Xử lý ảnh số - Nhận dạng và nội suy part 2 pot

Viˆe.c thiˆe´t kˆe´ font ch˜u.. Ngo`ai ra viˆe.c thiˆe´t kˆe´... phˆan loa.i theo khoa˙’ng c´ach nho˙’ nhˆa´t.. trung b`ınh cu˙’a c´ac pixel... Phu.o.ng ph´ap phˆan loa.i sao cho cu... t

Cˆong th´u.c n`ay tr`ung v´o.i d¯i.nh ngh˜ıa (9.1) cu˙’a h`am biˆe.t tˆa.p.

Trong tru.`o.ng ho. p n`ay, biˆen gi˜u.a hai l´o.p ωi v`a ωj gˆ`m c´o ac vector mˆa˜u x thoa˙’

m˜an phu.o.ng tr`ınh

d ij (x) = di(x) − dj(x)

= hx, mi−mji −1

2hmi−mj, m i−mji = 0. (9.3) Phu.o.ng tr`ınh n`ay x´ac d¯i.nh mˆo.t siˆeu phˇa˙’ng (v´o.i ph´ap vector mi −mj) trong khˆong

gian Euclid n chiˆ` u.e

Trong thu. c tˆe´, phˆan loa.i theo khoa˙’ng c´ach nho˙’ nhˆa´t cho kˆe´t qua˙’ tˆo´t khi khoa˙’ng c´ach gi˜u.a c´ac vector trung b`ınh cu˙’a c´ac l´o.p l´o.n ho.n so v´o.i m´u.c d¯ˆo phˆan t´an hoˇa.c t´ınh ngˆa˜u nhiˆen cu˙’a mˆo˜i l´o.p d¯ˆo´i v´o.i vector trung b`ınh cu˙’a n´o Trong Phˆa` n 9.3.2 ch´ung ta s˜e chı˙’ ra phˆan loa.i theo khoa˙’ng c´ach nho˙’ nhˆa´t s˜e tˆo´i u.u (m´u.c d¯ˆo phˆan loa.i sai ´ıt nhˆa´t) khi phˆan bˆo´ cu˙’a mˆo˜i l´o.p xung quanh vector trung b`ınh cu˙’a n´o “t´ıch l˜uy” da.ng cˆa` u trong khˆong gian n chiˆ` u.e

Su. xuˆa´t hiˆe.n d¯ˆo`ng th`o.i t´ınh chˆa´t t´ach gi˜u.a c´ac vector trung b`ınh v`a phˆan t´an tu.o.ng d¯ˆo´i ´ıt cu˙’a c´ac l´o.p hiˆe´m khi xa˙’y ra trong thu. c tˆe´ tr`u khi ngu.`o.i thiˆe´t kˆe´ hˆe thˆo´ng

d¯iˆ` u khiˆe˙’n c´e ac t´ın hiˆe.u v`ao V´ı du x´et hˆe thˆo´ng d¯u.o c thiˆe´t kˆe´ d¯ˆe˙’ d¯o.c c´ac font k´y tu

d¯ˇa.c biˆe.t nhu tˆa.p k´y tu E-13B cu˙’a Hiˆe.p hˆo.i c´ac Ngˆan h`ang M˜y Nhu trong H`ınh 9.3 chı˙’ ra, font k´y tu. n`ay gˆ`m 14 k´o y tu. d¯u.o. c thiˆe´t kˆe´ v´o.i mˆa.t d¯ˆo k´y tu l`. a 9 × 7 d¯ˆe˙’ dˆe˜

d¯o.c C´ac k´y tu thu. `o.ng d¯u.o c in su.˙’ du.ng mu c in c´o pha chˆa´t liˆe.u t`u Khi qu´et trang t`ai liˆe.u, c´ac k´y tu n`. ay s˜e d¯u.o. c l`am nˆo˙’i bˆa.t N´oi c´ach kh´ac, b`ai to´an phˆan d¯oa.n a˙’nh

d¯u.o. c gia˙’i quyˆe´t nhˆan ta.o bˇa`ng c´ach l`am nˆo˙’i c´ac k´y tu ..

