Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-1)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part2-1)

trường Thế là ta đã hiểu khoảng cách theo

một nghĩa rộng hơn trong hình học sơ cấp

rồi đấy

Vậy ta thử xem cái gi la cốt yếu nhất

trong khái niệm khoảng cách ? Nghỉ cho kỉ

ta sẽ thấy rằng nếu kí hiệu ở (A, B) Ja

khoảng cách giữa A và thÌ các tính chất

sau đây nói lên thực chất của khái niệm ấy :

1) đ(A, B) > 0, và đ (A, B) = 0 khi và

chỉ khi A = B (A va B tring nhau) ;

2) d (A, B) = d (B, A);

8) Bat ki A, B, C nhu thé nao: d (A, B)

< d (A, C) +d (C, B) (tite la : trong tam

giác ABC cạnh AB không dài hơn tổng số

hai cạnh kia)

Cho nên ta có thể mở rộng khái niệm

khoảng cách như sau : cho A, B, C là

những phần tử tùy ý của một tập hợp 7' nào

đó ; nếu với mỗi cặp phần ti A, B ta xác

định được một số ở (A, B) thỏa mãn cả ba

điều kiện 1) 2) 3) thì khi ấy số đ (A, B) sẽ

gọi là khoảng cách giữa A và B, bất kể A,

B là những đối tượng như thế nào (điểm,

đường cong, hàm số, trâu, bò, bàn, ghế,

v.V )

Xây dựng khái niệm khoảng cách trừu

tượng như thế có Ích lợi gì ? - Ít ra có hai

điều lợi đáng kể : một là làm bộc lộ thực

chất khái niệm khoảng cách, giúp ta khi suy

luận trên những vấn đề về khoảng cách khỏi

bị vướng víu bởi những chỉ tiết không căn

bản, nhờ đó có thể nhìn rõ phạm vi ứng dung

rộng rãi nhất của những suy luận ấy ; hai

là với khái niệm khoảng cách được mở rộng

cho những đối tượng bất kì, ta có thể dựa

vào trực quan hình học và trí tưởng tượng

không gian mà hình dung cụ thể nhiều sự

việc trừu tượng về các đối tượng ấy, giúp ta

dễ nấm được thực chất các sự việc và gợi ý

cho ta phương hướng giải quyết đối với nhiều

bài toán khớ

Chẳng hạn ta hãy xét vấn đề truyền tin

rất quan trọng trong đời sống hiện đại Khi

có một bản tin viết bằng các chữ cái nào đó

(vi dụ chữ cái latinh) thì muốn truyền bản

tin đi xa (bằng vô tuyến điện, điện báo, hoặc

bằng những phương tiện khác) ta phải đổi các chữ cái thành tín hiệu có thể phát đi Thông thường người ta dùng hai tín hiệu cơ ban, như trong điện báo thì một tín hiệu

là "gạch" tín hiệu kia là "chấm" Ta hãy chỉ tín hiệu thứ nhất bằng con số 1, tín hiệu thứ hai bằng con số 0 Mỗi chữ cái được biểu diễn, theo một quy tác nhất định, bởi một tổ hợp tín hiệu cơ bản, gọi là mở hiệu của chữ ấy VÍ dụ chữ ø có thể biểu điễn bởi 10000, chữ b bởi 00110, v.v Như vậy toàn văn bản tin sẽ ghỉ thành một đãy tín hiệu cơ bản liên tiếp (việc ghi đó gọi là mđ hóa bản tin), Khi những tín hiệu này được phát đi thì ở nơi nhận người ta sẽ căn cứ theo những tín hiệu

nhận được và cách lập mã đã quy ước mà tái lập bản tin đã phát (việc tái lập này gọi

la gidi ma)

Khó khăn trong việc truyền tìn là tín hiệu phát đi có thể bị "tiếng ồn" dọc đường làm sai lạc, khiến cho nơi thu sẽ nhận được tin hiệu khác với tín hiệu thật đã phát Cho nên vấn để rất quan trọng là nghỉ ra cách lập mnã như thế nào để khắc phục được sự xuyên tạc của tiếng ổn và bảo đâm cho người nhận, mặc dù sự xuyên tạc ấy, vấn có thể phát hiện và đính chính lấy những chỗ sai lạc để đoán được đúng bản tin đã phát (mã như thế gọi là má tụ sửa sai)

Ta hãy ứng dụng khái niệm khoảng cách vio vin dé nay Chon là một số tự nhiên cố định Gọi một đãy œ tín hiệu liên tiếp là một

từ (hay rõ hơn, một từ ø-ngôi) Nói cách khác, một từ („-ngôi) gồm n tín hiệu ở ø ngôi (vị trì kế tiếp : 1, 2, n Hai từ khác nhau thì có tín hiệu khác nhau Ít nhất ở một ngồi nào đó Gọi khoảng cách ở (A, B) giữa hai từ A, B là số ngôi tại đấy hai từ có tín hiệu khác nhau Chẳng hạn với ø = 6 khoảng cách giữa hai từ Á = 010110 và

B = 100100 là đ (A, B) = 3 (tín hiệu khác nhau ở 3 ngôi : 1, 2, 5) Co thé thay ngay rằng số ở (A, B) xác định như thế thỏa mãn đúng ba điều kiện 1) 2) 3) của khoảng cách

"Thật vậy, các điều kiện 1) 2) hiển nhiên còn điều kiện 3) thì có thể chứng minh dễ dàng như sau Xét ba từ A, B, C Nếu ở một ngôi nào đó hai từ A, B có tín hiệu khác nhau, thÌ ở ngôi ấy : hoặc các tín hiệu của Á và C,

87

hoặc các tín hiệu của C và Ø, phải khác

nhau Do đó số ngôi mà ở đó hai từ A và B

có tín hiệu khác nhau phải bé hơn hoặc bằng

tổng số các ngôi mà ở đó các tín hiệu cla A

và C hoặc của C va B khac nhau Nghia la

d (A, B) < d (A, C) +d (C, B)

Bây giờ giả sử ta biết chắc rằng trong

một dãy liên tiếp n tín hiệu phát đi chỉ cớ

thể cớ nhiều nhất là & tín hiệu bị sai lạc,

nghĩa là mỗi từ phát đi sẽ được nhận với

không quá & lỗi Ta hãy chọn một tập hợp

gồm những từ n-ngôi, từng đôi một cách

nhau một khoảng cách lớn hơn hoặc bằng

2k + 1 (giả thiết n > 2k + 1) Các từ này

sẽ gọi là ¿ừ được phép Khi ấy :

