Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part3-2)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part3-2)

=P, + PQ >

~ G+ dP,

= Py ~ 1% — 2 ~ %~ Py 2)

‘Ta thay biéu thitc trong dấu ngoặc ở vế

phải là biểu thức ở vế trái mà thay chi số k

bởi è - 1 Nếu áp dụng liên tiếp phép biến

đổi đó thì ta được : PQ 1 -— UP, =

= IPP, G5 - & - Pe -3)

= CD HPQ, - @,P,)

= (1k 1qP, +1 -aP,),

Vay PQ, 1 ~ QP, = (IF!)

Đẳng thức (6) chứng tỏ :

1) (P„@Q/)= 1 : Vì nếu ở là ước chung

của P,, Q„ thì nớ phải là ước của vế trái (6)

do đơ là ước của vế phải, suy rad = 1 Vậy

giản phân là phân số tối giản Từ đó nếu

» là phân số tối giản thÌ từ 2 =" suy ra b 6-8,

a=P,,6=@,

Đặc biệt lấy & = n thi (6) có thể viết :

—= x.¬

-*96,_T¡T 6P T—¡= C1

và do đó

al(-1)"~'eQ,_ + 5I(-1)"eP, _ ) =e

Rõ ràng là x, = (~1)"~ Jo mt

Yo = (WP, _

là một nghiệm của phương trình

Vi du : Giải phương trình

43x + 87y = 21

43 Khai trién 37 thành liên phân số theo

phương pháp trên, để cho gọn ta viết

43, 37 Lo

37° «1 6 we 1

43

6

Để tính các giản phân ta lập bảng sau :

dòng thứ nhất ghi chỉ số k, đồng thứ bai ghỉ các giá trị q„ tương ứng ở đây q = lq, = 6,

92 = 6 Dong thi 3 ghi P, bang cach sau :

ta ghi P_, = 1, P,=q, = loin P, voik > 1

có được bằng cách lấy g & dòng trên nhân với P,_ ¡ cộng với P,_;- Chẳng hạn ?.=

=ð6x 1+1 =7 Cũng như thế đòng thứ

tư gồm các @, tương ứng

Ở đâyn =2 Q,_,= Q,=6,P,_, Vậy theo trên ta có một nghiệm của phương trỉnh là :

#¿= (1)?121 x 6 = ~126

Yo = 121 x 7 = 147

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là ;

l =x, + 3% = 37-126

=P =7

ý =#¿ — 43 = 147 — 48

Tl Biểu diễn xấp xỈ số thực bằng các giản phân

P Cho ø là số thực, —” là giản phân bậc „ hạ

của liên phân số biểu diễn số @, người ta thấy

1 < a-—|<« Pa <2

G17 @) “1% 3 < Ga

Nhu vậy, nếu dùng giản phân để biểu điễn gần đúng số thực thì ta biết được cả cận trên và cận đưới của sai 36 Người ta chứng

P

minh duge ring méi giản phân bậc n, a biểu ;

diễn xấp xỈ œ tốt nhất so với các phân số có mẫu số nhỏ hơn hay bằng Q„ Cớ nghĩa nếu

b <Q, thi

le @,) <le-a|

với mọi phân số é Như vậy ta có thể dùng giản phân để biểu điễn xấp xỉ số thực với độ

189

chính xác cao, bằng những số không lớn lắm

Chẳng bạn ta biết x = [3 ; 7, 15, 1, 292, }

các giản hàn của nó là cô=g, pI Garr = 2

P, 333 Py 355 P¿ 103993

l7-@l=|*~ al

1

< Tis x gar0a < °,0000008 ,

3 như vậy dùng giản phân = biểu diễn số

z ta mắc sai số nhỏ hơn một phần triệu

Muốn biểu diễn bằng phân số thập phân

với sai số như vậy, phải dùng số 3,1415926

15707963 hay phân nố 5000000"

Trên đây mới chỉ là vài nét sơ lược về liên phân số Nhiều công trình của các nhà toán học lớn như Ole, Lagøräng, Galoa về liên phân số, đã làm cho liên phân số trở thành một công cụ có hiệu lực trong nhiều lĩnh vực toán học

