Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part3-5)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part3-5)

CONG THUC VAN NANG

Trong toán học cũng như trong các bộ

môn khoa học khác, việc hệ thống hóa kiến

thức nới chung và việc tìm mối liên hệ giữa

các vấn đề nới riêng rất cẩn thiết và vô cùng

quan trọng, bởi vì cớ làm như vậy thì chúng

ta mới thấy rõ được toàn bộ vấn để và nắm

chắc được kiến thức Vì vậy, mỗi khi học xong

một bài nào, một chương nào, các bạn hãy cố

gắng hệ thống nơ lại để tìm mối liên hệ giữa

các vấn đề với nhau, nêu lên những điểm chủ

yếu nhất, cơ bản nhất và bao quát nhất

Vừa qua, bạn Nguyễn Văn Mi, học sinh

trường cấp 3 Phù Cừ (Hưng Yên) dựa vào

cách tính của nhân dân ta đã tÌm ra công

thức tính thể tích của một khối đá hoặc cát

Công thức này liên quan tới một công thức

mang tên là công thúc uạn năng vì nó là

công thức tổng quát nhất để tính thể tích

và diện tích của tất cả các hình quen thuộc

đã học ở phổ thông

* Ok Các bạn đã thấy muốn tính thể tích của

một khối đá hoặc cát, người ta phải xếp khối

đá hoặc cát đó thành một đống gần giống

hình chóp cụt *) có các đáy là các hình chữ

nhật, các mặt bên là các hình thang cân

(xem hình 1)

Trước hết, bạn Mi đã căn cứ vào công thức

tính thể tich cla mét hinh dang tru léch (**)

có đáy tam giác, đã được chứng minh là :

tata”

Hình 1 trong đó S là thiết điện thẳng va a, a’, a”

là 3 cạnh của hình lăng trụ lệch

240

NGO HAN

Sau đó, bạn Mi chia khối đá hoặc cát phải

do thành 2 hình lăng trụ lộch là hình

AAD'BB'C' và hình ADD'BCC'

Ấp dụng công thức (l) cho hình AAD'BB'C', ta được :

atat+a’

zs)

Vì diện tích thiết dign thang S, = 30%

v,=® (

nên :

V, = go'h (a + 20’) Đối với hình AD2D'BCC', ta có :

atata’

—8—)

Vì diện tích thiết điện thang S, = Soh,

V, = 5; (

nên :

V, = Goh (2a +a’) Vay thể tích của khối đá hoặc cát đó là :

h > 1) tạ

V=V,+ Vy = G(2ab+ ab’ a'b+ 2a’b") (2)

Ta có thể biến đổi công thức (2) thành :

v~a[s+4(“E”) (*g)+ em]

Nhận xét các thành phần trong đấu móc,

ta thấy :

aồ là diện tích đáy trên của khối đá

ø'b' la điện tích đáy đưới của khối đá

(55°) (57) là diện tích của thiết

diện giữa có các cạnh là các đường trung bình của các mặt hình thang

Vì vậy, nếu gọi B), B„, B; lần lượt là diện tích của đáy trên, thiết diện giữa, đáy dưới

(#) Sé di ndi gần giống hình chóp cạt mà không phải là

hình chóp cut vi cdc canh AA’, BB’, CC', DD’ kéo dài có thể

không gặp nhau tại cing 1 diém

(*») Hình lăng trụ lệch khác hình lăng trụ ở chỗ có 2 mặt đáp không song song với nhau,

và h là chiếu cao của khối đá hoặc cát thì

thể tích của khối đơ là :

h

V= 5B, + 4B, +B,) (3)

Đó là công thức uạn năng, bởi vì công

thức (3) không những biểu thị thể tích của

khối đá hoặc cát nói trên mà nớ còn dùng

để tính thể tích của bất kÌ hình nào,

Các bạn hãy kiểm nghiệm xem ! Ta có

thể biến đổi công thức (3) trở về dạng các

công thức quen thuộc :

- Đối với hình lãng trụ, hình hộp, hình

trụ, vì điện tích đáy trên, đáy dưới và thiết

điện giữa đều bằng diện tích đáy B, nên ta

co:

h

Y=gŒ+4B + B) = Bh

- Đối với hình chớp, vÌ khoảng cách từ

đỉnh đến thiết diện giữa bằng ; chiéu cao

nên diện tích thiết điện giữa bằng 4 đáy dưới

B, ta có :

Vag (0+41+B) =>

~ Déi véi hinh non, vi ban kinh cha thiét

điện giữa bàng 3 bán kính của đáy dưới,

nên ;

=x[0+ 6 [° + () sì +? an ] == 8

~ Đối với hình chớp cụt, các bạn tính sẽ

thấy rằng diện tích của thiết diện giữa

BRaqgtgt ?— Do đó ta có :