Nếu chỉ phát di toàn những từ được pháp

thì người nhận bao giờ cũng có thể tự đính

chính những chỗ sai lạc uà hiểu được đúng

từ đã phát

Thật vậy, cho A la tit da phat (duge

phép), A' là từ nhận duge Vi A’ cd không

quá # lỗi nên ở (A, A') < k Còn đối với mọi

từ được phép B khác ta có d (A, A’) +d (A’,

B) 2 d (A, B) = 2k + 1 hay d (B, A’} > Qk

+1-d{A, A) 2 2k+1-kh > k Vay chi

có A là từ được phép duy nhất cách A’ khong

quá & Cho nên khi nhận được A' thì người

nhận chỉ cẩn tìm từ được phép nào cách A'

không quá k là sẽ có được đúng từ đã phát

Chẳng hạn, xét trường hợp n = 7, = 1

(trong mỗi dãy 7 tin hiệu liên tiếp phat di chi

©ó nhiều lắm là một tín hiệu bị sai lạc) Ta hãy

quy định từ được phép là mọi dãy 7 tín hiệu :

“i2; By Gy Oy Oy Oy (mỗi ø, là 1 hoặc 0), sao

cho các tổng số sau đây đều là số chẵn :

S,)=4,+a, +a, ta,

S, =a, ta,t+a, ta,

Ta sẽ gọi 4 tín hiệu đầu : @, a, a, a, 1a

các tín hiệu thông tin, còn 3 tín hiéu cuéi ;

#; œ¿ zy là các tín hiệu kiểm tra Rõ ràng

nếu hai từ được phép a = (a, #„ đị) và

8 = (Œ\8; 6;) có các tín hiệu thông tin

trùng nhau : a, = fa, = By as = By a, = By,

thÌ các tín hiệu kiểm tra cũng trùng nhau :

a5 = By ag = By a, = B,, Vay hai từ được

phép œ, 8 khác nhau thì phải khác nhau ít

88

nhất ở một tín hiệu thông tin Nếu chúng chỉ khác nhau ở một tín hiệu thông tin thôi thì

do các tổng (1) chẩn nên chúng phải khác nhau Ít nhất ở hai tín hiệu kiểm tra nữa Còn nếu chúng khác nhau ở vừa đúng hai tín hiệu thông tin thì cũng để thấy rằng chúng phải khác nhau Ít nhất ở một tín hiệu kiểm tra nữa Thành thử khoảng cách giữa ø và 8 bao giờ cũng lớn hơn hay bằng 8 Vậy các từ quy

định đúng là từ được phép theo định nghĨa ở trên (ở đây & = 1) Việc tái lập từ được phép đã phát, dựa theo kết quả tín hiệu nhận được, không có gì khó khăn Ví dụ : nếu kết qua tin hiệu nhận được là 0100101 thì 8; và %

lẻ nên lỗi ở trong 8; và §;, nhưng không thể

ở ơi, ở; hay a, vi 5, chẵn, vậy phải ở a, tức là œ, thật ra bằng 1 chứ không phải 0

và từ đã phát là 0101101, Với các từ được phép đã quy định rồi, mã

tự sửa sai có thể xây dựng như sau Trước hết mã hớa bản tin cần phát theo một mã nào đó (mã này chưa chú ý sửa sai), để viết

nó thành một dãy tín hiệu 0 và 1 Sau đó ngắt dãy này thành từng đoạn, cứ 4 tin hiệu liên tiếp là một đoạn, và sau mỗi đoạn xen thêm 8 tín hiệu kiểm tra làm thành với đoạn

ấy một từ được phép Thế là cả bản tin được viết thành một dãy từ được phép mà khi phát đi thì chác chấn sẽ được người nhận hiểu chính xác, mặc dù tín hiệu có thế bị xuyên tạc dọc đường

Như các bạn đã thấy, vấn đề đặt ra được giải quyết khá đẹp, nhờ khái niệm khoảng cách trừu tượng Cần nói thêm rằng thế giới ngày nay tràn ngập thông tín được truyền

đi dưới nhiều hình thức khác nhau : sách báo, thư từ, đỉa hát, phim ảnh, vô tuyến truyền thanh, truyền hình, v.v và cả các phân tử ADN truyền thông tin di truyền từ

bố mẹ đến con cái nữa Với tự động hớa, vấn

để truyền tin càng trở nên quan trọng 6 trên chỉ mới nới một ứng dụng của toán học trừu tượng vào mã sửa sai Thật ra toán học

là công cụ chính của toàn bộ lí thuyết thông tin và mã KÌ diệu thay, sức mạnh của khoa học đáng yêu này !

MOT GIO VOI BAC

Giữa những ngày cả nước tiếc thương vinh

biệt Bác Hồ kính yêu, mỗi người chúng ta, ở

mọi lứa tuổi, mọi giới, mọi ngành, vô cùng xúc

động ôn lại trong tâm trí mình biết bao hình

ảnh tươi đẹp, trong sáng, thân thiết về Bác !

Dưới đây tôi xin kể lại các bạn nghe một

mẩu chuyện nơi lên một phần sự chăm sóc ân

cần của Bác đối với công tác khoa học, và đặc

biệt, đối với ngành toán học của chúng ta

Mong rằng câu chuyện này sẽ giúp các bạn

tăng thêm quyết tâm học toán để một ngày

kia tiến lên giải quyết thiết thực các vấn đề

đo cách mạng nước ta dé ra va dat tới những

đỉnh cao của khoa học và kỉ thuật, như Bác

đã từng dạy bảo trong thư Bác gửi chúng ta

nhân dịp khai giảng nam hoc 1968 - 1969

*

x OF Vào khoảng giữa tháng 7 vừa qua, tôi

được chỉ thị chuẩn bị lên báo cáo với Bác về

vận trù học và khả năng áp dụng ngành toán

hoc dé trong việc tổ chức phân phối hàng

tiêu dùng Tôi vừa phấn khởi, vừa lo Phấn

khởi vi đây là một vinh dự hiếm có, nhưng

lo không biết có đáp lại xứng đáng sự quan

tâm của Bác không

Vấn đề đặt ra là : gần đây ở một số cửa

hàng của ta ở Hà Nội, vì tổ chức chưa tốt,

nên nhân dân đến mua hàng phải xếp hàng

đài, mất nhiều thì giờ chờ đợi Bác không

hài lòng, và muốn biết vận trù học có thể

4p dụng như thế nào để giúp tìm ra biện

pháp cải tiến tình hỉnh đơ ?

