Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-2)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-2)

XA LA MA GAN GUI

Bạn đọc hãy thử xem hai định lí quen

thuộc sau đây :

Định lÍ 1 Trong một tam giác, dường

trung bình bồng nửa cạnh day

Định ti 2 Trong một tam giúc, tổng bình

phương hai cạnh bằng nữa bình phương

cạnh thứ ba cộng uới hai lần bình phương

trung tuyển tương ứng

Quan hệ giữa đường trung bình và các

cạnh thật đơn giản (định lí 1) còn quan hệ

giữa trung tuyến với các cạnh khá phức tạp

(định li 2) Xem ra nội dung hai định If

chẳng "bà con chỉ" Nếu có xem xét các

chứng minh hai định lí trên, cũng sẽ không

thấy rằng khi chứng minh định lí này chẳng

hề dùng đến định lí kia Nhưng sự xa lạ giữa

hai định lÍ chỉ là bề ngoài Chỉ cần đổi cách

nhìn đi một chút đã cảm thấy có sự gần gũi

Quả vậy hãy xem tam giác ABC như một tứ

giác có bốn cạnh BA, AA = 0, AC, CB thì

đã thấy ngay sự "bình đẳng' giữa đường

trung bình (nối trung điểm của hai cạnh đối

diện BA, AC) và trung tuyến (nối trung điểm

của hai cạnh đối diện AA, BC) Vậy thì tại

sao quan hệ giữa chúng với các cạnh lại khác

xa nhau đến thế ? Ốc tò mò khoa học thúc

giục ta nghiên cứu các quan hệ (trong một

tứ giác BAA'C) giữa các cạnh và một đường

trung bình (đoạn nối trung điểm hai cạnh

đối diện) (h.1)

đình t

Gọi 7, K lần lượt là trung điểm hai cạnh

đối điện AA, BC và M, N lần lượt là trung

194

NGUYÊN CẢNH TOÀN

điểm hai cạnh đối diện ABA'C Định lí 2 gợi

ý ta tịnh tiến cạnh AB đến vị trí IP và cạnh

A'C đến vị trí 1Q Hai tam giác XBP và KCQ

bang nhau vì có BP = QC (AA'2) KB = KC

và PBR = QCR Từ đó suy ra PKB =

QKC nên P, Q, K thẳng hàng Ngoài ra :

= KQ nên IK là trung tuyến của tam

giác IPQ Theo định lí 2 thì :

41K? = 20P* + 192) ~ PQ? = 2(1P? + 192) -

-~ứP? + + 1Q? — 2IP 1Q.cosa) hay

47K? = IP? + 12 + 2IP 1Qcosa =

= AB? + A'C? +2AB.A”C” (A"C' tà hình

chiếu vuông góc của A'C xuống đường thẳng

AB) nếu ta chú ý rằng cosa và AB.A"C” luôn luôn cùng dấu

Nhưng :

2AB A"C = 2AB(MC’ - MA”)

= 2A4B.MC’ - 2AB.MA

= (AC? ~ BC?) - (AA? ~ BA) Vậy :

4IK?“AB+A'C1+BA'2+AC?-AA'2~BC! (1)

Hoán vị vai trò của các cặp cạnh đối điện (AA, BC) và (4B, AC) ta được

4MN?SAA'2+BC+BA'2+AC2~AB2—A'C2(0)

Nếu A' trùng với A thì AA' = 0, AB = AB,

ATK? = 2(AB? + ACY) - BC? ; do 1a nội dung của dinh Hi 2

Cdn (2) thi cho ta : 4MN? = BC? hay MN = dung của định lí 1

Như vậy, hai định lÍ 1 và 2 chỉ là xa lạ

với nhau bể ngoài thôi, thực chất thì chúng

đều do một mẹ sinh ra Hai hệ thức (1) và

(2) đều nói lên :

Định li 3 Trong một tứ giác, bốn lan

bình phương của một đường trung bình

(doan thẳng nối trung điểm hai cạnh dối

diện cho trước) bềng tổng bình phương hai

cạnh còn lại uà hai đường chéo trừ đi tổng

bình phương hai cạnh cho trước

BCJ2, đó là nội

Hai định lí 1 và 2 là kết quả của việc áp

dụng dịnh lÍ 3 vào hai đường trung bình của

một tứ giác 8CAA' khi A' đến trùng với A

Đến đây, ta hiểu thêm hai chữ "đào sâu" là

thế nào Ý xuất phát cũng thật là đơn giản :

