Vũ quý ánh Bộ môn Địa Kỹ thuật Khoa Công trình Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Bμi báo đã ứng dụng phương pháp thử Monte Carlo trong phân tích xác suất độ ổn định của bờ dố
Trang 1ứng dụng tính toán xác suất trong phân tích ổn định bờ dốc
KS trần Trung dũng ThS Vũ quý ánh
Bộ môn Địa Kỹ thuật Khoa Công trình Trường Đại học Giao thông Vận tải
Tóm tắt: Bμi báo đã ứng dụng phương pháp thử Monte Carlo trong phân tích xác suất độ
ổn định của bờ dốc vμ đưa thêm các chỉ số để đánh giá độ ổn định của bờ dốc
Summary: The paper presents the application of the Monte Carlo test to probability
analysis of the slope stability and proposes indexes to assess it
I Đặt vấn đề
Đánh giá độ ổn định bờ dốc thông qua hệ số an toàn dựa trên một tập hợp cố định các điều kiện và tham số vật liệu Nếu hệ số an toàn lớn hơn 1 bờ dốc ổn định, Ngược lại nếu hệ số an toàn nhỏ hơn 1 bờ dốc được coi như mất ổn định Câu hỏi đặt ra là "bờ dốc có mức độ ổn định như thế nào?" không thể trả lời được Quan điểm xác suất cho biết được mức độ ổn định của bờ dốc Phân tích xác suất cho phép sử dụng các giá trị đầu vào khác nhau và nó ảnh hưởng đến xác suất phá hoại của bờ dốc
CT 2
II Phân tích xác suất độ ổn định bờ dốc bằng phương pháp Monte Carlo
1 Phương pháp Monte Carlo
Phương pháp Monte Carlo tuy đơn giản nhưng khối lượng tính toán rất lớn và phù hợp với máy tính tốc độ cao Nhìn chung, việc cài đặt phương pháp theo các bước sau:
* Lựa chọn thủ tục quyết định như phương pháp Spencer hoặc phương pháp phần tử hữu hạn
* Quyết định các giá trị đầu vào sẽ dùng để dựng mô hình xác suất và biểu diễn các biến
đó theo mô hình phân bố chuẩn sử dụng giá trị trung bình và độ lệch chuẩn
* ước lượng các giá trị mới tiếp theo cho các tham số và xác định giá trị hệ số an toàn một
số lần
* Xác định một số thống kê để tính hệ số an toàn, mật độ xác suất phân bố của bài toán Trong tính toán ổn định bờ dốc, mặt trượt nguy hiểm (tới hạn) đầu tiên được xác định dựa trên giá trị trung bình của các tham số đầu vào thông qua các phương pháp cân bằng giới hạn
và phần tử hữu hạn Phân tích xác suất được tiến hành sau đó trên mặt trượt nguy hiểm, sử
Trang 2dụng các tham số đầu vào khác nhau Các tham số đầu vào này giả định phân bố chuẩn với giá
trị trung bình và độ lệch chuẩn do người dùng đưa vào
Với mỗi phép thử Monte Carlo, tham số đầu vào được dựa trên số ngẫu nhiên Hệ số an
toàn sau đó được tính thông qua các giá trị của tham số đầu vào Cũng với giả thiết hệ số an
toàn có phân bố chuẩn, xác định giá trị trung bình, độ lệch chuẩn cho nó Hàm phân bố xác
suất nhận được từ việc chuẩn hóa đường cong
Số phép thử Monte Carlo trong phân tích phụ thuộc vào số biến và xác suất phá hoại mong
đợi Nhìn chung, số phép thử cần tiến hành tăng lên khi số biến tăng hoặc xác suất phá hoại