Va g[Bta (gt ata) +B]

= (B+ B + VBE’)

- Đối với hình nớn cụt, vì bán kính của

thiết diện giữa bằng trung bình cộng của 2

bán kính của đáy trên và đáy dưới, nên :

Vad [att ae (T7) 2t]

= ae Œ2+r2+rr)

~ Đối với hình cầu, vi chiều cao bằng 2z,

nên ta có :

46-TCTH

V= (0% 402 + 0) = 8m,

~ Đối với khối chỏm cẩu, các bạn tính sẽ thấy diện tích của thiết diện giữa

2

h

B,=x (rh - +)

và diện tích của

B, =x (2rh ~ h?) Do đó : đáy — dưới vV=g[0+4z (r= wt 3) + x(2rh — 12]

= (=8)

— Đối với khối đới cầu, nếu ta coi thể tích của nó là hiệu của 2 khối chỏm cầu tương ứng có chiều cao là k; và h (xem hình 2) thÌ chiều cao của đới cầu # = hạ — hạ, diện

tích đáy trên Bị, =z (2h, — h?), điện tích đáy dưới B; = x (2rh„ ~ h?) và diện tích thiết

điện giữa

1

= a(hy— hy) [r®+ hy) a(h†+ huh„+hậ)]

; hy > Ay

=[s#(r=#)]~[*#(r=3)] Các biểu thức

trong hai đấu móc của công thức trên chính là các thể tích của 2 chỏm cầu lập nên khối đối cầu đó

Công thức van năng còn được dùng

để tính diện tích của các hình phẳng, nếu

trong công thức (3)

ta coi V là điện tích, ? là chiều cao, và BụB, B; là cạnh đáy trên, cạnh giữa và

đình 2

cạnh đáy dưới của hình :

24L

- Đối với hình bình hành, hÌnh chữ nhật,

nếu gọi các đáy trên, đáy dưới và thiết diện giữa là ø, đường cao là b thì :

=Š(œ +4 +a) = nở

- Đối với hình tam giác, ta có :

Vag (044540) =

- Đối với hình thang thì :

yak (a+ 42s 45) on (25%)

- Đối với hình quạt, nếu coi là một tam giác cong, có góc ở đỉnh là z và đường cao bằng r (xem hình 3a) thì cạnh giữa

ry _@ iB, = Qnr—2e

By = 2x (z) seo và đáy duéi B, = 2ar 55

Do đó :

=" ¬ "

V=g (0+ Am 355 + 2 369)

a

- Đối với hình tròn, nếu coi nó là một hình quạt đặc biệt khi góc œ = 3609, tức là

2 cạnh của hình quạt trùng nhau (xem hình

3ð) thì :

V= (03 4 + nr) = ar?

- Đối với hình vành khăn, nếu coi nó là

một hình thang cong có chiếu cao

h=r—r và 2 cạnh bên của hình thang trùng nhau thÌ day trén B, = 2zr, đầy dưới

rt+r

5 )

B,=2ar và cạnh giữa B,= 2z (

(xem hình 3c) Do đó :

v= ear + dar tr) + Bar]

=x(?— r?) Không những đối với các hình phẳng mà công thúc van nang con dung cho ca cdc

8

Hình 3a Hình 3b

242

hinh trdn xoay trong không gian nữa, nếu

ta coi V là diện tích xung quanh của hÌnh

tròn xoay, A la chiều cao và B,B„B; là

các vòng”) có bán kính vuông góc với đường sinh và kẻ từ các đầu mút hoặc điểm giữa của đường sinh

đến trục quay

— Đối với hình trụ, vÌ các bán kính của 3 vòng đều bằng bán kính đáy hình trụ nên ta có:

Hình $c

h ˆ§ (2xr + 4.2nr + 2nr) = 2nrh

- Đối với hình nón, nếu bán kính của vòng ở giữa (bán kính kẻ từ điểm giữa của đường sinh) bằng 7 thì bán kính của vòng ở đáy dưới sẽ là 2/ (xem hình 4a) Do đó :

h

=g (0+ 4.21 + 2x.21) = 2nlh

¬ Đối với hình nớn cụt, nếu bán kính của Đồng ờ giữa bằng / và bán kính của uòng ở đáy trên là x thì bán kính của uòng ở đáy đưới là 27 - x (hình 46) Th có :

h

= g 2n + 4.2m + 2m (Ì — x)] = 2nlh

Hình 4a Hình 4b

— Đối với hình cầu, vì chiều cao bằng 2r

và các bán kính của 3 uòng đều bằng r (hỉnh 5a) nén :

V=- (đa + 4.2ar + Qnr) = dor?

