn (C} : ảnh của đường tròn (C) trong phép nghịch đảo /(O ; p) chính là đường tròn (C)

Nếu M' là ảnh của trong phép nghịch đảo I(O ; k) thì ta có :

OM’ OM = k

Ta suy ra:

OMION = kip

Hình 4

tức là M'” là ảnh của W trong phép vị tự tâm

O, tỉ số kịp Đảo lại, nếu M' là ảnh của N

trong phép vị tự tâm O, tỈ số kịp thi ta cd :

OM '/ON = hịp,

do đó OM’ OMION .OM = kịp,

vay OM OM = k,

ttc 14 M’ la anh cia M trong phép nghich

đảo I(O ; k) Vậy ảnh của đường tròn (C)

trong phép nghịch đảo ?(O ; &) là ảnh của

đường tròn (C) trong phép vị tự tâm O, tỉ

số kịp, tức là một đường tròn

9

©

MO —

Hình §

Th hãy trở lại bài toán nêu từ đầu

1) Th có : ÔM ÔN = 1 và O, M, N thẳng

hàng Vậy X là ảnh của M trong phép nghịch

đảo 1(O ; 1) Theo định lí 2 quỹ tích của N

là đường tròn (C) đi qua tâm nghịch đào Ø

2) Gọi B, ï là giao điểm của đường thẳng

0A, O@ với đường tròn (C), S là giao điểm

của đường thẳng ỢP với đường thẳng A, F

là giao điểm của đường thẳng P@ với đường

tròn (C) (hỉnh 6)

Ta hãy xét phép nghịch đào /(O ; 1) biến

đường thẳng A thành đường tròn (C) :

B la anh của A,

R la anh eta Q,

? là ảnh của 8,

Hình 6 Trong phép nghịch đảo đó, ảnh của đường tròn (D) đi qua tâm nghịch đào Ó là đường thẳng BRS

Vi OB OA = OR 0G = OP OS = 1 nen

tứ giác RQSP nội tiếp, từ đó ta suy ra P=Rvi vậy OP = OB Ta thấy Fla mot

điểm cổ định, B8 là một điểm cố định Muốn xác định điểm # ta chỉ việc lấy giao điểm khác B của đường tròn (C) với đường tròn tam O

Ta cũng thấy rằng BƑ / A vì 8= 2 do

? góc nội tiếp trong đường tròn (O)

R trong tứ giác nội tiếp RQSP,

=2 trong tứ giác nội tiếp BAQR

Các bạn học sinh lớp 8 có thể vận dụng phép nghịch đảo để giải các bài toán sau đây (các bài toán này các bạn cũng có thể chỉ dùng các kiến thức được học ở lớp 8 để giải)

Bài 1 Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng Qua 4, B8 và một điểm E biến thiên của đường trung trực A của AB ta dựng một đường tròn Đường thẳng CE cất đường tròn đó ở M Tìm quỹ tích của M khí

E chạy trên A

Bài 2 Cho ba điểm cố định A, B, C trên một đường thẳng Một đường tròn biến thiên tiếp xúc với đường thẳng ABC tại điểm C Tiếp tuyến thứ hai xuất phát từ A chạm đường tròn tại điểm 7 Đường thẳng B7 cất đường tròn đó tại Aƒ Tìm quỹ tích của M

Bài 3 Cho một đường tròn (Ø) cố định, tâm O, một đường kính AB biến thiên của đường tròn đó, P là một điểm cố định của

8

B

R

261

mặt phẳng Gọi A, Ö' là giao điểm của các

đường thẳng PA, PB với đường tròn (Ó)

Chứng mỉnh rằng :

1) Đường thang A’B’ di qua một điểm cố

dinh

2) Đường tròn (PA'B') cũng đi qua một

điểm cố định thứ hai

SỞ LƯỢC CÁCH GIẢI

CÁC BÀI TOAN DA NEU

Bai 1

a) Ta thấy điều kiện cần và đủ để 4 điểm

A, B, M, E cùng nằm trên một đường tròn là :

EM CE = CA CB

|”

Ai Hình 7 Vậy, quỹ tích của M là ảnh của A trong

phép nghịch đảo ï(C, &) với k = CA.CB

Do ja đường tròn đường kinh CD, sao cho

CD.CI = k (hinh 7)

b) Có thể chứng minh trực tiếp như sau

Nối FM, đường này cát AB ở D Ta có :

