10 Bài gi ả ng 3 Vì môi trường liên kết ñược bảo toàn, ñộ thay ñổi năng lượng lưu trữ khi ñi từ a ñến b trong mặt phẳng λ – x là ñộc lập với ñường lấy tích phân hình 4.19... 15 Bài gi ả
Trang 11 Bài gi ả ng 3
408001
Bi ế n ñổ i n ă ng l ượ ng ñ i ệ n c ơ
TS Nguyễn Quang Nam HK2, 2009 – 2010
http://www4.hcmut.edu.vn/~nqnam/lecture.php
nqnam@hcmut.edu.vn
2 Bài gi ả ng 3
M ạ ch t ừ v ớ i m ộ t ph ầ n t ử chuy ể n ñộ ng s ẽ ñượ c kh ả o sát.
Mô hình toán cho các h ệ th ố ng ñ i ệ n c ơ thông s ố t ậ p trung s ẽ ñượ c rút ra.
M ộ t hay nhi ề u h ệ cu ộ n dây t ươ ng tác ñể t ạ o ra l ự c hay mômen trên
h ệ cơ
T ổ ng quát, c ả dòng ñiệ n trong cu ộ n dây l ẫ n l ự c/mômen bi ế n thiên theo th ờ i gian.
M ộ t h ệ phương tr ình vi phân ñ i ệ n c ơ có tương quan ñượ c rút ra, và chuy ể n thành d ạ ng không gian tr ạ ng thái, thu ậ n ti ệ n cho vi ệ c mô ph ỏ ng trên máy tính, phân tích, và thi ế t k ế
H ệ th ố ng ñ i ệ n c ơ – Gi ớ i thi ệ u
Trang 23 Bài gi ả ng 3
S
Xét h ệ th ố ng trong hình 4.1
ðị nh lu ậ t Ampere
tr ở thành
ðị nh lu ậ t Faraday
H ệ t ị nh ti ế n – Áp d ụ ng các ñị nh lu ậ t ñ i ệ n t ừ
∫
S f
Ni
Hl =
dt
d dl
dt
d N
dt
d
v = Φ = λ
tr ở thành
Vi ệ c áp d ụ ng ñị nh lu ậ t Gauss còn tùy thu ộ c vào hình d ạ ng, và c ầ n thi ế t cho h ệ th ố ng v ớ i H khác nhau ðị nh lu ậ t b ả o toàn ñ i ệ n tích d ẫ n ñế n KCL.
Contour C
4 Bài gi ả ng 3
V ớ i các h ệ chuy ể n ñộ ng t ị nh ti ế n, λ = λ (i, x)
Khi hình d ạ ng c ủ a m ạ ch t ừ là ñơn giả n, theo ñị nh lu ậ t Faraday
C ấ u trúc c ủ a m ộ t h ệ th ố ng ñ i ệ n c ơ
Hệ ñiện (tập trung)
Ghép
ñiện cơ
Hệ cơ
(tập trung)
dt
dx x dt
di i dt
d v
∂
∂ +
∂
∂
=
ð i ệ n áp bi ế n áp ð i ệ n áp t ố c ñộ
Trang 35 Bài gi ả ng 3
Nh ư v ậ y,
H ệ tuy ế n tính v ề ñiệ n
( ) x i L
= λ
dt
dx dx
x dL i dt
di x L
V ớ i h ệ không có ph ầ n t ử chuy ể n ñộ ng
Li
=
λ
dt
di L
v =
and
V ớ i h ệ có nhi ề u c ử a
∑
∂
∂
=
j
j
j
k N
j
j
j
k k
k
dt
dx x dt
di i dt
d v
1 1
λ λ
λ
N
k = 1 , 2 , ,
L ự c và t ừ thông móc vòng có th ể là hàm c ủ a t ấ t c ả các bi ế n.
6 Bài gi ả ng 3
Tìm H1, H2, λ , và v , v ớ i các gi ả thi ế t sau: 1) µ = ∞ v ớ i lõi, 2) g >> w, x >> 2w và 3) không có t ừ thông t ả n.