mong muốn giàm đi Thông thường phải tiến hành hàng nghìn phép thử Monte Carlo khi phân
tích xác suất cho độ ổn định bờ dốc
2 Biến tham số, hàm phân bố chuẩn và sinh số ngẫu nhiên
a) Biến tham số
Đất có các chỉ tiêu cơ lý thay đổi theo từng vị trí trong nền Sự khác nhau xuất hiện thậm
chí ngay trong các lớp đất nhìn bề ngoài có vẻ đồng nhất Tính bất ổn định của đất là nguyên
nhân chính tạo nên sự không chắc chắn khi tính độ ổn định bờ dốc Các kết quả thí nghiệm đối
với đất tự nhiên cho thấy các thông số về đất có thể được coi như các giá trị ngẫu nhiên tuân
theo luật phân bố chuẩn (Lumb, 1966, Tan, Donald and Melchers, 1993)
Như vậy ta có thể coi sự khác nhau của tham số đầu vào là theo luật phân bố chuẩn và
bao gồm:
* Các tham số vật liệu liên quan đến nhiều mô hình độ bền, bao gồm cả trọng lượng thể
* Các điều kiện áp lực nước lỗ rỗng;
* Độ lớn của lực ngoài;
b) Hμm phân bố chuẩn
Hàm phân bố chuẩn, thường được coi như hàm phân bố Gauss, được dùng chủ yếu để
miêu tả sự biến thiên của tham số đầu vào trong phân tích xác suất Phân bố chuẩn khá thịnh
hành vì nhiều hệ thống đo lường vật lý cho kết quả gần với một đường cong chuẩn (đường cong
đối xứng) Hàm phân bố chuẩn có thể biểu diễn bằng biểu thức toán học như sau:
2
2
2
πσ
) x (
-; - ∞ < x < ∞
trong đó: f(x) - hàm tần suất;
σ - độ lệch chuẩn;
μ- giá trị trung bình
Đường cong chuẩn thường có dạng vòm đối xứng với giá trị trung bình ở chính giữa Một
đường cong như thế hoàn toàn xác định khi giá trị trung bình, μ, và độ lệch chuẩn, đều biết σ
Về lý thuyết, đường cong này không bao giờ tiếp xúc với trục x và f(x) sẽ luôn khác 0 trên
Trang 3toàn bộ khoảng [-∞; + ∞]
Toàn bộ miền nằm dưới đường cong đều bằng 1 Do đó, miền nằm dưới đường cong cho một khoảng của x biểu diễn xác suất nhận được trong khoảng đó Đường cong chuẩn có một
đặc điểm là miền nằm dưới đường cong giữa trung vị và bất kỳ điểm nào chỉ phụ thuộc vào số lần của độ lệch chuẩn kể từ trung vị
Ví dụ: vùng hoặc xác suất của một gía trị, x, nằm giữa ± 1σ là 68.26%, giữa ± 2σlà 95.44%, giữa 3σ là 99.72%, giữa ± 4σlà 99.99% và giữa ± 5σ là xấp xỉ 100% Như vậy cường
độ lực dính trung bình của đất có thể giả thiết là 30kPa với độ lệch chuẩn là 5kPa Điều đó có nghĩa là với 100 mẫu đất, 68.26% mẫu sẽ có giá trị nằm giữa 25 và 35kPa, và 95.44% mẫu sẽ
có giá trị nằm giữa 20 và 40kPa
c) Sinh số ngẫu nhiên
Cơ sở của phương pháp Monte Carlo là sinh số ngẫu nhiên các tham số đầu vào dùng cho mô hình xác định Các số ngẫu nhiên được sinh từ một hàm phân bố đồng nhất có giá trị nằm trong khoảng [0;1] Để sử dụng các số ngẫu nhiên được sinh đồng nhất trong tính toán tham số
đầu vào phân bố chuẩn, cần thiết chuyển từ số ngẫu nhiên đồng nhất sang ngẫu nhiên phân bố chuẩn Tiến hành chuẩn hóa được thực hiện thông qua phương trình Box và Muller:
