Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-5)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part1-5)

ce PHUONG PHAP NGHIÊN t UU KHOA HỌC

LÚC CÒN LÀ HỌC SINH, TÔI ĐÁ HỌC TOÁN NHƯ THẾ NÀO ?

Lúc học cấp một, tôi là một học sinh vào

loại trên trung bình một ít, không tổ ra có

năng khiếu đặc biệt gì về toán Năm đầu

tiên ở cấp hai, tôi vẫn chỉ là một học sinh

hơi khá về toán thôi, chưa có gì đáng cho

thầy giáo, bạn bè chú ý Từ giữa năm thứ

hai cấp hai trở đi, tôi mới bất đầu có những

biểu hiện giôi toán, dần dần được thầy giáo

và các bạn công nhận là một "học sinh giỏi

toán" và giữ được danh hiệu đớ mãi Nhiều

việc làm của tôi trước đây chỉ là vô ý thức

thôi nhưng nay, suy nghỉ lại, tôi thấy cũng

có thể rút ra một vài kinh nghiệm nhỏ để

các bạn trẻ yêu toán ngày nay tham khảo,

may ra có giúp các bạn được tÍ gì chăng :

1 Say mê môn toán Lúc chưa giỏi toán

thì khoa học tự nhiên nới chung và đặc biệt

môn toán nơi riêng, đã có một sức hấp dẫn

đối với tôi và tôi càng cố gắng học toán giỏi

hơn thì sức hấp dẫn đó cũng càng tăng VÍ

dụ, lúc chưa học đại số, nghe các bạn lớp

trên học : "cộng nhân với cộng thành cộng,

cộng nhân với trừ thành trừ v.v " thÌ óc tò

mò của tôi đã bị kích thích đặc biệt Hoặc

như khi chưa học phương trình bậc hai, mở

sách ra thấy công thức :

~b + jðF~ 4a

—— tôi rất lấy làm lạ về

đấu + vì từ trước tôi chỉ mới thấy hoặc là +

hoặc là - đứt khoát, chứ chưa hế thấy cả +,

cả - vào một chỗ,

2 Từ say mê đi đến chủ động, tự giác

và độc lập học tập, phát huy triệt để

tỉnh thần tự lực cánh sinh chống ¥ lai

Tôi nhớ lúc còn học cấp một, được một người

anh họ bày cho phép lấy căn bậc hai (không

có trong chương trình) tôi rất lấy làm hứng

x=

70

NGUYỄN CẢNH TOÀN

thú, bỏ ra câ một buổi trưa để loay hoay ngồi khai căn hết số này đến số khác, số nguyên rồi số thập phân, phải giục đến mấy lần mới

chịu đi ăn cơm Hoặc như do óc tò mò khoa

học bị kÍch thích, tôi thường hay tim tự học lấy những kiến thức của lớp trên, nhiều khi phải học dấu lén, sợ các bạn biết chế diễu, cho là làm bộ "ta đây" Không có sách, phải

đi mượn rồi chép Nhưng tôi không chép máy móc Tôi đọc hiểu rồi ghi lại vấn tắt theo cách hiểu của mình VÍ dụ, có định lí tôi

không ghỉ chứng minh khi thấy rang tu mình suy diễn lôgíc có thể tìm lại chứng minh dé dé dang Hoặc nếu thấy rằng điểm

then chốt trong chứng minh là biết dựng thêm một đường phụ nào đó (hÌnh học), thực hiện một mẹo tính nào đó (đại số, lượng

giác) thì tôi chỉ ghỉ điểm then chốt đó thôi

Như vậy là ghi chép trên cơ sở bộ óc đã tích

cực làm việc chứ không phải chỉ là lao động của bàn tay cầm bút Và thế là một cách vô

tình, tôi đã thực hiện được điều mà ngày nay các bạn gọi là tới hiện bài (tức là hiểu bài

rồi chưa cho là đủ, phải đạt yêu cầu là gấp

sách lại, tự mỉnh có thể xây dựng lại bài từ đầu đến cuối) Tôi cũng đã từng say mê giải những bài toán khó, đeo đuổi ngày này qua tháng khác, kÌ cho giải được mới thôi Nhưng tôi không làm nhiều toán lắm và không hể dùng đến các sách cho bài giải mẫu Lúc đơ, tôi không tán thành lắm một số bạn để mất nhiều thì giờ sao chép sách cho dep dé va

đẩy đủ và óc thì ít suy nghĩ hoặc những

bạn mở sách có "bài giải mẫu” ra làm hết bài này đến bài khác nhưng khi làm bài nào mà

gặp khó khăn thì đã vội mỡ bài giải mẫu ra xem

3 Học đi đôi với hành, tranh thủ mọi

lúc, mọi nơi để học Ngoài việc học ở lớp,

ở nhà, trong sách, tôi thường hay quan tâm

đến các sự việc xảy ra chung quanh mình,

trong thiên nhiên và trong xã hội Lúc đó

chưa làm gì có ý thức phục vụ sản xuất chỉ

cớ đc tò mò khoa học thúc đẩy tìm cách giải

thích sự kiện này, hiện tượng kia VÍ dụ tôi

đã tò mò muốn hiểu xem các số ghỉ trên cột

dây thép dọc hai bên đường sắt là những số

gì Không hỏi ai được, tôi tự tìm hiểu lấy

Chẳng hạn tôi theo đối sự biến thiên của một

số từ cột này qua cột khác và thấy rằng nó

giữ nguyên một giá trị trong khoảng hai

mươi cột rồi mới tăng thêm (hay giảm đi)