NGUYÊN LÍ DIRICHLET

"NHỮNG CHIẾC LỒNG" VÀ "CÁC CHU THO"

Khi chứng minh các bài toán thường

người ta dùng một phương pháp rất thuận

lợi, đó là phương phdp Dirichlet (Péte

Gutxtap Legien Diricheolé (1805 ~ 1859)

nhà toán học Đức nổi tiếng) Dạng đơn giản

nhất có thể phát biểu như sau : Khong thé

nhốt 7 chit thé vio 3 chiếc lồng, sao cho

trong mỗi lồng có không quá hai chú thỏ

Bây giờ ta sẽ giải một số bài toán bằng

cách chọn các chú thỏ thích hợp và nhốt vào

những chiếc lồng tương ứng

1 Trong lớp có 30 học sinh Khi viết

chính tả em Xuân phạm 13 lỗi, còn các em

khác ít lỗi hơn Chứng minh rằng có Ít nhất

là 3 em học sinh đã mắc một số lỗi bằng

nhau (kể cả những người viết 0 lỗi)

6 đây "thỏ" tức là các em học sinh, còn

"lồng" là lỗi đã phạm phải

Trong "lồng" 0 ta nhốt tất cả những em

viết chính tả không lỗi, trong "lồng" 1 nhốt

tất cả các em phạm 1 lỗi, trong "lồng" 2 nhốt

tất cả các em phạm 2 lối, v.v cho đến chiếc

190

LÊ ĐÌNH THỊNH (dịch)

"lồng' thứ 13 ta chỉ nhốt mình chú "thỏ"

Xuân

Bay giờ chúng ta ứng dụng nguyên tấc Dirichcolé (cha ý là chỗ này rất quan trọng)

Ta sẽ chứng mình bài toán bằng phản chứng Giả sử rằng không có ba em nào viết chính tả phạm cùng số lỗi như nhau, điều đó

có nghĩa là trong mỗi lồng 0, 1, 12 có Ít hơn

3 học sinh, khi đó trong mỗi lồng có không quá 2 học sinh và trong số 13 lồng cá không quá 26 em học sinh, cộng thêm em Xuân nữa cũng chưa đẩy 30 em : Điều đó mâu thuẫn

Cơ thể khẳng định rằng có đúng ba em học sinh có cùng số lỗi như nhau không ? Tất nhiên là không Có thể là trừ Xuân ra, còn tất cả các em đều viết chính tả không lỗi Có thể nói rằng ít nhất là cổ 4 em ở trong cùng một lồng hay không ? Cũng không Lớp học có 3 người viết không lỗi, 3 người viết 1 lỗi, 3 người viết 2 lỗi, 2 người viết 3 lỗi, 2 người viết 12 lỗi và 1 người viết 13 lỗi thỏa mãn đầu bài toán