— Đối với chỏm cầu, vì các bán kính của

ba uòng đều bằng r (hỉnh ðb) nên :

h

Ve mm + 4.2rr + 2nr) = 2nrh

» Các vòng này khác với các vòng tròn đáy và vòng tron giữa của các hình tròn xoay, nếu đường sinh không song song với trục quay

— Déi véi đới cầu cing thé (hinh 5c)

tacd:

= & eur + 4.2„r + 2xr) = 2xrh

That là tài tình và thú vị biết bao : Công

thức (3) quả nhiên là công thức uạn năng

Nhưng các bạn đã thấy : việc tÌm ra công

thúc van năng không phải là một việc dễ

dàng, tự nhiên mà có, mà công thức đó được

đề ra từ một trường hợp cụ thể (tính thể

tích của khối đá hoặc cát) rồi nó được kiểm

nghiệm qua tất cả các trường hợp khác (điện

tích và thể tích các hình)

Trong khi kiểm nghiệm, nhiều khi ta phải dùng đến phép biện chứng, nghĩa là đứng trên quan điểm động, để giải quyết (ví

dụ coi hình quạt, hình tròn là các tam giác cong, coi hình vành khan là hình thang cong, v.v ) hoặc phải sáng tạo ra các khái niệm mới để cho phù hợp với công thức trên (vÍ dụ các nòng) ở đây trên, đáy dưới và ở giữa của các hình tròn xoay) và tất nhiên là phải vận dụng các kiến thức đã học một cách rất linh hoạt, vÌ mỗi khi kiểm nghiệm một công thức là phải giải một bài toán rồi (ví

dụ việc tính thiết điện giữa của hình chớp cụt, diện tích các đáy trên, đáy đưới và thiết diện giữa của chỏm cẩu, đới cầu, v.v )

Vì vậy, việc tìm ra và kiểm nghiệm công thúc uạn năng nói trên rất là bổ ích

Hình Se

ĐƯỜNG TRÒN CHÍN ĐIỂM

Với những kiến thức về hình học lớp 7,

cơ thể dễ dàng chứng mính định lí sau đây :

Trong mọi tam giác ABC, các chân của

các đường trung tuyến, các chân của các

đường cao uù các trung điểm của các đoạn

nối trực tam uới các đỉnh, nằm trên cùng

một đường tròn gọi là đường tròn chỉn điểm

Thật vậy, trước hết ta chú ý rằng vòng

tròn A'B'C' đi qua chân của các trung tuyến,

A

NGÔ THÚC LANH cũng đi qua chân các đường cao Ta hay chứng mình rằng nó đi qua # chẳng hạn Trong tam giác vuông AHB ta có AC' = C'B = C'H Mặt khác vì AB' là một đường trung bình nên A'B’ = AC’ = C’B Vay C’H = A’B’ Va nhu vậy hình thang HA'B”C' là cân, do đó nó nội

tiếp được

Bây giờ ta lại xét đến tam giác IBC, trong

đó ï là trực tâm của tam giác ABC Chân các đường cao cia nd cing 1A H, H’, H” Vòng tròn HH'H”, qua chân các đường cao của tam giác ïBC, cũng qua chân các trung tuyến của nó, tức là qua trung điểm của các đoạn IB và 7C nối trực tâm 1 với các đỉnh

B và C Tương tự như vậy ta sẽ thấy rằng

nó cũng qua trung điểm của đoạn JA

Ta hãy định /đm và bán kính của đường (*) Tương đương lớp 9 hiện nay

243

tròn chín điểm Trung điểm Ø' của đoạn OI

nối tâm Ø của vòng tròn ngoại tiếp của tam

giác ABC và trực tâm ï, là tâm của đường

tròn 9 điểm, vÌ các đường thẳng góc với các

cạnh vạch từ A, BH, C' và H, H, H"” xác

định Ó và 1 theo thứ tự, và các đường trung

trực của các day A’H, B'H', C’H’ xác định

điểm Ó' Mặt khác, nếu gọi Ð là trung điểm

của doan AI thi O'D la song song với OA và

bằng một nửa của OA Do dé ban kính của

đường trèn 9 điểm bằng một nửa bán kính

của vòng tròn ngoại tiếp với tam giác ABC

Đường tròn 9 điểm thoạt tiên đã được các

nhà toán học Ole (1707 ~ 1783), Phoiebakhơ

(1800 - 1834) nghiên cứu Tiếp sau đó, các

nhà toán học Anh là Ha, Hamintơn, Kedi lại

tìm ra được thêm nhiều tính chất khác của nó

nữa Sau đây là một số tính chất đã tìm được :