Coi đường trung tuyến cũng là một đường

trung bình nối trung điểm của cạnh AA với

trung điểm của cạnh BC Don gian nhưng

lại Ít ai nghĩ đến chỉ vì không quen nghĩ rằng

tam giác là một trường hợp đặc biệt của tứ

giác (khi có một cạnh bằng không) và "đào

sâu" đi liền với "mở rộng" Ở đây, có mở rộng

ra tứ giác mới thấy được một mối quan hệ

sâu xa trong tam giác,

Nếu tỉnh ý một chút sẽ thấy rằng trong

khi chứng minh định lí 3, không hề dùng

đốn giả thiết "lối" hay "phẳng" của tứ giác

Vậy định lí đúng cho một tứ giác bất kì (ối,

lõm, chéo, ghênh) Hơn nữa vì độ đài trung

bình là một hàm liên tục của các cạnh và

đường chéo nên định lí 3 vẫn đúng khi có

một đỉnh nào đớ liên tục di chuyển đến nằm

trên một cạnh nào do, thậm chí cả khi bốn

đỉnh thẳng hàng

Sau đây ta sẽ gọi một hình gồm bốn điểm

bất kÌ và sáu đoạn thẳng nối bốn điểm đó,

từng đôi một, là một "tứ điểm" Bốn điểm

và sáu đoạn nói trên theo thứ tự sẽ gọi là

các "đỉnh" và các "cạnh" của tứ điểm Một

cạnh nối hai đỉnh nào đơ và cạnh nối hai

đỉnh còn lại sẽ gọi là hai cạnh đối điện của

tứ điểm Đoạn thẳng nối trung điểm hai

cạnh đối diện sẽ gọi là một đường trung bình

của tứ điểm

Bây giờ ta có thể phát biểu định lí 3 như

Sau :

Định IÍ 3 Trong một tứ điểm cơ sáu

cạnh bằng a, @ = 1, 2, 3, 4, ð, 6,) bốn lần bình phương của một đường trung bình nào

6

đó bằng Ð) g,d2, £, =

ist

chứa hai đấu mút của đường trung bình và

tị = +1 đối với các cạnh khác

Nếu viết biểu thức cả ba đường trung

bình theo định lí 3` rồi cộng vẽ với vế ta

được :

Định lÍ 3”, Trong một tứ diểm tổng bình phương sáu cạnh bằng bổn lần tổng bình Phuong ba đường trung bình,

Vận dụng định lí 3'' vào một tứ điểm cơ bốn đỉnh A, B, C, D thẳng hãng trên một

trục số với các hoành độ là ø, b, ¢, d ta có

ngay : Định lÍ 4 Với bốn số thực a, ð c, ở bất

kỉ, ta luôn lưôn có (a - 6)? + (a ~ e} +

tla - dP t(b~ ch + = độ? + (e - độ? =

-1 đổi với hai cạnh

=4 [2-1 + (T11 2891+

+d bt+e,y

4S 7 7}

Dinh lí 4 cũng là anh em ruột thịt với các định lí 1 và 2 Di nhiên anh em nhà này còn nhiều, các bạn tha hổ tìm

Các bạn thấy không, học một biết mười

là vậy Bằng lòng với việc hiểu hai định lí 1

và 2 thì học một chỉ biết một Thác mắc tại

sao chúng có vẻ xa lạ với nhau rồi đào sâu,

mở rộng, ta đã tự mình phát hiện thêm nhiều kiến thức mới (ít ra là đối với ta),

những kiến thức mà nhìn riêng lẻ, tưởng

như chả "bà con chỉ”

105

Chương 1Í TÌM HIỂU SÂU THÊM TOÁN HOC PHO THONG

NOI CHUYEN VE CAI "DIEM"

TRONG HINH HOC

Hoe sinh chúng ta hoc hinh hoe, lam bai

tập hình học, thường gặp luôn chữ "điểm",

Có lẽ không cớ bài học, bài tập nào về hình

học mà không có chữ "điểm" Như vậy chắc

chúng ta đã hiểu rõ cái "điểm" lắm rồi

Nhưng nếu bây giờ cớ người hỏi "điểm"

là cải gì thì nhiều học sinh còn lúng túng

Điều đó cũng không có gì lạ, vì nhiều nhà

toán học nổi tiếng đời xưa cũng như đời nay

trả lời câu hỏi đó cũng không ổn Sau đây

xin giới thiệu một số định nghĩa về "điểm"

của một số nhà toán học cớ tên tuổi

1) Điểm là cái gì không thể chia được

theo mọi chiếu, nhưng nó có một vị trí

(Aristốt (Aristote) thế kỈ thứ tư trước công

nguyên),

2) Điểm là cái gì không cớ thành phần

Những đầu mút của một đường là những

điểm (Ocơlit (Euclide) thế kỉ thứ ba trước

công nguyên)

3) Điểm biểu thị cái gì chiếm chỗ bé nhất,

chỉ có vị trí đơn thuần Mọi điểm đều có thể

chồng khít lên nhau (Lepnitdd (Leibnitz)

1679.)

4) Những đầu mút của một đường gọi là

điểm (Løgiàng (Legendre) 1794)

5) Sự tồn tại của một nguyên tử đủ để

tưởng tượng một điểm toán học (Côsi

(Cauchy) 1832.)

6) Điểm toán học là một đạng không có

độ lớn Điểm là cái gì được xác định bởi

chính nó (Đenbơp (Delboeuf) 1860.)

106

LÊ KHẮC BẢO

7) Điểm là giới hạn hay đầu mút của một

dường là giao của những đường (Ruse (Rouché) va Do Combarutxo (De Comberousse)

1866 ~ 1891.)