2 Ở Matxeova có khoảng 7,1 triệu dân,

Trên đầu mỗi người có không quá 100.000

sợi tóc, chứng minh rằng ở Matxcơva có ít

nhất là 7Ô người có số sợi tóc trên đầu như

nhau

SỰ QUEN BIẾT

Ta xem sự quen biết là đối xứng giữa mọi

người, có nghĩa là nếu Mai quen với Hồng,

thì Hồng cũng quen với Mai

3 Chọn 5 người tùy ý Chứng minh rằng

Ít nhất là 2 người trong số đó có số người

quen (trong ð người đã chọn) như nhau

Te dung 5 "chiếc léng" 0, 1, 2, 3, 4 Gia

sử số thứ tự của những "chiếc lồng" bằng số

người quen của người ở trong lổng đó Có

hai trường hợp có thể ; Có người không quen

với 4 người còn lại hay là không co người

như thế Trong trường hợp đầu trong chiếc

lồng 4 không có ai cả (không thế thì những

người ngồi trong lồng 4 và lồng 0 quen nhau

mất) và 5 người bị nhốt trong 4 "lồng" Trong

trường hợp thứ hai họ cũng bị nhốt như thế

(vi "lổng" 0 trống) Theo nguyên tác

Đirichcơlê ít nhất là có hai người ở trong

một lồng

4 Trong cuộc thì đấu bóng đá có 10 đội

tham gia Cứ hai đội trong số đó phải đấu

với nhau một trận Chứng minh rằng, trong

mọi thời điểm của cuộc đấu đều có hai đội

đã đấu được một số trận như nhau

TĨNH CHIA HẾT

5 Chứng minh rằng trong số 12 số tự

nhiên bất kÌ cớ thể chọn hai số cơ hiệu chia

hết cho 11

Khi chia cho 11 ta có một trong 11 dư số

là 0, 1, 2, , 10 ta có tới 11 số, do đó theo

nguyên tắc Dirichcơlê phải tổn tại hai số có

cùng dư số Hiệu của hai số đó sẽ chia hết

cho 11

6 Người ta viết 5 số tự nhiên vào một

hàng : ai, đ¿ G3, @4, a Ching minh rang,

hoặc một trong các số đó chia hết cho ð, hoặc

tổng một số số tự nhiên kề nhau chia hết

cho 5

Xét 5 sé

a

„

ai + d2,

a, ta, ta,

a, ta, +a, +a,

a, ta, +a, +a, ta,

Nếu một trong các số đó chia hết cho ð thì bài toán đã giải xong Trong trường hợp

trái lại, khi chia cho 5 mỗi số cớ 1 dư số nào

đó trong 4 số : 1, 2, 3, 4 Theo nguyên tÁc Đirichcơlê ít nhất 2 trong 5 số đớ có cùng

du số Nhưng hiệu hai số đó hoặc là 1 trong những số đã cho trong đầu bài, hoặc là tổng một số số kể nhau,

7 Chứng mính rằng trong 52 số tự nhiên

có thể chọn hai số, sao cho tổng hoặc biệu

của chúng chia hết cho 100 Mệnh đề đớ có

đúng không, nếu ta chỉ lấy 51 số ?

HÌNH HỌC

8 Trong hình vuông cạnh 1z lấy ð1 điểm tùy ý Chứng mình rằng tổn tại 3 điểm trong một vòng tròn bán kính 1/7.m

Chia hình vuông thành 25 hình vuông nhỏ bằng nhau (với canh 1/5.m) Ta sé chứng minh rang trong một hình vuông nào đó cứ

Ít nhất là 3 điểm trong số ð1 điểm đã cho Ứng dụng nguyên tắc Điricheơlê : nếu như trong mỗi hình vuông (ở trong hay ở trên cạnh) có không quá hai điểm thì tổng số các điểm trong hỉnh vuông không quá 2 x 25 = 50 điểm mất

Ngoại tiếp hình vuông nhỏ cớ ít nhất 3 điểm đã cho đó một vòng tròn, bán kính của vòng tròn đó bé hơn 1/7.m

9 Trong hình vuông cớ cạnh là 1 lấy 101 điểm tùy ý (không nhất thiết là các điểm trong) ; không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng tổn tại một tam giác với đỉnh tại các điểm đã cho, có diện tích không lớn hơn 1/100

Bay giờ là một số bài toán mà khi dùng nguyên tắc Điricheơlê phải biến về dạng hình học

10 Một số cung của một vòng tròn được

sơn đen Tổng độ dài của các cung sơn đen

đó bé hơn nửa vòng tròn Chứng minh rằng tổn tại một đường kính cớ hai đầu không bị son den

Ta son xanh những cung đối xứng với các cung den qua tâm của vòng tròn Vì tổng độ dài của các cung xanh bằng tổng độ dài của các cung đen, nên tổng độ dài các cung bị

sơn bé hơn độ dài của vòng tròn Điều đó có

nghĩa là (nguyên tắc Điricheơla) tồn tại một điểm chưa bị sơn Đường kính đi qua điểm

đó, chính là đường kính cẩn tìm

181

vậy z = 0 không phải là nghiệm của phương

trình, ta cổ phương trình tương đương (bằng

e4ch chia cho x") :

