Một số phương pháp giải hệ phương trình
Trang 1
Chuan bi
es ety Cho ki thi
= | yt tút nghiện THPT
A —L_LLÌ và thí vào
a=x⁄ 7” Đại học
rong các đề thi tuyển sinh vào Đại học,
Cao đẳng những năm gần đây, chúng
ta gặp khá nhiều bài toán giải hệ phương
trinh (HPT) Ngoài những hệ đối xứng loại l1,
loại 2 cơ bản mà các bạn đã biết cách giải,
trong bài báo này chúng tôi xin giới thiệu thêm
với các bạn một số dạng toán về giải HPT và
những phương pháp để giải chúng
L PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Phương pháp này chủ yếu là sử dụng các Kĩ
năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là ki năng
phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng
đơn giản (có thể rút x theo y hoặc ngược lại)
rồi thế vào PT còn lại trong hệ
LOẠI 1 Trong hệ có một phương trình bậc
nhất với ẩn x hoặc y, khi đó ta tìm cách rút y
theo x hoặc ngược lại
* Thí dụ 1 Giải hệ phương trình
b (yt1)(x+yt1) = 3x? — 4x41 (1)
(2)
Lời giải Ta thấy x = 0 không thỏa mãn PT (2)
xy+x+l=z?
2—
Với x # 0 từ (2) có y+1= ` “Ì, thay vào (1)
x
ta được
x? —1 x? —]
+ —
=> (x? _1)(ôx: -I)= (x-1)(3x -1)
& (x-1)(2x3 + 2x? —x-1)=(x—1)(3x-—])
x=0 (loai)
> (x—1)(2x3 + 2x? -4x) =0 x=1
x=-2
Hệ có hai nghiệm (x; y) là (L;~1), (~2: ca „0
Mor se thưa dứt
GIT HE PRUONG TRINH
NGUYÊN MINH NHIÊN
(GV THPT QuéV6 I, Bac Ninh)
LOẠI 2 Một phương trình trong hệ có thể
dua vé dạng tích của các phương trình bậc
nhất hai ẩn
* Thí dụ 2 Giải hệ phương trình
xf2y —yVx- =2x-2y (2)
Loi gidi Diéu kién x 21; y 20
PT (1) x? —xy—2y?2 -(xt+ py) =0
©(x+y)(x-2y-1)=0
©x-2y~1 =0 (từ điều kiện ta có x + y > Ô)
>x=2y+1 thay vào PT (2) và biến đổi ta được
(y+)(V2z-2)=0 & y=2(doy20)
= x=5 Hệ có nghiệm (z ; y) = (5 ; 2) FÏ
LOẠI 3 Một PT của hệ là PT bậc hai theo
một ẩn, chẳng hạn đó là ẩn y Lúc đó ta xem x
là tham số và biểu diễn được y qua x bằng
cách giải PT bậc hai ẩn y
* Thí dụ 3 Giải hệ phương trình
y?=(5x+4)(4—x) (1) y2—5x?—4xy+16x-8y+16=0_ (2) Lời giải Biến đổi PT (2) về dạng
y? =(4x+8)y—5x? +16x+16 =0
Coi PT (2) là PT bậc hai ẩn y (tham số x) ta có
=5x+4
y=4-x
e Voi y= 5x + 4, thay vao (1) duge
x.-T> =0
(5x44) =(5x+4)(4-x) | 5
x=0 >y=4
TOAN HOC
Số 379 (1-2009) : Cuổitrẻ 9
Trang 2® Với y = 4-— x, thay vào (1) được
=4>y=0
Hệ có ba nghiệm (+ ; y) là
(0:4, (4;04{-2:0} n
x=O> y=4
II PHUONG PHAP DAT AN PHU
Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là
phát hiện ẩn phụ z= ƒ(x,y); y= g(x,y) có
ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện
sau một số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ
bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0
để đưa hệ về dạng đơn giản hơn
* Thí dụ 4 Giải hệ phương trình
x?+1+y(y+x)=4y (1)
(x?+1)(w+x—2)=y (2)
Lời giải Ta thấy y = 0 không thỏa mãn PT(1)
x? +]
+y+x=4 nén HPT oS , 1
x?+
y+x-2)=I
Ferns
x24] u+v=2
Dat u= ,V=y+x~2 tacó
uv =1
Giải hệ được w = v = 1, từ đó ta có hệ
x*+l=y ( +y=3
Hệ này bạn đọc có thể giải được dễ đàng
Hệ có hai nghiệm (x; y) là (1 ; 2) và (—2 ; 5).FT