8) Một điểm ứng với ý thức trừu tượng

ma chung ta có đối với một vật thể cực kì

bé mà chúng ta chỉ để ý đến vị trí trong

không gian, đối với một miền không lớn nhưng do chính một vật thể nào đó giới hạn

(Méray (Méray) 1903)

Ta thấy ngay các định nghĩa trên đều

không ổn, vÌ người ta đã đựa vào những cái chưa định nghĩa, ví dụ : chiều, vi trí, thành phần, đường, độ lớn, dạng, v.v Nếu người

ta tiếp tục hỏi : chiều là cái gỉ ? vị trí là cái

gì ? v.v., thì những nhà toán học trên sé ling túng Trong 8 định nghĩa trên có những cái không phải là định nghĩa, ví dụ 5, 8 ; ngoài

ra có định nghĩa lại quá mơ hồ, ví dụ "điểm"

là cái gì được xác định bởi chính nó Ngày nay, người ta định nghĩa "điểm" như thế nào ? : Trong toán học, muốn định nghĩa

một khái niệm người ta phải dựa vào những

khái niệm đã định nghĩa trước Do đó không thể định nghĩa tất cả các khái niệm, mà phải

có những khái niệm đầu tiên không định nghĩa gọi là khới niệm cơ bản Trong hình học người ta lấy "điểm" làm khái niệm cơ bản (ngoài ra còn có những khái niệm cơ

bản khác, ví dụ đường thẳng, mặt phẳng)

Người ta cũng không chứng minh được mọi mệnh để toán học (mệnh đề chứng minh

được gọi là định lí) Muốn chứng minh một

mệnh đề thÌ người ta phải đựa vào những

mệnh đế đã được chứng mỉnh trước Đi

ngược mãi lên thế nào cũng phải có những

ménh dé đầu tiên không chứng minh mà

người ta gọi là ¿tên đề Các tính chất của các

khái niệm cơ bản được nêu lên trong các tiên

đề Dây là phương pháp xây dựng toán học

hiện đại mà người ta gọi là phương pháp

tiên đề

Bây giờ ta trở lại câu chuyện cái "điểm"

Không phải ngẫu nhiên mà người ta thấy

cẩn thiết có những khái niệm cơ bản không

Hai bài toán nồi tiếng :

BÀI TOÁN GÔNBÁC

Vào khoảng giữa thế kỉ thứ 17, Gónbác

(1690 ~ 1764) viện sĩ Viện hàm lâm

Pétecbua (Nga), trong một bức thư gửi cho

Ole (1707 - 1878), cing 14 vién si Han lam

Pêtecbua, đã phát biểu một mệnh để, về sau

mang tên là "bài toán Gônbác" Bài toán đó

như sau : chứng minh rồng mỗi số lẻ, lớn

hơn năm, đều có thể uiết dưới dạng một tổng

của bq số nguyên, tốt,

Bức thư của Gónbóc viết : "Bài toán của tôi

như sau : ta hãy lấy một cách hú họa một số

lẻ nào đó, 77 chẳng hạn Ta có thé phan tich

nó thành ba số hạng : 77 = B3 + 17 +7, cả

ba số hạng đều là những số nguyên tố Ta lại

lấy một số khác, một cách hoàn toàn hú họa,

461 chẳng hạn, ở dây 461 = 449 + 7 +5, và

ba số hạng lại là nguyên tố Ta có thể phân

tích cũng số ấy theo một cách khác, thành

ba số hạng nguyên tố : 267 + 199 + 5, v.v

Bây giờ tôi thấy hoàn toàn rõ ràng rằng : mỗi

số lẻ, lớn hơn năm, đều có thể phân tích

thành một tổng của ba số hạng là những số

nguyên tố Nhưng chứng minh điều đó như

thế nào Phép thử nào cũng cho cùng một

kết quả như thế, nhưng cá đời người cũng

chả đủ để thử lần lượt tất cả các số lẻ Cần

định nghĩa nhu "điểm", Từ khi hình học L⁄@basepski (nhà toán học người nga, 1793 — 1856), được công nhận, các nhà toán học mới đặt vấn đề xây dựng cơ sở cho hình học Họ

đã dùng phương pháp tiên đề và lấy "điểm"

làm khái niệm cơ bản, từ đó người ta thôi

không định nghĩa "điểm" nữa

Như vậy "điểm" là một khới niệm cơ bản

không định nghĩa Ta có thể nêu lên một

hình ảnh của "điểm" là một hạt bụi rất bé

Nhớ ràng đó chỉ là một hình ảnh chứ không

phải một định nghĩa

VA BAI TOAN OLE

NGO THUC LANH

(Đại học sư phạm Hà Nội

phải có một phép chứng mính tổng quát nào

đó, chứ không phải là những phép thử" Ởỉe trả lời rằng mệnh đề đó là hoàn toàn đúng đán, nhưng ông cũng không thể đưa

ra một phép chứng mình chặt chẽ của mệnh

đề đó được Mặt khác Ole lai dé ra mot mệnh

đề mới, về sau gọi là "bài toán le" : "mới

số chắn, từ bốn trỏ di, đều có thể phôn tích thành một tổng của hai số nguyên tổ", Mệnh