¬1

ax" + a,x" + tay + +

Gy%-1 | mn

+t tp =O hay

(02 St + (Orage Ea a

+ (a, 2+") +ay =0

Theo gia thist:a,_,=0,, (1<j <n),

nên phương trình trên tương đương với :

a,, [ (txy"+ 5] + +te,, | (ÿ+ 3 + +

+o, [m+ 2] +a,=0

hay

By Vy ot đu + ta, ¥i+a,=0

với

Ÿ.= = (txy + 1 (ej 5 <jsn) }

Theo nhị thức Niu-tơn

(a + bY = Chal + + Chad “tok e+ G9

Ta có

( tt) (ty) +0 tay" +P O(n 44+

+ #0(xÿ + + HƠI gout tg

với È là số tự nhiên và 0 < & sự

Tu đó ta có

;„ 1 ly

Ya (ay toe (@+2) -

j ; t

_ [3e 1 xi +o —1_ gi] ae ~ —

- [ Achy —2k + ¿Ø -k_ yout

hay

=Yi - Ì _ _ _

Y= ¥ ~tCl¥;_ — - ACY, yy -

Từ (Ù với j = 3 và j = 2 ta có

Y, = YỶ ~ 0C, (2)

lÄ-T£TH

Từ (1), (2), (3) bằng cách truy hồi ta có thể biểu diễn được mọi Ÿ, qua Y) với số mũ cao nhất của Y, là n Vậy phương trình đưa được về dạng ƒŒ\) = 0 với số mũ cao nhất cia Y, lan Dé là điều cần chitng minh

Ví dụ 1 Giải phương trình 16z8 ~ 8x” - 56x5 + 1625 + 52x4 — a3 -

-142+z+1= 0

Ta thấy với £ = -2 = a,las, anja, = (-2)2,

a,fa, = (-2)7, a fa, = (~9)', thỏa mãn gia thiết của mệnh đề 1 Vậy có thể đưa phương trình về một phương trình bậc bốn

Th có phương trình tương đương

(1e +1) + ( & +55)

1

~14(42 + 5)-8 (a +2) 452-0

(#43) = (27%) +4

nên phương trÌnh trên tương đương với

(2-2)* (ý) s( a )*— 6 (= ax)?

- 2(š~2) tá=0,

x

Đặt Y = 7 — 2x thì có

Y†+Y2-6Y?-2Y+4=0

Ta lại cố ý = -1/2 thỏa mãn giả thiết của

mệnh để 1 Vậy ta có phương trình tương đương

(2+2) +(Y-ÿ)-s=0

đưa được về

Z?+Z-9 = 0 với Z = Y - 9/Y

Phương trình có nghiệm Z = 1 và Z = -2

Từ Z tìm ra Y và cuối cùng tìm ra 8 nghiệm của phương trình là :

193

14 V3

x, = 1,x, = -1/2, Xs 4 = 5

_1-Y8+Vï2-25

1 + Vã + j12 + 23

4

#ịg=

Ví dụ 3 Giải phương trình

96x? + 24V3x3 — x2 + 6x + 2 = 0

Ta thấy ¿ = 4/3 thỏa mãn giả thiết của

mệnh để 1, nên đưa được về việc giải phương

trình bậc hai

Để hoàn thiện phương pháp, các bạn hãy

tự chứng minh mệnh để sau đây

Mệnh đề 2 Phương trình bậc 2z

f@) = q2?! + a2 TT + + ay, = Ô

muốn đưa được về một phương trình bậc ø

bằng cách chia cho +” thì điều kiện cần là

có số ý # O sao cho

„~

a, j= 8n vjP với mọi j = 1, 2,

Một số chú ý :

1 Cần chú ý đấu của các hệ số : Gy va ở„„_ „ phải cùng dấu thì mới sử dụng được phương pháp trên

2 Nếu có thể thì dùng phép thé dang

y =3 sau đó mới dùng phương pháp trên

Ví dụ phương trình

16x12 - 82x2 + 8xế + 8y? + 1 = 0

nên đưa về

16y! - 82y2 + 8y? + 8y +1 =0

rổi mới áp dụng phương pháp này

Cuối cùng xin đưa ra vài phương trình để các bạn áp dụng phương pháp trên :

