ĐÀO DUY LÂM Bộ môn CTGTTP và CTT Khoa Công trình Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Hiện nay trên thế giới, phương pháp phần tử hữu hạnPTHH được áp dụng phổ biến để giải các b
Trang 1PHÂN TÍCH MÔ HÌNH KẾT CẤU ĐÀN-DẺO TÁI BỀN VON MISES
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
ThS ĐÀO DUY LÂM
Bộ môn CTGTTP và CTT Khoa Công trình
Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Hiện nay trên thế giới, phương pháp phần tử hữu hạn(PTHH) được áp dụng
phổ biến để giải các bài toán phi tuyến trong tính toán kết cấu xây dựng Bài viết này giới
thiệu phương pháp tích phân số luật ứng xử đàn dẻo tái bền theo tiêu chí Von Mises và cách
thiết lập toán tử tiếp tuyến đàn dẻo dạng Simo tương ứng cho các bước tích phân hữu hạn sử
dụng công thức dạng ẩn Các ví dụ tính toán kết cấu đàn-dẻo lập trên nền MATLAB sử dụng
phần tử hữu hạn mô hình 2D được giới thiệu để minh họa cho mô hình tính toán Phương
pháp này cũng có thể mở rộng áp dụng cho các mô hình theo các tiêu chí dẻo khác như
Chaboche-Marquis, Drucker-Prager, Cam-Clay
Summary: The most universal numerical technique applicable to non-linear problem in
civil engineering is nowadays the finite element method (FEM) In this paper, we discuss the
method for integrating plastic constitutive laws and to compute the corresponding consistent
tangent operators for Von Mises plastic criterion with isotropic hardening using implicit
formulation Numerical examples with finite element models type T3 and T6 based on the
language MATLAB are presented The present approach is also extended to other plastic
models, including the Chaboche-Marquis, Drucker-Prager and Cam-Clay model
T CT1
I ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương pháp PTHH hiện đang được sử dụng phổ biến để giải các bài toán kết cấu ứng xử
đàn hồi với hình dạng và tải trọng bất kỳ bằng mô hình gần đúng Đối với kết cấu có ứng xử
đàn-dẻo một số mô hình tính toán PTHH đã được đưa ra trong các công trình nghiên cứu của M
L Wilkins[1], R D Krieg và S W Key[2], M A Crisfield[3], 0 C Zienkiewicz[4], J C Simo
và R L Taylor[5] Trong đó mô hình sử dụng thuật giải giả định đàn hồi và chỉnh sửa dẻo
thông qua toán tử tiếp tuyến đàn-dẻo (return mapping algorithms) với hội tụ bậc hai của phương
pháp Newton do Simo đề nghị là mô hình hiệu quả nhất với độ chính xác và hội tụ nhanh để các
bài toán ứng sử đàn dẻo
Bài báo này sẽ giới thiệu cách thức lập công thức dạng ẩn tích phân số luật ứng xử áp dụng
cho mô hình đàn-dẻo theo tiêu chí Von Mises sử dụng thuật giải “return mapping” cũng như
cách lập toán tử tiếp tuyến đàn-dẻo của thuật giải này Để minh họa, tác giả sẽ trình bày kết quả
tính toán của một số ví dụ ứng dụng sử dụng chương trình lập trên nền ngôn ngữ MATLAB
II MÔ HÌNH DẺO VON MISES
Với mô hình đàn dẻo Von Mises(VM) có xét đến tái bền Hàm chảy có dạng:
0
= ) R ( s
= ) σ ( eq − σy+ (1)
với ứng suất tương đương s
2
3
=
s eq , hàm tái bền đẳng hướng là giới hạn chảy dẻo của vật liệu, h là hệ số tái bền, biến dạng dẻo tích lũy trong khoảng [0, T]
p h
= ) p ( R
=
R , σy