Có thể chứng minh rằng đường tròn 9 điểm tiếp xúc với vòng tròn nội tiếp và với

ba vòng tròn bàng tiếp của tam giác ABC (Ha) ; nó còn tiếp xúc với 12 đường tròn nội tiếp và bàng tiếp với các tam giác xác định bởi ba đỉnh và trực tâm ï (Hamintơn) ; nó còn tiếp xúc với mười sáu đường tròn nội tiếp và bàng tiếp với bốn tam giác có đỉnh

là các tâm của các đường tròn tiếp xúc với

ba cạnh của tam giác mà các đỉnh là các trung điểm của các đoạn nối trực tâm ï với các đỉnh A, B, C, nớ còn tiếp xúc với những

nhớm khác gồm 16 ; 64, 256, 1024 đường tròn, suy ra từ các nhớm trên (Kedi)

BÀI TOÁN "DỰNG ĐA GIÁC ĐỀU"

Chỉ dùng thước uờ compa, cé thé dung

được da giác đều cô số cạnh bất kì không ?

- Đề nghị nói qua phương pháp dụng da

giác đều ea Gaoxo, Risalét, Hecmetxo

- Đề nghị cho biết cách dụng da giác đều

mà số cạnh là một số nguyên tố cô dạng

2? +1 @hí dụ : cách dụng da giác đều 17

cạnh)

(nhiều bạn đọc) Chúng ta biết rằng mọi đa giác đều bất

kì đều có thể nội tiếp được trong đường tròn,

và khi đó các đỉnh của đa giác sẽ chia đường

tròn thành những cung bằng nhau Ngược

lại nếu ta đã chia được đường tròn thành

244

VĂN NHƯ CƯƠNG

cung bằng nhau ; nối liên tiếp các điểm chia

ta sẽ được đa giác đều cạnh Vì thế việc dựng

đa giác đều ø cạnh tương đương với việc chia đường tròn bất kì thành zø phần bằng nhau Bài toán "dựng đa giác đều" do đó còn có tên gọi là bài toán "chia đường tròn"

1 Ö chương trình phổ thông, ta đã biết dùng thước và compa có thể chia đường tròn thành 2, 3, 4, ð và 6 phần bằng nhau Nhưng dùng thước và compa ta lại có thể chia đôi

đế đàng một cung tròn bất kỉ, vÌ vậy nếu ta

đã dựng được đa giác đều n cạnh thì cũng

có thể dựng được đa giác đều với số cạnh gấp đôi, gấp bốn nói tổng quát là 2*.nw cạnh ( là số nguyên, không âm)

Chang han, vi da dựng được đa giác đều

4, 5, 6 cạnh nên cũng có thể đựng được đa

giác đều 8, 10, 12, 16, 20, 24, cạnh,

Dùng thước và compa ta cũng có thể

dựng được đa giác đều 15 cạnh, Thực vậy,

vi ta od

và vì đã biết cách chia đường tròn thành ð

phần và 3 phần bằng nhau, nên từ một điểm

A trên đường tròn ta đặt theo cùng một

chiều hai cung AM và AN có độ đài lần lượt

la giả 3 độ dài đường tròn (h.!1) Cung MÑ

1

có độ đài bằng Is độ dài đường tròn Nhự

vậy ta đã tìm được cách chia N

đường tròn thành 1ð phẩn #

Nói tổng quát từ định lí

số học "nếu m uờ n là hai

nguyên tố uới nhau, thì luôn

luôn có hai số nguyên + uờ

+y sao cho ;

Hình 1

mon mn

ta cố kết quả sau đây :

"Bang thude va compa, néu ta dé dung

duge nhitng da giéc déu m van cạnh, trong

đó m vin la hai 86 nguyen tố uới nhau thì

ta có thể dụng được da giác dều m.n cạnh",

2 Nhà toán học nổi tiếng người Đức

Gaoxo (1777~1855) đã chứng minh rằng :

"Nếu p là một số nguyên lố có dạng

2" +1 (n la 86 nguyen không am) thi ding

thước va compa ta có thé dung duge da giác

đều p cạnh ; còn nếu p là một lay thừa (uới

Số mũ > 2) của một số hguyên tố dạng trên

hay p là một số nguyên tố không thuộc dạng

trên thì dùng thước uà compo, không thể

dụng được đa giác dều p cạnh"

Ấp dụng phần đầu của định If Gaoxo, ta thấy

ràng vì 3, ð, 17 đều là những số nguyén tố có dạng

27 +1(8=22 + L6 = 22+ 1/17 =2 + D)

nên ta có thể dựng được đa giác đều 3, 5 và

17 cạnh Nếu ø = 8 thì p = 22+] ~ 257;

số này cũng là số nguyên tố nên có thể dựng

được đa giác đều 257 cạnh Năm 1832, ở

phần phụ lục một tác phẩm của Gaoxơ, nhà

toán học Risơlốt đã trình bày cách dựng đa giác này

Nếu n = 4 thÌ p= 2' + 1 = 65.837 cũng

là số nguyên tố Chính Gaoxơ đã nêu lên phương hướng dựng đa giác đều 65.537 cạnh

và Hecmetxơ theo phương hướng đó đã tìm

ra phép dựng, bản thảo của lời giải xếp đầy một va li to V6i n = 5, 6, 7 thi số p=# ”+l không phải số nguyên tố