Ví d ụ 4.1
2 µ0H1 wd − µ0H2 wd =
x g
Ni H
H
+
=
= 2
1
D ẫ n ñế n
ðị nh lu ậ t Gauss
x g
i N wd N
+
= Φ
= 2 µ0 2
λ
T ừ thông móc vòng
ð i ệ n c ả m
( )
x g
N wd x
L
+
= 2 µ0 2
dt
dx x
g
i N wd dt
di x
g
N wd t
2 0
2
2
+
− +
ð i ệ n áp
Trang 47 Bài gi ả ng 3
Vd 4.2: Hình 4.7 Tìm λs, λr làm hàm c ủ a is, ir, và θ , và tìm vsvà vr c ủ a rôto hình tr ụ Gi ả thi ế t µ = ∞ , và g << R và l.
3
r r s s
g
i N i N
g
i N i N
H = + = −
R H N
l R H N
Ns s s r s r
Rút g ọ n thành
r r
s s
s
− +
=
π
θ
T ươ ng t ự ,
r r s
r s
r N N L0 1 2 i + N2L0i
−
=
π
θ λ
π
θ <
<
0
π
θ <
<
0
dt
d M
i dt
di M
dt
di L t
sin
+
=
Máy th ự c t ế ,
8 Bài gi ả ng 3
Tính λ1 và λ2 và xác ñị nh t ự c ả m và h ỗ c ả m cho h ệ trong hình 4.14, dùng m ạ ch t ừ tương ñương
Ví d ụ 4.4
N2i2
N1i1 Φ1 Φ2
2 0
x A
x
Rx
µ
=
2 1
1
1i = 2 RxΦ + RxΦ
N
2 1
2
2i = RxΦ + 2 RxΦ
N
( 1 1 2 2)
2 1
2 0 1
1
3 x N i N N i
W
λ
2 2 1
2 1
2 0 2
2
W
λ
B ạ n có th ể nh ậ n di ệ n t ự c ả m và h ỗ c ả m không?
Trang 59 Bài gi ả ng 3
L ự c fe = fe(i, x) = fe( λ , x) (vì i có th ể ñượ c tính t ừ λ = λ (i, x) ) v ớ i h ệ có
m ộ t c ử a ñ i ệ n và m ộ t c ử a c ơ
fe luôn luôn tác ñộ ng theo chi ề u d ươ ng c ủ a x
Xét h ệ trong hình 4.17, ñượ c chuy ể n thành s ơ ñồ trong hình 4.18 G ọ i
Wm là năng lượ ng l ư u tr ữ , theo nguyên t ắ c b ả o toàn n ă ng l ượ ng
Tính l ự c b ằ ng khái ni ệ m n ă ng l ượ ng
T ố c ñộ thay ñổ i
n ă ng l ượ ng l ư u tr ữ
Công su ấ t
ñ i ệ n ñư a vào
Công su ấ t
c ơ l ấ y ra
dt
dx f dt
d i dt
dx f vi dt
−
=
−
dx f id
dWm = λ − e
hay
M ộ t bi ế n ñ i ệ n và m ộ t bi ế n c ơ có th ể ñượ c ch ọ n tùy ý, mà không vi
ph ạ m các quy t ắ c v ậ t lý c ủ a bài toán Gi ả s ử ( λ , x) ñượ c ch ọ n.