FME = 1 vuông, tức là DMC = 1 vuông

CD CI = CM CE (vi ti giác IDME nội

tiếp) CB CA = CM.CE wil tứ giác ABME

nội tiếp) Th suy ra : ÈD C¡ = CB CA, vậy

D là một điểm cố định (có thể chứng minh

rằng 7? là liên hiệp điều hòa của C đối với

A, B)

Như vậy, M nằm trên đường tròn đường

kính CD, xác định bởi CB Cï = CB CA

Đảo lại, trên đường tròn đơ, lấy một điểm

M bất kì Nối CM, đường này cắt A ở E

Ta có :

CD CI = CM CE (vi tt giác IDME nội

tiép) Vay : CB.CA=CM.CE, diéu này

chứng tỏ A, B, M, E cùng nằm trên một

đường tròn

'Th suy ra quỹ tích của ă là đường tròn

đường kính CD, sao cho CD C¡ = CB CÁ

(C, D là vị trí giới hạn của M khi E ra xa

œ hoặc dần tới ï trên A)

262

Bài 2

a) Ta thấy điều kiện cần và đủ để Á7 tiếp xúc với đường tròn (C) là :

BM BT = BC, AT =AC

Hinh 8

Tn thấy quỹ tích của 7 là đường tròn (A) tâm A, bán kính AC và quỹ tích của M là ảnh của đường tròn (A) trong phép nghịch đảo I(B.BC? Đó là đường tròn đường kính

CD, C' là một điểm trên đường thẳng ABC

được xác định bởi : B2 BỂ = BŒ? (C’ la

điểm đối xứng của € đối với điểm A)

b) Có thể chứng minh trực tiếp như sau Nối ME, ME, đường này cất AB ở D Ta có : CME = 1 vu6ng, ttc 1A CMD = 1 vuông Cac (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc : CE L CC ; CT7 1 CE vi tam giác C”TC có trung tuyến AT bằng nửa cạnh

C c là tam giác vuông

C= M (góc nội tiếp trong đường tròn cùng chấn một cung 7E)

Ta suy ra : CỔ =M, tức là tứ giác

C*TMD nôi tiếp

Vay : BD.BC = BM B7 Mặt khác, BM BT = BC*

Do đó : BD BC = BC?, vay D la mot điểm cố định Như vậy, M nằm trên đường tròn đường kính CD mà Ð được xác định bởi

BD BỂ = BƠ)

Đảo lại, trên đường tròn đó lấy một điểm M bất kì, nối BM, rồi trên BM lấy điểm

T sao cho:

BM.BT = BC?

Đi ngược lại phần chứng minh thuận, dễ dàng chứng minh duge rang C, M, T nằm trên đường tròn (C) tiếp xúc với ABC ở Ở

và ÁT tiếp xúc với (C) Th suy ra quỹ tích của M là đường tròn đường kính CD xác định như trên (C, Ð là vị trí giới hạn của M)

Bai 3

a) Ta xét đường trịn đi qua P và 4, B,

và gọi Q là giao điểm của PO với đường trịn

Ta cĩ : OP O8 = Ộ.OB

P

Hình 9 tức là ƠP.ƠQ = - R2? ( là bán kính của

đường trịn Ĩ đã cho) :

Như vậy đường trịn PÁB đi qua một

điểm cố định thứ hai là @ (@ nằm trên OP

và được xác định bởi OP.OQ = ~ R2)

Th xét phép nghịch đảo 7(P ; #), š là phương

tích của điểm ? đối với đường trịn (O) :

PAPA = PBPB = k

Trong phép nghịch đảo này, ảnh của đường trịn (PAB) là đường thẳng A'B' và ảnh của đường trịn (P4'B') là đường thẳng

AB Vậy ta suy ra :

~ A’B’ di qua điểm cố định #ï là ảnh của

Q trong phép nghịch đảo ï(P ; k)

— Đường trịn (PA'B) đi qua diém c6 dinh J

là ảnh của Ở trong phép nghịch đảo 7(P ; £) b) Cơ thể chứng mính trực tiếp như sau,

Th cĩ :

At = 5 Gì tứ giác A'B'BA nội tiếp),

B= ồ (gĩc nội tiếp trong đường trịn PAB cùng chắn cung P4)

Vậy, Â` = Ơ, từ đĩ suy ra tứ giác A'HQA

nội tiếp và :

PH.PQ = PAPA = k

Ta ciing co :

BY =A (vi tt gide A’B’BA noi tiép)

B= ? (gĩc nội tiếp trong đường trịn PA'B’ cing chin cung PA’)

Vậy :7= Ä, từ đơ suy ra tứ giác AJOA

nội tiếp và :

PJ.PƠ = PAPA = k

MỞ RỘNG KHAI NIEM DUONG TRON OLE

VA DUONG THANG OLE CHO DA GIAC NOI TIEP

Các bạn thân mến !