Trang 2được xác định theo hàm tích phân của vận tốc biến dạng dẻo với biến là véc tơ chuyển vị u:
du ) u ( ε 3
2
= ) t (
0 &
Thành phần tenxơ cầu và tenxơ lệch của tenxơ ứng suất: và tenxơ vận tốc biến dạng dẻo
) , (
= s sm
σ
) , (
m p p
e&
&
& e
Hình 1 Mô hình dẻo Von Mises
trong không gian ứng suất
p p m p
p
p p
m
m m
e 3
Tr e
s
Tr 3 s
ε 1 ε
e
ε
1 σ s
σ
&
&
&
&
&
&
=
1
=
0
= ) (
=
=
) (
1
=
−
−
(3)
với 1 là ma trận đơn vị
Khi kết cấu làm việc theo ứng xử dẻo, biến dạng gồm 2 thành phần: biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo Ứng suất có thể xác định theo quan hệ định luật Hook :
( ( p)
p e
p e
e e s
ε ε ε
σ
ε ε ε
− μ
− )
+
=
2
=
=
= Χ Χ (4)
CT 1
Với là ma trận độ cứng đàn hồi Χ
Vận tốc biến dạng dẻo của vật liệu tiêu chuẩn được xác định theo luật tiếp tuyến:
s
e σ
ε
∂
∂ λ
∂
∂
với là hàm nhân số dẻo thỏa mãn điều kiện: λ λ&≥0 ; (σ)≤0 và Điều kiện này chứng tỏ rằng
0
= ) (σ λ&
p
ε& vuông góc với mặt dẻo và mặt chảy dẻo là mặt lồi trong không gian ứng suất
Từ (1) và (5) ta có:
s
s s
e
2
3
∂
∂
λ& &
3
2
=
Từ (2) p & được xác định như sau: p& ε&p
3
2
Dễ dàng chứng minh được với mô hình VM e & =p ε &p, từ (6) và (7) ta nhận thấy: p& =λ&
III CÔNG THỨC MÔ HÌNH SỐ
Để giải bài toán kết cấu ứng xử đàn-dẻo bằng PTHH ta phải thực hiện bước rời rạc hóa kết cấu về mặt không gian và thời gian Bài toán mà PTHH đặt ra là biết trạng thái cơ học
n n n
n u , , ,
S ε ε σ của kết cấu đã xác định tại thời điểmtnvới các trường chuyển vị, biến dạng,
Trang 3ứng suất và tải trọng tác dụng tại thời điểmtn →tn+1cần xác định trạng thái cơ học
p n n
n
S ε ε σ tại
1 + n
3.1 Công thức dạng ẩn
Ta có thể lập công thức các ten xơ ứng suất, biết dạng tại thời điểm tn+1:
1 , 1
,
1 1
1 1 1
=
2
= 2
2
= 2
=
+ +
+ +
+ +
n m c n
m
p trial
n p p
n n
p n n n
e K s
e s
e e
e e
e s
với
) 1
(
2
E υ +
=
) 2 1 ( 3
E
υ
−
= , υ là hệ số Poisson
λ Δ Δ
Δ
λ Δ Δ
Δ +
+
+ + +
=
0
= 2
3
=
=
1 ,
1 1 1
p
ep n m
n
n p
p p n p
n
s
s e
e e e
Từ (8) và (9) dễ dàng chứng minh được:
trial n n
n
1
+
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λ Δ μ
s
với 1 2 3/2 >1
1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λ Δ μ
+
+ n
s do đó sn + 1 và trial đẳng hướng và
n 1 +
n
trial n n
n
1
1 1
1 =
+
+ +
+
s
s s
s
Khi xuất hiện dẻo Δλ>0 và Δλf(σ)=0, từ đó ta có được
3
2
= 0
= ) (
2
3
= )
Kết hợp (10) và (11) ta xác định được:
μ +
− σ
− λ
3 h
p s
2
3
trial 1 n
Cuối cùng ta có:
trial 1 n
trial 1 n n y
trial 1 n trial
1 n
trial 1 n p
s
s 2
3 3
h
p s
2
3
= s
s 2
3
= e
+ + +
+
+
μ +
− σ
− λ
Δ
1 n
p n 1 n
p 1 n
trial 1 n 1
σ + + − μΔ + Χ + − − μΔ + (13)
3.2 Toán tử tiếp tuyến đàn-dẻo
Toán tử tiếp tuyến đàn-dẻo được sử dụng để chỉnh sửa ứng xử kết cấu giả định đúng với
mô hình dẻo Toán tử này được xác định như sau:
1 n
p 1 n 1
n
1 n
e 2
= ε
σ
=
+
+ +
+
∂
Δ
∂ μ
−
∂
=
Trang 4Đạo hàm
1
1 +
+
∂
Δ
∂
n
p n
ε
e
sử dụng các công thức phần 3.1 ta thu được:
Ι Χ
Κ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ σ +
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
− μ
+
μ
−
+
+ +
T trial 1 n
trial 1 n n y trial
1 n
n y 2
EP
s
s s p s
p 2
3 3 h
6 2