một đơn vị Từ đơ, tôi suy ra rằng số đó chỉ

số cây số Hoặc như thấy bóng nắng mái nhà

bao giờ cũng song song với thềm nhà, tôi

nghỉ xem tại sao lại như vậy, căn cứ vào

định lí nào của hình học không gian ? Hay

như thấy vành trăng lưỡi liềm, tôi cố hình

dung ra trong không gian vị trí tương đối

của mặt trời, quả đất, mặt trăng phải như

thế nào để có được hình trăng lưỡi liềm như

vậy v.v Tranh thủ suy nghỉ về một bài toán

khớ thì không phải bao giờ cũng có điều kiện

ngồi vào bàn, có tờ giấy nháp trước mặt,

quản bút cẩm tay Chính hoàn cảnh đó đã

thúc đẩy tôi đến chỗ có khi phải cố hình

dung ra trong óc những phép toán, những

hình v.v mà không viết, vẽ ra giấy (ví dụ lúc đã lên giường nằm) Nay suy nghỉ lại thì thấy có lẽ chính điều đó đã giúp minh phát triển "trí tưởng tượng về không gian", kha

năng "tập trung tư tưởng cao"

'Tất cả những điều vừa nói ở trên tạo dần nên một khả năng, một thới quen là tranh

thủ được nhiều lúc, nhiều nơi để học tập, rèn luyện tư duy toán học, không nhất thiết phải ngồi vào bàn học và do đó không mất

thêm thì giờ

Các bạn trẻ yêu toán ngày nay ở trong

những điều kiện thuận lợi hơn chúng tôi trước đây nhiều Động cơ duy nhất thúc đẩy

chúng tôi trước đây là óc tò mò khoa học,

sự say mê môn toán Ngoài động cơ đó ra, ngày nay, trong chế độ xã hội chủ nghĩa, các

bạn còn có lòng yêu nước, yêu chế độ thúc

đẩy các bạn học giỏi để phục vụ tốt Mọi việc

lâm tốt của các bạn đều được cổ vũ, khuyến khích, nâng đỡ Trước đây, trong chế độ thực dân, chúng tôi làm gì có được điều đó Bởi vậy, chúng tôi mong và tin rằng các bạn sẽ vượt rất xa chúng tôi Chỉ cần các bạn cố gắng, bền bỉ, kiên nhấn Cơ thể có bạn hiện nay chưa giỏi toán nhưng rồi bạn sẽ giỏi, vì

tài năng chủ yếu do rèn luyện mà có

NGAY TU BAY GIO CAC BAN HAY TAP DUOT SANG TAO TRONG TOAN HOC

Các bạn trẻ yêu toán thân mến ! Với lòng

nhiệt tình yêu mến Tổ quốc xã hội chủ nghĩa

tươi đẹp của chúng ta, với lòng say sưa yêu

thích bộ môn toán, chắc hẳn các bạn đều

Tnong muốn cho đất nước ta sớm có một đội

ngũ rất đông các nhà toán học vững về chính

trị, giỏi về chuyên môn, và hẳn mọi người

trong các bạn đều có hoài bão, ước mơ mình

sẽ được đứng trong đội ngũ đó Để cho hoài

bão, ước mơ đó trở thành sự thật, ngay từ

bây giờ các bạn hãy cố tập dượt sáng tạo

NGUYEN CANH TOAN

trong toán học đi Chắc các bạn sẽ hỏi : "Tập dugt như thế nào ? Trình độ còn thấp kém

mà đã tập đòi làm những việc cao xa như thế à ?" Sáng tạo, phát minh trong toán học

cố nhiên không phải là một việc dễ, ai cũng làm được, nhưng cũng không phải là một

việc quá khớ, chỉ dành riêng cho một số Ít

người có tài năng đặc biệt, cũng không phải

là một việc quá cao xa đối với các bạn vì ngay trong phạm vi kiến thức của các bạn

đã có thể có những suy nghĩ sáng tạo rồi

7

Các bạn đã sẵn có một lòng yêu toán, chỉ

cần các bạn biết cách tập dượt suy nghỉ sáng

tao và bền bỉ, kiên nhẫn tập đượt theo cách

đó thì rồi nay mai, bạn sẽ thấy rằng phát

xinh toán học không phải là một điều gì

thần bí cao xa

Vậy thì phương pháp tập đượt đó như thế

nào ? Cơ thể là mọi người tùy theo điều kiện,

hoàn cảnh của mình có một phương pháp

riêng thích hợp nhưng theo ý tôi, nếu bô qua

những khác nhau về chỉ tiết thì cũng có thể

nêu ra một phương pháp chung đại khái như

sau:

1 Khi học một hiến thức toán học mới,

ngoài uiệc hiểu uà uận dụng được biến thức

đó, thử tự dét minh vao vj tri nguai đã phốt

mình ra kiến thúc đó, cố hình dung xem

người đô đã suy nghĩ như thế nào, Điều này

không phải bao giờ cũng làm được và khi

làm được thì quá trình suy nghĩ của mình

chưa chấc đã trùng với quá trình suy nghĩ

của người phát minh vi người ta có thể có

nhiều con đường để đi tới một chân lí,

Nhưng điều đó không hề gì vÌ mục đích của

chúng ta không phải là tìm cho ra xem người

phát minh đã suy nghĩ như thế nào ma chỉ

tập đượt suy nghĩ sáng tạo thôi Dù cho suy

nghỉ không ra gì thì vẫn cứ tốt vì trong quá

trình suy nghĩ đó, kiến thức và năng lực trí

tuệ của chúng ta đã được vận dụng

Ví dụ : Học về hệ thức lượng trong vòng

tròn :

MA.MB = MC.MD thì ngoài việc hiểu hệ

thức đó, ta nên tự đặt câu hỏi : "Người ta

suy nghỉ như thế nào mà khám phá ra được

hệ thứ đó nhỉ ?"

