Phương trình trạng thái... Hồng - ÐHBK TPHCM 73 Trạng thái: Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến gọi là biến trạng thái mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời
Trang 126 September 2006 © H T Hồng - ÐHBK TPHCM 71
Sơ đồ dòng tín hiệu
Thí dụ 3 (tt)
Định thức của sơ đồ dòng tín
hiệu:
Các định thức con:
1
1 =
∆
Hàm truyền tương đương của hệ thống:
) (
1
2 2 1
1∆ + ∆
∆
G td
5 4 1 5
4 5
2 5
1 4
1 5
4 3
2
(
1− L + L + L + L + L + L L + L L + L L + L L − L L L
=
∆
) (
) (
2 = − L + L + L + L L
∆
Trang 2Phương trình trạng thái
Trang 326 September 2006 © H T Hồng - ÐHBK TPHCM 73
Trạng thái: Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t > t0, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t ≥ t0
Hệ thống bậc n có n biến trạng thái Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật lý hoặc không phải là biến vật lý
Vector trạng thái: n biến trạng thái hợp thành vector cột gọi là vevtor trạng thái
Trạng thái của hệ thống
n
x x
=
x
Trang 4 Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất, (hệ phương trình trạng thái)
(*)
trong đó
Chú ý: Tùy theo cách đặt biến trạng thái mà một hệ thống có thể được mô tả bằng nhiều phương trình trạng thái khác nhau.
Phương trình trạng thái
=
+
=
) ( )
(
) ( )
( )
(
t t
c
t r t
t
Cx
B Ax
x&
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
K
M M
M
K K
2 1
2 22
21
1 12
11
A
=
n b
b b
M
2 1
B C = [c1 c2 K c n]
Trang 526 September 2006 © H T Hồng - ÐHBK TPHCM 75
Vài thí dụ về phương trình trạng thái
Thí dụ 1: Hệ thống giảm xóc của ô tô, xe máy
) ( )
(
) ( )
(
2
2
t f t
Ky dt
t
dy B dt
t y
d
Phương trình vi phân:
(*)
+
−
−
=
=
) (
1 )
( )
( )
(
) ( )
(
2 1
2
2 1
t
f M
t
x M
B t
x M
K t
x
t x t
x
&
&
⇒
Đặt:
=
=
) ( )
(
) ( )
(
2
1
t y t
x
t y t
x
&
) (
10 )
(
)
(
1 0
) (
) (
2
1
2
M t
x
t x M
B M
K t
x
t x
+
−
−
=
&
&
=
) (
)
( 0
1 )
(
2
1
t x
t
x t
y
⇔
=
+
=
) ( )
(
) ( )
( )
(
t t
y
t f t
t
Cx
B Ax
x&
−
−
=
M
B M
K 1
0
A
=
M
10
B C = [1 0]
Trang 6Vài thí dụ về phương trình trạng thái
Thí dụ 2: Động cơ DC
− L ư : điện cảm phần ứng − ω : tốc độ động cơ
− R ư : điện trở phần ứng − M t : moment tải
− U : điện áp phần ứng − B : hệ số ma sát
Trang 726 September 2006 © H T Hồng - ÐHBK TPHCM 77
Vài thí dụ về phương trình trạng thái
Thí dụ 2: Động cơ DC (tt) Động cơ DC
Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch điện phần ứng:
) (
)
( )
( )
dt
t
di L
R t i t
) ( )
(t K t
trong đó:
K : hệ số
Φ : từ thông kích từ
(1) (2)
Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay của trục đ.cơ (để đơn giản giả sử moment tải bằng 0):
dt
t
d J t
B t
M ( ) = ω( ) + ω( ) trong đó: M (t) = KΦi ư (t)
(3) (4)
Trang 8Vài thí dụ về phương trình trạng thái
Thí dụ 2: Động cơ DC (tt)
(1) & (2) ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 U (t)
L
t L
K t
i L
R dt
t
di
ư ư
ư
ư ư
ư
(3) & (4) ⇒ ( ) ( ) (t)
J
B t
i J
K dt
t
Đặt:
=
=
) ( )
(
) ( )
( 2
1
t t
x
t i t
x
ω
ư
(5) & (6) ⇒
Φ
+
Φ
−
−
)
1
B K
t
U L
t
x L
K t
x L
R t
ư ư
ư ư
Trang 926 September 2006 © H T Hồng - ÐHBK TPHCM 79
Vài thí dụ về phương trình trạng thái
=
+
=
) ( )
(
) ( )
( )
(
t t
t U t
t
Cx
B Ax
x
ω
u
&
⇔
Thí dụ 2: Động cơ DC (tt)
=
) (
)
( 1
0 )
(
2
1
t x
t
x t
ω
⇔
)
( 0
1 )
(
)
( )
(
) (
2
1
2
t x
t x J
B J
K
L
K L
R t
x
t
x
ư ư
ư ư
ư
+
− Φ
Φ
−
−
=
&
&
− Φ
Φ
−
−
=
J
B J
K
L
K L
R
ư ư
ư
=
0
1
ư L
B
trong đó:
Trang 10Cách thành lập PTTT từ PTVP
Trường hợp 1: Vế phải của PTVP không chứa đạo hàm của tín hiệu vào
) ( )
(
) ( )
( )
(
0 1
1
1 1
dt
t
dc a
dt
t c
d a dt
t c
d
n n
n
= +
+ +
Hệ thống mô tả bởi PTVP
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
2 3
1 2
1
t x t
x
t x t
x
t c t
x
=
=
=
M
&
&
Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:
Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng đạo hàm
của biến thứ i−1:
