Tài liệu ôn tập câu 5 trong đề thi đại học cao đẳng

Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm GTLN, GTNN của hàm số 1... Phương pháp chung: ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y =f x trên D ta tính y', tìm các ñiểm mà tại ñó ñạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại

CHƯƠNG 5 BẤT ðẲNG THỨC – CỰC TRỊ

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN THAM SỐ

I Bất ñẳng thức

1 Bất ñẳng thức Cô si

a Bất ñẳng thức Côsi cho hai số thực không âm

Với hai số thực không âm bất kì a b, ta luôn có:

2

a b

ab+ ≥ ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b

b Bất ñẳng thức Côsi cho ba số thực không âm

Với ba số thực a b c, , ≥ 0 ta luôn có: 3

3

a b c

abc+ + ≥ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = =b c

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
=k b.

II Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm GTLN, GTNN của hàm số

1 ðịnh nghĩa: Cho hàm số y = f x( ) xác ñịnh trên D

i) Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên D nếu

Phương pháp chung: ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y =f x( )

trên D ta tính y', tìm các ñiểm mà tại ñó ñạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN

Chú ý:

* Nếu hàm số y = f x( ) luôn tăng hoặc luôn giảm trên a b; 

 

 thì

max ( )f x =max{ ( ), ( )}; min ( )f a f b f x =min{ ( ), ( )}f a f b

* Nếu hàm số y = f x( ) liên tục trên a b; 

 

  thì luôn có GTLN, GTNN trên ñoạn ñó và ñể tìm GTLN, GTNN ta làm như sau

B1: Tính y' và tìm các ñiểm x1, , ,x2 x mà tại ñó n y' triệt tiêu hoặc hàm số không có ñạo hàm

B2: Tính các giá trị f x( ), ( ), , (1 f x2 f xn), ( ), ( )f a f b Khi ñó

1 [ ; ]

max ( ) max { ( ), , ( n), ( ), ( )}

1 [ ; ]

* Cho hàm số y = f x( ) xác ñịnh trên D Khi ñặt ẩn phụ t =u x( ), ta tìm ñược t ∈E với x∀ ∈D, ta có y =g t( ) thì Max, Min của hàm

f trên D chính là Max, Min của hàmg trên E

* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác ñịnh của hàm số

* Ngoài phương pháp khảo sát ñể tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất ñẳng thức ñể tìm Max, Min

III Ứng dụng tính ñơn ñiệu trong bài toán giải phương trình – bất phương trình và hệ phương trình

ðể sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số vào giải các bài toán giải

phương trình – bất phương trình – hệ phương trình, ta thường sử dụng các tính chất sau ñây

Tính chất 1: Nếu hàm số y = f x( )luôn ñồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ( ; )a b thì số nghiệm của phương trình : f x( )=k (trên ( ; )a b ) không nhiều hơn một và f u( ) ( )= f v ⇔ =u v

f x =g x không nhiều hơn một

* Nếu x <x0 ⇒ f x( )< f x( )0 =g x( )0 <g x( )⇒PT: ( )f x =g x( ) vô nghiệm

Vậy x =x0 là nghiệm duy nhất của phương trình f x( )=g x( )

Tính chất 3: Nếu hàm số y = f x( ) luôn ñồng biến( hoặc luôn nghịch biến) trên D thì f u( ) > f v( )⇔ >u v u ( <v) ∀u v, ∈D

Tính chất 4: Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên [a;b] và có ñạo hàm trên khoảng ( )a b; Nếu f a( )= f b( ) thì phương trình f x'( )= 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( ; )a b

ðiều này trái với giả thiết f a( ) = f b( )

Vậy phương trình f x'( )=0 có ít nhất một nghiệm trên ( ; )a b

Từ ñịnh lí này, ta có ñược hai hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu phương trình f x( )=0 có m nghiệm thì phương trình '( ) 0

f x = có m−1 nghiệm

Hệ quả 2: Cho hàm số y = f x( ) có ñạo hàm ñến cấp k liên tục trên ( ; )a b Nếu phương trình f( )k ( )x =0 có ñúng m nghiệm thì phương trình f(k−1)( )x = 0 có nhiều nhất là m +1 nghiệm

Thật vậy: Giả sử phương trình f(k−1)( )x =0 có nhiều hơn m+1 nghiệm thì phương trình f x'( )=0 có nhiều hơn m nghiệm, ñiều này trái với giả thiết bài toán

Từ hệ quả 2 ⇒ nếu f x'( )= 0 có một nghiệm thì f x( )= 0 có nhiều nhất hai nghiệm

Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp hàm số

Vấn ñề quan trọng nhất khi sử dung phương pháp hàm số là chúng ta phải nhận ra ñược hàm số ñơn ñiệu và nhẩm ñược nghiệm của phương trình

1) ðể phát hiện ñược tính ñơn ñiệu của hàm số chúng ta cần nắm vững các tính chất:

i) Nếu y = f x( ) ñồng biến (nghịch biến) thì:

IV Bài toán liên quan ñến tham số

Bài toán 1: Tìm ñiều kiện của tham số ñể phương trình f(x)= g(m)

có nghiệm trên D

Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm ⇔ hai ñồ thị của hai hàm số y = f x( ) và y =g m( ) cắt nhau Do ñó ñể giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