Khái niệm đường trịn Ơle và đường

thắng Ole đã được xây dựng đối với tam giác

Dưới gĩc độ của vectơ, ở bài này tơi xin giới

thiệu một cách mở rộng các khái niệm này

đối với đa giác nội tiếp Trước hết ta hãy

nhìn lại trường hợp tam giác ở gĩc độ này

Đối với tam giác A¡A;4„, các bạn dé dang

chứng mình được ngay hai tính chất sau

day :

LÊ THỐNG NHẤT

Tính chất 1 : Điều kiện cần và đủ để M

là trọng tâm của tam giác AAA, la

OM = (1/804, + GA,+0A,) (1)

với Ĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Al,2,3

Tinh chất 2 : Diéu kién cfin va di dé H

là trực tâm n của tam giác A¡A;4a là :

OH = OA, + OA, + OA, (2) với O là tâm đường trịn ngoại tiếp của tam

gide A,A,A,

263

Ngoai ra néu goi Hy, H, H, lần lượt là

các tâm đối xứng của Ø qua AA, AA,

A,A, thi sé cĩ tính chất :

Tỉnh chất 3 : Các đường trịn cĩ tâm lần

lượt la H,, H,, H,, và bán kính bằng án kính

của đường trịn ngoại tiếp của tam giác

AA sẽ cất nhau tại một diém chung H

chin! th trực tâm của tam giác A¡A;Á:

(Các bạn hãy tự chứng mỉnh ba tính chất trên)

Bây giờ gọi E là điểm giữa của OH, thé thì :

OE = (1/2)(0A, + OA, + OA,) (3)

Các bạn đã biết đường trịn tâm E bán

kính bằng nửa bán kính của đường trịn

ngoại tiếp tam giác A,A;Á¿ đi qua các trung

điểm MỊ, M„, M, của các cạnh A y AA,

A4; : các trung điểm Cy Cy 3 của các

đoạn thẳng HA,, HA HA, ; các chân đường

vuơng gĩc H,, B., B, hạ tử các đỉnh A, A, A,

xuống các cạnh đổi diện Đường trồn hày

được gọi là đường trịn 9 diểm, hay cịn gọi

là đường trịn Ole của tam giác AAA,

Ngồi ra, do (1), (2), (3) nên 4 điểm 0,

M, ii, E là thẳng hàng và đường thẳng đi

qua 4 điểm này gọi là đường thẳng le của

tam gidc A,A,A,

Bước đầu ta thử mở rộng các khái niệm

trên cho một tứ giác nội tiếp

Giả sử ta cĩ tứ giác nội tiếp AA AA,

đường trịn S cĩ tam Ĩ, bán kính R la đường

trịn ngoại tiếp tứ giác này

Bằng một cách nhìn tương tự các đẳng

thức (1), (2), (3), ta định nghĩa :

Định nghĩa 1 : Trực tâm H cia tu gidc

AiA;4;A, nội tiếp trong đường trịn S, tam

O; tán kính R là điểm thỏa mãn : > — — —

OH = OA, + OA, + OA, + OA, ®)

Định nghĩa 2 : Trọng tâm M của tứ giác

A,A,A,A, nội tiếp trong đường trịn S, tam

O, bán kinh # là điểm théa man : _— — > _— —

OM = (OA, + OA, + OA, + OA,) q)

Định nghĩa này hồn tồn phù hợp với

khái niệm trọng tâm mà ta biết từ trước đến

nay (các bạn tự chứng minh)