* Thí dụ 5 Gi¿i hệ phương trình
=7
Axy +4(x? + y?) + 5
(x+y)
2x + =3
x+y
Lời giải Điều kiện x + y #0 Khi đó ta có
3
(x+y) +x-y=3
=7
3(x+y) +(x-y} +
x+y+
x+y
TOAN HỌC
10 : CTuditre Số 579 (1-2009)
1
Đặt u=x+y+—— (|z|>2);v=x—y tạ,
x+y
ie +v? =13 được hệ
u+v=3.,
Giải hệ ta được u = 2, v = 1 (do lul > 2), tir dd
ta c6 hé |
2 x=]
y=0.0
IH PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
LOẠI 1 Một phương trình trong hệ có dạng ƒ{x) = f(y) phương trình còn lại giúp ta giới
hạn được x, y để trên đó hàm số ƒ đơn điệu
Từ đó suy ra x = V
* Thí dụ 6 Giải hệ phương trình
xi—5x= y'—8y (1) x#+y“ =] (2) Lời giải Từ PT (2) ta có x” < 1, y'< 1
© kỉ < 1, lyl < 1
Xét hàm số ƒ(/)=/3—5, re[—l;1] có
#{0)=3%“ —9<0, Vte[-1 ; 1} Do đó ham
ƒ Œ) nghịch biến trên khoảng (—l ; 1l) nên từ
PT (1) suy ra x= y Thay vào PT (2) ta được
x+xt—1=0
1
x+y+ =2 en
—y=l
Dat a =x*>0 và giải PT tương ứng ta được
=ĂẶ 1 oO
LOẠI 2 Hệ đối xứng loại hai mà khi giải
thường dẫn đến một trong hai PT của hệ có
dang f(x) = 0 hodc fix) = fy) trong đó ƒ là
ham don diéu
* Thí dụ 7 Giải hệ phương trình
x+Nx?—-2x+2=3 1+]
y+Ajy?-2y+2=3*1+1
Lời giải Đặt a = x—1, b= y—1 ta được hệ
a+Ala?+1=3 4)
b+Vb? +1 =34 (2)
Trang 3Trừ theo vế hai PT trên, ta được
a+Aa?+1+3“=b+A|b?+1+»3 (3)
Xét hàm số 0e ng có
)=*=—- ac +3#In3
Viv? +1>V2 >t VP +141>0= f(t) >0,¥1,
do đó hàm số ƒf) đồng biến trên '®
Từ đó PT (3)© a=ö thay vào PT (1) ta được
a+Na?+l| =3" (4)
Theo nhận xét trên thì ø+ V4? +1 > Ô nên
PI(4) © In{a+xz? +1)-aln3 =0
Xét hàm số g(đ) = In(a +a’ +1)-aln3 có
g(4)=
nên hàm s6 g(a) nghịch biến trên lRvà do
PT (4) có nghiệm ø = 0 nên PE (4) có nghiệm
duy nhất ø = 0 Từ đó ta được nghiệm của hệ
ban đầu là (x; y) = (1 ; 1)
ï mả<1-ln3<0,vaelR,
IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các
biểu thức không âm trong hệ và nắm vững
cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản
* Thí dụ 8 Giải hệ phương trình
x+——t2_—— =xt+y
ÄJx?—2x+9 oxy =y? +x
+: ————-
‡jy?—2y+9 Lời giải Cộng theo vế hai PT của hệ ta được
2xy 2xy
Ÿjx?—2x+9 “he —2y+9
Ta có ÄŸx?—2x+9 9=‡(x—1)+8>2
2 2
— 2xy <— [xy < Ỉ _ Lợi,
ŸÄx?—2x+9_ Yx?-2x49
Tương tự ey
ay? —2y+9
Cauchy x? + y? > 2|xy|_ nén VT(1) S$ VP(1)
=xˆ+y? ()
<|xr| ma theo BDT
x=y=l x=y=0 được nghiệm (z ; y) của hệ là (0 ; 0), (1 ; 1)
Dấu bằng xảy ra khi | thử lại ta
* Thí dụ 9 Giải hệ phương trình
y=-x3+3x+4 x=2y?—6y~2
Lời giải Hệ đã cho tương đương với -2=-(x+I (x-2 (1)
"¬
x-2=2(y+l) (y-2) (2)
Nếu x > 2 thì từ (1) suy ra y— 2 < 0 điều này mâu
thuẫn với PT(2) có (x — 2) và (y — 2) cùng dấu
Tương tự với x < 2 ta cũng suy ra điều vô lí
Vậy nghiệm của hệ là x = y = 2
Hi vọng một số thí dụ trên sẽ giúp bạn phần nào ki năng giải HPT Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau
i xy—3x— 2y =16 2 x3(2+3y)=8
x?+y?=2x-4y=33 ˆ |x(y°-2)=6
x?+3y=9 yt+4(2x—3)y?
2(x3+2x—y~1)=x?(y+]) y+4x+1+In(y? +2x) =0
—48y— 48x+155=0
Lm =y- l+y- 3+y—5 x+y+x? +y =44
ety = =
as —y=0
OAN HOC
Số 579 (1-2009) % Cjuditre 11