C´ac k´y tu. d¯u.o. c qu´et theo hu.´o.ng ngang v´o.i mˆo.t d¯ˆa` u d¯o.c he.p nhu.ng d`ai ho.n d¯ˆo cao cu˙’a c´ac k´y tu. Khi d¯ˆ` u d¯o.c di chuyˆe˙’n do.c qua mˆo.t k´y tu , n´o s˜e ta.o ra mˆo.t t´ın hiˆe.ua

d¯iˆe.n tu˙’ 1D, t´. u.c l`a h`am mˆo.t biˆe´n f(t) T´ın hiˆe.u n`ay tı˙’ lˆe v´o.i m´u.c d¯ˆo nhiˆe`u hoˇa.c ´ıt cu˙’a diˆe.n t´ıch k´y tu du. .´o.i d¯ˆa`u d¯o.c Chˇa˙’ng ha.n, x´et d¯ˆo` thi da.ng s´ong cu˙’a h`am f(t) tu.o.ng

´

u.ng v´o.i sˆo´ 0 trong H`ınh 9.3 Khi d¯ˆ` u d¯o.c di chuyˆe˙’n t`u tr´ai sang pha˙’i, diˆe.n t´ıch k´y tu a du.´o.i d¯ˆ` u d¯o.c bˇa´t d¯ˆaa ` u tˇang (h`am f c´o d¯a.o h`am du.o.ng trong v`ung n`ay) Khi d¯ˆa`u d¯o.c

di chuyˆe˙’n kho˙’i n´et d¯´u.ng bˆen tr´ai cu˙’a k´y tu. 0 th`ı diˆe.n t´ıch du.´o.i d¯ˆa`u d¯o.c bˇa´t d¯ˆa`u gia˙’m (h`am f c´o d¯a.o h`am ˆam trong v`ung n`ay) Trong v`ung gi˜u.a cu˙’a k´y tu , diˆe.n t´ıch du.´o.i

d¯ˆ` u d¯o.c khˆong d¯ˆo˙’i (h`am f c´o d¯a.o h`am bˇa`ng khˆong trong v`ung n`ay) Qu´a tr`ınh n`aya tiˆe´p tu.c lˇa.p la.i khi d¯ˆa` u d¯o.c di chuyˆe˙’n qua kho˙’i k´y tu Viˆe.c thiˆe´t kˆe´ font ch˜u ba˙’o d¯a˙’m

rˇa`ng d¯ˆo` thi da.ng s´ong cu˙’a c´ac k´y tu l`a ho`an to`an kh´ac nhau Ngo`ai ra viˆe.c thiˆe´t kˆe´

H`ınh 9.3: Tˆa.p font k´y tu E-13B cu˙’a Hiˆ. e.p hˆo.i c´ac Ngˆan h`ang M˜y v`a c´ac da.ng s´ong tu.o.ng ´u.ng

thˇa˙’ng d¯´u.ng cu˙’a lu.´o.i khi hiˆe˙’n thi d¯ˆo` thi h`am f nhu trong H`ınh 9.3 Tˆa.p k´y tu E-13B

d¯u.o. c thiˆe´t kˆe´ c´o t´ınh chˆa´t khi lˆa´y mˆa˜u c´ac da.ng s´ong chı˙’ ta.i nh˜u.ng d¯iˆe˙’m n`ay c˜ung

d¯u˙’ thˆong tin d¯ˆe˙’ phˆan loa.i ch´ung Su˙’ du.ng mu c in c´o t`u t´ınh l`am cho da.ng s´ong d¯u.o c. r˜o r`ang do d¯´o gia˙’m thiˆe˙’u kha˙’ nˇang bi nhiˆe˜u

V´o.i ´u.ng du.ng n`ay ch´ung ta dˆe˜ d`ang thiˆe´t kˆe´ bˆo phˆan loa.i theo khoa˙’ng c´ach nho˙’ nhˆa´t Ch´ung ta chı˙’ cˆ` n lu.u tr˜a u tˆa.p c´ac gi´a tri mˆa˜u cu˙’a mˆo˜i da.ng s´ong v`a v´o.i mˆo˜i tˆa.p

mˆa˜u ta thiˆe´t lˆa.p tu.o.ng ´u.ng mˆo.t vector mi , i = 1, 2, , 14 Khi nhˆa.n da.ng mˆo.t k´y tu ,.