Chắc các bạn cũng hiểu, đây là một vấn

đề khá phức tạp, liên quan đến "lí thuyết xếp

hàng" - một ngành toán học dựa trên các

quy luật xác suất, đi sâu nghiên cứu về mặt

số lượng các hiện tượng xếp hàng (bất cứ là

người xếp hàng mua hàng, mua vé tàu,

khám bệnh, hay xe hơi xếp hàng qua phà,

máy móc xếp hàng đợi lượt được sửa chữa,

v.v ), và để ra một số nguyên tác, phương

pháp tính toán, để tổ chức việc phục vụ được

tốt nhất Ngoài ra, cũng còn một số yếu tố

khác cổ thể áp dụng toán học để phân tích,

HOÀNG TỤY

Song bên cạnh đó đương nhiên có nhiều yếu

tổ vượt ra ngoài phạm vi nghiên cứu và giải quyết của toán học (Ít nhất là với trình độ hiện nay của khoa học này)

Tôi biết vấn dé không đơn giản, nhưng nghỉ bụng : Bác còn trăm công nghÌn việc

mà vẫn theo dõi sát công tác khoa hoc ki thuật, vẫn để ý tới vận trù học, thật còn có

sự khích lệ nào hơn đối với chúng ta ! Đến chiều ngày 30 tháng 7 tôi được Thủ tướng gọi lên Không may vÌ một trở ngại tôi đến chậm mấy phút so với giờ hẹn Sau khi báo cáo với Thủ tướng lí do đi muộn rồi ngồi xuống ghế bên cạnh, tôi mới kịp nhìn xem cuộc họp hôm đó có những ai Thì ra Bác đang ngồi trước mặt tôi, trong bộ quần

áo cần bộ màu tro rất bình thường Nhận ra Bác, tôi vội đứng dậy chào, vẻ lúng túng vì bất ngờ, tự thấy mình cớ lỗi đã không nhìn thấy Bác ngay khi bước vào phòng Bác mỉm cười gật đầu, tỏ ý thông cảm Trong giây lát tôi chưa kịp nhận thức hết vinh dự và hạnh phúc to lớn này : Bác Hồ ! Bác đang ngồi cách tôi vài bước ! Đúng rồi, Bác đó, vẫn nét mặt hiển từ đẩy tru mến, vẫn đôi mắt rất sáng, tuy dáng người gẩy hơn so với lần tôi được thấy Bác khi Bác đến thăm Hội nghị trí thức chống Mi cứu nước cach day ba nam Trông Bác không được khỏe như hồi trước Bác nói khẽ, có lúc phải lắng tai mới nghe được hết, song vẫn giọng nói rất quen thuộc

và xiết bao thân thiết đối với mỗi người chúng ta Một tia băn khoản đau buồn thoáng qua trí tôi : độ này sức khỏe Bác kém trước, không hiểu Bác có làm sao không ? Nhưng rồi niềm vui sướng được nghe tiếng Bác, được ngồi gần Bác, vẫn lấn át tất cả, Nhìn Bác tôi nghỉ thẩm : tất cả thong minh tài trí, tất cả sức sáng tạo vi đại, tất cá đạo đức tỉnh hoa của dân tộc ta kết tỉnh ở Bác,

mà sao Bác giản di thé ! Cử chỉ và lời nói của Bác có sức gÌ động viên ấm áp, làm cho mọi người xung quanh, ngay phút tiếp xúc đầu tiên, da cam thấy Bác rất gần gũi, thân mật, như người cha hết sức kính yêu trong gia đình

89

Thu tướng bảo tôi trình bày cho Bác nghe

về vận trù học Tôi nơi được mấy câu thì

Bác ngắt lời, ðn tồn bảo :

~ Chú nên tìm chữ gì dễ hiểu hơn, chứ

chữ vận trù thì Chủ tịch nước cũng không

hiểu nổi !

Từ lâu chúng tôi đoán biết thế nào có địp

Bác cũng sẽ phê bình chữ này, nên anh em

da c6 ging tim một chữ khác, nhưng vì đây

là khoa học mới, danh từ phương Tây rất

đặc biệt, khớ dịch quá, nên chúng tôi phải

tạm mượn chữ Trung Quốc Tôi đành báo

cáo lại với Bác, đại ý như vậy

Bác và Thủ tướng rất chăm chú theo dõi

những điều tôi trình bày Không phải vì

trong đó có ý kiến gì đặc sắc, mà tôi hiểu

tầng vì Bác và các đồng chí lãnh đạo rất

quan tâm đến khoa học, kÍ thuật, và tha

thiết mong muốn cho khoa học, kĩ thuật

được áp dụng để đẩy mạnh sản xuất và nâng

cao đời sống của nhân dân ta

Giờ đây tôi nhớ lại rất rõ từng câu nơi

của Bác hôm đó, mỗi câu nơi là một bài học

thấm thía mà mỗi lần nhắc tới tôi không

khỏi bồi hồi xúc động

Trước hết là thái độ phụ trách của Bác

đối với các vấn đề về đời sống của quấn

chúng Trong khi trình bày về vận trù học,

cơ lúc tôi phải nơi cụ thể một vài thể thức

bán hàng và phục vụ phiển phức ở một số

cửa hàng Hà Nội hiện nay Nghe tới đớ, nét

mặt Bác thay đổi hẳn Bác hỏi đồn tôi :

"những chuyện đó có thực không ?" và khi

biết đó là chuyện có thực, Bác rất không vui

Quay sang Thủ tướng và hai đồng chí lãnh

đạo Bộ Nội thương và Thành ủy Hà Nội cùng

có mặt hôm đó, Bác nơi tiếp :

~ Dân chủ mà thành ra quan chủ ! Hà

Nội mà còn nhiều quan như vậy sao ?