Có thể là bạn sẽ suy nghỉ như sau : "Chắc

là người ta cho cát tuyến quay quanh điểm

3M và nhận xét thấy rằng trong hai đoạn MA

và MB, kẻ đoạn này dài ra thì đoạn kia ngắn

đi Từ đó người ta đưa ra phỏng đoán đầu

tiên là hai đoạn thẳng đó tỉ lệ nghịch với

nhau rồi kiểm tra phỏng đoán đó bằng cách

thử cố chứng mỉnh phỏng đoán đơ Khi

chứng minh thấy là đúng, người ta mới

xướng lên định lí đó" Thật ra thì chẳng biết

có phải người đầu tiên phát mỉnh ra định lí

này suy nghỉ như thế không nhưng nếu

chúng ta biết tập dượt suy nghĩ như thế thì

có cái tốt là xây dựng thành thới quen hay

72

chú ý nhận xét, phỏng đoán kết quả, kiểm tra, để đi đến chỗ tự mình tÌm ra chân lí

3 Khí học được một kiến thức toán học mới nên tự đặt câu hỏi sau đây uà cố gắng

trả lời : "Kiến thức này cô thể mở rộng ra được không ? Đối uói những uấn đề tương

tự, có những kiến thúc tương tự không ?", Việc làm này có phần đế hơn việc làm trên

nhưng cũng đòi hỏi chúng ta phải có một trí tưởng tượng đổi đào ví dụ như : Tưởng

tượng rằng một tam giác là một hình thang

có đáy nhỏ bằng không, là một tứ giác có một cạnh bằng không, là một hình tương tự với tứ điện ở trong không gian v.v Hoặc

như khi ta có một đoạn thẳng với trung

điểm của nơ thì phải nhìn thấy trong hình

vẽ có "hai điểm đối xứng" "hai điểm vị tự"

"hai điểm chia diéu hòa một đoạn thẳng"

“một hình tương tự với vòng tròn và tâm của

nó trong mặt phẳng" "một hình tương tự với tam giác và trọng tâm của nó trong mặt

phẳng"." Trong các bài "Nói chuyện với các

bạn trẻ yêu Toán" ở báo "Toán học tuổi Trẻ" Các số : 10 (7-1965) 21 (6-1966), tôi đã nêu

rõ lợi ích của việc xem một tam giác như

một tứ giác có một cạnh bằng không Dây

xin nêu thêm ví dụ về lợi ích của việc xem

một đoạn thẳng với trung điểm của nớ là

hình tương tự với tam giác và trọng tâm của

nó và xem tam giác như là hình tương tự

với tứ diện

Biết cách xem như trên thì định lH *Ba trung tuyến của một tam giác đồng quy" sẽ đưa ta ngay tới ý nghi rằng có lẽ trong

không gian sẽ có định H sau đây : "Bốn đường thẳng nối bốn đỉnh của một tứ diện

theo thứ tự với trọng tâm của bốn mặt đối

diện thì đồng quy" Tất nhiên là còn phải

chứng minh xem điều phóng đoán trên đây

có đúng không

hông những trong các bài học mà trong các bài tập cũng vậy, luôn nêu suy nghỉ tÌm

cách mở rộng các câu hỏi đặt ra

3) Gặp bất cú sự uiệc gì xung quanh, thủ

cố nghỉ xem có uấn dề gì dinh đến toán học

ở đây không, có thể đem hiểu biết toán học

ra mà giải thích, mà củi tiến không uà khi

» Vì nếu ta chỉ xét các điểm trên một đường thẳng thi quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng

Ä sẽ gồm hai đấu mút của một đoạn thẳng dài 2R và nhận điểm cho trước làm trung điểm

đã giải thích, cải tiến được rồi thì cũng

không thỏa mãn, thủ cố di sâu hơn, mô rộng

thêm xem sao

VÍ dụ : một bạn học sinh nọ nhân buổi

tối ra đứng gần cửa sổ nhìn sang tường nhà

trước mặt chợt chú ý đến một hiện tượng

mà lâu nay bạn đó đã bỏ qua : Bóng các

chấn song cửa sổ nhà bạn đớ in trên tường

nhà trước mặt thành những đường song

song Bạn đó nghỉ : "Tại sao lại như vậy ? "

và tìm cách giải thích Thế là trong óc bạn

đó cái đèn nhà mình trở thành một điểm,

mỗi chấn song là một đường thẳng và bóng

của nó trên tường nhà trước mặt là tương

giao của mặt tường này với mặt phẳng xác

định bởi cái đèn và chấn song Một bài toán

về hình học không gian được đặt ra và các

định H về tương giao của các đường thắng

và mặt phẳng được huy động, Cuối cùng bạn

đó giải thích được tại sao các bóng chấn song

cửa sổ lại // Nhưng đến đây bạn đó cũng

chưa thỏa mãn và nghĩ tiếp "Nếu như bức

tường trước mắt và bức tường nhà mình (tức

CẦN PHÁẨI GIẢI TOÁN

Khi tôi còn đi học, các thày thường nhắc

nhở chúng tôi : phải đào sâu suy nghĩ trong

khi làm toán Như thế nào là đào sâu suy

nghỉ trong khi làm toán ? Có phải chỉ là giải

bài toán bằng nhiều phương pháp và cố gắng

tìm ra những phương pháp độc đáo hay

không ? Tôi băn khoăn mãi Sau này mới

hiểu : thế thì tốt nhưng chưa đủ Một điều

quan trọng là sau khi giải xong một bài toán

còn phải biết đế ra những bài toán mới bằng

cách tổng quát hóa, bằng cách liên hệ đến

những trường hợp tương tự, hay nối một

cách đơn giản, phải biết đề ra những câu hỏi,

những thắc mắc xoay quanh bài toán đó, tự

giải quyết và rút ra những kết luận cần

thiết Làm như vậy chúng ta sẽ không bị trới

chặt vào những bài toán đã có sẵn, những

bài toán đó chỉ là câu hỏi gợi ý cho chúng

là bức tường có cửa sổ) không // với nhau thì liệu bớng các chấn song cửa sổ có còn //