ta qu´et n´o nhu d¯˜a mˆo ta˙’ trˆen, t`u da.ng s´ong cu˙’a k´y tu n`. ay ta d¯u.o. c vector mˆa˜u x Du. a

v`ao Phu.o.ng tr`ınh (9.2) dˆe˜ d`ang x´ac d¯i.nh l´o.p tu.o.ng ´u.ng v´o.i vector x Su.˙’ du.ng c´ac

ma.ch d¯iˆe.n tu˙’ d¯u.o.. c thiˆe´t kˆe´ chuyˆen du.ng ch´ung ta c´o thˆe˙’ phˆan loa.i v´o.i tˆo´c d¯ˆo cao

D - ˆ o ´i s´ anh theo tu.o.ng quan

Phˆ` n n`a ay ´ap du.ng kh´ai niˆe.m tu.o.ng quan (xem Phˆa`n 3.3.8) d¯ˆe˙’ t`ım c´ac d¯ˆo´i s´anh cu˙’a

mˆa˜u (a˙’nh con) w(x, y) (k´ıch thu.´o.c J × K v´o.i a˙’nh f (x, y) (k´ıch thu.´o.c M × N trong

d¯´o J ≤ M v` a K ≤ N ).

Nhˇa´c la.i rˇa`ng, tu.o.ng quan gi˜u.a f(x, y) v`a w(x, y) x´ac d¯i.nh bo.˙’i

x

X

y

trong d¯´o s = 0, 1, , M − 1, t = 0, 1, , N − 1, v`a gia˙’ su.˙’ tˆo˙’ng d¯u.o. c lˆa´y trˆen v`ung

a˙’nh f v` a w phu˙’ nhau H`ınh 9.4 minh ho.a c´ach t´ınh, trong d¯´o gia˙’ thiˆe´t gˆo´c cu˙’a f(x, y) ta.i vi tr´ı ph´ıa trˆen bˆen tr´ai cu˙’a a˙’nh v`a gˆo´c cu˙’a w(x, y) ta.i tˆam cu˙’a n´o V´o i (s, t) bˆa´t

k`y trong a˙’nh f (x, y), ´ap du.ng Phu.o.ng tr`ınh (9.4) ta d¯u.o c gi´a tri c(s, t) tu.o.ng ´u.ng.

Gi´a tri c(s, t) cho biˆe´t vi tr´ı m`a mˆa˜u w(x, y) d¯ˆo´i s´anh tˆo´t nhˆa´t v´o i f(x, y) Ch´u ´y rˇa`ng

d¯ˆo ch´ınh x´ac gia˙’m d¯i khi s v`a t tiˆe´n gˆa` n d¯ˆe´n c´ac d¯u.`o.ng biˆen cu˙’a a˙’nh f (x, y).

H`am tu.o.ng quan x´ac d¯i.nh theo Phu.o.ng tr`ınh (9.4) c´o nhu.o c d¯iˆe˙’m l`a nha.y v´o.i

su. thay d¯ˆo˙’i biˆen d¯ˆo cu˙’a f(x, y) v`a w(x, y) Chˇa˙’ng ha.n, nhˆan hai tˆa´t ca˙’ c´ac gi´a tri cu˙’a

thˆong qua hˆ e sˆo´ tu o.ng quan:

γ(s, t) =

P

x

P

y [f (x, y) − ¯ f (x, y)][w(x − s, y − t) − ¯ w]

nP

x

P

y [f (x, y) − ¯ f (x, y)]2P

x

P

y [w(x − s, y − t) − ¯ w]2o1/2 , (9.5) trong d¯´o s = 0, 1, , M − 1, t = 0, 1, , N − 1, ¯ w l`a gi´a tri trung b`ınh cu˙’a c´ac pixel

←−−−−−−−−−−−− N −−−−−−−−−−−−→

↑

|

|

|

|

|

|

|

M

|

|

|

|

|

|

|

↓

.