1) Lập bảng biến thiên của hàm số y = f x( )

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác ñịnh m ñể ñường thẳng y =g m( )cắt ñồ thị hàm số y = f x( )

Chú ý : Nếu hàm số y = f x( ) liên tục trên D và tồn

Bài toán 2: Tìm m ñể bất phương trình f x ( ) ( ) > g m có nghiệm

trên D

Phương pháp: Với dạng toán này trước hết ta ñi khảo sát và lập bảng

biến thiên của hàm số f x( ) trên D, rồi dựa vào các tính chất sau ñể chúng ta ñịnh giá trị của tham số:

1) Bpt f x( )≥g m( ) có nghiệm trên D max ( ) ( )

Ta có: f t'( )= 3t2 −4(1−t)2 = 3(2−t)(3t −2)

2'( ) 0

miny =4 ñạt ñược khi 2 2

hay (1) ñúng nên bất ñẳng thức ñược chứng minh

Ví dụ 3.5 Giả sử x y, là hai số dương thay ñổi thoả mãn ñiều kiện

4

45



Ví dụ 4.5 Cho hai số dương x y thay ñổi thoả mãn , x + ≥y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có: −sin4x + 3 cosx ≤ ≤y sin4x + 3 cosx

Mặt khác: sin4x + 3 cosx = −(1 cos2x)2 + 3 cosx

Vậy miny = − 3; maxy = 3

Ví dụ 6.5 Cho x y z, , >0 thỏa x + + ≤y z 1 Chứng minh rằng

Lời giải 2: Áp dụng BðT Cô si ta có: 81x4 + ≥1 9x2

⇔ = = =

Ví dụ 8.5 Cho các số thực x y z thoả mãn , , 3−x +3−y +3−z =1 Chứng minh rằng :

Chú ý: Trong một số bài toán ta ñặt ẩn phụ cho hình thức bài toán

nhìn ñơn giản hơn

Ví dụ 9.5 Cho x y z, , là các số thựcc dương thay ñổi thỏa mãm ñiều kiện xyz =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Cách 1: Vì giả thiết và BðT (1) là những biểu thức ñẳng cấp ñồng

thời giả thiết và BðT cần chứng minh ñối xứng ñối với y và z nên ta nghĩ tới cách ñặt y =ax z; =bx

Mỗi quan hệ giữa S và P là

2

2

14

3

SP

Ví dụ 13.5 Gọi (x, y) là nghiệm của hệ 2 4

= = + ≠ ⇒ hệ luôn có nghiệm duy nhất

Ta viết lại hệ như sau: ( 1) 1 4

− ≥ − nên ta có

2

2 2

(3 2)4

21

Nên phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất ∈(2; 3)

Ví dụ 17.5 Chứng minh rằng với mọi a > 0 thì hệ phương trình sau

Lời giải ðiều kiện :x y, > −1

Ta có : y = +x a thế vào phương trình ñầu ta ñược :

x −∞ x 1 x 2 x 3 +∞

g '(x) − 0 + 0 − 0 +

g(x) +∞ g x( )2 +∞

g x( )1 g x( )3

Vìf x( )i =0⇒g x( )i = −f x'( )i 2 <0 i =1,2, 3, nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình g x( )= 0 chỉ có hai nghiệm phân

biệt⇒ñpcm

Ví dụ 20.5 Giải phương trình :

sin 4

1 3

1 3

v u

Suy ra u =0 là nghiệm duy nhất của phương trình g u( )=0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( ; )x y =(1;1)

Ví dụ 22.5 Giải các phương trình sau

vô nghiệm ⇒ f x'( )= 0 có nhiều nhất là một nghiệm ⇒ f x( )= 0 có nhiều nhất là hai nghiệm Mà ta thấy f( ) ( )1 = f 0 =0 nên pt ñã cho

11

xx

tx

ttx

t

+ =

Vậy phương trình có nghiệm 7 9

* Nếu a ≠ =b 0⇒hệ vô nghiệm

* Nếu b ≠ 0, ta thấy y =0 không là nghiệm của hệ nên ta ñặt x =ty

Xét hàm số

( 1)( )

t t

[1;2]

2max ( ) (2)



xy

f + − 0 +f

Bài 4.5 Giải phương trình sau: 3x +2x = 3x +2 (D2 – 2004 )

Bài 5.5 Chứng minh với ∀ ∈x R ta có :

ðẳng thức xảy ra khi nào? (A2-2005)

Bài 9.5 Chứng minh rằng nếu 0≤ ≤ ≤y x 1 thì 1

4

x y −y x ≤

Khi nào ñẳng thức xảy ra? (B1 – 2005 )

Bài 10.5 Cho a, b, c là các số dương thoả mãn 3

.4

a + + =b c Chứng

minh rằng: 3a +3b + 3b +3c +3c +3a ≤ 3

Khi nào ñẳng thức xảy ra? (B2 – 2005 )

Bài 11.5 Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn xyz =1 Chứng minh rằng:

Bài 13.5 Cho hai số thực x ≠ 0,y ≠ 0 thỏa mãm ñiều kiện

(x +y xy) =x2−xy +y2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

e

1y

y2007

e

2 y

2 x

Bài 30.5 Giải hệ phương trình :