đề này ông cũng không chứng minh được Chú ý rằng, nếu giải được bài ¿oán Ole

thì rõ ràng từ đó suy ra được lời giải của bài

toán Gônbác Thật vậy, mọi số lẻ, lớn hơn

năm, đều có thể viết đưới dạng 2n + 1 = 3 + 2Œ ~ 1), trong đó 2(n - 1) > 4 Nếu mệnh

dé Ole là đúng, thì số chẩn 2w - 1 sẽ phân

tích được thành một tổng của hai số nguyên

tố, lúc đó số lẻ 2n + I sẽ phân tích được thành một tổng của ba số nguyên tố, và

ménh dé Gônbác sẽ đúng với mọi số lẻ từ 7

trở đi

Nhung dao lai thì không đúng, tức là nếu mệnh dé Gónbác là đúng thì từ đó không thể

suy ra được rằng mệnh đề Ở/e cũng đúng Như vậy, bài toán Ởie khó hơn bài toán

Gônbác nhiều ,

107

Gần hai trăm năm sau khi được đặt ra,

bài toán Gônbác vẫn chưa tÌm được lời giải,

mặc dù nhiều nhà toán học lối lạc trên thế

giới đã đề cập đến Mãi đến năm 1930, nhà

toán học Xô viết trẻ tuổi L.G Sniarenman,

(1905 - 1938) mới tim ra được con đường

đúng đán để tiến tới lời giải của bài toán

Gônbác Ông đã chứng mính được rằng : đồn

tại nuột hàng số k, sao cho mỗi số tự nhiên

lớn hơn 1 dều có thể uiết dưới dạng một lồng

của không quá k số nguyên tố, túc là uới mọi

số tự nhiên N (N >1)

N=p,+py,t+ +p,

trong đỏ p hoặc là một số nguyên tố, hoặc

là bằng không

Nếu ta chứng minh được rằng k = 3 thì

bài toán Gônbác được giải xong Nhờ sự nỗ

lực tìm kiếm của nhiều nhà toán học, số đó

được xác định là 67, và bây giờ đã hạ xuống

20 Nhưng từ đó hạ được xuống số 3 thì

đường vẫn còn dài

Năm 1987 một sự kiện quan trọng đã xây

ra làm chấn động dư luận của giới toán học

trên toàn thể giới Nhà bác học Xô viết viện

si J.M Vinégradép (sinh năm 1891) chứng

minh được mệnh đề Gónbác với những số lẻ

đủ lớn : mọi số lẻ, kể từ một số dủ lớn nào

đỏ, dều là tổng của ba số nguyên tố

Nói cách khác, trong các số tự nhiên, tồn tại một số N, đủ lớn, sao cho sau số đó mọi

số lẻ đều là tổng của ba số nguyên tố

Vinôgradốp đã chứng mình được định lí

trên đây bằng một đường lối rất phức tạp, đòi hỏi vận dụng những công cụ rất tỉnh ví

của toán học hiện đại

Vấn đề đặt ra là : số N,, là bao nhiều ? Nhà toán học Xô viết K.G Barôdohin đã

chứng minh rằng

Na eons

trong do e sé co s6 logarit tu nhién, e = 2,7182

Muốn chứng minh được mệnh đề Gônbác

một cách hoàn toàn, cẩn ha số N, xuéng nhiều hơn nữa, rồi thử nghiệm với tất cÀ các

số nhỏ hơn Nhiều nhà toán học đã thử

nghiệm trực tiếp, và đã đi đến kết luận là

với tất cả các số tự nhiên tới 9.000.000 mệnh

đề Gônbác là đúng

Phương pháp của Vínôgrađốp chưa đủ để giải bài toán Ole Cho dén nay bai toan nay vẫn chưa tim được lời giải Bài toán Gônbác với các sé chin, ma bản thân Gônbác không để ra, cho đến nay cũng chưa giải

được, mặc dù, từ dinh li Vinégradép suy ra

rằng mỗi số chẫãn đủ lớn là tống của bốn

sổ nguyên tố

MIỀN TRONG, MIỀN NGOÀI CỦA ĐA GIÁC

1) Bạn đã làm quen với các hình đa giác

từ lớp 5, lớp 6 Nhưng xin hỏi bạn : hình 1

và hình 2 cớ phải là hình đa giác không ?

Hình 1

108

Chắc các bạn trả lời ngay được rằng hình

1 là hình đa giác, tuy có vẻ "lạ" một chút

Càn về hình 2, thì chắc nhiều bạn còn do

dự Để trả lời câu hỏi, bạn phải trở lại định

nghĩa của hÌnh đa giác, tức là xem xét hình

3 có phải là một đường gấp khúc kin khong

Muốn vậy, bạn hãy cho một chú kiến bò từ

một điểm nào đó trên hình 2, điểm A chẳng hạn, bò theo các đường nét đã kẻ (theo chiều

mũi tên chẳng hạn) và khóng bao giờ được

quay lại dường cũ, Bạn sẽ thấy rằng chú kiến sẽ bò qua (ế‡ cd các đường nét da ké

và cuối cùng sẽ trở về lại điểm A, nghĩa là hình 2 là một đường kin, còn đó là một đường gấp khúc thÌ quá rõ ràng Vậy hình 2

là một hình da giác !