←−− K −−→ ↑ | | J | | ↓

• s t (s, t) y

x

.

gˆ f (x, y)

w(x − s, y − t)

H`ınh 9.4: Sˇa´p xˆe´p mˆa˜u v`a a˙’nh d¯ˆe˙’ t´ınh tu.o.ng quan cu˙’a f (x, y) v`a w(x, y) ta.i d¯iˆe˙’m (s, t).

tr`ung v´o.i vi tr´ı hiˆe.n h`anh cu˙’a w v`a tˆo˙’ng lˆa´y trˆen c´ac to.a d¯ˆo chung cu˙’a f v`a w Hˆe.

sˆo´ tu.o.ng quan γ(s, t) d¯u.o. c chuˆa˙’n ho´a trong d¯oa.n [−1, 1] v`a khˆong phu thuˆo.c khi biˆen

d¯ˆo cu˙’a f (hoˇa.c w) thay d¯ˆo˙’i theo c`ung mˆo.t hˆe sˆo´.

D- ˆe˙’ kˆe´t qua˙’ d¯ˆo´i s´anh khˆong phu thuˆo.c v`ao a˙’nh d¯u.o c l`am s´ang hoˇa.c l`am tˆo´i ta chuˆa˙’n ho´a h`am tu.o.ng quan Tuy nhiˆen c´ach n`ay kh´o thu. c hiˆe.n khi thay d¯ˆo˙’i k´ıch thu.´o.c hoˇa.c quay a˙’nh Chuˆa˙’n ho´a k´ıch thu.´o.c liˆen quan d¯ˆe´n co gi˜an khˆong gian v`a do d¯´o d¯`oi ho˙’i thˆem d¯´ang kˆe˙’ khˆo´i lu.o. ng t´ınh to´an Chuˆa˙’n ho´a d¯ˆo´i v´o.i ph´ep quay thˆa.m ch´ı c`on kh´o ho.n Nˆe´u ta biˆe´t c´ac thˆong sˆo´ cu˙’a ph´ep quay t`u a˙’nh f (x, y) th`ı chı˙’ cˆ` n ´a ap du.ng ph´ep quay n`ay cho mˆa˜u w(x, y) Tuy nhiˆen thu. c tˆe´ thu.`o.ng khˆong biˆe´t ph´ep quay d¯˜a thu. c hiˆe.n trˆen a˙’nh f(x, y) nˆen d¯ˆe˙’ x´ac d¯i.nh n´o cˆa` n pha˙’i thu.˙’ tˆa´t ca˙’ c´ac kha˙’ nˇang cu˙’a

s´anh tu.o.ng quan ´ıt khi d¯u.o. c su˙’ du.ng trong tru.`o.ng ho p a˙’nh d¯u.o c quay tu`y ´y..

Trong Phˆ` n 3.3.8 ch´a ung ta d¯˜a d¯ˆ` cˆe a.p d¯ˆe´n biˆe´n d¯ˆo˙’i FFT d¯ˆe˙’ t´ınh tu.o.ng quan trong tru.`o.ng ho. p f (x, y) v` a w(x, y) c´o c`ung k´ıch thu.´o.c Nˆe´u su.˙’ du.ng Phu.o.ng tr`ınh

(9.4) th`ı w thu.`o.ng c´o k´ıch thu.´o.c nho˙’ ho.n nhiˆ` u so v´e o.i k´ıch thu.´o.c cu˙’a f Campbell

d¯˜a chı˙’ ra rˇa`ng, nˆe´u sˆo´ c´ac phˆa` n tu.˙’ cu˙’a w nho˙’ ho.n 132 (a˙’nh con c´o k´ıch thu.´o.c xˆa´p xı˙’