1) x4 + 2x3 - 2x? + 10x + 95 = 0

2) BY8x* + x3 — 10V 7x? - 2x = 4V75 = 0

3) Bal? + 4x? — 18x6 - 12x2 + 4ð = 0 4) 8x6 - 16x5 + 2x4 + 1203 + Bx? - 86x +

+27 = 0

B) 2x8 + 9x7 + 20x56 + 88x” + 48x! + + 66x3 + 80x? + 72x + 32 = 0

VÀI VẤN ĐỀ VỀ SO SÁNH CÁC SỐ

Šo sánh các số, nhất là các số lớn là một

việc rất khó khăn và phức tạp Đặc biệt các

số đó lại ở dạng không cố định thì việc tìm

các dấu bất đẳng thức giữa chúng lại càng

khó khăn Thế nhưng trong chương trình

toán ở trường phổ thông lại rất Ít đề cập đến

vấn đề này Qua bài báo này tôi muốn trao

đổi với các bạn phương pháp giải một số bài

toán đạng đó

Bài toán 1 Số nào lớn hơn trong hai số

ino

2" va g2

0

di giải 'Th sẽ chứng mình rằng 23” > g2”,

That vay, tit (3/2)? > 2

ta suy ra

(3/2)! > 2 hay 3100 > 2, 2100,

194

Nouyén vif THÀNH

Từ đó

1 2100 2" „49 „g9 (đpem)

Bài toán 3 Số nào lớn hơn trong hai số

B19 + 619 gà 710

Lời giải

Cách 1 : Ta chứng mình rằng

510 4 glo ~ 710

Thật vay, ta cd 519 + 619 < 2,610

Vậy điều cần chứng minh tương đương với

2.619 < 719 gay (7/6110 > 2

“Theo bất đẳng thức Becnuli, ta được (1/610 = (1 + 1/6)! > 14+ 10 1/6 > 2

đó là điều phải chứng minh

Cách 2 : Ta có 62 + G3 = 841 < 843 = 7ô

hay (5/73 + (6/7 < 1

Mặt khác

(5/7)! < (5/73 va (6/119 < (0/02

Từ đó

(5/7)19 + (6/719 < 1

nghĩa là

B10 + G10 < 10, Bài toán 2 không phải là bài toán quá

khó, song lời giải của nớ là cơ sở để ta suy

nghĩ giải các bài toán tổng quát hơn

Bài toán 3 Số nào lớn hơn trong hai số

1+2!'+ +9? oà 101,

tời giải Trước hết ta nhận thấy rằng nếu

có một số n nào đó sao cho

1*°+27+ +! «10!

thì với mọi số m > n ta đều cớ

M+ 24 + OM 10",

Bây giờ, bằng phép thử trực tiếp, ta được

1+2.,+9>10,12+22+ +92 > 102,

lẬ+22+ +6) > B2 +92 = 729 + 512 > 109,

Nhu vậy, với n tương đối bé thÌ bước thử

đó làm cho các ước vọng sử dụng các nhận

xét của ta mất hiệu quả, song với œ = 7 ta

có :

17 +27 < 37, vì thế Ù + #7 + 87 < 2.97 < 47,

tiếp tục quá trình đó, bằng cách sử dụng bất

đẳng thức Benuli thì 1” + 27+ + 87 < 2,87,

2.87 < 97 va 2.97 < 107, tức là 1” + 27 +

+97 < 107, Véin = 5 thi 15+ 254 .+ 95 > 105

do có bất đẳng thức 0,9 + 0,8 + 0,72 >1,

Các bạn hãy tỉm lấy trường hợp n = 6

(Tra li: 16 + 26 + + 9% < 108)

Vậy ta đi đến đáp số là

- V6 1 <s n < 5 th

1#“+2+ + 0> 10

~ Với ø > 6 thì !1+ 2+ +89!'< 10

Bài toán 4 Số nào lớn hơn trong hai số

2 14+ 224334 + 1000100 ya 2?”