2) Đối với các hình đa giác quen thuộc,

hoặc đối với hình đa giác như hỉnh 1, bạn có

thể trả lời ngay được rằng điểm M là điểm

ở ngoài đa giác, còn điểm P là điểm ở /rong

đa giác Nhưng bạn khó cớ thể trả lời ngay

được câu hỏi : trên hình 2, điểm P là điểm

ở trong hay ở ngoài đa giác ? Để trà lời câu

hỏi này, bạn có thể cho một chú kiến bò từ

một điểm rõ rằng là ở ngoài hình đa giác

(như điểm N) để đi đến P Có hai trường

hợp có thể xây ra :

1) Chú kiến tìm được một đường đi đến

P ma không phải vượt qua "đường biên giới"

cạnh của đa giác) Trong trường hợp này, P

là một điểm ở ngoài da giác

2) Chú kiến nhất thiết phải vượt qua

dường biên giới một lần mới đến được P

Trong trường hợp này, P là một điểm ở trong

đa giác

6 đây ; bạn hãy cho chú kién di tit N theo

mũi tên (hỉnh 2) và bạn sẽ thấy rằng chứ

kiến có thể đến được P trong trường hợp thứ

nhất, nghia là P là một điểm ở ngoài đa giác

(xem hình 3)

Cách cho kiến bò như trên đây khá phức

tạp tuy rằng nó cho bạn thấy con đường đi

từ ngoài vào đến điểm P (mà không vượt

qua "biên giới" lần nào) Bạn có thể xác định

P-là điểm ở trong hay ở ngoài đa giác một

cách đơn giản hơn dựa vào nhận xét sau

đây : nếu chú kiến bò từ một điểm ở ngoài

da giác mà vượt qua biên giới một lần thì

chú đi vào trong đa giác, nếu chú vượt qua

biên giới lần thứ hai thì chứ lại ra ngoài đa

giác, nếu vượt qua biên giới lần thứ ba thì

vào trong đa giác v.v nghĩa là nếu từ một

điểm ở ngoài đa giác mà chú kiến vượt qua

biên giới một số chẵn lần thÌ chú vẫn ở

ngoài đa giác, còn nếu vượt qua biên giới

một số !¿ lần thì chú đã đi vào trong đa giác

Nhận xét này giúp bạn xác định được P là

điểm ở ngoài đa giác một cách nhanh chóng : bạn cho chú kiến đi từ N, theo mũi tên, đi

thẳng "vào trong" và chỉ cần vượt qua biên giới hai lần là chú kiến đến được P

Do đó, ta có một cách đơn giản để xác

định một điểm P nào đó là ở trong hay ở

ngoài đa giác cho trước : chỉ cần ¿ừ P kẻ một nửa đường thẳng không di qua mét dink

nào của du giác ; ta đếm số giao diểm của nửa dường thẳng này uới cóc cạnh của da

giác : nếu số giao diểm là chdn thi P là

điểm ở ngoài đa giác, nếu số giao điểm là

lẻ thì P là diém 4 trong

3) Bạn đọc tính ý có thể thấy ràng những

điều vừa nói trên đây là dựa vào (rực giác

Những dòng in nghiêng ở trên (về cách xác định P ở ngoài hay ở trong đa giác) là một

định lí cần phải chứng mình, T5 không nêu

chứng minh đó ra ở đây

Hơn thế nữa, ngay cả khái niệm "điểm ở trong, ở ngoài đa giác" cũng phải nói chính xác hơn,

Các hình đa giác lồi, các A hình 1 và 2 đều là các hình

đa giác đơn Hình đa giác ợ đơn là hÌnh tạo nên bởi một €

đường gấp khúc dơn kín

Đường gấp khúc đơn là đường gấp khúc trong đó mỗi điểm của nó thuộc nhiều nhất là hai cạnh

Hình 4 là một đường gấp

khúc không đơn, hay là tự cảt (trong đó các điểm C, B, A thuộc ba, bốn cạnh) Một đường

gấp khúc tự cắt kín tạo nên một đứ giác

hình sœo (hình 5 chẳng hạn)

Người ta chứng minh được định lí sau đây

(gọi là định lÍ Giooc-dăng) : Mọi hình da giác don chia một phẳng ra làm hai miền :

một miền chúa hoàn toờn những dường thằng (gọi là miền ngoài của đa giác), miền

kía không có tính chất đó (gọi là miền trong của đa giác) Nhờ

định H này mà

ta nơi đến điểm

ở ngoài (thuậc miễn ngoài) và

điểm ở trong

(thuộc miền

trong) các đa

giác ở hình 1

và 2,

linh 4

Hình 5

109

Hình 6

Một đa giác hình sao chia mặt phẳng ra

nhiều miền Dựa vào cách xác định miền

trong và miển ngoài của đa giác đơn (nói ở

điểm 2), người ta định nghĩa miền trong và

miền ngoài của đa giác hình sao như sau :