Từ phần thứ hai của định lí Gaoxơ ta thấy rằng dùng thước và compa không thể dựng được đa giác đều 9 cạnh hay 25 cạnh (vì

9 = 8?, 2ö = 52, 3 và 5 lại là số nguyên tố dang 27° + 1) cũng không thể dựng được đa

giác đều 7 cạnh, 11 cạnh, 13 cạnh, 19 cạnh

vÌ đó là những số nguyên tố nhưng không

có dạng 3` + 1,

3 Nhờ định lí của Gaoxơ và do các nhận xét ở phần 1 ta đi đến kết luận tổng quát :

"Dùng thước uà compa có thể dụng được

va chỉ dụng được các da giác đều N cạnh, nếu N là số có dạng N = 2, PyP2-P,, trong

đó À là số nguyên không âm, PpPy Pp, fe

những số nguyên t6 cé dang 27 +1 va

khong tring nhau

“Theo kết luận này, chẳng hạn đa giác đều

170 cạnh có thể dựng được bằng thước và compa vì 170 = 2,B.17

4 Để kết thúc, ta sẽ nêu lên phép dựng

đa giác đều 17 cạnh, Phép đựng này do Gaoxo tim ra khi ông 19 tuổi, và cũng do thành công này Gaoxơ đã quyết định đứt khoát rằng mình sẽ quyết tâm trở thành một nhà toán học Sự thực ông đã là một nhà toán học lớn

Trên hình 2, ta có một đường tròn đã được chia thành 17 phần bằng nhau bởi các điểm Ay Ay oa Aig Ayz

chọn một hệ trục tọa độ

Đêcac vuông góc Oxy, gốc O tại tâm đường tròn, trục Óx

đi qua điểm A,; và đơn vị dài trên trục bằng bán kính đường tròn Nếu ta xem mỗi điểm

M của mặt phẳng có tọa độ (a, ö) là điểm biểu điễn của số phức ø + ib thì điểm A, biểu

linh 2

diễn số phức z= con T7 + isin 17 TP điểm 4;

245

4x biểu diễn phức số cos 7 + isin tức là số

phức Z, nói tổng quát điểm A, biểu diễn

số phức Z* ; đặc biệt điểm A,; biểu điễn số

phức :

z7= cos 2% + isin 2% = 17 17

Vậy số phức z là một trong những nghiệm

của phương trình zl— 1=0 (1) Phương

( — 1) (416 + gỗ + + + 1) = 0, nên z là

một trong các nghiệm của phương trình

u16 + u]Š + + + 1= 0, tức là ta có đẳng

thức z!6 + zlŠ + „.+ z2 +z = —1 (2)

1,

26 = 2 v.v , và đẳng thức (2) có

dạng

z-1+z 2+ ,+z758+z8+ +z22z= =1 (8),

Th đặt :

0=z+z2+z2+z8# z7 là z72+ z7 4+ z8,

bye P+ 2+ 264 27+ 2794 2754 278+ 277,

Rõ ràng : uị † 0y = ~1 và

vy 2 = 4, + 9) = —4

Vay v, va v, la hai nghiém ca phuong

trình bậc hai z2 +zx — 4= 0 (4), tức là :

1 1

s~sW17

(phương trình (4) có hai nghiệm khác dấu,

tại sao ta lấy Uy có giá trị âm, bạn đọc hãy

tự suy nghĩ và trả lời)

Bây giờ ta lại đặt :

Đ 1 ~s+sÝ1, = 1,1

ws2t2tte leet

tu =22+z#+z72+ z8

tuạ = z3 +z2+z 3+5

tbạ=zZ6+Z7+z76 +27

Dễ thấy rằng ứị + 0y =Uy, 002 = —1,

nên œứ, và ø, là hai nghiệm của phương

trình :

246

Tuong ty w, va w, la nghiém cua phuong

Cuối cùng ta đặt :

»;=z† z1 Y= ate 4

Rõ ràng ÿ¡ † ÿ¿ = 10), Yị ‹ÿ; = 102, nén y,

và y, là nghiệm của phương trình :

x? — wx t uy = Ô, D

(cha y rang w, va w, là các nghiệm dương của các phương trình (5), (6), y > ¥,)- Đến đây ta chú ý rằng y„ =z'+z *=

cos + isin + cos = isin

8m + /# _ 8% "mi

= #eos Ty = 2sin (3 - 77) = 2sin a7

Vậy y„ chính bằng độ đài của cạnh đa giác đều 34 cạnh nội tiếp trong đường tròn Biết y; có thể tÌm được đễ đàng cạnh của đa giác đều 17 cạnh