10 Bài gi ả ng 3
Vì môi trường liên kết ñược bảo toàn, ñộ thay ñổi năng lượng lưu trữ khi ñi từ
a ñến b trong mặt phẳng λ – x là ñộc lập với ñường lấy tích phân (hình 4.19)
Với ñường A
Tính l ự c (tt)
a b
a
d x i dx
x f
x W
x
e a
a m b
b m
λ
λ λ
Với ñường B
a b
a
x
e a
a a m b
b
λ
Cả hai phương pháp phải cho cùng kết quả Nếu λa= 0, không có lực sinh ra
bởi ñiện năng, khi ñó ñường A dễtính hơn, với
d x i x
W x
Wm λb b m a λ λ b λ
0 , ,
0 ,
Có thểtổng quát hóa thành
( ) λ = ∫λ ( ) λ λ
0 ,
Wm
Trang 611 Bài gi ả ng 3
Nh ớ l ạ i
dx f id
dWm = λ − e
Vì Wm = Wm( λ , x) , ñạ o hàm c ủ a Wm có th ể ñượ c bi ể u di ễ n
x
x W
d x W
dt
∂
∂ +
∂
∂
λ λ
So sánh hai ph ươ ng trình, cho ta
( )
λ
λ
∂
∂
= W x
i m ,
( )
x
x W
f e m
∂
∂
−
12 Bài gi ả ng 3
Tính fe( λ , x) và fe(i, x) c ủ a h ệ th ố ng trong ví d ụ 4.1.
Ví d ụ 4.5
g x
i L
g x
i g
N wd x
g
i N wd N
+
= +
= +
= Φ
=
1 1
2 2
0
2 0
2
µ λ
( x g )
L
i = 1 +
0
λ
L d
g x L
d x i
2 1
,
0
2
0 0 0
λ λ
λ λ
λ
( )
g L
x x
W
f e m
0
2
2
∂
∂
−
=
2 0
2 2 0
1 2
1 1
2
,
g x
i L g
x g
L
i L x
i
f e
+
−
= +
−
=
Gi ả i theo i
Tính fe
Trang 713 Bài gi ả ng 3
ðểtính Wm(λ, x), cần cói = i(λ, x) Việc này có thể phức tạp Có thểsẽthuận
tiện hơn nếu tính fetrực tiếp từλ = λ(i, x)
Tính l ự c b ằ ng khái ni ệ m ñồ ng n ă ng l ượ ng
dx f id
dWm = λ − e d ( ) λ i = id λ + λ di id λ = d ( ) λ i − λ di
d
dWm = λ − λ − e d ( λ i − Wm) = λ di + f edx
ðịnh nghĩa ñồng năng lượng như
( ) i x W
W W
i − m = m' = m' ,
λ
Lấy tích phân dW’m dọc ñường Ob’b (hình 4.21), fe= 0 dọc Ob’
( ) = ∫i ( )
W
0
'
,
dx x
W di
i
W
∂
∂ +
∂
∂
'
Vềmặt toán học,
⇒
14 Bài gi ả ng 3
Tìm fecho hệ trong hình 4.22
Ví d ụ 4.8
Ni
Riron
Rgap
Φ
A
l
Riron c
µ
=
A
x
Rgap
0
2
µ
=
( ) x R
Ni Ni
R R
Ni
A
x A
l gap iron
+
= +
=
Φ
0
2 µ µ
( ) x R
i N N
2
= Φ
=
x R
i N di
x i
Wm i
2 ,
2 2
0 ' = ∫ λ =
2 0
2 2 2
2 '
0
1 2
A
x A l
m e
c
A
i N x
R dx
d i N x
W f
µ µ
−
=
=
∂
∂
=
Từthông móc vòng và ñồng năng lượng
Lực (sinh ra bởi ñiện năng)
Trang 815 Bài gi ả ng 3
Trong các hệ tuyến tính (về ñiện), cả năng lượng lẫn ñồng năng lượng ñều
bằng nhau vềtrịsố Trong hình 4.24,
Bi ể u di ễ n hình h ọ c c ủ a n ă ng l ượ ng và ñồ ng n ă ng l ượ ng
= ∫λi λ x d λ
0
' = ∫i =