Lấy một điểm tùy ý trong miền Từ điểm

đó, vạch nửa đường thẳng tùy ý, &hóng di

qua diểm chung của các cạnh khóc nhau của

đa giác ; đếm số giao điểm của nửa đường thẳng với các cạnh của đa giác ; nếu số dé

là số chăn thì điểm thuộc miền ngoài, nếu

số đơ là số lẻ thì điểm thuộc miền trong của

đa giác Trong hình 6, ?\ điểm ở ngoài, P,

là điểm ở trong đa giác Như vậy, miền trong

của đa giác là miển gạch gạch (Tất nhiên,

phải chứng minh rằng tính chẵn lẻ của số

giao điểm của nửa đường thẳng với các cạnh

của đa giác chỉ phụ thuộc vào điểm đã chọn,

mà không phụ thuộc vào nửa đường thẳng

ta kẻ từ điểm đó Ta không nêu chứng minh

đó ở đây)

TH.C (sưu tầm)

CÁC MÔ HÌNH KHÔNG GIAN VEC-TỢ

TRONG TOÁN HỌC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Trên báo Toán học và tuổi trẻ đã giới

thiệu về "cấu trúc đại số" (số 5/1967), "lí

thuyết nhóm (số 8/1967) và cấu trúc trường

qua bài "Ấm hiệu giải trí" (số 2/1964) Bài

này sẽ giới thiệu cấu trúc không gian vec-tơ,

một cấu trúc đóng vai trò "trung tâm" trong

toán học hiện đại

Một tập hợp V gồm các phần tử x, y, z

sẽ gọi là một &hông gian uec-tơ trên trường

số 9 nếu :

a) Trong V cớ xác định một phép toán

trong, mà ta gọi là phép cộng, kí hiệu là o,

và tập hợp V là một nhóm đối với phép cộng

đó, tức là 4 tính chất sau đây được thỏa mãn

1 Phép cộng có tính chất kết hợp, nghĩa là

xo(woz)= Goyoz véi moix, y,z EV;

2 Trong V có phần tử trung hòa e, nghĩa là

có e sao cho e ox = xo e = x véi moix € V;

3 Với mọi x € V đều có phần tử đối xứng

x’ € Vsao choxox’=x'ox =e;

4 Phép cộng có tính chất giao hoán, nghĩa

làxoy =yox với mọi e, y € V

110

TRẦN THÚC TRÌNH

b) Trong V có xác định một phép toán

ngoài mà ta gọi là phép nhân một phần tử thuộc Ý với một số thuộc S, (kết quả của phép

nhân đó là một phần tử thuộc W) kí hiệu là Phép nhân thỏa mãn 4 tính chất sau đây :

ð Phép nhân phân phối được đối với phép cong trong V, tic AR * (roy =k *xok*y,

trongdd RES; x,y EV ;

6 Phép nhân phân phối được đối với phép

cộng trong 8, tức là ( ø J *x = k *xol*x với k, €8;

7 Phép nhân kết hợp được đối với phép nhân số, tức là ¿ * & * x) = ( * k) *x, với k,LES;xeEv;

8.1 * x =x (1 Ja phfn tu don vj cua S)

Tím tính chất vừa liệt kẽ là tám tiên để của cấu trúc không gian vec-tơ ; các phẩn

tử z, y, Z gọi là các "vec-td" Các bạn nên

chú ý rằng từ "vec-tơ" ở đây cớ nội dung trừu tượng chứ không phải chỉ mang nội

dung "đoạn thẳng định hướng" như trong

sách tốn ở trường phổ thơng Bất kì một

tập hợp V nào với các phần tử z, y, z , phép

tính trong, phép tính ngồi cùng trường số

8 được hiểu một cách cụ thể như thế nào

đấy mà thỏa mãn 8 tiên để nơi trên sẽ được

gọi là mơ hình của khơng gian vec-tơ trên

trường số S

Ta hãy xét một số ví dụ lấy trong sách

tốn trường phổ thơng

1) Hãy xem V là tập hợp các số thực đR,

8 là trường số hữu tỉ Q, các phép cộng và

nhân trong V như trong E, các bạn sẽ thấy

rằng với cách hiểu như vậy thì tám tiên để

đã nêu đều được nghiệm đúng, tức irường

số thực h là khơng gian uec-t0 trên trường

số hữu tỉ Q

Nếu lấy V = S = R, v6i phép cong và

phép nhân hiểu như trong R (phép todn

ngồi trở thành phép tốn trong), thì tám

tiên đề đã nêu cũng được nghiệm đúng, đức

trường số thục R là khơng gian uec-td trên

chính nĩ

Trong hai ví dụ này, số thực là "vec-tơ"

2) Hay để ý đến tập hợp P các đa thức

bậc hai chứa biến x p; = øx” + bạ + e,, với

a, 6, c, ER,

Phép cộng các đa thức thuộc P và phép

nhân đa thức với số thực được xác định như

Sau :

P.oP (ax? + bx +e) + x2+b +o) =

= NHA tes

k*p, =k Gx? +b2 40) =

= (ha; x2 + (hb )# + (he, Ù›

Các bạn hãy lần lượt thử nghiệm từng

tiên đề một Kết quả là tám tiên để kể trên

đều được nghiệm đúng, tức là ¿ớp hợp P các

da thúc dạng ax? + bx +c; la mot khong

gian vec-to trén trường số R (a,, b,, ¢, G R)

