Báo cáo khoa học: "Đánh giá ổn định bền vững hệ thống điều khiển đối t-ợng mờ" doc

lê thị tuyết nhung Khoa Điện - Điện tử Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Bμi báo giới thiệu một phương pháp xác định độ dự trữ ổn định bền vững của hệ thống điều khiển kín đố

Đánh giá ổn định bền vững

hệ thống điều khiển đối tượng mờ

PGS TS lê hùng lân ThS lê thị tuyết nhung

Khoa Điện - Điện tử Trường Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Bμi báo giới thiệu một phương pháp xác định độ dự trữ ổn định bền vững của hệ

thống điều khiển kín đối tượng với các tham số mờ Dựa trên các khái niệm về ổn định bền vững của Kharitonov vμ Tsypkin - Polyak, một phương pháp mới nhằm đánh giá ổn định vμ xác định mối quan hệ giữa độ dự trữ ổn định bền vững của hệ thống điều khiển với khoảng cách từ

đường đáp ứng tần số hệ hở tới điểm (-1,j0) sẽ được đề cập

Summary: This paper presents a method of determining the robustness margin of the

closed - loop control systems with fuzzy parametric uncertainty Owing to the Kharitonov’s and Tsypkin - Polyak’s robust stability concept, it is determined to analyse and associate the robustness margin of the closed-loop systems with the distance of the frequency response to the (-1,j0) point

CBA

i đặt vấn đề

Một vấn đề quan trọng của nghiên cứu về điều khiển đối tượng mờ là tìm ra các phương

pháp đánh giá ổn định hệ thống điều khiển kín đối tượng với các tham số mờ Đã có một số

công trình nghiên cứu về vấn đề này chẳng hạn như [1-5] Đi theo hướng này trong [8-9] tác giả

đã đưa ra phương pháp đánh giá ổn định hệ thống điều khiển với đa thức đặc trưng có chứa tham số mờ trên cơ sở mở rộng tiêu chuẩn ổn định bền vững Tsypkin - Polyank

Một trong các giải pháp là mở rộng các phương pháp ổn định bền vững với các hệ số chứa tham số khoảng sang các hệ chứa tham số mờ

Bài báo ở đây sẽ xem xét một khía cạnh khác đó là ổn định hệ thống điều khiển kín có chứa đối tượng với các tham số mờ Bằng cách tổng quát hóa các kết quả nghiên cứu về ổn

định bền vững trong [10] và [11], tiêu chuẩn ổn định được đề xuất trong bài báo có thể hiện đồ

họa trực quan và trực tiếp đưa ra mối quan hệ giữa độ dự trữ ổn định tham số với độ mờ của thông tin về đối tượng

ii giải quyết vấn đề

Giả sử có mô hình hệ thống điều khiển tự động kín, phản hồi âm đơn vị (unity feedback)

Hệ thống có đối tượng P(s,a,b) và bộ điều khiển C(s) trong mạch điều khiển hở Hàm truyền đạt của đối tượng điều khiển:

m n

a

s b s a

b

s b s b ) a , s ( A

) b , s ( B ) b , a , s ( P

0 1

n 1 n n n

0 1

m 1 m m

+ + +

+ + +

=

ư

ư

ư (1)

Cho trước hàm truyền đạt của bộ điều khiển C(s), bài toán đặt ra là đánh giá tính ổn định

của hệ thống

Từ các giả thiết trên suy ra đa thức đặc trưng danh định kín C(jω).P(jω,a,b)+1 Theo tiêu

chuẩn Nyquist xét cho trường hợp hệ hở ổn định, điều kiện để hệ kín ổn định là đáp ứng tần số

của hệ hở không bao điểm M(-1,j0)

Trở lại bài toán điều khiển với đối tượng tham số khoảng (1), giả sử đã có một hệ thống

danh định ổn định với bộ tham số , điều kiện để hệ kín ổn định lμ chuỗi các miền giá trị

không bao điểm (-1,j0)