Nếu λ(i, x)là một hàm phi tuyến như minh họa trên hình 4.25, khi ñó hai diện
sẽkhông có trị sốbằng nhau Tuy nhiên, ferút ra bằng năng lượng hay ñồng
năng lượng sẽ như nhau
Trước tiên, giữλ cố ñịnh, năng lượng Wm ñược giảm một lượng –∆Wm như trên hình 4.26(a) ñối với việc tăng một lượng ∆x Tiếp ñó, giữ i không ñổi, ñồng
năng lượng tăng một lượng ∆W’m Lực (do ñiện sinh ra) trong cả hai trường hợp
x
W
x
e
∆
∆
−
=
→
∆lim0
x
W
x
e
∆
∆
=
→
∆
'
0 lim
16 Bài gi ả ng 3
Xét một hệcó 2 cửa ñiện và 1 cửa cơ, với λ1= λ1(i1, i2, x)vàλ2= λ2(i1, i2, x)
Tốc ñộ thay ñổi năng lượng lưu trữ
L ự c cho h ệ 2 c ử a ñ i ệ n – 1 c ử a c ơ b ằ ng ñồ ng n ă ng l ượ ng
dt
dx f dt
d i dt
d i dt
dx f i v i v dt
− +
=
− +
2
1 1 2
2 1 1
λ λ
dx f d
i d
i
dWm = 1 λ1 + 2 λ2 − e
hay
2 2 1
1d i d d i i di di
i λ + λ = λ + λ − λ − λ
d λ11 + λ2 2 − m = λ1 1 + λ2 2 + e
dx f di di
dWm' = λ1 1 + λ2 2 + e
Xét
Như vậy,
'
m
W
0
' 2
' 2 1 2 0
' 1
' 1 1 2
1
'
, , ,
0 , ,
Sau cùng,
Trang 917 Bài gi ả ng 3
Xét một hệcó N cửa ñiện và M cửa cơ, các từ thông móc vòng làλ1(i1, , iN,
x1, , xM), , λN(i1, , iN, x1, , xM)
L ự c trong h ệ nhi ề u c ử a t ổ ng quát
M
e M
e N
N
dW = λ1 1 + + λ − 1 1 − −
d λ1 1 + + λ = λ1 1 + + λ + λ1 1 + + λ
∑
∑
∑
=
=
=
+
=
i
i
e i N
i
i i
W
m N
i
i
d
m
1 1
1
'
λ
λ
4
4 3 4
4 2 1
N i
i
W
i
m
'
=
∂
∂
= λ
M i
x
W f
i
m e
'
=
∂
∂
=
18 Bài gi ả ng 3
ðểtính W’m, việc tính tích phân ñược thực hiện trước tiên dọc các trục xi, rồi
dọc mỗi trục ii Khi tính tích phân dọc xi, W’m = 0 vì fe bằng 0 Khi ñó,
Tính ñồ ng n ă ng l ượ ng W’m
∫
∫
∫
−
+
+ +
=
' 2
1
' 1 2
1
0
' 2 2
1
' 2 1 2
0
' 1 2
1
' 1 1 '
,
, , , , , ,
,
, , 0 , , ,
,
, , 0 , , 0 , 2 1
N M N
N N
i
M
i
M m
di x x x i i i
i
di x x x i
i
di x x x i
W
λ λ λ
Chú ý các biến dùng ñểtính tích phân Với trường hợp ñặc biệt của hệ2 cửa
ñiện và 2 cửa cơ,
0
' 2 2 1
' 2 1 2 0
' 1 2 1
' 1 1
'
, , , ,
, 0
i
Và,
1
'
1
dx
W
f e = ∂ m
2
'
2
dx W
f e = ∂ m
Trang 1019 Bài gi ả ng 3
Tính W’m và mômen (do ñiện sinh ra) của một hệ 3 cửa ñiện và 1 cửa cơ
( φ ψ )
ψ φ λ
ψ φ λ
ψ φ λ
− +
− +
+ +
=
+ +
sin cos
2
1 2
1 2
1
, , , , ,
, 0 , , ,
, 0 , 0 ,
3 2 3
1
2 3 33
2 2 22
2 1 11
0
' 3
' 3 2 1 3 0
' 2
' 2 1 2 0
' 1
' 1 1
i Mi i
Mi i
L i
L i
L
di i
i i di
i i di
i
φ
∂
∂
= 1 3sin 2 3 cos
'
i Mi i
Mi
W
Te m