3) Hay xét tap hop H cdc ham s6 vong

dang h; = (a, sint + b; cost, với đi, bE R

Phép cong va phép nhân được xác định

như sau :

ho hị = (aginf + b/cos#) + (asint + bicost) =

= (a+ a) sint + (6, + 5) cost ;

k"hị = & (ai sint + b, cosf) =

= (ka,) sint + (kb cost, voi k © R

Dễ dàng thấy rằng đập hợp H các ham số

veng dang a; sint + b,cost là một khơng gian

uec-tơ trên trường số thực R

6 day ham số a; sin ¢ + b.cost 1a "vec~tơ",

4) Tập hợp V cĩc uec-tơ theo nghĩa thơng

thường của vec-tơ (đoạn thẳng định hướng) với phép cộng các vec-tơ và phép nhân vec—tơ với số thực là khơng gian uec-tơ trên trường

s6 thuc R (hoặc trên đường thẳng, hoặc trong mặt phẳng, hoặc trong khơng gian)

ð) Chiều dài, diện tích, thể tích là các đại lượng vơ hướng mà các bạn đã từng gặp trong giáo trình hình học Nơi chung cấu trúc những đại lượng vơ hướng (kể cả chiều dương hoặc âm) là tập hợp L [ o, *, >] gồm những phần tử #,ð,e trong đĩ cĩ xác định phép tốn trong, gọi là phép cộng kí hiệu là ø và phép tốn ngồi, gọi là phép nhân một phần tử thuộc 7, với số thực thuộc

đ, kí hiệu là *, đồng thời cĩ quan bệ lớn hơn, lấy kí hiệu là >, thỏa mãn 5 tinh chat

sau đây

œ) Trong L cĩ đại lượng ừ sao cho luơn luơn cĩ x*#o=o;

8) Ứng với mỗi £ > ocd anh xa mot-mot fgitax€ RvaaGL,saochoa=x*e; y) Luơn luơn cĩ x*£o y *£= (xoy)* e ð) Luơn luơn cĩ xz** e) = (x *y)* e _E) x, "2 >y *ø tương ứng với x > y

(o,e, aGL;xy ER)

Ảnh xạ ƒ là phép do các đại lượng vơ hướng ; số z gọi là độ đo các đại lượng vơ hướng (x cĩ thể dương, âm hoặc bằng 0)

Từ õ tính chất này cĩ thể suy ra đẩy đủ

8 tính chất của cấu trúc khơng gian vec-tơ

(đề nghị các bạn tự chứng minh) tức là ép hợp L các dại lượng 0ơ hướng là một khơng gian uec-tơ trên trường số thục R

Trong trường phổ thơng hiện nay chúng

ta khơng để ý đến chiều của các đại lượng,

nên lấy |x| làm độ đo hoặc của chiếu dài,

hoặc của diện tích, hoặc của thể tích 6) Nếu lấy tập hợp V gồm các "vec-tơ"

*, ÿ, Z, và các điểm A, BH, €, trong đĩ

các vec-tơ, với phép tốn cộng và phép nhân

với số thực, thỏa mãn 8 tiên để của cấu trúc

khơng gian vec-td, đồng thời thỏa mãn thêm

6 tiên để sau đây nữa thì ta cĩ &hĩng gian Ociit Sáu tiên đề đĩ là :

Với hai vec-tơ x, y bất kì thuộc V cho

tương ứng với một số thực khơng Am, gọi

là tích vơ hướng giữa x và y, kí hiệu là xy

sao cho :

111

9 xy = yx véi moixz,y EV;

10 @o yiz = xz +y2 voi moixnyz EV;

ll (ek * x) y = kíxy) v6i moix,y EV;

RER;

12 xx 2 0 v6i moix € V; xx = 0 khi va

chi khi x la vec-to "không" ;

13 Véi moi diém A va moi vec-to + tồn

tại một điểm 8 duy nhất sao cho AB =# ;

14 Luôn luôn có AB +BC= AC moi điểm A,B,C, eV

Xuất phát từ 14 tiên đế này có thể xây dựng toàn bộ hình học Ớclit hiện đang học

ở trường phổ thông "Thực chất của truyền thống hình học Ởclit là sự kế thừa khái niệm

không gian vec-tơ có tích vô hướng mà Óclit

đã để lại cho ta",

PHUONG TRINH SAI PHAN

Phương trình sai phân là một loại phương

trình có rất nhiều ứng dụng trong khoa học

cơ bản và đặc biệt là trong khoa học thực

hành Nó là công cụ đắc lực để giải các bài

toán phương trình vi phân, phương trình đạo

hàm riêng trên máy tính điện tử và giải các

phương trình đại số cấp cao, cùng nhiều ứng

dụng trong các lĩnh vực khác nhau Nội dung

của bài này là giới thiệu sơ lược về phương

trình sai phân và ứng dụng của nó trong lĩnh

vực toán phổ thông như đoán nhận quy luật

biểu diễn các đây số, tính tổng các dãy

SỐ v.V

Để có thể giới thiệu phương trình sai

phân, trước hết ta cẩn biết sai phân là gì ?