Tém lại, từ những điều nói ở trên, để tìm giá trị của y„, ta lần lượt giải các phương trinh bac hai sau day : x?+x-4=0, hai

nghiệm là

1 1 Uy) 0 = -g+sŸ1 (b, >0, 0; < 0) x— 0;x— 1 =0, hai nghiệm là w,, w, =

ĐỊ Ị

=gigvit4 (w, > 0, w, < 0) x4 —v.x—1=0, hai nghiém 1a w,, w, =

yl pate

ˆs15 u2+4 tu > 0, ty < 0)

xt w,x+ w, = 0, hai nghigém 1a y,, y, =

*) oe,

ˆs1g wi Ws WY, > 32) Nghiệm của các phương trình bậc hai như

ta biết có thể dựng được bằng thước và compa, nên đa giác đều 17 cạnh như thế cũng có thể dựng bằng thước và compa

CHU Ki CUA HAM SO VA MOT VAI UNG DUNG

6 lớp 9 khi học đến các hàm số lượng

giác, các bạn đã thấy một tính chất đặc biệt

của chúng, đó là tính chất tuần hoàn, nghĩa

là có chu kÌ xác định Chu kì đó gọi là chu

ki cộng tính và có thể định nghĩa như sau :

Ham 86 y = f(x) duge gọi là cớ chu kÌ nếu

thỏa mãn hệ thức :

fix + m) = fla)

trong đó m là số thực đương

Dễ đàng thấy rằng nếu m là chu kì thì

hm cũng là chu kÌ (& là số tự nhiên) Chẳng

hạn hàm số y = sinz/2 + cos3/4x có chu kì

m = 8x, hàm số y = sin 2xxjm (m là số thực

đương) có chu kì chính là m Ngoài các hàm

số lượng giác, còn có hàm số khác cũng có

chu kì, ví dụ như hàm s6 y = {x}* (phần lá

của x) có chu kì là m = 1

@)

Ngoài định nghĩa chu kÌ như trên, còn có

định nghĩa khác là :

Hàm số y = ƒø) được gọi là có chu kÌ nếu

thỏa mãn hệ thức

Chu kì này phức tạp hơn, gọi là chu kì

nhân tính, ở (1) và (2) ta hiểu m là số thực

dương, các giá trị z = +rn và mx đêu thuộc

miền xác định của hàm số đã cho

Vi du ham số y =sin2xigx/igm (m là số

thực dương) có chu kì nhân tính là m

Một cách tổng quát, ta có thể quan niệm

chu kì theo ý nghĩa rộng rãi hơn, cụ thể là

ham 86 y = f(x) duge gọi là có chu kì nếu

thỏa mãn hệ thức :

trong đó z là số thực thuộc miền xác định

của các hàm số fix) va p(x), các giá trị của

ø(z) thuộc miền xác định của hàm số /f+)

Mọi hàm số đều có chu kÌ p(x) = x, do 1A

trường hợp tầm thường Rõ ràng là định

nghĩa (3) này tổng quát hơn (1) và (2) vi ta

thấy rằng :

Khi p(x) = +m thi ed fz + m) = fix) (1)

Khi g(x) = mx thi cd fimx) = fx) (2)

VŨ DƯƠNG THỤY

Tới đây, ta có thể xét một vài ứng dụng của chu kì theo (8) trong phạm vi toán sơ cấp, đặc biệt với những kiến thức ở phổ thông Khái niệm chu kì theo (3) cho phép giải bằng phương pháp sơ cấp một số bài toán về cực trị, và áp dụng vào các hàm hữu

tÍ nguyên, đặc biệt là tam thức bậc hai, sẽ

được một số kết quả quen thuộc

Trước hết, ta xét hàm số tam thức bậc

hai ;

f(x) = ax? + bx +6 chu kì của hàm số nếu có sẽ thỏa mãn (8) tức là : ap?() + b@) + e = q12 + bx +e

hay a[g2(ø) — x7] + b[e(x) ¬ x] =0 loại trừ trường hợp tầm thường g(x) = x, nghia la gid thiét p(x) # x, ta duge :

ap(x) +ax+b=0

suy ra g(x) = — [(ax + b)/a] (4) Nhu vay ham s6 f(x) = ax* + bx + ¢ théa

mãn điều kiện ƒ[~(øx + ö)/œ] = f(x) theo ¥

nghĩa (3) Từ đó ta rút ra một loạt hệ quả thú vị sau :