Định nghĩa 3 : Nếu H là trực tâm của tứ

giác A:A,A;A, nội tiếp trong đường trong S,

tâm O, bán kính ?# thi đường trịn với tâm

# là trung điểm cua OH, ban kính R/2 được

gọi là dường trịn Ởlz của tứ giác nội tiếp

A,A,A,A, Như vậy 4 điểm O, ẤM, E, H sẽ

năm trên một đường thẳng, đường thẳng

này gọi là đường thằng Ởle của tứ giác nội

tiếp A,A,A„Ả„

264

Bây giờ ta hãy nghiên cứu một vài tính chất của các khái niệm vừa mở rộng đối với

tứ giác nội tiếp A,A„Á;Á,

Tính chất 3 : Gọi H,, H„, Hy, H, lần lượt

là trực tâm của các tam giác A ›

AAA, A,AjAy AAA, ; thế thì các đường

trịn tâm IaH, H, TẾ 7H, 06 cing ban kinh

R (bán kính đường trịn ngoại tiếp) sẽ cắt nhau tại một điểm Ưï chính là trực tâm của

tứ giác

Chúng mình : Ta cĩ : —

HH, = |OH - 0đ,| =

=|(OA, + OA, Of Sáu + Oa + OAy + OA, + OA, —

- (OA, + OA, + OA,) = |OA,| =R

“Tương tự ta cĩ : HH, = HH, = HH, = R

Vậy 4 diém H), H,, H,, H, nằm trên đường trịn tâm H ban kinh R, ta cĩ điều phai chttng minh

Tính chất 4 : Bốn đường trịn le của các

tam giác Á;Á;Á, A,A,A;, A,A,A, AA

cắt nhau tạo TH nà £ chính là tâm lường

trịn Ớle của tứ giác nội tiếp A,A;AzÁ„

Chung minh : Néu goi E, là tâm đường trịn Ole của tam giác A,A,A, thi :

BE, = |OÈ - OB,| = _ —t _, —

=|(1/2(0A, = OA, + OA, + OA,) x > 1 2, —

x(1/2)0A,+0A,+0A,)I = (1/9)| | ĐÁ„| = R/2

Tương tự nếu gọi E, Ey, Ey là tâm

đường trịn Ole của các tam giác AAA,

AAA, AAA, ta cd:

EE, = EE, = EE, = R/2

Nhu vay cdc diém E,, #., E,, E, nim trén đường trịn Ole của tứ giác Ả,A„4zA,, hay các đường trịn Ole của các tam giác A án

A , AAA), AA cất nhau tại điểm

@ Gai ofan tác ey ty chiing minh tính chất sau đây :

Tink chdt 5 : Goi M,, M,, My, M, lần lượt

là trọng tâm của các tam giác AAA, A,A,A,, A,A,A,, A,A,A, thi 4 doan thang AM), AM AM, A.M, sẽ cắt nhau tại một điểm M chỉnh là trọng tâm của tứ giác nội tiếp A va : AM/MA, = 3 (i = 1, 2, 3,

4) Khơng nướng thế, ne bạn cịn cơ thể chứng

minh được ba tính chất rất thú vị nữa : Tỉnh chất 6: Gọi M, là trung điểm đoạn

AA, @ # j) tại M là giao điểm chung của các đường thẳng M.M v6i (, 7, &, ÐD là một

hốn vị của (1, 2, Š, 4),

Tính chốt 7 : Các đoạn thằng Ai

AsH,, AsH,, A,H, cất nhau tại một điểm E

là tâm đường tròn le của tứ giác nội tiếp

Ai4z4zÁ¿,

Tính chất 8 : Sáu đường vuông góc hạ từ

trung điểm của một cạnh (hay một đường

chéo) tới cạnh đối diện (hay đường chéo còn

lại cũng cất nhau tại tâm đường tròn Ole

của tứ giác nội tiếp A,4„4;4„ Như vậy các

bạn sẽ hình dung ra cách mở rộng khái niệm

đường tròn Óle và đường thẳng Ole cho một

đa giác nội tiếp bất kỳ Chúng ta định nghĩa

bằng quy nạp : giả sử các khái niệm trên đã

định nghĩa cho tất cả các đa giác nội tiếp có

số cạnh nhỏ hơn øœ ; thế thì :

Dinh nghia 1: Truc tâm H của n giác

A,A,A

điểm chung của n dudng trén bang đường

tròn S va co tâm tại các trực tâm của {: —

1) - giác tạo bởi (+ - 1) đỉnh của n - giác

A AyA3.- Ay Như vậy sẽ kết

OH = oa, +0A,+ +0A,

véi O là tâm của đường tròn ngoai tiép n -

giée AyA, A)

