Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – Thí dụ
Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng:
)) ( ), ( ( )
( t f x t u t
x & =
+
−
−
=
) (
1 )
( )
( sin
)
( )
,
(
2 2
2 1
2
t
u ml
t
x ml
B t
x l
g
t
x u
x f
trong đó:
Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT:
m
u l
θ
+
−
0
= 0
0
e
= 0
π
e
x
Trang 2Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – Thí dụ (tt)
+
−
−
=
) (
1 )
( )
( sin
)
( )
,
(
2 2
2 1
2
t
u ml
t
x ml
B t
x l
g
t
x u
x f
0
) 0 (
1
1
∂
∂
=
=
= u
x
f a
0, x
l
g t
x l
g x
f a
u u
−
=
−
=
∂
∂
=
=
=
=
1 )
0 (
1
2
0, x 0,
x
1
) 0 (
2
1
∂
∂
=
=
= u
x
f a
0, x
2 )
0 (
2
2 22
ml
B x
f a
u
−
=
∂
∂
=
=
=0,
x
e = 0 0
x
u~
~
~ A x B
x& = +
−
−
=
2
1 0
ml
B l
g
A
⇒
2
=
+
−
=
−
ml
B s
l
g s
l
g s
ml
B s
⇔ Kết luận: Hệ thống ổn định (theo hệ quả tiêu chuẩn Hurwitz)
Trang 3Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – Thí dụ (tt)
+
−
−
=
) (
1 )
( )
( sin
)
( )
,
(
2 2
2 1
2
t
u ml
t
x ml
B t
x l
g
t
x u
x f
0
) 0 0 ( 1
1
∂
∂
=
=
= u
x
f a
,
x π
l
g t
x l
g x
f a
u u
=
−
=
∂
∂
=
=
=
=
0 (
1 )
0 0 ( 1
2
, x
,
1
) 0 0 ( 2
1
∂
∂
=
=
= u
x
f a
,
x π
2 )
0 0
( 2
2 22
ml
B x
f a
u
−
=
∂
∂
=
=
= ,
x π
e = π 0
x
u~
~
~ A x B
x& = +
−
=
2
1 0
ml
B l
g
A
⇒
2
=
+
−
−
=
−
ml
B s
l g
s
l
g s ml
B s
⇔ Kết luận: Hệ thống không ổn định (PTĐT không thỏa điều kiện cần)
Trang 4Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý ổn định
Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho:
ii) V ( 0 ) = 0
i) V (x) ≥ 0, ∀x
iii) V&(x) < 0, ∀x ≠ 0
Thì hệ thống (1) ổn định Lyapunov tại điểm 0
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x e = 0.
Định lý ổn định Lyapunov: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi phương trình trạng thái:
0 ) ,
= f x u u
Chú ý: Hàm V(x) thường được chọn là hàm toàn phương theo biến trạng thái
Trang 5Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý không ổn định
Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho:
ii) V ( 0 ) = 0
i) V (x) ≥ 0, ∀x
iii) V&(x) > 0, ∀x ≠ 0
Thì hệ thống (1) không ổn định tại điểm 0
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x e = 0.
Định lý không ổn định: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi phương trình trạng thái:
0 ) ,
= f x u u
Trang 6Phương pháp trực tiếp Lyapunov– Thí dụ
Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng u(t)=0:
)) ( ), ( ( )
( t f x t u t
x & =
+
−
−
=
) (
1 )
( )
( sin
)
( )
,
(
2 2
2 1
2
t
u ml
t
x ml
B t
x l
g
t
x u
x f
trong đó:
Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT:
m
u l
θ
+
−
0
= 0
0
e
= 0
π
e
x
Trang 7Phương pháp trực tiếp Lyapunov– Thí dụ
2
2 1
2
5 0 sin 2 )
g
l x
(a)
= 0
0
e
x
Rõ ràng:
x
(
V
0 khi
0 ) (x = x =
V
Xét V& (x)
1 sin 0 5 cos 0 5 2
)
g
l x
x x
V& x = & + &
+
−
−
=
) (
1 )
( )
( sin
)
( )
,
(
2 2
2 1
2
t u t
x
B t
x g
t
x u
x f
0 ,
0 )
(x = − x22 < ∀x ≠
mgl
B V&
⇒
Kết luận: Hệ thống ổn định tiệm cận tại điểm cân bằng [ ]T
0 0
=
e x
= 2sin 1 2 sin 1 2 x2
ml
B x
l
g x
g
l x
x
Trang 8Phương pháp trực tiếp Lyapunov– Thí dụ
hệ thống không ổn định (SV tự làm) (b)
+
−
−
=
) (
1 )
( )
( sin
)
( )
,
(
2 2
2 1
2
t u t
x
B t
x g
t
x u
x f
= 0
π
e
x