với nhau nữa không ?" Và rồi bạn đó cũng

giải được bài toán này Nhưng vẫn chưa hết

Bạn đơ lại tiếp tục nghỉ : "Bóng các chấn

song mà in xuống sân thi sao nhi ?” va tat

nhiên cũng cố suy nghĩ để trả lời

Tuy trong thí dụ này chưa có cái gỉ là sáng tạo cho lắm, nhưng nếu bạn đó tiếp tục rèn luyện như vậy thi chắc chắn là sẽ trở

nên nhạy cảm trong việc liên hệ Toán học

với thực tế và sau này trước yêu cẩu của công tác, của sản xuất chắc sẽ có những sáng

tạo, cải tiến có tác dụng phục vụ thiết thực

Các bạn trẻ yêu toán thân mến ! Những điều tôi nơi ở trên chắc không phải là quá khó phải không các bạn ? Nó cũng chẳng đòi

hỏi một óe thông mỉnh gì đặc biệt Chỉ cần

có ý thức và quyết tâm rèn luyện Khi đã quen với nếp làm việc, suy nghỉ như trên bạn sẽ càng thấy yêu mến toán hơn và cụ thể chắc chắn bạn sẽ đạt được ước mơ, hoài

bao cua minh

MOT CACH SAU SAC

NGUYEN QUANG KINH

(Vinh Phúc)

ta nghỉ đến những bài toán tổng quát hon, sâu sắc hơn và khi giải những bài toán mới này chúng ta có thể tìm ra những kết quả

mà đo điều kiện giới hạn về chương trình và thời gian các thày không thể nói đến Hôm

nay các bạn hãy cùng tôi xét thí dụ bài toán

sau đây trong cuốn "Dạy và học toán ở cấp 8" (Nhà xuất bân Giáo dục) :

Hãy chứng minh rằng :

RRR

1) Céc 06 Ø., 2 › g lập thành 1 cấp số cộng (1)

2) Các giá trị của hàm số sin2x của các

ae A

góc 6 4a'3 lập thành một cấp số cộng tiến

3) Các giá trị của hàm số cos7x của các Zig lập thành một cấp số cộng lùi

BÓC Giảng

73

4) Các giá trị của hàm số tgx của các góc

ers lập thành một cấp số nhân tiến,

ð) Các giá trị của hàm số cotgr của các

e PEs lập thành một cấp số nhân lùi,

Đây không phải là một bài toán khớ Các

bạn có thể giải bài toán này một cách dễ

dàng Nhưng không phải vì thế mà bài toán

này không đem đến cho chúng ta những điều

bổ Ích, nó có thể làm điểm xuất phát cho sự

suy nghỉ của chúng ta

Trong bài toán này, điều đáng chú ý trước

hết là chẳng những số đo của các góc lập thành

một cấp số mà cả các giá trị sin2z (và sau

đó là cos2z, tga, cotgz) cũng lập thành một

cấp số Điều đó có phải bao giờ cũng xây ra

đâu ? Chẳng hạn 0, 5 ›z, lập thành một cấp

số cộng nhưng sin20 gìn? is B Z , sin2z lại không 2

lập thành một cấp số cộng Nhưng đây có

phải là trường hợp đuy nhất không ? Rõ

ràng là không : do tính chất tuần hoàn của

hàm số sinz (và đo đó của sin2z) chúng ta

chỉ việc cộng thêm vào các số hạng của cấp

số (1) cùng một lượng 2kz là chúng ta sẽ

được một cấp số mới cũng có những tính

chất đớ VÍ dụ nếu ta cộng vào cấp số (1)

cùng một lượng 2z thì ta được cấp số :

lâm 9x 7x

6042 '8

9x - „im sin

cũng lập thành một cấp số cộng (lại chính

197

Ro rang khi dé sin? =e sin?

in®

là cấp số cộng sin? isin? se) Nhung

các bạn có thể thắc mắc : ngoài cấp số có

được bằng cách cộng thêm cùng một lượng

2km vào các số hạng của cấp số (1) thì còn

có cấp số nào khác mà sin2œ của chúng cũng

lập thành một cấp số cộng hay không ? Thế

là các bạn đã có một bài toán mới để đi sâu

giải quyết rồi đấy ! Bài toán đó cớ thể phát

biểu như sau : "Tìm các góc ø, ổ, y sao cho

chúng có số đo lập thành một cấp số cộng

va sin2e, sin28, sin2y cũng lập thành một cấp

số cộng" Chúng ta hãy cùng giải bài toán

này :

Dé a, Ø, y lập thành một cấp số cộng thì

ta phải có :

74

8-a=y-8=d

hay là :

8=a*+d

y=ra+2d

Để sin?œ, sin2Ø, sin^y lập thành một cấp

số cộng thì ta phải có :

sìn2Ø - sin2z = sin’y - sin2B

hay la:

sin*(a +d) — sin? = sin%(a + 2d) - sina + d) (2)

Coi ø là ẩn số, ở là thông số chúng ta hãy

giải phương trình này Th biến đổi (2) nhự

sau :

[sin(a + d) - sina] [sin(2 + d) + sina] =

= [sina + 2d) - sin(a +d} [sin(a + 2d) +

+ sin(z + đ)]

hay là :

cos 5 — sing - 2sin— cos 5 =

= 2c0s—5— sin 5 2sin —5 — cosy

hay Ia:

sin(2a + d)sind = sin(2a + 3d)sind hay là :

sind[sin(2z + đ) - sin (2œ + 3đ)] = 0 (3) Nếu :

sind = 0

nghĩa là :

d=kx thi phuong trinh (3) nhan moi giá trị bất ki cha a lam nghiém Khi dé vé6i gié tri a tiy

ý ta được cấp số cộng :

