Điểm cân bằng của hệ phi tuyến Một điểm trạng thái xe được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ đang ở trạng thái xe và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó... Điểm
Trang 1Điểm cân bằng của hệ phi tuyến
Một điểm trạng thái xe được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ đang ở trạng thái xe và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó
Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:
0
=
= ( , u ) = ,u=0
e x x
x f x&
Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng hoặc không có điểm cân bằng nào Điều này hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính , hệ tuyến tính luôn luôn có 1 điểm cân bằng là x e = 0
) ,
( u x f
x& =
Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái sau:
Trang 2Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – Thí dụ
Thành lập PTTT Đặt:
=
=
) ( )
(
) ( )
(
2
1
t t
x
t t
x
θ
θ
&
PTTT mô tả hệ con lắc là: x & ( t ) = f ( x ( t ), u ( t ))
+
−
−
=
) (
1 )
( )
( sin
)
( )
,
(
2 2
2 1
2
t
u ml
t
x ml
B t
x l
g
t
x u
x f
trong đó:
Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP:
m
u l
θ
+
−
0
) ( sin
) ( )
(
ml θ&& + θ& + θ =
Xác định các điểm cân bằng (nếu có)
Trang 3Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – Thí dụ
+
−
−
=
) (
1 )
( )
( sin
)
( )
,
(
2 2
2 1
2
t
u ml
t
x ml
B t
x l
g
t
x u
x f
Điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:
0
=
= ( , u ) = ,u=0
e x x
x f x&
=
−
−
=
0 sin
0
2 2 1
2
e e
e
x ml
B x
l g
x
⇒
=
=
π
k x
x
e
e
1
⇒
Kết luận: Hệ con lắc có
vô số điểm cân bằng:
=
0
π
k
e
x
=
0
) 1 2
e
x
=
0
2kπ
e
x
Trang 4Ổn định tại điểm cân bằng
Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là ổn định tại điểm cân bằng
x e nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi xe và đưa đến điểm được x0 thuộc lân cận nào đó của xe thì sau đó hệ có khả năng tự quay được về điểm cân bằng xe ban đầu
Chú ý: tính ổn định của hệ phi tuyến chỉ có nghĩa khi đi cùng với điểm cân bằng Có thể hệ ổn định tại điểm cân bằng này nhưng không ổn định tại điểm cân bằng khác
Điểm cân bằng ổn định Điểm cân bằng không ổn định
Thí dụ:
Trang 5Ổn định Lyapunov
Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT:
0
) , ( =
= f x u u
x&
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x e = 0.
(1)
Hệ thống được gọi là ổn định
Lyapunov tại điểm cân bằng
x e = 0 nếu với ε > 0 bất kỳ
bao giờ cũng tồn tại δ phụ
thuộc ε sao cho nghiệm x(t)
của phương trình (1) với điều
kiện đầu x(0) thỏa mãn:
0 ,
) (
)
0
( < δ ⇒ x t < ε ∀t ≥
x
Trang 6Ổn định tiệm cận Lyapunov
Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT:
0
) , ( =
= f x u u
x&
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x e = 0.
(1)
Hệ thống được gọi là ổn định
tiệm cận Lyapunov tại điểm
cân bằng x e = 0 nếu với ε > 0
bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ
phụ thuộc ε sao cho nghiệm
x(t) của phương trình (1) với
điều kiện đầu x(0) thỏa mãn:
0 )
( lim
) 0
(
⇒
<
∞
→ x t
Trang 7So sánh ổn định Lyapunov và ổn định tiệm cận Lyapunov
Ổn định Lyapunov Ổn định tiệm cận Lyapunov
Trang 8Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov
Cho hệ phi tuyến phương trình trạng thái:
) ,
f
Định lý:
Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ổn định thì hệ phi tuyến (1) ổn định tiệm cận tại điểm cân bằng xe
Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) không ổn định thì hệ phi tuyến (1) không ổn định tại điểm cân bằng xe
Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ở biên giới ổn định thì không kết luận được gì về tính ổn định của hệ phi tuyến tại điểm cân bằng x
Giả sử xung quanh điểm cân bằng xe , hệ thống (1) có thể tuyến tính hóa về dạng:
u~
~