Tôi suy nghỉ : tuổi Bác đã cao, sức Bác

đã yếu, nhưng sự phản ứng của Bác trước

các hiện tượng quan liêu, làm phiền phức

cho dân, lúc nào cũng rất nhạy

Bác lại nêu ra việc bán bia (lúc bấy giờ

đang giữa mùa hè nóng bức, các cửa hàng

bia Hà Nội rất đông người, và có một số nơi

trật tự chưa được tốt), Bác bảo :

— Chú hãy áp dụng lÍ thuyết của chú vào

việc này

90

Bác nhắc cả đến chuyện mất trật tự nghiêm trọng xảy ra vài tuần trước đó ở một

cửa hàng bia trong thành phố Bác tỏ ý không đồng tình phương thức bán làm cho nhân dân ngại uống bia, và chỉ thị phải nghiên cứu cải tiến

Đồng chí Thủ tướng căn đặn thêm và nhắc lại một câu nơi của Bác mấy năm trước : "không sợ thiếu, chỉ sợ không công bằng ; không sợ khổ, chỉ sợ lòng dân không yên" Qua buổi làm việc trong hơn một giờ, tôi thấy thể hiện tất cả nỗi lo lắng của Bác làm sao cho sự phân phối được công bằng, hợp lÍ, dân chủ và thuận tiện Tôi nghĩ rằng hằng ngày có biết bao nhiêu việc trọng đại Bác phải giải quyết, thế mà Bác vẫn còn dành thì giờ nghĩ tới từng việc cụ thể trong sinh hoạt của nhân dân thành phố, ngay cả việc để cho nhân dân xếp hàng dài mua bia, Bác cũng không yên tâm Trước đó Bác còn nhắn các đồng chí có trách nhiệm ở Hà Nội :

"Các chú không bán được thì để Bác xuống bán cho !", Tình thần trách nhiệm đối với dân, tỉnh thần phục vụ nhân dân của Bác, thật là cao cả biết chừng nào ; cho đến những ngày cuối đời, khi Bác đã cảm thấy không còn thọ được lâu nữa, Bác vẫn lo cho dân từ cái lớn đến cái nhỏ, với một tấm lòng thương yêu không bờ bến và một tác phong rất cụ thể, tÌ mỉ ! Trong lòng tôi tràn ngập niềm thương, kính, và biết ơn Bác vô hạn

Cũng trong buổi làm việc đó, tôi còn được Bác phê bình một lần nữa về cách dùng chữ cẩu kì Nhân tôi nới đến đề nghị làm cho bàn tính gảy được dùng phổ biến trong các cửa hàng của ta, để tính toán nhanh và bảo đảm hơn, Bác bởi : "tại sao gọi là bàn tính gây ?' Đồng chí Bộ trưởng Bộ Nội thương trả lời giúp :

*- Thưa Bác, vì khi tinh phai gay qua gay lại" Bác nói : "Các chú lôi thôi quá, gọi bàn tinh là đủ rồi, cần gì phải thêm chữ gây !"

Đúng như vậy Tôi nghĩ mình làm toán bao nhiêu năm vẫn chưa tìm ra một tiếng gọn

để gọi cái công cụ thô sơ ấy, cổ lẽ vì chưa quán triệt được quan điểm quần chúng sâu sắc của Bác ngay trong cách nói, cách viết

Kết thúc buổi làm việc, Bác và Thủ tướng giao nhiệm vụ cho chúng tôi tham gia cùng các cơ quan cớ trách nhiệm nghiên cứu những vấn để đã nêu ra, và hẹn đến tháng

11 phải có một số kết quả cụ thể Tôi rất

phấn khởi thay mặt anh em vận trù nhận

nhiệm vụ đó, nhiệm vụ cụ thể đầu tiên —

ngờ đâu cũng là cuối cùng ! ~ mà Bác đã

trực tiếp giao cho

Khi bắt tay ra về, Bác còn dặn lại tôi một

lần nữa hãy cố gắng áp dụng lí thuyết đã

trình bày, và Bác ân cẩn hỏi thêm tôi có biết

gốc tích chữ vận trù như thé nào không Tôi

thưa là không biết rõ, thì Bác đọc luôn một

câu chữ Hán mà tôi không nghe được hết và

Bác giải thích : vận trù trong phòng giấy,

chỉ đạo tác chiến ngoài mặt trận ; vận trù

cũng là tham mưu Bác lại nói tiếp :

~ Bộ đội ta có nhiều người không học tính

toán gỉ nhiều, mà cũng làm vận trù khá, là

nhờ cái này (và Bác chỉ vào ngực)

Tôi hiểu ý Bác : phải có tỉnh thần, có

nhiệt tình, cớ đạo đức, mới làm vận trù tốt

và nơi chung, mới làm khoa học tốt

Ra về, trong đầu óc tôi lộn xộn nhiều ý

nghỉ và cảm xúc khó tả Một giờ với Bác,

thật phong phú biết bao ! Tôi vui mừng khôn

xiết được gặp Bác và được Bác tin cậy giao

cho việc làm cụ thể Tôi sung sướng và cảm

động trước sự chăm sóc của Bác đối với công

TRƯỚC HẾT HÃY

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN,

Hè năm nay, bộ Đại học và Trung học

chuyên nghiệp vừa tổ chức năm đợt kiểm

tra văn hóa cho học sinh được chọn đi học

ở nước ngoài Mỗi đề kiểm tra gốm 9 bài

tập độc lập với nhau, nhằm kiểm tra kiến

thức của học sinh thuộc những phần cơ bản

khác nhau của chương trình lớp 10 ; riêng

bài tập 9 của mỗi đề kiểm tra đều nhằm

tìm những học sinh có năng khiếu về toán

Đây không phải là để toán kiểm tra cho

trình độ chung của lớp 10 hiện nay, mà là

những đề kiểm tra cho trình độ từ A; trở

tác vận trù Hình ảnh của Bác, giọng nói, cử chỉ của Bác trong buổi hôm đó mãi mãi in sâu vào tâm trí tôi và sẽ là nguồn động viên thúc giục tôi những lúc gặp khó khăn sau này Thế mà nay Bác đã không còn nữa ! Tôi bùi ngùi nghĩ đến thời hạn tháng 11

mà Bác đã hẹn, tiếc thương nhớ lại tất ca những lời dạy bảo của Bác còn văng vẳng bên tai - những lời dạy bào thiêng liêng mà trọn đời tôi sẽ không bao giờ quên được Các bạn thân mến ! Kể lại câu chuyện gàp Bác, gợi lại một vài hình ảnh về con người vĩ đại của Bác, khi còn sống đã dành cho tất cả chúng ta tấm lòng hiền từ ấm áp của Người, khi mất đi còn gửi lại cho toàn dân, toàn Đăng, muôn vàn tình thân yêu — tôi.muốn cùng các bạn xây dựng một quyết tâm : chúng ta hãy ghi long tac da ơn sâu trời biển của Bác, mãi mãi làm theo lời đạy của Bác, ra sức rèn luyện đạo đức, phẩm chất cách mạng, tích cực học tập tiến lên

làm chủ khoa học, kỉ thuật, đưa toán học và các khoa học khác phục vụ thiết thực sản xuất, chiến đấu và đời sống, phấn đấu trở thành những chiến sỉ kế tục xứng đáng sự nghiệp quang vinh của Bác !