ø, œ + km, œ + (E + l)x

mà bình phương sin của chúng cũng lập thành một cấp số cộng Cấp số cộng này có

các số hạng bằng nhau

tức là :

đ z kã

thì ta cổ :

sin(2œ + ở) - sin(2œ + 8đ) = 0 Giải phương trình này ta sẽ được :

a=T~d + 2k +1)F tk = 0, 1,2, 3 ) (4)

Bây giờ các bạn chi việc cho đ một giá trị bất ki nao dé và với È là một số nguyên nào

đó thế là bạn đã có được số hạng đầu ø và

công sai của cấp số phải tìm

Chẳng hạn nếu lấy k = 0, d = 1 thì bạn

sẽ được cấp số (1) nêu ra ở bài tập trên

Để kết thúc bài toán này chúng ta có thể

rút ra kết luận : Điều kiện để cho cấp số

cong a, ổ, y có tính chất bình phương sin

của chúng (sin2z, sin2, sin?y) cũng lập

thành một cấp số cộng là giữa số hạng đầu

ø và công sai ở của cấp số ø, ổ, y liên hệ với

nhau bởi đẳng thức (4)

Hoàn toàn tương tự như vậy bạn có thể

tim một cấp số cộng a, ổ, y để cos2z, cos2,

cos2y lập thành một cấp số cộng hoặc để tgø,

tợổ, tey, lập thành cấp số nhân, hoặc để

sina, sing, siny lập thành cấp số cộng, hoặc

thay tất cả những chữ "cấp số nhân" bằng

những chữ "cấp số cộng" và ngược lại trong

các bài tập trên Như người ta thường nói,

thế là các bạn đã có những "đề tài nghiên

cứu" rồi đấy (tất nhiên là những để tài của

riêng chúng ta, học sinh cấp 8)

Nhưng có phải chỉ có thế không nhỉ ? Các

bạn có thể tự đặt một câu hỏi : có phải hễ

cứ sin2œ, sin2ổ, sin’y lap thành một cấp số

cộng thì cos2z, cos2Ø, cos2y cũng lập thành

một cấp số cộng hay không ? Đúng là thế

đấy Các bạn có thể áp dụng công thức :

2z = 1 - cos2x sin’

để chứng minh rằng nếu :

sin2Ø - sin2z = sinÄy - sin28

thi : cos’8 ~ cos2œ = cos2y - cos2

hoặc các bạn có thể xem cos2œ, cos28, cos2y

là hiệu của hai cấp số cộng 1, 1, 1 va sin%z,

sin2đ, sin2y (hiệu của hai cấp số cộng cũng

là một cấp số cộng)

Ở bài tập nêu ra trên kia khỉ

in? gin? sin? =

sin’ = ,sin 4 sins lập thành một cấp số

cộng thì tee tay tay lai lap thành một

cấp số nhân Điều đó có đúng cho các góc ø,

8, y bất kì hay không ? Chúng ta thử xét

xem :

Giả sử a, ổ, y khác kh (để cho tang của

chúng xác định) và giả sử sin2œ, sin2Ø, sin^2y

lạp thành một cấp số cộng trong đó :

sina sinf siny # 0

Khi đó theo lí luận ở ngay trên ta cũng

Số CÓ :

cos2ổ - eos2z = cos2y - cos2

l+tga

— ot

_ 1+/ey = 1 + eg'B

hay là : ————— = ———x- +

y 1+tgØÐ8 1+tge 1+tgy

2 =

`1+tg8 -

_ 9 + tg?a + tg3y

— 1+ tgầu + tg3y + tgratg’y

_ lt teat teyt terate’y hay là tg2Ø= mm et ia 1

hay là :

— „ (2+ teat tey)t (terate?y— 1)

tếB= 2 2+ teat tey 1

tg2ztg2y ¬ 1 2+ tga + tg3y

Nhìn vào dang thitc (5) chang ta nhan

thấy nếu :

hay là : tg2ổ = 1 +2 (5)

tgatgy =1

thì ta sẽ được :

tg2B = tga.tgy 6)

và đây chính là điều kiện để tgø, tgổ, tgy

lập thành một cấp số nhân Vậy ta có thể

kết luận : Nếu sin2ø, sin2, sin2y lập thành một cấp

số cộng trong đó sinđ z 0 và nếu : tgatgy = 1 thì tgœ, tøgổ, tgy cũng lập thành một cấp số

nhân

Trong kết luận này chúng ta phải thêm

điều kiện : sinổ + 0 để đẳng thức (6) có nghĩa Các bạn nên lưu ý một điều là chính

cấp số nêu ra ở bài toán đầu tiên cũng chỉ

là một trường hợp đặc biệt của những cấp

số nêu ra ở kết luận này của chúng ta

Đến đây chưa phải là đã kết thúc rồi đâu

Chúng ta đang xót vấn đề : với các góc a, ổ,

y như thế nào thì chẳng những số đo của chúng lập thành ruột cấp số mà cả các giá

trị hàm số lượng giác của chúng cũng lập

thành một cấp số Nhưng cũng không gÌ ngăn trẻ chúng ta nghỉ tới một vấn dé tương

75

tự : tìm một cấp số cộng mà logarit của

chúng cũng lập thành một cấp số cộng Các

bạn hãy cùng tôi giải thêm bài toán mới

này :

Gọi số hạng đầu của cấp số phải tìm là x

( > 0), cong sai lA d (d > 0) Để logarit

của chúng cũng lập thành một cấp số cộng

thÌ ta có :

log(x + d) ~ logx = log(x + 2d) - log(x + d)

xid x+2d

x xtd

(x + d)* = x(x + 2d) (7)