* i

*

i,b a {C(jω).P(jω,a,b), ω∈[0,+∞)}

ở đây các tham số ai*,bi* được biểu diễn dưới dạng:

2

a a a , 2

a a a , a a a

2

b b b , 2

b b b , b b b

i i i i

i

* i i

* i i

i i i i

i

* i i

* i i

ư + +

ư

ư + +

ư

ư

= Δ +

= Δ

γ +

=

ư

= Δ +

= Δ

γ +

=

(3)

Khi đó chuyển sang miền tần số các đa thức tử số có thể viết lại như sau:

CBA

B

* B B

*

B

3

* 3

* 1 3

* 3

* 1 2

2 0 2

* 2

*

0

m m

* m 1

* 1 0

*

0

m m 1

0

I I j R

R

b b

b b j

b b

b b

) j )(

b b

(

) j )(

b b ( ) b b

(

) j ( b

) j ( b

b

)

b

,

j

(

B

Δ γ + + Δ

γ +

=

+ ω Δ

ư ω Δ γ + + ω

ư ω + + ω Δ

ư Δ γ + + ω

ư

=

ω Δ γ + + + ω Δ γ + + Δ γ +

=

ω + + ω +

=

ω

)

)

(4)

Tương tự đa thức mẫu số biểu diễn sang miền tần số:

A

* A A

* A

3

* 3

* 1 3

* 3

* 1 2

2 0 2

* 2

* 0

I I j R R

a a

a a j

a a

a a

)

a

,

j

(

A

Δ γ + + Δ γ +

=

+ ω Δ

ư ω Δ γ + + ω

ư ω + + ω Δ

ư Δ γ + + ω

ư

=

=

ω

(5) Các số phức B ω(j ,b),A ω(j ,a)gồm các phần thực và phần ảo là tổng các số khoảng

Như vậy tại mỗi tần số ω> 0, đặc tính tần số P ω(j ,a,b)là miền giá trị:

* A A

* A

B

* B B

* B A A

B B

I I R R

I I j R R

jI R

jI R ) b , a , j ( P

Δ γ + Δ

γ +

Δ γ + + Δ γ +

= +

+

=

ω (6)

trong đó:

b b I

;

b b I

b b R

;

b b R

3

* 3

* 1 B 3

* 3

* 1

* B

2 0 B 2

0 B

+ ω Δ

− ω Δ

= Δ +

ω

− ω

=

+ ω Δ

− Δ

= Δ +

ω

−

=

(7)

a a I

;

a a I

a a R

;

a a R

3

* 3

* 1 A 3

* 3

* 1

* A

2 2 0 A 2

* 2

* 0

* A

+ ω Δ

− ω Δ

= Δ +

ω

− ω

=

+ ω Δ

− Δ

= Δ +

ω

−

=

(8)

CBA

}

Xét một điểm cố định thuộc mặt phẳng phức Điểm M sẽ nằm trong miền giá trị Nyquist { khi và chỉ khi tồn tại một giá trị thực

jv u

) , 0 [ ), b , a , j ( P )

j (

) j ( C

jv u ) b , a , j ( P jv u ) b , a , j ( P )

j ( C

ω

+

= ω

⇒ +

= ω

Từ (6) và (9) có:

( ) ( )

) j ( C

jv u I I R R

I I j R R

A

* A A

* A

B

* B B

*

ω

+

= Δ γ + Δ

γ +

Δ γ + + Δ γ +

(10)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

Δ γ + +

Δ γ +

= Δ γ +

Δ γ +

− Δ γ +

= Δ γ +

A

* A A

* A B

* B

A

* A A

* A B

* B

R R

' v I I ' u I I

I I ' v R R

' u R R

(11)