NAM THAT VUNG

CAC DINH NGHIA CO BAN

NGUYEN ĐÌNH TRÍ

(Đại học Bách khoa, Hà NộU

lên Điều rất đáng phấn khởi là trong cả ba đợt kiểm tra đầu đều cớ những bạn làm đầy

đủ cả 9 bài của đề kiểm tra, làm khá tốt đề

số 9 Phần đông các bạn từ Á; trở lên đều làm bài tốt, tính toán đúng, tuy khối lượng tính toán không ít Song một nhược điểm khá phổ biến bộc lộ trên các bài kiểm tra của các bạn là : các bạn suy luận còn máy móc, thiếu linh hoạt, chỉ quen giải những bài tập ra trong sách giáo khoa, trong lớp, các bạn khá lúng túng trước những bài tập chưa gặp ở lớp

91

6 lớp các bạn đã quen khảo sát một số

hàm số bằng đạo ham Dén khi gặp bài toán

"xét sự đồng biến hay nghịch biến của

hàm số

y=x—Wx?— Ï với x > 8

mà không dùng đạo hàm" thì các bạn rất bối

rối Chỉ cớ vài bạn biết biến đổi

y= Œø- Vz?~ Ï)(z+ Vz7— D/ &+ 7C T1) =

=1/œ+z?— 1)

từ đó các bạn ấy nhận xét rằng khi x > 3

thì x + VxŸ— 1 đồng biến, vậy hàm số y luôn

luôn nghịch biến với x > 3

Ngoài ra, nếu không biết biến đổi như

vậy, cũng có thể trở về định nghĩa của hàm

số đồng biến, nghịch biến, trực tiếp dùng

định nghỉa ấy mà giải bài toán này Nhưng

cũng chỉ có Ít bạn biết làm như vậy Các bạn

đó đã chứng mình được ring véi x > 3 và

với Ax khá bé ta có :

x+Ax—-Œ+Az)—1<xz~—zZ2—1

khi Ax > 0

x+ Ár— JŒ + A9)7— 1>x-x7~ï

khi Ax < 0

Vậy hàm số nghịch biến với z > 3

Ỏ lớp các bạn đã học về đạo hàm của một

hàm số, đã chứng mỉnh công thức tính đạo

hàm của Vu(), trong dé u(x) là một hàm số

có đạo hàm nào đó Nhưng đến khi phải tính

đạo hàm của hàm số y = ÄÏzŸ thì nhiều bạn

lúng túng, không biết tính toán thế nào Một

số không ít bạn đã luống cuống rồi áp dụng

một cách máy móc công thức đạo hàm của

Yu@œ) để làm bài này như sau :

y = m2

Mác sai lầm như vậy thật là đáng tiếc

Nếu nắm vững định nghĩa của đạo hàm thì

các bạn có thể chứng mỉinh công thức đạo

hàm của hàm số y = u@œ) một cách không

khó khăn gì Thực vậy, cho x một 36 gia Ax,

u(x) có số gia tương ứng là Au, còn số gia

tương ứng của y la Ay= Yat au - Yu

Lap ti s6 Ay // Ax, rồi nhân tử số và mẫu số

với lượng liên hiệp của

(Vit Aa — Ÿu) ta được

Ay/Ax = Au[Ax 4 at Au}? +

+Č + A8 +

92

Khi Ax — 0 thi Au cing dfn đến khong, vay

lim Ay/Ax = lim [Au/Ax x 1/3 % u2]

tite lay’ = u’(xyV8 Yu", trong dé u(x) la dao

ham cia ham s6 u theo x Ti dé ta duge ngay : nếu y= Y¥x° thi y’ = be43 YI

Tất cả các bạn đều đã thành thạo trong việc vẽ đổ thị của các hàm số bậc nhất + = az + b và đã hiểu thế nào là giá trị tuyệt đối của một số đại số A (người ta thường kí hiệu giá trị tuyệt đối của A là | A |) Nhưng các bạn kha hing tung khi phải vẽ đố thị của hàm số

y=lxz+1|+|z| + |x— 1|

Điều mấu chốt ở dây là biết suy ra từ định nghĩa của giá trị tuyệt đối

F x nếu x > 0

—x nếu x < 0 Cũng vậy

|x+ 1] —xzT— lnếux xt+lnéux2-1 & —1 lx—1 x— lnếux z 1

* —x + lnếux < 1

Ta có bảng sau đây

xed) | TK 0 14x l+x ltx

fe- | wea f-x4a [-x+1 0 1g

Vậy y có những biểu thức khác nhau trong những khoảng khác nhau Đến day việc vẽ đồ thị của hàm số y không có gì là khó !

Các bạn trẻ yêu toán thân mến ! Qua các

ví dụ trên đây chúng ta đã thấy rõ rằng : sở

đi nhiều bạn rất lúng túng khi gặp những bài toán không quen thuộc, trước hết là vì các bạn đó chưa nắm thật vững các khái niệm cơ bản của toán học, các định nghĩa cơ bản, do đó chưa vận dụng được linh hoạt các định nghía ấy Trên tờ báo này chúng ta đã nhiều lần trao đổi với nhau về các vấn đề, làm thế nào để phát huy óc độc lập suy nghĩ,