Đảng thức này chỉ ra rằng cấp số cộng

đang tìm còn phải là cấp số nhân nữa Điều

đó chỉ xây ra khi các số hạng của cấp số này

bằng nhau nghĩa là ở = 0

Nếu các bạn không tin các bạn thử biến

đổi đẳng thức (7) mà xem Chúng ta có thể

nối : "Điều kiện để logarit của một cấp số

cộng z,,„ cũng lập thành một cấp số

cộng là :

uy = uy = uy

nó cũng là một cấp số nhân"

Gòn logarit của một cấp số nhân thì sao ? Logarit của một cấp số nhân (số hạng dương) là một cấp số cộng Thế logarit của một cấp số nhân cớ thể là một cấp số nhân

hay không ? Điều đó chỉ có khi cấp số nhân

này có các số hạng như nhau Các bạn thử suy nghỉ mà xem

Đây mới chỉ là một bài toán bình thường,

toán học còn có nhiều điều tuyệt diệu khác

và mỗi bài toán đều để nấp đằng sau nó biết bao nhiêu điều lí thú Đến đây chắc chúng

ta có thể thống nhất ý kiến với nhau : khi làm toán cần phải suy nghỉ sâu sắc và sáng tạo, sáng tạo để khám phá những điều mà chưa ai bảo cho ta Tất nhiên không phải khi

nào chúng ta cũng tÌm ra những diều lí thú

cả Nhưng điều quan trong là chúng ta cẩn

luyện tập để có một thới quen suy nghĩ sâu

sắc, thối quen tò mò, thích khám phá ra những cái mới trong khoa học (ban đầu thì

là mới đối với riêng ta) Cái đó cần thiết để chúng ta chẳng những trở thành một học

sinh giỏi toán mà còn để học giỏi bất kÌ một

môn học nào khác

TÔI BẮT ĐẦU THÍCH TOÁN NHƯ THẾ NÀO ?

Tôi vốn là một học sinh bình thường về

toán ; Thầy đạy toán chưa bao giờ khen tôi

về toán, tôi đối với toán cũng không lấy gÌ

làm mặn mà lắm ; vậy mà bây giờ tôi lại

thấy toán thật là thú vị Xin kể lại câu

chuyện sau đây, nó nơi lên một cách học tập

đã làm cho tôi thích toán

Để vẽ chính xác đồ thị hàm sé y = ax3 +

bx* + cx +d tôi phải tìm giao điểm của đường

cong với trục hoành tức là tìm nghiệm của

phương trinh ax? + bx? + ex +d = 0 Cong

việc này tốn khá nhiều thời gian vì lúc đầu

chúng tôi không biết tính nghiệm (hay

nghiệm gần đúng) của phương trình này, do

đó lần đầu tiên tôi mạo hiểm đề ra cho mình

bài toán sau :

76

LÊ LÊ (10D Duy Tién, Ha Nam)

Tim nghiém cia phvong trinh

F(x) = ax + bx? +x +d = 0 w

Nếu tìm không được - chắc là không được

vì có lẽ khớ quá (dễ thì trong sách giáo khoa

đã giới thiệu và tôi đã chẳng phải đi mò !) thì tìm nghiệm gần đúng vậy, sao cho nó đủ chính xác để vẽ đường cong

Học tập cách giải ax2 + 6x + c = ÔÖ tôi

cũng thêm bớt vào #(%) những lượng thích

hợp để đưa phương trình về dạng (x + a)2 +

8 = 0 Biến đổi như sau : ax? + 6x? + cx +

đ = 0 chia cho ø (vì ø # 0 nên chia được)

472424220

a a a

34.32 24 Bx oy,

wt 8 3a" 3a

T (85) * (8g) (x*

_=“ ered

b

Vậy nếu < #3 (mg) thì không thể đưa

phương trỉnh về dạng mong muốn được,

nhưng vì vẽ trái đã có ( + mì” nên để có 3a

thể dùng ẩn phụ tôi tiếp tục biến đổi

(+35) * (** 30) *

«(5-3 (az) ] > a0*

*x[ã ®(ã) ]|*s- (mm) 9

‘Thm lai co thé dua phương trình về dang

6

X34+pX+q=0 (2) (X=2+3)

Để khảo sát hình dạng đường cong của

hàm số y = F(x) = ax3 + bx? + cx +d ta chi

cần khảo sát hàm số y = x3 + pz + g Thật

vậy đường cong y = ax? + bx? + cx + d chính

là đường cong y = + + pz + q tịnh tiến doc

theo trục hoành đi - 3œ đơn vị rồi co trục

tung theo hệ số a _ Đổi trục tọa độ một lần

nữa

x=X

y=Y+a

ta có phương trình đường cong trong hệ trục

tọa độ mới là Y = XỔ + pX Dây là hàm số

lẻ nên nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Gốc tọa độ cũng chính là điểm uốn Như vậy

bước đầu tôi đã tự mình giải thích được một

điều nơi trong sách giáo khoa mà không

chứng minh :

Điểm uốn của đồ thị chính là tâm đối

xứng của đồ thị

2 - Ta khảo sát hàm số y = 23 + px tq

Đạo hàm y' = 3x2 + p có thể dương với

mọi giá trị của z (khi p > 0) Hàm số đồng

biến từ - œ đến + œ, Giá trị của hàm cũng

biến thiên từ - œ đến + © Trong trường hợp

p < 0, đạo hàm triệt tiêu và đổi dấu tại

- 1 3 và đạt cực tiểu tại \ Hàm số

đồng biến rồi nghịch biến và cuối cùng là

đại tại

đồng biến VÌ vậy

đường cong phải

1a (h.1)

Nhìn vào đồ thị ta thấy đường cong bao giờ cũng cắt trục hoành vì hàm tăng từ - œ

đến + œ Nghĩa là

phương trình bậc

ba bao giờ cũng

có nghiệm Điều này thật là mới mẻ đối với tôi Phương trình bậc hai hay phương trình trùng phương có

thể vô nghiệm chứ phương trình bậc ba bao giờ cũng có nghiệm ! Mãi đến khi học về đường tiệm cận tôi mới giải thích được hiện

tượng đó

poo

Hình 1

<2

Hình 2

Tổng quát hóa lên tôi thấy :