1) Néu x = x, là nghiệm của phương trình fz) =0 thi x, = [~(ax, + b⁄ø † là nghiệm thứ hai Bởi vì :

fŒ;) = f[~(ax + b)/a] = fœ)) = 0 Chẳng hạn phương trình 2x2 — 7x + 5 = 0

có một nghiệm z¡ = ¡ Thế thi

x, =[-(2.1~ ?J/2] = 9,ð

2) Néu x =x, là điểm cực trị của hàm số fx) thi x = [T—(ax, + b)/a] cũng là điểm cực trị, theo tính chất của chư kÌ Do đó phương trình ø(+) = z là phương trình xác định điểm

+ Hàm số này được xác định bởi

y = {x} = x - 2] trong dé [x] là hàm số phần nguyên của x, xéc dinh vdi moi x thực và có nghĩa là sổ nguyên lớn

nhất không vượt qua x

Chẳng hạn : IÝZ| = LỊ0,2]= 0{—15]= 2

247

cực trị (chú ý rằng hàm số tam thức bậc hai

chỉ có một điểm cực trị)

That vay tu x=[-(ax-b/a] suy ra

x=-—(6/2a) chinh 1&8 hoanh độ của đỉnh

parabôn Giải phương trình ø(z) = z ta được

z,=—(b/2a) và do đó y,=f,)=

= — [(b? — 4ac)/4a], nhu da biét, néu a > 0

thì đây là giá trị nhỏ nhất, nếu ø < 0 là giá

trị lớn nhất của hàm sé f(x)

Ví dụ : tìm điểm cực trị của hàm số

ƒfŒ)=222T—x+ 83 ð đây a = 2 > 0 nên

hàm số có giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành

độ suy ra từ :

—[(2x — 1)/2] =x tie la x, = 1/4

giá trị nhỏ nhất là y, = (1/4) = 2

3) Ta sẽ chứng minh định lí Vi-ét :

Nếu x,*; là nghiệm của tam thức bậc

hai thì :

x, +x, = ~(6/8)

*i#¿; = cÍa

Thật vậy,

xị +*¿ =#j[—(ax, + b)/4] = —(bia)

#i#¿ = x,[-(ex, + b)a] =

= [-(axt + bx,)/a) = ofa

(chú ¥ ax? + bx, +.¢ = 0)

4) Tam thitc bac hai f(x), nếu có nghiệm,

có thể phân tích ra thừa số ;

f(r) = dạ ~ 4) — 4)

Thật vậy : f(x) = a(x — x,)[x + (ax, + b)/a]

= ax? + axx, + bx — axx, — (ax + bx) =

= ax? +bx te

5) Như vay ham s6 p(x) = [—(ax + bya] 1a

chu kÌ của tam thức bậc hai Từ đó ta có :

Định li: DE hai giá trị khác nhau x,,x,

của đối số làm cho tam thức bậc hai cớ cùng

mot gid tri, tric 1a f(x,) = fl,) thi diéu kiện

cần và đủ là phải thỏa mãn hệ thức

x, + x, = —(b/a) hay x, = |-(ax, + bya)

điểu kiện cẩn cd thé suy ra ti f(x,) = Ax)

với chú ý chu ki cla ham số là

p(x) =| —(ex + byl

248

Để có đủ điểu kiện đủ, hãy xác định giá trị hàm số tại diém x, = [—(øxị + b)/œ], ta có

f@¿ = f{~(ax + bya] = fx,)

Tw day, dinh If Vi-ét được xem như là trường hợp đặc biệt của định lí trên, khi

f&) =fœ¿) = 9,

nghĩa là định lí Vi-ét là điều kiện cần và đủ

để #5; là các nghiệm của tam thức bậc hai

Định lí trên có hình ảnh hình học là tung

độ của hai điểm phân biệt trên parabôn, có

hoành độ đối xứng qua trục đối xứng của parabôn sẽ bằng nhau

6) Tương tự xét hàm số

fix) = ax3 + bx? + ex +d,

có hai chu kì không tầm thường suy ra từ phương trình bậc hai đối với @()

ag(x) + (ax + 6)(x) + ax* + bx +e =0

tức là :

p(x) = [-(ax + b)E

+ [aa bf = 4e(Gx2 + bx + O)|/2ø

và cũng tương tự, có thể nêu những hệ quả

như đã xét ở trên, đặc biệt có thể chứng tỏ

rằng, nếu x = z¡ là nghiệm của phương trình

bac hai f(x) = 0 thi ø@,) sẽ cho hai nghiệm

còn lại và phương trình xác định điểm cực

trị là p(x) =x, sau khi biến đổi có dạng :

8ax2 + 2bx + e = 0

Ví dụ giải bài toán về cực trị trong sách giáo khoa đại số lớp 10 tập hai §44 như sau :

"Dọc theo mỗi cạnh của 1 tấm nhôm hình vuông, cạnh ø người ta gấp lên 1 bảng để làm thành cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất Tính chiều rộng mỗi băng đó ?"