óc sáng tạo, rèn luyện sự linh hoạt trong suy

nghĩ, rèn luyện tỉnh thần tiến công trong học

tập

Song để làm được những việc trên trước

hết ta phải nắm thật vững, thật chính xác

các khái niệm cơ bản, các định nghĩa cơ bản

Không nắm vững các khái niệm, các định

nghĩa cơ bản, làm thế nào chúng ta có thể

linh hoạt trong suy nghỉ khi vận dụng các

khái niệm ấy, làm thế nào chúng ta có thể

chủ động, có tỉnh thần tiến công trong học

tập được Nếu học đạo hàm mà các bạn chỉ

thuộc các công thức tính đạo hèm, tính được

thành thạo đạo hàm của một số hàm số quen

thuộc và học khái niệm đạo hàm một cách hời

hot thì thật là không đúng Trước hết các bạn

cần đào sâu suy nghỉ để nắm vững và chính

xác khái niệm đạo hàm Dĩ nhiên việc rèn

luyện kí năng tính toán để tính được nhanh,

gọn, chính xác cũng rất quan trọng Có như

vậy chúng ta mới có thể linh hoạt, chủ động

sáng tạo được khi tính đạo hàm hay giải

những bài toán có liên quan đến đạo hàm

Trên cơ sở nắm vững khái niệm đạo hàm, các

bạn cũng nên tìm hiểu ý nghĩa thực tiễn, ý

nghĩa cơ học của đạo hàm Như vậy khi Bap

những bài toán thực tế đưa đến khái niệm

đạo hàm, các bạn cũng có thể chủ động giải

quyết được mà không bị bối rối

Cũng vÌ chưa nắm vững và vận dụng linh

hoạt các định nghĩa cho nên nhiều bạn đã

không có những cách giải gọn Chẳng hạn khi tìm đường tiệm cận xiên của đường cong y=1~7z~ 1/@&~— 4), nhiều bạn đã phải dùng các công thức tính hệ số góc và tung

độ gốc của đường tiệm cận xiên

a=limy&, 6 = lim [y — ax]

Thực ra từ định nghĩa của đường tiệm cận và từ dạng cho trên của hàm số y, có thể thấy ngay rằng đường tiệm cận xiên của đường cong cho trên chính là đường yel-%&

Thật vậy gọi y và Y theo thứ tự là tung

độ của các điểm trên đường cong đã cho và đường thẳng y= l— 7% có hoành độ điều bằng +, và kí hiệu các điểm có tọa độ (+, y

va (x, Y) la M va N thi ta luôn luôn có

MN =y~Y= -l@œ - 4)

Vậy khi z — © thì MN >0 Do đớ khoảng

cách MP từ một điểm bất kì M trên đường cong tới đường thẳng y = l — 7z cũng dần tới không khi x —> œ Vậy theo định nghĩa + = 1 — 7x chính là đường tiệm cận xiên phải tìm

Để kết thúc bài này xin nhắc lại ở đây lời khuyên của nhà toán học lớn của nước Pháp Hadamard :

“Hãy luôn luôn thay cái bị định nghĩa bởi cái định nghĩa"

TOI DA SU DUNG BAO

TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ NHƯ THẾ NÀO ?

Báo Toán học uà tuổi trẻ không những đã

cung cấp cho tôi nhiều kiến thức mới mẻ và

phong phú, mà cái chính là đã giáo dục cho

tôi nhiều đức tính quý báu, như đức tính cần

cù và kiên nhẫn, sáng tạo và say mê toán

học, đã tập cho tôi phương pháp suy nghỉ

đúng đắn Nhờ vậy, tôi đã đạt được một vài

kết quả nhỏ trong học tập nói chung, trong

học toán nói riêng,

LÊ QUỐC HÁN (Láp 10 + 1B trường Sư phạm, Trung cấp Tụ nhiên Hà Tỉnh)

Sau đây, tôi xin trao đổi với các bạn một vài kinh nghiệm trong việc sử dụng tờ báo Toán học và tuổi trẻ :

Khi giải các bài tập trên báo Toán học

tuổi trẻ, tôi đã đóng một quyển sổ tay ghỉ hết các cách giải của mình Rồi khi tòa soạn đăng lời giải các bài toán đớ, tôi đem so sánh với cách giải của tôi và rút ra nhiều kết luận

93

hay, tôi thường thấy lời giải của mình dài

dòng và quanh quẩn, thiếu sâu sắc và độc

đáo lại hay bỏ quên các trường hợp đặc biệt

và quên không đề xuất các bài toán tương

tự hay tổng quát hơn như báo đã đăng Có

khi làm sai, tôi tự mình không xem báo để

làm lại, mà vẫn phải vượt qua bao khó khăn

mới đi tới kết quả Những điều đó làm cho

tôi băn khoản suy nghỉ nhiều, tôi quyết tâm

khác phục kịp thời Dưới sự hướng dẫn của

báo (nhất là mục "Nói chuyện với các bạn

trẻ yêu toán") tôi đã kiên nhẫn tìm tòi, suy

nghỉ và tập dượt cho mình thới quen khi làm

toán không bao giờ thỏa mãn với cách giải

đã tìm được, mà cố gắng tìm cách giải hay

hơn, độc đáo hơn Và luôn luôn tự đặt câu

hỏi : bài toán trên có thể cơ lời giải không ?

có lời giải trong điều kiện, giới hạn nào ?vì

sao ? cớ thể để xuất bài toán nào tương tự

không, tổng quát hơn không Dần dần tự xây

dựng cho mình thới quen để xuất các ý kiến,

ví dụ ý kiến từ việc chứng minh bất đẳng

thức cos 36° > tg 36° (Toán học tuổi trẻ số

48 bài "Suy nghĩ quanh một bài toán nhỏ"),

Tôi rất thích các bạn đã có cố gắng tìm

tồi và để ra nhiều cách giải ngắn gọn và hay

hơn cách giải báo đã đăng (chẳng hạn bài

"về lời giải của một bài thi vô địch") Toán

học tuổi trẻ số 47, hoặc tìm ra nhiều vấn đề

mới mẻ và thú vị Những điều đó làm cho

tôi tự nhủ : mỉnh còn phải rèn luyện phương

pháp học tập hơn nữa !