Phương trình bậc lẻ bao giờ cũng có Ít nhất một nghiệm (vì x2” † Ì biến thiên từ — œ đến + œ)

8 - Suy nghỉ kỉ hơn tôi thấy không cần hàm phải tăng từ ~ đến + œ phương trình tương ứng mới có nghiệm mà chỉ cần hàm

đổi đấu và liên tục là được Đi từ dương sang

âm hay từ âm sang dương một cách liên tục

thì nhất định phải qua số không ! Nhận xét này hiển nhiên quá thế mà trước đây tôi không nghỉ ra ! Vậy :

Nếu F(+) liên tục trong khoảng (a, 6} và F(a).F(b) < 0 thì có œ ở giữa (ø, b) dé cho

Fla) = Nhận xét này đã giúp tôi rất nhiều để hoàn thành nhiệm vụ học tập

4 — Xét lại trường hợp p > 0 và p < 0 tôi thấy :

TT

a) p > 0 phương trình chỉ có 1 nghiệm vi

hàm luôn luôn đồng biến Đường cong không

thể quay trở lại cất trục hoành một lần nữa

b) p < 0 đường cong có cực đại, cực tiểu,

khi quay trở lại có thể cất trục hoành nên

trong trường hợp này có thể có một nghiệm,

2 nghiệm (trong đó có một nghiệm kép) 3

nghiệp tùy theo vị trí của trục hoành với

đường cong

Đến đây tôi vẫn tiếp tục đi sâu thêm và

cứ sáng dần ra về nhiều vấn để nhưng tôi

xin miễn trình bấy tiếp sợ mất thi giờ của

các bạn Tôi chỉ xin kết luận như sau :

"Vạn sự khởi đầu nan", chịu khó suy nghĩ tôi thấy đã hiểu được bài một cách sâu sắc

và toàn diện hơn, và thật là vui sướng khi

tự mình khám phá ra được những bí mật bổ

Ích (Tuy rằng những điều đó thì cha od gi

là quan trọng và người ta đã biết từ lâu), cứ

tiếp tục học tập theo cách trên đây, đến bây

giờ tôi rất thích toán

TÔI ĐỌC CUỐN "GỬI CÁC BẠN TRẺ YÊU TOÁN"

CỦA HOA LA CANH

Đầu năm 1965, tình cỡ một người bạn cho

tôi mượn cuốn "Gửi các bạn trẻ yêu toán" của

Hoa La Canh Lúc đầu tôi cũng xem bình

thường như mọi quyển sách khác, nhưng

dần dần đọc một vài trang sau, tôi càng ngày

càng bị lôi cuốn, và cuối cùng hôm đớ tôi đã

đọc quyển sách này một mạch bỏ cả buổi

trưa Sau đó tôi da cố gắng tìm mua bằng

được cuốn sách, và thường cho đến nay thỉnh

thoảng vẫn xem đi xem lại đoạn này hay

đoạn khác, và nhiều lúc trong công tác của

mỉnh tôi cũng đã cầu cứu đến cuốn sách này

như một người bạn, một người hướng dẫn

chân tình

Hoa La Canh là một nhà toán học lớn

hiện nay của Trung Quốc và thế giới Ông

xuất thân từ một gia đình nghèo, chỉ được

theo học ở nhà trường cho đến hết cấp II,

rồi phải bô học Mặc dầu vậy và mặc dầu lúc

đó Trung Quốc chưa được giải phóng, điều

kiện tự học của thanh thiếu niên rất là khớ

khăn, ông đã tự học mà trưởng thành lên,

đã trở thành một nhà toán học lối lạc, có

nhiều đóng góp cho nhiều bộ môn toán học,

đặc biệt là cho bộ môn "lí thuyết số" Sau khi

cách mạng Trung Quốc thành công ông đã

và đang đem hết sức mình cống hiến cho sự

nghiệp xây dựng chủ nghĩa xã hội Đặc biệt

78

LẠI ĐỨC THỊNH

ông rất quan tâm đến việc học tập của thanh niên, của cán bộ khi đang còn ngổi trên ghế

nhà trường cũng như khi đã thôi học Trong

nhiều bài báo của mình ông đã đem hết nhiệt tình để truyền đạt lại những kinh nghiệm quý báu cho thanh niên Nhiều bài báo đã

được thu thập lại trong cuốn "Gửi các bạn trẻ yêu toán", mà bạn Trần Hùng Thao đã

trích dịch mười hai bài, được Nhà xuất bản Khoa học xuất bản năm 1964

Qua hơn tám chục trang sách trên đây, điểm nổi bật đầu tiên thu hút chúng ta là lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội của Hoa

La Canh Người thanh niên Hoa La Canh, khi mới mười bốn mười lăm tuổi, đang còn sống trong chế độ cũ, tuy chưa có nhận thức đẩy đủ về tổ quốc, chưa "biết yêu nước", nhưng đã cảm thấy rõ cái bất công của xã hội cũ, cái "hoàn cảnh sống chết mặc bay ấy " (trang 18) nên đã tự xác định lấy cho mình một hướng đi là học toán, học cho thật

giỏi, đã kiên trì đến cùng và đã thành công

Đến khi đã có một trình độ về chuyên môn,

thi do có cơ sở lòng yêu nước nên đã phân

biệt được là "nhà khoa học phải có lập trường

rõ ràng" (trang 20) và đo đó mà sau này đi

theo cách mạng một cách tự giác và tích cực, cùng với cơ sở lòng yêu nước như vậy mà

trong bài "nhận thức của tôi đối với toán

học" (trang 17) (*) ông đã nêu cho ta rõ ý

thức và tỉnh thần tim cách vận dụng kha

nang cla minh để phục vụ cho tổ quốc ;