Suy ra:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

Δ γ + +

Δ γ +

= Δ γ +

Δ γ +

− Δ γ +

= Δ γ +

A

* A A

* A B

* B

A

* A A

* A B

* B

R R

' v I I ' u I I

I I ' v R R

' u R R

(12)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= Δ

− Δ

− Δ γ +

−

−

= Δ + Δ

− Δ γ + +

−

⇒

0 R ' v I ' u I R

' v I ' u I

0 I ' v R ' u R I

' v R ' u R

A A

B

* A

* A

* B

A A

B

* A

* A

* B

(13)

Khi đó tính ổn định bền vững của hệ thống đ−ợc đánh giá qua tiêu chuẩn sau:

Định lý 1: Hệ thống điều khiển kín đối t−ợng với tham số khoảng (1) lμ ổn định bền vững khi vμ chỉ khi:

a Hệ thống kín danh định ổn định

b L(jω,a,b)∞ ≥ γ

* A

* A

* B A

A B

* A

* A

* B

R ' v I ' u I

R ' v I ' u I j I ' v R ' u R

I ' v R ' u R ) b , a , j ( L

Δ

− Δ

− Δ

−

− +

Δ + Δ

− Δ

+

−

=

Chứng minh

Giả sử với bộ tham số ai*,bi*hệ thống kín ổn định

Theo tiêu chuẩn Nyquist mở rộng đã trình bày ở trên, để hệ thống kín ổn định thì miền giá trị {C(jω).P(jω,a,b), ω∈[0,+∞)} không bao điểm (u,jv), ta có:

( ) ( )

jv u I I R R

I I j R R

A

* A A

* A

B

* B B

* B

ω

+

≥ Δ γ + Δ

γ +

Δ γ + + Δ γ +

(15)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥ Δ

ư Δ

ư Δ γ +

ư

ư

≥ Δ + Δ

ư Δ γ + +

ư

⇒

0 R ' v I ' u I R

' v I ' u I

0 I ' v R ' u R I

' v R ' u R

A A

B

* A

* A

* B

A A

B

* A

* A

* B

(16)

Từ (16) suy ra:

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

Δ

ư Δ

ư Δ

ư

ư Δ

+ Δ

ư Δ

+

ư

≤ γ

A A

B

* A

* A

* B A A

B

* A

* A

* B

R ' v I ' u I

R ' v I ' u I , I ' v R ' u R

I ' v R ' u R

Và suy ra điều phải chứng minh: L(jω,a,b)∞ ≥γ

Biểu thức (17) thể hiện về mặt đồ họa như sau: γ là bán kính hình vuông tiệm cận với

đường cong ở (14), đó chính là độ dự trữ tham số ổn định bền vững (robustness

margin) của hệ thống

) b , a , j (

L ω

Ví dụ:

Cho hệ thống điều khiển kín sau: Đối tượng

0 1 2

0 1

~

a s a s

b s b ) s ( P

+ +

+

Trong đó các tham số của đối tượng là tham số khoảng:

[ 3.5, 3.2, 2.5], a [9.5,10.2,10.5], b [1.7,1.9,2.3], b [2.7,3.1,3.3]

CBA

Bộ điều khiển

5 s 10 s

23 s 20 ) s ( C

2+ +

+

Khi đó đa thức đặc trưng danh định kín:Ak(s)=s4 +6.8s3 +45.2s2 +195.3s+94.7

Đa thức này có 4 nghiệm nằm ở nửa trái mặt phẳng phức:

; 5495 0 p

; 9024 4 p

; 8909 5 j 6741 0 p

; 8909 5 j 6741 0

Như vậy hệ thống danh định kín ổn định Đồ thị L ω(j ,a,b)như hình vẽ:

Từ hình vẽ ta có

I

I R

R 2 8

Δ

= Δ

=

=

phạm vi điều chỉnh tham số, đó chính là độ dự trữ

tham số ổn định bền vững (robustness margin)

iii Bμi toán xây dựng tiêu chuẩn ổn

định bền vững hệ thống điều khiển kín

đối tượng với tham số mờ

Giả sử có mô hình hệ thống điều khiển tự

động kín, phản hồi âm đơn vị (unity feedback) Đối tượng mờ và bộ điều khiển C(s) nằm trong mạch điều khiển hở của hệ thống kín Trong đó hàm truyền đạt đối tượng:

) q , s ( P

n m , a

s b s a

b

s b s b ) a , s ( A

) b , s ( B ) q , s ( P

0

~ 1

n 1 n

~ n n

~

0

~ 1

m 1 m

~ m m

~

~

~

~

~

~

~

≤ +

+ +

+ + +

=

=

ư

ư

ư

ư

(18)

Với véc tơ tham số mờ q (a,b); các tham số

~

~

~

~

= ; ai,i 1,n

~

= là các số mờ có hàm thuộc tam giác, dựa vào khái niệm về lát cắt λ có thể biểu diễn số mờ như một số khoảng như sau:

+

ư +

ư

ư +

Δ λ

ư + Δ λ

ư

ư

=

Δ Δ λ

ư +

= λ λ

= Δ Δ λ

=

i

* i i

* i

i i

* i i

i i i i i

a 1 a , a 1 a

a , a 1 a ) ( a ), ( a ) a , a , ( a

Tương tự với j:

~

b

+

ư +

ư

ư +

Δ λ

ư + Δ λ

ư

ư

=

Δ Δ λ

ư +

= λ λ

= Δ Δ λ

=

j

* j j

* j

j j

* j j

j j j j j

b 1 b , b 1 b

b , b 1 b ) ( b ), ( b ) b , b , ( b b

(20)

Khi đó chuyển sang miền tần số, các đa thức mẫu số và tử số có thể viết như sau:

+

ư

+

ư +

ư

ư

ư

Δ Δ λ

ư + + Δ Δ λ

ư +

= +

=

= ω Δ λ

ư + Δ

λ

ư

ư +

+ ω Δ λ

ư + Δ

λ

ư

ư + Δ λ

ư + Δ

λ

ư

ư

=

= + + ω +

ω

= ω

B B

* B B B

* B B B

n m

* m m

* m

1

* 1 1

* 1 0

* 0 0

* 0

0

~ 1 m 1 m

~ m m

~

~

~

I , I 1 I j R , R 1

R jI R

j b 1 b , b 1 b

j b 1 b , b 1 b b 1 b , b 1 b

b

) j ( b ) j ( b ) b , j ( B

(21)

CBA

trong đó:

b b

b I ,

b b

b R

b b

b I ,

b b

b R

b b

b I ,

b b

b R

5 5 3 3 1

B

4 4 2 2 0 B

5 5 3 3 1

B 4

4 2 2 0 B

5

* 5 3

* 3

* 1

* B 4

* 4 2

* 2

* 0

* B

+ ω Δ + ω Δ

ư ω Δ

= Δ +

ω Δ + ω Δ

ư Δ

= Δ

+ ω Δ + ω Δ

ư ω Δ

= Δ +

ω Δ + ω Δ

ư Δ

= Δ

+ ω + ω

ư ω

= +

ω + ω

ư

=

+

ư +

+ +

ư + +

ư +

ư

ư

ư +

ư

Tương tự:

= +

=

A A A

* A A A

~

~

I , I 1 I j R , R 1 R jI R ) a , i (

Với

a a

a I ,

a a

a R

a a

a I ,

a a

a R

a a

a I ,

a a

a R

5 5 3 3 1

A

4 4 2 2 0 A

5 5 3 3 1

A 4

4 2 2 0 A

5

* 5 3

* 3

* 1

* A 4

* 4 2

* 2

* 0

* A

+ ω Δ + ω Δ

ư ω Δ

= Δ +

ω Δ + ω Δ

ư Δ

= Δ

+ ω Δ + ω Δ

ư ω Δ

= Δ +

ω Δ + ω Δ

ư Δ

= Δ

+ ω + ω

ư ω

= +

ω + ω

ư

=

+

ư +

+ +

ư + +

ư +

ư

ư

ư +

ư

(24)