13 × 13 pixel) th`ı t´ınh to´an tru. c tiˆe´p theo Phu.o.ng tr`ınh (9.4) s˜e hiˆe.u qua˙’ ho.n phu.o.ng

ph´ap FFT D˜ı nhiˆen k´ıch thu.´o.c cu˙’a mˆa˜u w phu thuˆo.c v`ao m´ay v`a c´ac thuˆa.t to´an su.˙’

du.ng; do vˆa.y thao t´ac trˆen miˆe` n khˆong gian hoˇa.c miˆe` n tˆ` n sˆa o´ s˜e d¯u.o. c ´ap du.ng tu`y t`u.ng tru.`o.ng ho. p cu thˆe˙’ C´ac hˆe sˆo´ tu.o.ng quan t´ınh theo Phu.o.ng tr`ınh (9.5) s˜e dˆe˜ d`ang ho.n phu.o.ng ph´ap miˆ` n tˆe ` n sˆa o´

9.3.2 Phu.o.ng ph´ ap thˆ o´ng kˆ e

Co so ˙’

Phˆ` n n`a ay tr`ınh b`ay phu.o.ng ph´ap thˆo´ng kˆe d¯ˆe˙’ nhˆa.n da.ng Thˆo´ng kˆe d¯´ong mˆo.t vai tr`o quan tro.ng trong b`ai to´an nhˆa.n da.ng do c´ac l´o.p mˆa˜u thu.`o.ng d¯u.o c ta.o ra ngˆa˜u nhiˆen K´y hiˆe.u p(ω i|x) l`a x´ac suˆa´t mˆa˜u x thuˆo.c l´o.p ω i v`a lˆo˜i khi phˆan loa.i nhˆa` m mˆa˜u

x ∈ ωi v`ao l´o.p ωj l`a Lij V`ı mˆa˜u x c´o thˆe˙’ thuˆo.c v`ao mˆo.t trong M l´o.p nˆen lˆo˜i trung

b`ınh khi g´an x v`ao l´o.p ωj l`a

r j(x) =

M

X

k=1

Trong l´y thuyˆe´t quyˆe´t d¯i.nh, Phu.o.ng tr`ınh (9.6) thu.`o.ng go.i l`a d¯ˆo ru˙’i ro (tˆo˙’n thˆa´t hay

Theo l´y thuyˆe´t x´ac suˆa´t th`ı p(a|b) = [p(a)p(b|a)]/p(b) Do d¯´o Phu.o.ng tr`ınh (9.6) c´o thˆe˙’ viˆe´t la.i da.ng

r j(x) = 1

p(x)

M

X

k=1

trong d¯´o p(x|ωk) l`a h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cu˙’a c´ac mˆa˜u thuˆo.c l´o.p ωk v`a P (ωk) l`a x´ac suˆa´t xuˆa´t hiˆe.n l´o.p ωk Do mˆa˜u sˆo´ p(x) du.o.ng v`a chung cho tˆa´t ca˙’ c´ac h`am tˆo˙’n thˆa´t

r j (x), j = 1, 2, , M, nˆen ta c´o thˆe˙’ bo˙’ d¯i trong Phu.o.ng tr`ınh (9.7) m`a khˆong a˙’nh hu.o.˙’ ng khi so s´anh th´u tu. cu˙’a c´ac h`am n`ay Khi d¯´o ta c´o thˆe˙’ viˆe´t

r j(x) =

M

X

k=1

V´o.i mˆa˜u x chu.a biˆe´t, ta cˆa` n ta cˆ` n t`ım l´a o.p ωi trong M l´o.p d¯ˆe˙’ xˆe´p x ∈ ωi Tru.´o.c

hˆe´t x´ac d¯i.nh r j(x), j = 1, 2, , M, v`a gia˙’ su.˙’

Khi d¯´o ta phˆan loa.i mˆa˜u x thuˆo.c l´o.p ωi N´oi c´ach kh´ac ta cho.n sao cho m´u.c d¯ˆo tˆo˙’n thˆa´t trung b`ınh theo tˆa´t ca˙’ c´ac quyˆe´t d¯i.nh l`a nho˙’ nhˆa´t Phu.o.ng ph´ap phˆan loa.i sao cho cu. c tiˆe˙’u ho´a m´u.c d¯ˆo tˆo˙’n thˆa´t trung b`ınh go.i l`a phˆan loa.i Bayes.