Dinh nghia 2 : Trong tam M cla n ~ gide

A,A, A, nội tiếp đường tròn 6 là giao điểm

chung của đoạn thẳng nối mỗi đỉnh của ø

giác với trọng tâm của (n - 1) - gid tao bdi

các định còn lại Như vậy ta sẽ có M chia

trong các đoạn thẳng này theo tỈ 66 (n - 1):

1 kể từ đỉnh của œ - giác và : = (0Ã, + OA, + + OA,)in —> —

Trường hợp n = 2, trọng tâm M của đoạn

thẳng A,4; là trung điểm của đoạn thẳng đơ,

Định nghĩa 3* : Đường tròn Ole của n ~

giác A,A„A; A, nội tiếp đường tròn S là

đường tròn đi qua tất cả các tâm của các

đường tròn Ole của các (n - 1) - giác tạo

bởi (œ — 1) đỉnh của n - giác Như thế tâm

E của đường tròn này thỏa mãn : _— a > —

OF = OA, + OA, + + OA2

Trường hợp n = 2, dudng trdn Ole cua

day cung A,A, cia đường tròn S bán kính #

là đường tròn bán kính /2 có tâm tại trung

điểm của dây cung A¿4; Bốn điểm Ó, M, H,

# nằm trên một đường thẳng gọi là đường

thẳng Ởle của n - giác AA¿ A

Việc chứng minh tính tổn tại của các định

nghĩa 1°, 2', 3' là các bài toán dành cho các

bạn tự giải

Ngoài ra, các bạn có thể thấy thêm các

tính chất :

Áa nội tiếp trong đường tròn S là

Tính chất 6* : Tất cả các đoạn thẳng nối trong tâm của È - giác tạo bởi š đỉnh của n

- giác với trọng tâm của (w - È) - giác tao bởi (w — &) đỉnh còn lại đều đi qua trọng tâm

M của n -¬ giác

Tinh chất 7* : Các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh của œ - giác với trực tâm của (n ¬ 1)

~ giác tao béi (n — 1) đỉnh còn lại sẽ cắt nhau tại tâm đường tròn Ole của ø - giác,

và bị tâm này chia thành 2 đoạn bằng nhau Hơn nữa : Tất cả các đoạn thẳng nối trực tâm của & - giác tạo bởi & đỉnh của n — giác với trực tâm của (n - &) — giác tạo bởi (n — k) đỉnh còn lại cũng đều đi qua tâm đường tròn

le của œ - giác và bị tâm này chia thành

2 đoạn bằng nhau (Õ đây ta hiểu trực tâm

HH, của đoạn AA, là điểm thỏa mãn :

(OH, = OA, + OA)

Tính chất 8* : n (n - 1)/2 dutng vudng góc hạ từ tâm đường tròn le của (n — 2) ~ giác tạo bởi (n - 2) đỉnh của n - giác tới đường thẳng nối 2 đỉnh còn lại cắt nhau tại một điểm chính là tâm đường tròn Ole cia n-giác

Cuối cùng tôi xin gợi ra một hướng tổng quát hơn nữa khái niệm đường tròn Ole va đường thẳng Ớle cho đa giác nội tiếp, các bạn hãy khai phá thêm

Giả sử cho đa giác nội tiép A AA, WA, ta định nghĩa đường tròn Ole thi k cia da giác

là đường tròn tâm là điểm E(® thỏa mãn : tu O9 = (OA, + OA, + + OA, yk

và bán kính bằng R/k : trong dé O là tâm đường tròn ngoại tiếp n-giác A x4; Á„, còn

ñ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp nay Như vậy tâm của đường trdn Ole thi 1 1a trực tâm, tâm của đường tròn Ole thi n la trọng tâm của „giác, còn đường tròn le thứ

2 chính là đường tròn Ole ta đã gọi từ trước Các bạn hãy chứng minh các tính chất : Tính chất 9 : Các tâm của các đường tròn Óle thứ # của (n~1)-giác tạo bởi (›—1) đỉnh nào đó của một ø-giác nội tiếp sẽ cùng nằm trên đường tròn Ole thi & của n-giác này Tính chất 10 : Các đoạn thẳng nối tâm của đường tròn Ole thứ ¡ của k-giác tạo bởi

*k đỉnh nào đó của một n-giác nội tiếp với tâm của đường tròn Ole thi j của (n-k) - giác tạo bởi (n-k) dinh còn lại sẽ đi qua tâm

265