ψ
∂
∂
= 1 3sin 2 3 cos
'
i Mi i
Mi
W
Te m
20 Bài gi ả ng 3
Bỏqua tổn thất trong từ trường, có thể rút ra quan hệ ñơn giản cho hệghép,
Bi ế n ñổ i n ă ng l ượ ng – Ki ể m tra tính b ả o toàn
Σ
dt
d
i λ
v
f e
( )eω
T dt
dW m
Nhớlại
( )
x
x W
f e m
∂
∂
−
λ
λ
∂
∂
= W x
i m ,
Và chú ý rằng
λ
∂
=
∂
∂
∂
x
W x
Wm 2 m
2
ðiều kiện cần và ñủ ñểcho hệ là bảo toàn sẽ là
λ
λ
λ
∂
∂
−
=
∂
x
x
i
x i f x
x
∂
∂
=
∂
∂ λ , ,
hay
Trang 1121 Bài gi ả ng 3
V ớ i h ệ này
H ệ th ố ng 2 c ử a ñ i ệ n và 1 c ử a c ơ
Các ñ i ề u ki ệ n cho s ự b ả o toàn là
1
'
1
i
Wm
∂
∂
= λ
dx f di di
dWm' = λ1 1 + λ2 2 + e
Các ph ươ ng trình cho t ừ thông và l ự c (do ñ i ệ n sinh ra) là
2
'
2
i
Wm
∂
∂
=
λ
x
W
f e m
∂
∂
= '
1
1
i
f x
e
∂
∂
=
∂
∂ λ
2
2
i
f x
e
∂
∂
=
∂
∂ λ
1
2
2
1
i
i ∂
∂
=
∂
∂ λ λ
ðiều này có thể mở rộng cho các hệcó nhiều cửa ñiện và nhiều cửa cơ
22 Bài gi ả ng 3
Nhớlại
Bi ế n ñổ i n ă ng l ượ ng gi ữ a hai ñ i ể m
( ) x d ( f ( ) x dx )
i
dWm = λ , λ + − e λ ,
Khi ñi từ a ñến b trong hình 4.31, ñộ thay ñổi năng lượng lưu trữ là
− +
=
a b
a
x
x
e a
a m b
b
λ
b a b
a b
a
∆
Với EFE viết tắt cho “energy from electrical” (năng lượng từ ñiện) và EFM viết
tắt “energy from mechanical” (năng lượng từ cơ)
ðể ñánh giá EFE và EFM, cần có một ñường ñi cụthể Khái niệm EFM này
có ích trong việc nghiên cứu sựbiến ñổi năng lượng theo chu kỳcủa thiết bị
Trang 1223 Bài gi ả ng 3
Trong 1 chu kỳ, khi hệthống trởvề trạng thái khởi ñầu, dWm = 0
Bi ế n ñổ i n ă ng l ượ ng trong 1 chu k ỳ
∫
∫
= id λ f edx id λ f edx
0
Từhình 4.30, idλ= EFE, và –fedx = EFM Như vậy, trong 1 chu kỳ,
∫ EFE + ∫ EFM = 0 EFE cycle + EFM cycle = 0
Có thểtính EFE hoặc EFM trong 1 chu kỳ Nếu EFE|cycle > 0, hệthống ñang
hoạt ñộng như một ñộng cơ, và EFM|cycle < 0 Nếu EFE|cycle < 0, hệ thống ñang
vận hành như một máy phát, và EFM|cycle > 0
Xem vd 4.14 – 4.16 trong giáo trình (Vd 4.14 ñược hướng dẫn trên lớp)
24 Bài gi ả ng 3
Các phần tử tập trung của hệ cơ: khối lượng (ñộng năng), lò xo (thế năng), và
bộ ñệm (tiêu tán) ðịnh luật Newton ñược dùng cho phương trình chuyển ñộng
Xét khối lượng M = W/g ñược treo trên lò xo có ñộcứng K Ở ñiều kiện cân
bằng tĩnh, trọng lực W = Mg ñược cân bằng bởi lực lò xo Kl, với l là ñộgiãn của