Thể tích của hình hộp là :

V = fx) = (a — 2x)? 2 = 4x) — 4ax2 + gầy

với điều kiện 0 < x < 2/2

Chu kì g@) = Íø — x + Vx(2e — Sx) 2

Phương trình xác định điểm cực trị

øŒ) = + có dạng : 12x? — Bax + a? =0

từ đây, loại trường hợp z = ø/2, ta có nghiệm

x = a/6 khi 46 f (2/6) = 203/27

Để xác định đây là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất, ta thử và thấy rằng :

f @/6) > f (@/5) = 903/125,

f(4/6) > f (@/T) = 2503/34

Do dé V= f(x) có giá trị lớn nhất khi x = ø/6

Phương trình ?(xz) = + cho những điểm

cực trị không những đối với hàm số đại số

(có cực trị) mà còn đối với một vài hàm số

siêu việt

Chẳng hạn ta xét trường hgp f(x) = sin

Để xác định chu ki ta gidi phương trình

sinp(x) = +

Có hai chu kì

9%) =x + Qkn, Px) = —x + (2k + 1)x

Phương trình Ø¡Œ) =x vô nghiệm còn

Ø2() =x cho nghiệm x = (2k + 1)z⁄2 là có

cực trị

Tương tự có thể xét ƒ(z) = cosr, và ngay

cả một số tổ hợp tuyến tính đơn giản của

Sinxz và cosx, như sinr + cosz, sinx.cosx, hay asinbz, acosbx, asinbx + ¢ v.v

Van dé vé những hàm số siêu việt nào

(được đề cập trong chương trình phổ thông)

có thể xét cực trị bằng phương pháp trên như đối với hàm số đại số, với chu kì theo ý nghĩa (3) cũng là một bài toán lí thú Mời các bạn cùng nhau bát tay vào giải quyết vấn đề này Cần nhấn mạnh một lần nữa là, nếu phuong trinh p(x) = x cd nghiém thi

hàm số cho trước có cực trị, hay nói một cách khác, một hàm số không cớ cực trị thì

p(t) = z vô nghiệm

Vi du : ffx) = a/ x thé thi theo (3) ta cd : alp(x) = a/x v6i điều kiện x s O0; gŒ) #0

ta suy Ta @(z} = + với mọi z thuộc miền xác định của hàm số nghĩa là chỉ có một chu kì tầm thường mà thôi

Hay chang han xét f(x) = tgx là hàm số không có cực trị, ở đây ø) = + + kx nên phương trình ¿() = + vô nghiệm

MỘT SỐ BÀI TOÁN DANG CHU

TRONG KHÔNG GIAN

Trước khi đề cập tới chủ dé cua bai này,

đề nghị các bạn tự chứng mình (hoặc nhớ

lại) một số mệnh đề khá quen biết sau đây :

Mệnh đề 1

Trong tốt cả những hình bình hành có

chư 0í cho trước thì hình uuông là hình có

diện tích lớn nhất,

Mệnh đề 2

Trong tất cả những hình bình hành có

chu vi va chiều dời của một đường chéo cho

trước thì hình thoi là hình có điện tích lớn

nhất

ĐĨ nhiên là mệnh đề 2 tương đương với

mệnh để sau

Mệnh dé 2’,

Trong tét cd nhitng tam gide cé chu vi va

chiều dài của một cạnh cho trước thì tam

giác cân là hình cô diện tích lớn nhất

NGUYEN HONG SON

(Lược dịch từ "Corantơ")

Mệnh đề 3

Trong tất cả những tam giác có chư 0í cho trước thì tam giác đều là hình cô diện tích lớn nhất

Các mệnh dé 1 - 3 trên đây là lời giải

của những bài toán cực trị mà người ta thường gọi là những bài toán đẳng chu : Trong số những hình cớ dạng xác định và có chu vi cho trước hãy tìm hÌnh cớ diện tích lớn nhất Ö đây, cần chú ý rằng những mệnh

để 1 và 3 là những trường hợp đặc biệt của một mệnh đề tổng quát hơn : Trong tất cả những hình n cạnh cớ chu vì cho trước thì hình n cạnh đều là hình có điện tích lớn nhất Tiến tới giới hạn có thể thấy một cách

dễ đàng rằng trong tất cả những hinh có chu

ví cho trước (hình dáng có thể bất kì) thì hình tròn là hình cớ điện tích lớn nhất,

249