Nh− vậy tại mỗi tần số ω>0, đặc tính tần số đối t−ợng mờP(s,q) là miền giá trị:

+

− +

−

Δ Δ λ

− + + Δ Δ λ

− +

Δ Δ λ

− + + Δ Δ λ

− +

= +

+

=

A A

* A A A

* A

B B

* B B B

* B A A

B B

~

~

I , I 1 I j R , R 1 R

I , I 1 I j R , R 1

R jI R

jI R ) q , s

(

Khi đó tính ổn định bền vững của hệ thống đ−ợc đánh giá qua tiêu chuẩn sau:

Định lý 2: Hệ thống điều khiển kín đối t−ợng với tham số mờ (18) lμ ổn định bền vững khi

vμ chỉ khi:

a Hệ thống kín danh định ổn định

b L(jω,a,b)∞ ≥γ

Trong đó: L(jω,a,b)=γ1(ω)+γ2(ω)

− +

− − Δ + Δ Δ

+

−

= ω γ

A A

B

* A

* A

* B 1

I ' v R ' u R

I ' v R ' u R ) ( nếu RB* −u'R*A +v'I*A >0 (26)

Δ + Δ

− Δ

+

−

=

A A

B

* A

* A

* B

I ' v R ' u R

I ' v R ' u R

nếuR*B−u'R*A +v'I*A <0

+ +

−− Δ − Δ Δ

−

−

= ω γ

A A

B

* A

* A

* B 2

R ' v I ' u I

R ' v I ' u I ) ( nếu I*B−u'I*A −v'R*A >0 (27)

Δ

− Δ

− Δ

−

−

=

A A

B

* A

* A

* B

R ' v I ' u I

R ' v I ' u I

nếuIB* −u'I*A −v'R*A <0

Chứng minh

Xét tại một điểm cố định bất kỳ trên mặt phẳng phức M=u+jv với biên độ hữu hạn Rõ ràng

điểm M này nằm trong miền giá trị Nyquist C(j )P(j ,q) khi và chỉ khi tồn tại giá trị sao cho:

~

ω

CBA

' jv ' u ) j ( C

jv u ) q , j ( P jv u ) q , j ( P ) j ( C

~

~

+

= ω

+

= ω

⇒ +

= ω

Từ đó rút ra:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

Δ Δ λ

− + +

Δ Δ λ

− +

= Δ Δ λ

− +

Δ Δ λ

− +

− Δ Δ λ

− +

= Δ Δ λ

− +

⇒

+

= Δ Δ λ

− + + Δ Δ λ

− +

Δ Δ λ

− + + Δ Δ λ

− +

+

− +

− +

−

+

− +

− +

−

+

− +

−

+

− +

−

A A

* A A

A

* A B B

*

B

A A

* A A A

* A B

B

*

B

A A

* A A A

*

A

B B

* B B B

*

B

R , R 1 R ' v I , I 1 I ' u I , I 1

I

I , I 1 I ' v R , R 1 R ' u R , R 1 R

' jv ' u I , I 1 I j R , R 1

R

I , I 1 I j R , R 1

R

) (29)

Do đó để Đồ thị Nyquist không bao điểm (-1, j0) thì:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

Δ Δ λ

− + +

Δ Δ λ

− +

= Δ Δ λ

− +

∉

Δ Δ λ

− +

− Δ Δ λ

− +

= Δ Δ λ

− +

∉

⇒

+

− +

− +

−

+

− +

− +

−

A A

* A A

A

* A B

B

*

B

A A

* A A A

* A B

B

*

B

R , R 1 R ' v I , I 1 I ' u I , I 1 I

0

I , I 1 I ' v R , R 1 R ' u R , R 1 R

0

(30)

Cuối cùng:

( ) ( ) [ ( )( ) ]