lò xo gây ra bởi khối lượng W
Nếu vịtrí cân bằng ñược chọn làm gốc, chỉcó lực sinh ra bởi dịch chuyển cần ñược xem xét Xét mô hình vật tự do trong hình 4.35(c)
ðịnh luật Newton: L ự c gia t ố c theo chi ề u d ươ ng c ủ a x b ằ ng v ớ i t ổ ng ñạ i s ố t ấ t
c ả các l ự c tác ñộ ng lên kh ố i l ượ ng theo chi ề u d ươ ng c ủ a x
ðộ ng h ọ c c ủ a h ệ t ậ p trung – H ệ kh ố i l ượ ng-lò xo
Kx x
M & = − hay M & x & + Kx = 0
Trang 1325 Bài gi ả ng 3
Nếu vịtrí chưa biến dạng ñược chọn làm gốc (Hình 4.36), khi ñó
H ệ kh ố i l ượ ng-lò xo v ớ i ph ầ n t ử tiêu tán
Mg Ky
y
Kl
Mg =
( − ) = 0
+ K y l y
M & &
Chú ý rằng
Xét khối lượng M ñược ñỡbởi lò xo (hình 4.37), và một tổhợp lò xo-bộ ñệm f(t) là lực áp ñặt x ñược ño từ vịtrí cân bằng tĩnh Một bộ ñệm lý tưởng sẽ có
lực tỷlệ với vận tốc tương ñối giữa hai nút, với ký hiệu như trong hình 4.38
M x
fK1 f(t) fB1
fK2
( ) ( )
dt
dx B x K x K t f
f f
f t f x
−
−
−
=
−
−
−
=
2 1
2 1
&
26 Bài gi ả ng 3
Viết các phương trình cơ học cho hệ trong hình 4.40
M1
x1
K2x
1
1
B x& B2x&
K1x1
f1(t)
2 3
B x&
M2
x2
K3x2
x&
2 B
K2x
f2(t)
ðịnh nghĩa x2– x1 = x
1 1
1x f t K x x B x x B x K x
2 2
2x f t B x x K x x B x K x
Trang 1427 Bài gi ả ng 3
Mô tả ñộng học hoàn chỉnh của hệ thu ñược từviệc viết các phương trình cho phía ñiện và phía cơ Các phương trình này có liên kết, và tạo ra một hệcác
phương trình vi phân bậc nhất dùng cho phân tích Hệ phương trình này ñược coi là mô hình không gian tr ạ ng thái của hệthống
Vd 4.19: Với hệ thống trong hình 4.43, chuyển các phương trình ñiện và cơ
vềdạng không gian trạng thái Từ thông móc vòng từvd 4.8,
( ) R ( ) x
i N x
R R
i N
g c
2 2
= +
=
i N
Wm
2
2 2 ' =
Ởphía ñiện,
dx A x
R
i N dt
di x R
N iR
vs
0 2
2 2
2
µ
− +
=
28 Bài gi ả ng 3
Ởphía cơ,
x AR
i N f
dt
dx B l x K dt
x d
0
2 2
2
2
µ
−
=
= +
− +
với l > 0là ñiểm cân bằng tĩnh của phần tử chuyển ñộng Nếu vị trí của phần tử chuyển ñộng ñược ño từ vị trí cân bằng, các phương trình cơ có biến (x – l) thay
vì x Quan hệtrên có ñược dưới ñiều kiện sau,
2
2
=
−
=
−
dt
l x d dt
l x d
Mô hình không gian trạng thái của hệ thống là một hệ 3 phương trình vi phân
bậc nhất Ba bi ế n tr ạ ng thái làx, dx/dt (hay v), vài
Trang 1529 Bài gi ả ng 3