với là ma trận độ cứng đàn hồi, Χ Ι là ma trận đơn vị, Μ được xác định như sau:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
∂
∂
=
∂
∂
=
+
+ +
+
3 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0
3 0 0 0
2 1 1
2 1 2
3
1 1
1 1
1
đx
n
n n
n
ε
e σ
s
Có thể thấy với mô hình dẻo VM thì ΚEPlà ma trận đối xứng
IV THUẬT TOÁN CHƯƠNG TRÌNH
Chương trình tính toán PTHH bài toán kết cấu đàn-dẻo với hình dạng hình học bất kỳ với điều kiện biên là lực và chuyển vị cưỡng bức theo thuật giải “return mapping” có thể được xây dựng trên cơ sở các thuật toán sau:
Thuật toán 1
- Thực hiện tính toán đàn dẻo
CT 1
- Kiểu tải trọng tăng dần-tích phân số
- Tính toán cho toàn bộ kết cấu
Thuật toán 2
Sử dụng 1 lần trong mỗi bước tích phân số của thuật toán 1
- Tính toán ma trận tiếp tuyến đàn-dẻo tổng thể cho toàn bộ kết cấu
- Tính toán các véc tơ tổng nội và ngoại lực tại các nút
Thuật toán 3
Sử dụng 1 lần trong mỗi bước của thuật toán 2 cho mỗi phần tử của lưới PTHH
- Tính toán ứng suất và gia tăng của các biến tại các điểm Gauss tích phân số
- Tính toán ma trận tiếp tuyến đàn-dẻo và lực tại nút thành phần
Thuật toán 4
Sử dụng 1 lần trong mỗi bước của thuật toán 3 cho mỗi điểm Gauss của phần tử
- Giả định kết cấu đàn hồi(hoặc sử dụng ma trận tiếp tuyến của bước tính trước)
- Tích phân số cục bộ luật ứng xử, sử dụng thuật giải “return mapping” để chỉnh sửa theo ứng sử dẻo
- Tính toán ma trận tiếp tuyến đàn-dẻo cục bộ
Trang 5V VÍ DỤ ỨNG DỤNG
Để minh họa, tác giả xin trình bày kết quả tính toán của một số ví dụ tính toán 2D sử dụng
chương trình lập trên nền ngôn ngữ MATLAB
Ví dụ 1: Dầm thép 1 đầu ngàm: H = 1 mm, L = 4 mm, E = 21.104 MPa, σy = 270 MPa, υ = 1/3
0 50 100 150 200 250 300 350 400
ε(x10^5) σ_y(MPa)
a Mô hình 2D b Biến dạng dẻo c Quan hệ ứng suất-biến dạng
lý thuyết kết quả PTHH
t
L
Hình 2 Dầm ngàm 1 đầu chịu kéo
Hình 3 Dầm ngàm 1 đầu chịu uốn
Ví dụ 2: Tấm có lỗ tròn chịu nén: H = 5 cm, D = 5 mm, E = 200000 MPa, σ = 450 MPa, υ = 1/3
a.Mô hình 2D b Biến dạng dẻo c Chuyển vị u yy
T CT1
Hình 4 Tấm có lỗ tròn chịu nén
VI KẾT LUẬN
Việc sử dụng phương pháp PTHH theo thuật giải “return mapping” mô hình hiệu quả với
độ chính xác cao và hội tụ nhanh để các bài toán kết cấu với ứng xử đàn dẻo tiêu chí Von Mises
Thuật giải này cũng có thể xây dựng cho các mô hình theo các tiêu chí dẻo khác như
Chaboche-Marquis, Drucker-Prager, Cam-Clay
Để hoàn thiện mô hình tính toán cần đưa vào các thuật toán xác định sai số luật ứng xử và
sai số của mạng lưới phần tử hữu hạn
Với các ứng xử dẻo có hiện tượng mất ổn định và rạn nứt cần đưa vào các hàm khống chế
tương ứng
Tài liệu tham khảo
[1] M L Wilkins, 'Calculation of elastic-plastic flow', in Methods of Computational Physics 3,
Academic Press, New York, 1964
[2] R D Krieg and D B Krieg, ‘Accuracies of numerical solution methods for the elastic-perfectly
plastic model’, J Pressure Vessel Tech., ASME 99, 1977
[3] M A Crisfield, Non-linear finite element analysis of solids and structures John Wiley, 1997
[4] 0 C Zienkiewicz, The Finite Element Method, fifth Edition, McGraw-Hill, 2000
[5] J.C Simo and T.J Hughes, Computational Inelasticity Springer, 2000♦