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

Δ

ư Δ

ư Δ Δ

ư Δ

ư Δ λ

ư +

ư

ư

∉

Δ + Δ

ư Δ Δ + Δ

ư Δ λ

ư + +

ư

∉

ư

ư + + +

ư

+

ư +

ư +

ư

A A

B A A

B

* A

* A

* B

A A

B A A

B

* A

* A

* B

R ' v I ' u I , R ' v I ' u I 1 R ' v I ' u I 0

I ' v R ' u R , I ' v R ' u R 1

I ' v R ' u R 0

(31)

Từ đó rút ra điều phải chứng minh

Ví dụ

Cho hệ thống điều khiển kín sau: đối tượng

0 1 2

0 1

~

a s a s

b s b ) s ( P

+ +

+

Trong đó các tham số của đối tượng là tham số mờ Trong đó có các hàm thuộc tam giác

có dạng:

[ 3.5, 3.2, 2.5], a [9.5,10.2,10.5], b [1.7,1.9,2.3], b [2.7,3.1,3.3]

Bộ điều khiển

5 s 10 s

23 s 20 ) s ( C

2+ +

+

được hệ thống danh định kín ổn định

7 94 s 3 195 s 2 45 s 8 6 s ) s (

Đồ thị L ω(j ,a,b)như hình vẽ bên:

CBA

iv Kết luận

Từ đồ thị có γ=0.5 Điều đó có nghĩa

là hệ thống ổn định với độ dự trữ ổn định

(robustness margin) là 0.5

Mục tiêu đặt ra của bài báo là xác định

độ dự trữ ổn định tham số của đối tượng điều

khiển trong hệ thống, và mối liên hệ giữa độ

dự trữ ổn định với độ mờ thông tin về đối

tượng Định lý 2 cho phép xác định trực tiếp

độ dự trữ ổn định của đối tượng điều khiển

mờ (18) Ví dụ minh họa xét trường hợp hàm thuộc tham số có dạng tam giác, các chứng minh của định lý 2 vẫn đúng khi hàm thuộc có các dạng khác như hình thang

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Hùng Lân, (1998) Khảo sát thiết kế hệ thống điều khiển tự động mờ Tuyển tập các báo cáo khoa

học VICA 3, 281 – 287

[2] Lê Hùng Lân, (1998) Robust stability criterion for automatic control system with fuzzy logic controller,

Vietnam - Japan bilateral symposium on fuzzy systems and applications, 666-669

[3] Lê Hùng Lân, (1999) ổn định tuyệt đối của hệ phản hồi mờ có chứa bất định tham số Kỷ yếu Hội nghị

ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất, 227-234

[4] Lê Hùng Lân, (2000), Phân tích ổn định hệ thống điều khiển mờ trên cơ sở tính thụ động hệ thống

Tuyển tập các báo cáo khoa học VICA4, 259-264

[5] FUZZY SETS AND SYSTEMS SPECIAL ISSUE, (2003), “Interfaces between fuzzy set theory and

interval analysis”, V.135

[6] BONDIA J., PICO J., (2003) Analysis of linear systems with fuzzy parametric uncertainty Fuzzy Sets and Systems, V.135 81-121

[7] TSYPKIN YA.Z, POLYAK B.T (1991), Frequency domain criteria for l p -robust stability of continuous

linear systems IEEE Trans Automat Control V.36 1464-1469

[8] ЛE ХYHΓ ЛAH, (2005), Анализ робастной устойчивости систем с нечёткими параметрами),

Автоматика и Телемеханика,N2

[9] ЛE ХYHΓ ЛAH, (1993), Модифицированный частотный критерий робастной устойчивости

замкнутых систем, Автоматика и Телемеханика 119-130

[10] Lê Hùng Lân, Lê Thị Tuyết Nhung Đánh giá độ dự trữ ổn định hệ thống điều khiển đối tượng mờ,

Tuyển tập VICA6

[11] Lê Hùng Lân, (1997) ổn định hệ thống điều khiển logic mờ Thông báo khoa học các Trường Đại học

Điện - Điện tử - Tự động hoá, 49 - 55♦

CBA