Khi đọc các bài đăng trên báo Toán học

tuổi trẻ, tôi thường tÌìm hiểu đến nơi đến

chốn, như khi đọc "Một bài toán của

Phibônaxi" Toán học tuổi trẻ số 48 có đoạn :

"Phibônaxi đã chứng minh được số có dạng

4mm (m2 — n2) chia hết cho 24 mà không nói

rõ cách chứng minh cụ thể của ông ta, tôi

tự nhủ : dụng ý của tác giả bài này là gi ?

phai chang vi cách giải đơn giản quá để bạn

đọc tự tìm lấy, hay là để thử thách các bạn

trẻ có chú ý tìm cách giải chăng ? Dù sao,

tôi cũng cố tìm ra cách giải bài toán đó, sau

đây là một cách : ta đã biết với mọi số

nguyên È thì #3 — ki 6, từ đó :

mn (m? = n2) = m3n — mn} =

= mỖn — mn + mưa — mnŠ =

= n(mÖ — m) — mí(m — nìi 6, dpem

94

Không biết đó có phải là cách giải của ông Phibônaxi không, nhưng tôi thú vị vô cùng

Cách suy nghỉ và làm việc như vậy đã giúp tôi hiểu được sâu hơn các vấn dé da

đăng trong báo Toán học tuổi trẻ

Toi cũng thường so sánh các để ra trên báo với nhau, và sấp các bài tương tự vào cùng một loại Ví dụ loại có liên hệ đến các đường phân giác của tam giác mà tôi sắp xếp sau đây, có nhiều điểm thú vị :

Khi giải bài "Nếu một tam giác co hai đường phân giác trong bằng nhau thì tam giác ấy cân" (bài 17/1964) báo Toán học tuổi trẻ đã đăng nhiều cách giải khá ngắn gọn và độc đáo, rồi không rõ do tình cờ hay hữu ý

mà sau báo lại đăng bài 5/35 "Chứng minh rằng trong một tam giác ứng với cạnh lớn hơn thì có đường phân giác bé hơn" Đó là bài toán tổng quát hơn bài 17/1964, vì chỉ cần giải được bài 5/35 thi dé dang suy ra bai 17/1964 Trong số báo Toán học tuổi trẻ số

40 đã dang 3 cách giải bài 5/35 Rất hoan nghênh một bạn đọc nào (không rõ tên) đã không thỏa mãn với cả ba cách giải trên, mà tìm ra cách giải ngắn gọn hơn, độc đáo hơn (Toán học tuổi trẻ số 42 trang 12)

Trong khi giải hai bài toán trên, người ta

đã tìm cách tính đường phân giác của tam

giác biết 3 cạnh

(độ = be [1 — alo +o)? Ww

và đến bài 5/42, bài toán tìm độ dài đường phân giác lại để cập tới, và báo đã đăng hai cách giải bài toán này Ngoài ra, bài 2/33 còn tìm thêm một hệ thức đáng chú ý nữa :

d, = (2e cosh/2) / (6 + c)

Hệ thức này có thể chứng mỉnh nhờ (1) nếu chú ý :

a2 = bỀ + d2 ~ 2ecosA Nhờ cách biểu thị độ dài đường phân giác biết 3 cạnh mà bài 14/1965 (Toán học tuổi trẻ số 10) lại có thêm một cách giải nữa Vấn đề vẫn chưa hết Th lại gặp bài 6/42 :

"Chứng minh rằng nếu œ và ổ thỏa mãn đẳng thức :

sina sin(@ + a/2) = sing sin(a + 8/2) trong dda, B > Ova0 <atf <x thi

az

Tu dé suy ra djnh If : "Néu mt tam gidc

có 2 đường phân giác trong bàng nhau thì

tam giác ấy cân" Như vậy ta có thêm một

cách chứng minh mới về bài 17/1964

Sau khi giải bài toán 6/42 đó (Toán học

tuổi trẻ số 46) tòa soạn đã có nhận xét đáng

chú ý : "Có bạn đã để ra, nhưng chưa giải

được bài toán tương tự :

Nếu

coszcos(đ+ œ/2)= cosfcow++ 8/2) thi a = B

và tòa soạn kết luận là điều đó không đúng

trong trường hợp tổng quát Bài báo đừng

lại ở đây, nhưng không phải ta cũng dừng

lại ở đây Nếu chú ý thêm rằng các bài toán

17/1964 và ð/35 cũng đúng nếu ta thay phân

giác trong bởi phân giác ngoài ta sẽ đi đến

một bài toán tương tự bài 6/42

NHŨNG CON SỐ VÀ

LIÔP-SIN là tác già quen thuộc và rất

được ưa thích đối với các bạn đọc trẻ tuổi

Liên Xô qua các tác phẩm trước đây của

ông : "Chiến hạm của đại úy Một" "Ba ngày

ở Kalikani" Và cuốn sách mới đây "Tiến sỈ

các khoa học đãng trí”

Từ những năm 30 của thế kỈ này

Liép~Sin da tham gia giảng dạy cơ học, toán

học, lí thuyết đàn hồi và sức bền vật liệu ở

trường đại học tổng hợp Lômônôxốp và

nhiều trường cao đẳng ở Matxcơva

Đối với Liôp-Sin, toán học không chỉ là

đối tượng giảng dạy mà còn là đề tài cho

những cuộc nói chuyện hấp dẫn của ông với

các bạn trẻ

Trong những năm đi học và công tác, ông

đã có nhiều dịp gặp gỡ lí thứ với những con

số và những con người

Dưới đây chúng ta sẽ nghe Liôp-8in kể

về một số cuộc gặp gồ lÍ thú đơ

* t+

Matxcova, mia déng tuyét phu 1923

Trên thếm một ngôi nhà nhỏ trong một ngõ

Ching minh rằng nếu œ và ổ thỏa mãn đẳng thức

sinœ cos(Ở + 2/2) = sinổ cos(œ + f/2) œB8>0;0<a+8l<x

=8

Từ đớ suy ra "Nếu một tam giác có 2 đường phân giác ngoài bằng nhau thì tam

giác đó cân”

Bài toán này có thể giải được dễ dàng tương tự cách giải bài 6/42

Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của tôi trong việc sử dụng báo Tbán học tuổi trẻ Tôi rất mong các bạn trao đổi thêm vi vấn để này nhằm góp phần làm cho tờ báo

có tác dụng sâu sắc hơn nữa đến việc học toán của tất cả chúng ta

và thì

NHỮNG CON NGƯỜI

V LIÔP-SIN (ĐỖ LONG VÂN địch)

hẻm ở ngoại 6 Matxcova, cd mét chang trai trẻ dang đứng phân vân : Có nên gõ cửa không nhỉ ? chàng trai trẻ đó chính là tôi Trong một ngôi nhà gỗ cũ ki dd cd mot ông thánh ~ giáo sư toán học có nhiều công lao A.V Vaxiliep Con người ấy đã viết những cuốn sách tuyệt diệu biết bao ! Và đây, công trình mới nhất của ông, "số nguyên", lại vừa mới ra đời Có thể đọc cuốn sách này liền một mạch từ đầu đến cuối, quên hết mọi sự trên đời, đường như đó không phải là môn toán học khô khan nữa mà là tiểu thuyết