Tời giải

Ta cd

vì 219 = 1024 > 10

và 26 = 64 nén 215 > 64000

2

nghĩa là 22” > 264000 Mặt khác

1+22+ 83+ + 10001900 < 1000, 10001000

= 10001001 < (2231001 — 210010

Do 264000 — 210010

2 2

Nen 1 +224 33+ + 1000100 < 9%

Bài toán õ Số nào lớn hơn trong hai số

at

va 0, = 22.20

——

n

Khi đó

øa=2, da =4, a,= 16 , a, = 65536 ; b,=4

Như vậy dễ thấy rằng

a, <b), a,<b,,a,<b,,a,<b,

Ta hay xem a, vd 65, tacd:

a, = a% = 265536 | b, = 2222922222

Ta chitng minh a, < o,

That vay, vi 22222 > 1024 = 210 nén

2992222222 „ (21022222 — 2222220 _ 965536 tức là 6; >a,

Ta hãy chứng mỉnh rằng với n > 6 thì

a, >, -

Ta có 22 2 < 10" eye

n nên — ö„< (10910°= 10H < (297

195

I- Trước hết chúng ta bắt đầu bằng

những bài tốn trong mặt phẳng

1 Xét bài tốn sau đây : Cho một điểm

M nam trong mot tam giác A, A, Ay Hay xée

dinh céc số thục Rị, hy va ka khong ding

thời bang 0 sao cho 5k; MA, = 0

(kí hiệu 3 ở đây và suốt trong mục 1 được

3

hiểu là tổng > )

¿=1

Trước hết ta thấy rằng nếu (Ry, Ry, Ry)

là một bộ số thực thỏa mãn hệ thức đã cho

thì mọi bộ số thực Q&,, 4À, Ak,) trong dé A

là một số thực khác 0, đều thỏa mãn hệ thức

đã cho Vì vậy nghiệm của bài tốn được xác

định sai khác một thừa số khác 0

Để giải bài tốn này, ta hãy gọi B; la giao

điểm cua dutng néi M va dinh A, với cạnh

d6i dién G = 1, 2, 8); 8, 18,8, theo thứ tự

la dién tich cfc - tam giác

MA/Ay,MA,A, va MA,A, (hinh 1),

Ae

Hình 1

Nếu N, va Ny lần lượt là chân các đường

vuơng gĩc hạ tit A, va A, xudng A,B, thi

ByAYBA,= ~ ANIA = ~ (12) AN)

MA,/(1/2) A,N, MA, = — s5, ,

Nếu P là một điểm bat ki trong mat

phẳng thì hệ thức

—_—

BiAJB A, = — sÚa,

(PA, - PB DPA, ~ PB en sys từ đĩ rút

ra (8, +85) PB, = 6, PA, + 8,PA, q)

Ta hãy chọn P là điểm chia đoạn 4Ư,

_— >

theo ti số — (s;+ s2)/6ị , tite 1a PA, PB, =

= — (8)+ 8,)/s, hay

6,PA 1+ @ +8) PB, =0

Hệ thức này cùng với q cho ta

s,PÃ + s,PÄ.+ s,PA,= 0 hay > s,PA,= 0 (2) Như vậy, điểm P xác định bởi hệ thức (2) nằm trên đường thẳng AB,

Để ý rằng trong hệ thức (2), các chỉ số 1,

2, 3 cĩ vai trị như nhau, nên bằng cách tương tự ta cũng chứng mỉnh được điểm P xác định bởi hệ thức (2) cũng nằm trên các duong thing A,B, va A,B, Ndi cách khác điểm P xác định như vậy chính là điểm M

Như vậy là ta đã chứng minh được rằng

k¡ tỈ lộ với ø, @ = 1,2,3), và udi moi điểm

M nam trong tam gite A,A,A, ta cb hé thite

Death, =o

Nếu O là một điểm tùy ý trong mặt hẳng _tJ thì hệ thức trên cĩ thể viết thành

OM = Sa, ỒJS s.=S sỘ/S với 8 là

điện tich tam giéc A,A,A, Dé cho gon ta

sẽ quy ước kí hiệu theo vectơ bán kính tức

la vist OM = M.OA, = A, Nhu vay hé thitc

trên cĩ thể viết thành

=>

2 Trường hợp điểm M nằm ngồi tam giác AyA;A; Bằng đường lối tương tự trên

ta dễ dàng đi tới kết quả sau đây Nếu ta đánh số các miển của mặt phẳng như ở hình