Ba phương trình bậc nhất có ñược bằng cách ñạo hàm x, v, và i và biểu diễn các ñạo hàm này ch ỉtheo x, v, và i, và ngõ vào bất kỳcủa hệthống Do ñó, các
phương trình sau cho ta mô hình không gian trạng thái,
v dt
dx
=
−
−
−
−
x AR
i N M
dt
dv
2 0
2 2 1
µ
+ +
−
A x
R
i N iR
x L dt
di
0 2
2 2 1
µ
với
x R
N x
L
2
=
( 1 2 3) 1
1 f x , x , x
x & =
( 1 2 3) 2
2 f x , x , x
x & =
( x x x u )
f
x &3 = 3 1, 2, 3,
30 Bài gi ả ng 3
Xét ph ươ ng trình N ế u ngõ vào u là không ñổ i, khi ñ ó
b ằ ng vi ệ c ñặ t , s ẽ thu ñượ c các ph ươ ng trình ñạ i s ố
Ph ươ ng trình này có th ể có vài nghi ệ m, và ñượ c g ọ i là các ñ i ể m cân
b ằ ng t ĩ nh
Trong các h ệ th ố ng ít chi ề u, có th ể dùng ñồ th ị Trong các h ệ b ậ c cao,
th ườ ng c ầ n dùng các k ỹ thu ậ t tính s ố ñể tìm nghi ệ m.
V ớ i vd 4 19, ñặ t các ñạ o hàm b ằ ng 0 cho ta
Các ñ i ể m cân b ằ ng
( ) x u f
x & = , 0
=
x& 0 = f ( ) x , u ˆ
0
=
e
v ie = vs R ( ) ( )
( ) f ( ) i x x
AR
i N l
x
e
, 2
0
2 2
−
=
=
−
−
µ
xe có th ể tìm b ằ ng ñồ th ị b ằ ng cách tìm giao ñ i ể m c ủ a –K(x – l) và
–fe(ie, x)
Trang 1631 Bài gi ả ng 3
Hai loại phương pháp: tường minh và ngầm ñịnh Phương pháp Euler là dạng
tường minh, dễ hiện thực cho các hệthống nhỏ Với các hệ lớn, phương pháp
ngầm ñịnh tốt hơn nhờtính ổn ñịnh sốcủa nó
Xét phương trình
với , f, vàu là các vectơ
Thời gian tích phân sẽ ñược chia ñều thành những bước ∆t(Hình 4.45)
Trong mỗi bước thời gian từ tn ñến tn+1, biểu thức tích phân ñược coi là không
ñổi bằng giá trị ứng với thời ñiểm trước ñótn Như vậy,
( ) x u f
x & = , x ( ) 0 = x0
= 1
1
,
n
n n
n
t
t
t
t x& t dt f x u dt
( ) ( ) ( tn x tn tn tn) ( ) ( ) f ( x tn u tn ) t [ f ( x ( ) ( ) tn u tn ) ]
x +1 − = +1 − , = ∆ ,
32 Bài gi ả ng 3
Tính x(t)ởt = 0,1, 0,2, và 0,3 giây
2 x
t
x & = − + x ( ) 0 = 1
( ) ( ) [ ( ( ) n) ]
n n
n
t x f t x
x +1 = + ∆ ,
Có thểchọn ∆t = 0.1 s Công thức tổng quát ñểtính x(n+1) là
,
2 , 1 , 0
=
n
( )0 = 1
x
Tại t0
Tại t1= 0,1 s
( )
( x 0 , t0) = − ( 0 + 2 ) 12 = − 2
f
( )1 = x( )0 + ∆ t [ f ( x( )0 , t0) ] = 1 + 0 1 × ( ) − 2 = 0 , 8
x
( )1 = 0 , 8
x f ( x( )1 , t1) = − ( 0 1 + 2 ) 0 82 = − 1 344
( )2 = x( )1 + ∆ t [ f ( x( )1 , t1) ] = 0 , 8 + 0 , 1 × ( − 1 , 344 ) = 0 , 6656
x
Tương tự, x( )3 = 0 , 5681 x( )4 = 0 , 4939