Trong nhiˆ` u b`e ai to´an nhˆa.n da.ng, m´u.c d¯ˆo tˆo˙’n thˆa´t khi quyˆe´t d¯i.nh d¯´ung bˇa`ng khˆong v`a c´o gi´a tri hˇa`ng sˆo´ kh´ac khˆong (chˇa˙’ng ha.n 1) khi quyˆe´t d¯i.nh sai V´o.i gia˙’ thiˆe´t n`ay ta c´o

trong d¯´o







1 nˆe´u i = j,

0 nˆe´u ngu.o. c la.i.

Phu.o.ng tr`ınh (9.9) chı˙’ ra m´u.c d¯ˆo tˆo˙’n thˆa´t bˇa`ng 1 khi quyˆe´t d¯i.nh sai v`a khˆong tˆo˙’n thˆa´t khi quyˆe´t d¯i.nh d¯´ung Thay L ij trong Phu.o.ng tr`ınh (9.9) v`ao Phu.o.ng tr`ınh (9.8)

ta d¯u.o. c

r j(x) =

M

X

k=1 (1 − δkj )p(x|ωk)P (ωk)

Suy ra phˆan loa.i Bayes g´an mˆa˜u x thuˆo.c l´o.p ωi nˆ

hay tu.o.ng d¯u.o.ng

Dˆ˜ thˆa´y rˇa`ng trong tru.`o.ng ho.e p h`am tˆo˙’n thˆa´t Lij = 1 − δij phˆan loa.i Bayes su˙’ du.ng. h`am biˆe.t tˆa.p

d j (x) = p(x|ωj )P (ωj ), j = 1, 2, , M. (9.11)

H`am biˆe.t tˆa.p cho trong Phu.o.ng tr`ınh (9.11) l`a tˆo´i u.u theo ngh˜ıa cu c tiˆe˙’u ho´a

tˆo˙’n thˆa´t trung b`ınh khi phˆan loa.i sai D- ˆe˙’ x´ac d¯i.nh c´ac h`am n`ay ch´ung ta cˆa`n biˆe´t c´ac h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cu˙’a c´ac mˆa˜u trong mˆo˜i l´o.p v`a x´ac suˆa´t xuˆa´t hiˆe.n cu˙’a mˆo˜i l´o.p

Yˆeu cˆ` u sau dˆea ˜ d`ang thoa˙’ m˜an Chˇa˙’ng ha.n, nˆe´u tˆa´t ca˙’ c´ac l´o.p xuˆa´t hiˆe.n v´o.i x´ac suˆa´t

bˇa`ng nhau th`ı P (ωj ) = 1/M Thˆa.m ch´ı nˆe´u gia˙’ thiˆe´t n`ay khˆong d¯´ung, c´ac x´ac suˆa´t n`ay thu.`o.ng c´o thˆe˙’ suy t`u c´ac gia˙’ thiˆe´t (tri th´u.c) cu˙’a b`ai to´an d¯ˇa.t ra Kh´o khˇan ch´ınh l`a x´ac d¯i.nh c´ac h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t p(x|ω j) Nˆe´u c´ac vector mˆa˜u x thuˆo.c khˆong gian

l´y thuyˆe´t x´ac suˆa´t d¯ˆe˙’ xˆa´p xı˙’ n´o C´ac phu.o.ng ph´ap n`ay kh´o ´ap du.ng trong thu c tˆ. e´,

d¯ˇa.c biˆe.t trong tru.`o.ng ho p nˆe´u sˆo´ c´ac mˆa˜u biˆe˙’u diˆe˜n trong mˆo˜i l´o.p khˆong nhiˆe`u hoˇa.c khi h`ınh da.ng cu˙’a c´ac h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t chu.a biˆe´t V`ı l´y do n`ay, phˆan loa.i Bayes thu.`o.ng du. a trˆen gia˙’ thiˆe´t cho tru.´o.c mˆo.t biˆe˙’u th´u.c gia˙’i t´ıch d¯ˆo´i v´o.i c´ac h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t v`a sau d¯´o x´ac d¯i.nh c´ac tham sˆo´ cu˙’a biˆe˙’u th´u.c t`u c´ac vector mˆa˜u cu˙’a mˆo˜i l´o.p Da.ng phˆo˙’ biˆe´n nhˆa´t d¯ˆo´i v´o.i p(x|ωj) l`a h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t Gauss Khi gia˙’ thiˆe´t n`ay c`ang gˆ` n v´a o.i thu. c tˆe´ th`ı phu.o.ng ph´ap nhˆa.n da.ng theo Bayes s˜e c`ang th`anh cˆong ho.n (m´u.c d¯ˆo sai lˆa` m trung b`ınh trong phˆan loa.i ´ıt nhˆa´t)