2 thì trong trường hợp M thuộc miền œ; hoặc

ø, thi hệ thức @, duge thay thế bởi

~ 5\MA, + s,MA, + sMA, =0, cịn Œ')

thì _được thay, thế bởi các ] hệ thức

M= = 4 A, + oAyt sAyis néu M € a,

hoặc M= (8, A, - sA,- 83 AIS nếu M € a’,

197

Trường hợp M nằm trong các miền khác

cũng được giải tuyết tương tự Còn nếu M

nằm trên một hoặc hai trong những đường

thẳng 4z4;:, Azá, Ái4; thì các hệ thức (I)

và (T) vẫn đúng Lúc đó sẽ có một hoặc hai

trong những số s, bằng 0

3 Bây giờ ta hãy vận dụng các kết quả

đã thu được để xác định các điểm đặc biệt

trong tam giác

a) Nếu điểm M trùng với trọng tâm Œ

của tam giác 4424; thì rõ ràng

§¡= 8, = 8, va ta thu duge cdc két qua quen

thuộc

3G, =0 va F= Days

b) Nếu điểm M trùng với tâm 7 của đường

tròn nội tiếp tam giác AAA, thì

8,/a, = s,/a, = sa, = r/2 trong đó

a, = AA,, a, = A2, 0y =A‡A; và r là bán

kính đường tròn nội tiếp Hệ thức (D trở

thành

=

Để ý đến các hệ thức a,h, = a,h, =a,h,

(A, là đường cao hạ từ A) và

a,/sin Ay = A,sinA, = a,/sin A, ; từ hệ thức

(8) ta suy ra

-1 rr

> hy TA, = 0

>

Dsin A, IA, = 0

Từ đó suy ra các hệ thức

— =>

T= 30 0,4; 2p

(trong đó p là nửa chu vi của tam giác)

T= (aghy At + hyh, Ay + hy, Ay)

Mhghy + hyh, + A\hy)

T= ¥ sina, A/D sind, =

= ¥ sin A, Aj x coa(A/2)

3

(với x=z

i=l c) Néu diém M tring véi tam 1, của

dường tròn bàng tiếp tam giác A;4;4; nằm

trong góc AAA, thì ta thu được các hệ thức

198

là kí hiệu tích)

> ~ >

Tai HAI + a2TA; + aJ Ai =0,

-BTLIẢ AVIA, + hy 1A, + A514, = 0 ¬1T T1 =

— siRnA,liẤt + sinÁ, 1A, + sinA; 1Ã; =0

=> = =>

T= (-a,A, + 6y Ấy + 0,4, — a,)

=> => =>

T= (— hy Ay + Agh, A, + hyh, Ay)/

No hyhy + hgh, + Ah) -

1, = (~ sind, A, + sinA, A, + sinA, A,)/

AsinA, + sind, + sinA,)

= (sind, A, + sind, A, + sind, A,)/

Acos(A /2) sin(A,/2) x sin (A2)

4;

Ay

Hình 3 d) Nếu điểm M trùng với tâm O cia

đường tròn ngoại tiếp tam giác AiAz4;

(hình 3) thì sy/sìn Ã,OA„= é,/sin A,OA,= s,sinA,OA,

hay 8/sin2A, = s,/sin2A, = s,/sin2A,

Vì vậy các hệ thức Œ) và (I) lần lượt cho ta

> sin24,0A, = 0

va O = 5) sin24,A/> sin2A, =

= > sin2A, AA + sin A, Chúng ta có thể kiểm nghiệm lại rằng các hệ thức này đúng với mọi vị trí của tâm

© (ở trong, ở ngoài hay ở trên biên của tam giác), tức là đúng cho mọi tam giác (có toàn góc nhọn, có góc tù hay góc vuông)

e) Trường hợp điểm M trùng với trực tâm của tam giác xin dành cho các bạn nghiên cứu,