Thực ra mà nói thì có hai loại sai phân : sai

phân hữu hạn và tỈ sai phân Trong bài này

ta dùng khái niệm sai phân hữu hạn và chữ

sai phân trong bài này xin hiểu theo nghĩa

sai phân hữu hạn

Định nghĩa : Giả sử ta có hàm số y = fix)

Giả sử rằng các giá trị cia ffx) tại các điểm

#ơ Xa th, xu + Qh x,t nh, (h = const)

tương ứng là Yor Ypres ta goi Ay, = x7

— y,— 1 là sai phân cấp 1 của ham f, V, =1,2, ,

nyo My, = Ay, ~ bY, = 9; - Wherry, la

sai phân cấp 2 của hàm ƒ với ¡ = 2,.,n - 1

Tương tự như thế ta định nghĩa sai phân các

cấp cao hơn

Sai phân có một số tính chất cơ bản rất

thuận tiện trong việc giải các bài toán phổ

thông Các tính chất đó là :

112

LÊ ĐÌNIE THỊNH

1) Mọi sai phân đều có thể biểu diễn theo

các giá trị của hàm số

Thật vậy Ay, = y,- y,_, 3 A’y, = Ay, - Ay,

= ¥, — 29, + ¥2 vv tiép theo có thể chứng minh bằng quy nạp

2) Sai phân mọi cấp có tính chất tuyến

tính tức là AF + ø) = ARƒ + Akg (Suy ra

từ 1) 3) Sai phân cấp k của một đa thức bậc ø

- bang 0 khi & > n,

~ bằng hằng số khi # = n,

— là đa thức bậc n - bè khi & < n

Tinh chất này chứng minh bằng quy nạp

"

4) 5) Ay, =yy~yety; “It Ag ~I py =

1

—

Dựa vào các tính chất đơ ta giải hàng loạt

các bài toán quen thuộc,

Thí dụ 1 : Cho dãy số 3, 5, 10, viết tiếp

vào dãy số đó để hiệu các số kề nhau tăng

lên một số như nhau Giả thiết trong đầu

bài cd nghia là sai phân cấp 2 không đổi Bởi

vậy theo tính chất 3) dãy số này là các giá

trị của một đa thức bậc 2 theo đối số là số

thứ tự của các số trong dãy số Mọi đa thức

bậc 2 cổ dạng øx2 ~ ðx + e, trong do z là đối

số Cho z các giá trị 0, 1, 2 (ta đánh số thứ

tự từ 0), ta có hệ phương trình

c=8

a+b+8=ð5 4a + 2b + 3 = 10

3

Từ đó suy rea = 2 ,b =2, c= 8, Vậy

những số viết tiếp phải tuân theo quy luật

1

22 + 2% + 3 Chang han cho x = 3, 4, 5, ta

sẽ được các số tiếp theo là 18, 29, 43,

Thí dụ 2 : Cho dãy số 1, ~ 1, -1, 1, B,

11, 19, 29, 41, 55 Tim quy luật biểu diễn

dãy số đó

Để tìm quy luật biểu diễn ta lập bảng sai

phân :

y=f 1 -1 -l 1 5 11 19 29 41 55

Ta thấy sai phân cấp hai không đổi, vậy

dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai

az? + bx + c, trong đó x là số thứ tự của các

s6 trong day s6 Cho x = 0, 1, 2 (đánh số

thứ tự từ 0), ta nhận được hệ phương trình

c=l œ+b+l1=~l

4a+26+ 1= —1

Ti dé ta cd a = 1, b = ~3 Vậy dãy số

đã cho tuân theo quy luat x? - 8x + 1, trong

đó x là số thứ tự của các số, bát đầu từ 0

Thí dụ 3 : Tính tổng n số hạng của cấp

số nhân

đọ, 88, đu q1

Tổng n số hạng trên có dạng

ø,(1+g+ +a"Ù), Bởi vậy ta tính tổng

trong ngoặc đơn là đủ

Ta co

1

ko gk gk a gk fy 1 ừ đó

Agk = gk - gq q ạ ạ): Từ để

= AF 4 gk l1-lgq q—1

Boi vay 3 gk = W Agt

&=l k=]

Bởi vậy

8 TCH

Vậy tổng n số hạng của cấp số nhân đã

cho là

q@ 1

S,=%, TT:

A "

Thí dụ 4: Tính Sx , > x?

xed x=]

Ta cd Ax? = x? ~ (x - 1)? = 2x - 1 Boi vay

D @x-1) = Fa? =n? - 02 = v2

(theo 4)

" Rn "

» z~z- X1 = 2h x-n=n?

Ta dé

"- 15

De age

x=1 (Tổng ñ số nguyên đầu tiên)

n

Để tính tổng > x? ta xuất phát từ

x=1 Ax3 = x3 - @ - 13 = 8x? - 8x +]

Do dé

Ð (2 ~8x+D) = 3 Ar) = n

"

> @? - 8x + 1) =

x=l

n " "

=85x) -85x +1 =

x=l xel ~=1

~ n(n + 1)

Từ đó

S c¿_ nứt + 1)(2n + 1) ae 6 x=1

(Tổng bình phương nø số nguyên đầu tiên) Bài tập : Theo mẫu của thí dụ 4, hãy tính

118