*Ba người ngự lâm pháo thủ"

Bạn thử nghĩ xem, các con số mà bạn luôn luôn quên và nhấm lẫn, vỉ bộ mặt của chúng chẳng khác gì nhau, thì chính chúng lại có những đặc tính, những quan hệ và những điệu bộ khác nhau nhất, thạm chí những tên gọi của chúng cũng chẳng bình thường chút nào cả : số hoàn thiện, số bạn

bè, số ảo, số siêu việt , còn đây, các số được

{1) Nghĩa thường của chữ mpoctoe trong tiếng Nga là

đơn giản, còn trong toán nghĩa là nguyên tố, ở đây tác giá

có ý chơi chữ (N.D )-

95

gọi là số đơn giản) thì thực ra lại chẳng

giản đơn chút nào ! Mạc dù ÓÖclÍt đã chứng

mỉnh rằng có vô số số nguyên tố, nhưng cho

tới nay vẫn chưa có ai khám phá ra quy luật

phân phối của chúng trong dãy số tự nhiên

Những con số quả là một vương quốc bí

ẩn Thế mà Vaxiliep lại hiểu chúng rất kỉ

Chính nhờ một cuốn sách của ông mà lần

đầu tiên tôi được biết định lÍ lớn của Fecma

Được biết nó, tôi sôi lên và muốn lao ngay

vào cuộc tấn công thành trÌ kiên cố này mà

không hề biết đến những khó khăn và tổn

thất nào đang đợi tôi phía trước,

Tôi còn nhớ điều làm tôi sửng sốt hơn cả

là Feema ~ niềm tự hào và vinh quang của

nền khoa học Pháp - lại không phải là một

nhà toán học chuyên nghiệp Ông là một luật

gia Toán học - gọi theo ngôn ngữ hiện đại

~ đối với ông chỉ là trò giải trí, Nhưng về

thiên tài toán học và những thành tựu của

"nhà nghiệp dư” này thÌ ngay cả những nhà

toán học chuyên nghiệp nổi tiếng nhất cũng

phải ghen tị Fecma là người mở đường cho

hầu hết các phát minh toán học của thế kỉ

thứ 17 - 18, có thể mạnh dạn liệt ông vào

số những người sáng lập ra hỉnh học giải

tích, phép tính vi phân và tích phân, lí

thuyết xác suất và cuối cùng là lí thuyết số

Nhưng tự ông đã không công bố các kết quả

của mình - các công trình này chỉ được biết

đến sau khi ông chết Người ta biết đến các

công trình của Feema là nhờ những thư từ

trao đổi của ông với nhiều nhà bác học khác

trong đó có Patscan

Bây giờ chúng ta trở lại định lÍ lớn của

Fecma Thoạt nhiên th tưởng rằng nó rất

đơn giản Thế mà cho tới nay nớ vẫn chưa

được chứng mình, dẫu rằng rất nhiều nhà

toán học lỗi lạc của ba thế kỈ nay đã cất công

tim kiếm

Vậy định lí bất trị này là gì ? Ta biết rằng

luôn luôn có thể chọn được 3 số nguyên sao

cho tổng bình phương của 2 số trong chúng

bằng bình phương của số thứ 3 Chẳng hạn :;

82+ 4? = B2, 62 + 122 = 182 Cơ vô số các

bộ ba như vậy (Đẳng thức a? + 5? =?

thường liên quan tới định If Pitago vé tam

giác vuông Còn về bộ ba số 3, 4, 5 thì đã

được biết ngay từ thời cổ Ai Cập, hơn 4000

năm về trước ; vì thế tam giác với các cạnh

có độ dài tương ứng gọi là tam giác Ai Cập)

96

Vậy mà không thể nào chọn được 3 số

nguyên sao cho tổng lập phương của 2 số trong chúng bàng lập phương của số thứ 3

Cũng không thể chọn được như vậy với các lũy thừa bậc 4, bậc 5 và nơi chung bậc cao hơn nữa Nơi cách khác đẳng thức a" +6" =c" la khong thé cd néun > 2 Đó chính là dinh li ma Fecma da ghi lai trén 1é cuốn "số học" của Điôphang - nhà toán học thời cổ ở Alecxandri trước Fecma 1000 năm

Fecma khẳng định rằng ông đã tìm được chứng minh tổng quát, lí thú tuyệt vời của định lí này Tuy nhiên không còn lại một dấu vết nào của chứng minh đó, it ra là không

có trên lề cuốn sách của Điôphăng Hoặc là

vì, theo chính lời Feema, trên lề cuốn sách không đủ chố để lí luận tỉ mỉ, hoặc là vì sau

đó chính Fecma đã nghỉ ngờ sự đúng đắn của chứng minh đó nên đã thủ tiêu đi Dù thế này hay thế khác thì định lí Feema vẫn chưa được chứng minh Nhưng cũng chưa ai thành công trong việc bác bỏ nơ Và chắc gì

đã bác bỏ được Dù sao cũng nên xem định

li la dung

Nhung vấn đề không phải là ở chỗ đó, mà

là ở chỗ sự đơn giản giả tạo của định tí Feema đã lôi kéo rất nhiều người chú ý đến

nó Các chứng minh tuôn ra như thác đổ Số người xông vào đó càng tăng lên đữ dội sau khi nhà toán học Vôn-Fø-SkenÓ) trước khi

chết đã để lại 100.000 mac(2) cho hội khoa học Ghéttin-gon@) để tặng cho người nào may mắn chứng minh được định lí đó

Những kẻ may mắn thì chưa thấy mà những chuyện khôi hài thì lại nhiều vô kể

Chẳng hạn, trong một tạp chí in nhầm

a" + 6"=c"(n + 2), tite 1a trong ngoac da in nhầm dấu > thành dấu + Và thế là đã xuất hiện một nhân vật kÌ quặc, dựa vào chỗ ïn sai đó để "bác bở" định lH và đòi trao giải thưởng ngay lập tức

Nhưng như tôi đã nói, rất nhiều nhà bác học nổi tiếng cũng cố gắng chứng minh định

lí này Mặc dù chưa chứng minh được hoàn toàn, một số trong họ đã có những đóng góp đáng kể Trước tiên chính Fecma đã chứng

(1) Nhà toán học Đức

(2) Đơn vị tiền tệ Đức

{3) Một thành phố của Đức