Phˆ an loa.i Bayes trong tru `o.ng ho p h` am mˆ a.t d¯ˆo x´ac suˆa´t Gauss

Tru.´o.c hˆe´t x´et tru.`o.ng ho. p mˆo.t chiˆe` u (n = 1) v`a hai l´o.p mˆa˜u (M = 2) chi.u a˙’nh hu.o.˙’ng

cu˙’a c´ac h`am mˆa.t d¯ˆo Gauss v´o.i c´ac gi´a tri trung b`ınh m1 v`a m2 v`a c´ac phu.o.ng sai

σ1, σ2 tu.o.ng ´u.ng T`u Phu.o.ng tr`ınh (9.11) c´ac h`am biˆe.t tˆa.p Bayes c´o da.ng

d j (x) = p(x|ωj)P (ωj),

2πσj exp



−(x − mj)2

2σ2

j



v´o.i mˆa˜u trong tru.`o.ng ho. p n`ay l`a d¯a.i lu.o ng vˆo hu.´o.ng v`a k´y hiˆe.u bo.˙’i x H`ınh 9.5 l`a

d¯ˆ` thi cu˙’a c´ac h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cu˙’a hai l´o.p Biˆen gi˜u.a hai l´o.p gˆoo `m mˆo.t d¯iˆe˙’m

x0 x´ac d¯i.nh bo˙’ i d. 1(x0) = d2(x0) Nˆe´u x´ac suˆa´t xuˆa´t hiˆe.n cu˙’a hai l´o.p bˇa`ng nhau th`ı

P (ω1) = P (ω2) = 12 v`a biˆen gi˜u.a hai l´o.p l`a gi´a tri x0 tho˙’a p(x0|ω1) = p(x0|ω2) D- iˆe˙’m n`ay l`a giao d¯iˆe˙’m d¯ˆ` thi cu˙’a hai h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t (xem H`ınh 9.5) C´ac mˆa˜u (d¯iˆe˙’m)o

bˆen pha˙’i x0 d¯u.o. c g´an thuˆo.c l´o.p ω1 v`a bˆen tr´ai d¯iˆe˙’m x0 d¯u.o. c g´an thuˆo.c l´o.p ω2 Khi c´ac l´o.p xuˆa´t hiˆe.n v´o.i x´ac suˆa´t kh´ac nhau th`ı x0 di chuyˆe˙’n sang bˆen tr´ai nˆe´u P (ω1) > P (ω2) v`a x0 di chuyˆe˙’n sang bˆen pha˙’i nˆe´u P (ω1) < P (ω2) Kˆe´t qua˙’ n`ay ph`u ho. p v´o.i thu. c tˆe´ v`ı viˆe.c phˆan loa.i cˆa` n cu. c tiˆe˙’u m´u.c d¯ˆo phˆa` n loa.i sai Chˇa˙’ng ha.n, trong tru.`o.ng ho p d¯ˇa.c biˆe.t, nˆe´u l´o.p ω2 khˆong bao gi`o xuˆa´t hiˆe.n th`ı phˆan loa.i d¯´ung cˆa` n g´an c´ac l´o.p mˆa˜u cho l´o.p ω1 (t´u.c l`a x0 di chuyˆe˙’n ra −∞).

Trong tru.`o.ng ho. p n chiˆ` u, h`e am mˆa.t d¯ˆo Gauss cu˙’a vector thuˆo.c l´o.p mˆa˜u th´u j

c´o da.ng

(2π) n/2p

det Cj exp



−1

2(x − mj)

t

C j−1(x − mj)



trong d¯´o vector trung b`ınh mj v`a ma trˆa.n hiˆe.p phu.o.ng sai Cj x´ac d¯i.nh bo˙’ i.

v`a