phục vụ dân tộc, cũng đồng thời qua đó mà

lên án chế độ cũ và nêu lên những đòi hỏi

lớn lao của tổ quốc đối với các nhà khoa học

nơi chung, và toán học nối riêng Hoa La

Canh đã quyết tâm đem hết sức mình phục

vụ Tổ quốc trong lĩnh vực toán học : "chúng

ta muốn xây dựng Tổ quốc, bảo vệ Tổ quốc,

phải có kiến thức toán học" (trang 23) Hoa

La Canh không chỉ nghỉ mình sẽ toàn tâm

toàn ý phục vụ Tổ quốc, mà còn muốn hô

hào vận động thế hệ trẻ nỗ lực phục vụ Tổ

quốc bằng phương tiện là toán học ; ông "rất

nóng lòng muốn làm sao có thể truyền thụ

được cho các bạn tất cả những hiểu biết của

mình trong chốc lát" (trang 3) để cho anh

chị em thanh niên có đủ khả năng phục vụ

Hoa La Canh lại rất tỉn tưởng ở thanh niên,

tin tưởng rằng thanh niên sẽ tiến bộ nhanh

và chính thanh niên mới là người chủ đất

nước tương lai, ông viết : "Tôi mong các bạn

sẽ vượt tôi, vÌ tôi biết rằng các bạn là những

sức sống mới đang tiếp lấy những vũ khí từ

tay chúng tôi để tiến quân vào khoa học”

(trang 3) Một thể hiện nữa của lòng yêu

nước của Hoa La Canh la lòng tự hào dân

tộc, điều đó thể hiện đẩy đủ và sâu sắc trong

bài "toán học là một môn mà nhân dân ta

rất tỉnh thông" (trang 9) Chúng ta hãy học

tập Hoa La Canh về tỉnh thần yêu nước, yêu

chủ nghỉa xã hội, yêu một cách sâu sắc và

thiết thực, thể hiện cụ thể là hãy tấn công

vào khoa học, chiếm lấy đỉnh cao của khoa

học, đặc biệt là toán học, để đem nó phục

vụ cho việc xây dựng tổ quốc, xây dựng chủ

nghĩa xã hội của chúng ta Tôi muốn nhấn

mạnh thêm là chúng ta cần chú ý để học tập

được lòng tự hào dân tộc của Hoa La Canh

Ở nước ta trước đây, không phải là có Ít

người hâm mộ khâm phục phương Tây,

khâm phục Pháp, Mi đến nỗi quên mất dân

tộc, cho mình là cái gì cũng quá nhỏ bé Tư

tưởng này không phải là không ảnh hưởng

đến chúng ta ngày nay Nếu chúng ta chịu

tìm tồi suy nghỉ thì chắc rằng chúng ta có

thể đánh đổ được tính tự tỉ dân tộc này

không khó khăn lắm Tôi chi xin đơn cử một

hai ví dụ Trước đây có lẽ ở nước ta chỉ có

được dăm ba người cớ trình độ đại học,

nhưng ngày nay chỉ mới sau hai mươi năm

thành lập nước Việt Nam độc lập, mặc dầu

đang còn bị đế quốc tiến hành chiến tranh xâm lược, mà chúng ta đã có hàng vạn cán

bộ, tốt nghiệp đại học và có nhiều cán bộ có trình độ trên đại học, trong đớ cán bộ về toán học chiếm một tỈ số không phải là ít Điều đó cũng đã chứng tỏ rằng nếu cả nước

ta độc lập và thống nhất thì chắc chắn rằng nền khoa học kỉ thuật của chúng ta còn phát

triển nhanh hơn nữa, và điều đó nớ nói lên rang chúng ta có khả nang về mọi mặt, kể

cả khả năng về toán học Mặt khác nữa nếu

các bạn đi sâu nghiên cứu tÌm hiểu về lịch

sử toán học Việt Nam thì chắc chắn rằng các bạn sẽ chứng minh được khả năng của dân tộc ta phong phú biết chừng nào Trên đây tôi đã trình bẩy thu hoạch của

tôi về tính thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội của Hoa La Canh Qua cuốn sách nhỏ của Hoa La Canh chúng ta còn thấy ông giới

thiệu rõ nét cho chúng ta về nội dung của toán học Về toán học thì có thể nơi : thực chất của phương pháp toán học là vấn để rèn luyện tư đuy và thực chất của mục đích

toán học là phục vụ cho sản xuất Hoa La Canh đã dẫn chứng lời của Kalinin "toán học

là một môn thể thao rèn luyện tư duy" (trang 23) Cái thể hiện cụ thể của thể thao

tư duy đó đã được Hoa La Canh nêu lên "từ một số Ít những giả thiết đơn giản có thể rút ra nhiều kết luận khác" Chúng ta ai cũng thấy rõ rèn luyện tư duy là rất cẩn thiết cho mối người trong xã hội mà rèn

luyện tư duy bằng toán học thÌ có hiệu lực

rõ rệt "Các nhà toán học Liên Xô cho rằng : những người có một trình độ nhất định về

toán học thì tư duy của họ cũng rất lôgích

và có nhiều thuận lợi trong công tác nghiên

cứu" Hoa La Canh đã lấy đớ để giải thích

hiện tượng là có nhiều nhà toán học đã

thành công trong việc nghiên cứu các ngành khoa học khác như cơ học, vật lí, khí tượng

va vi thé Hoa La Canh đã khẳng định : "mặc

dù sau này bận ra làm công tac gi ching

nữa, toán học cũng sẽ giúp đỡ cho bạn rất

nhiều" (trang 23)

+ Nhũng chú thích (trang .) trong bài này là chỉ dẫn trong cuốn "Gửi các bạn trẻ yêu toán" Nhà XB Khoa học, 1964

79