) R sin(
) R ln
N= ư2 1 2π 2
trong đó: N - số ngẫu nhiên chuẩn hóa
R1 - số ngẫu nhiên đồng nhất 1
CT 2
R2 - số ngẫu nhiên đồng nhất 2
Phương trình chuyển đổi đòi hỏi sinh ra hai số ngẫu nhiên đồng nhất Số ngẫu nhiên chuẩn hóa có thể được xem như độ lệch chuẩn trung bình trên đường cong đó gía trị trung bình 0 và độ lệch chuẩn là 1
3 Đánh giá các thông số đưa vào
Tại thời điểm đầu của mỗi phép thử Monte Carlo, tất cả các biến đầu vào bao gồm ứng suất cắt, lực tập trung, áp lực nước lỗ rỗng được định lượng dựa trên trung vị, , độ lệch chuẩn
μ
σvà số ngẫu nhiên chuẩn hóa N
Trong tính toán ổn định mái đất, phương trình cập nhật (lượng giá) các tham số là:
P = μ+ Nσ Trong đó P là giá trị thử mới của tham số nhất định với một độ lệch chuẩn
Ví dụ: giả thiết lực tập trung có giá trị trung bình là 300kN và độ lệch chuẩn 25 kN Trong mỗi phép thử Monte Carlo, nếu số ngẫu nhiên là - 2.0, độ lớn lực tập trung dùng kiểm tra sẽ là 250kN
Phương trình được sử dụng để ước lượng tham số ứng suất cắt, lực tập trung, các điều kiện
áp lực nước mới Tuy nhiên, trong trường hợp áp lực nước lỗ rỗng giá trị kiểm tra tiếp theo của
áp lực nước lỗ rỗng được giới hạn không vượt quá bề mặt trượt
Trang 44 Phân tích thống kê
Giả sử rằng các phép thử hệ số an toàn là phân bố chuẩn Kết quả, phân tích thống kê có
thể dùng để xác định trung vị, độ lệch chuẩn, hàm mật độ xác suất và phân bố xác suất của bài
toán ổn định bờ dốc Phương trình được dùng trong phân tích thống kê như sau:
Giá trị trung bình của hệ số an toàn μ:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
μ ∑
=
n
F
n
i i 0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
μ
ư
∑
=
n
) F (
n
i i 0
2
2
2
2
πσ
) F (
e ; - ∞ < F < ∞
) F ( F
2 2
2
2
σ
μ
ư
∞
ư∫ ưπσ
n - số phép thử hệ số an toàn;
F - hệ số an toàn;
Ví dụ về hàm mật độ xác suất hàm phân bố xác suất tương ứng trình bày trong hình dưới
đây:
III Xác suất chỉ số phá hoại vμ tin cậy
Ta thấy xác suất phá hoại là xác suất của việc nhận một hệ số an toàn nhỏ hơn 1 Nó được
Trang 5xác định bằng cách lấy tích phân vùng nằm dưới hàm mật độ xác suất với hệ số an toàn nhỏ hơn 1 Xác suất phá hoại có thể được tính theo hai cách:
* Nếu mặt dốc được xây dựng nhiều lần, xác suất sẽ bằng tỷ lệ phần trăm phá hoại của các lần đó
* Xác suất phá hoại bằng độ tin cậy khi thiết kế
Cách tính thứ nhất liên quan đến các dự án với cùng một bờ dốc được xây dựng nhiều lần trong khi cách thứ hai liên quan đến các dự án mà mỗi thiết kế chỉ dùng cho một bờ dốc và nó
có thể hỏng hoặc không Vì thế, xác suất phá hoại là chỉ số hữu ích cho biết mức độ ổn định thực tế của bờ dốc
Không có mối quan hệ trực tiếp giữa hệ số an toàn và xác suất phá hoại Nói cách khác, một bờ dốc với hệ số an toàn cao có thể chưa chắc đã ổn định hơn bờ dốc có hệ số an toàn thấp hơn
Ví dụ: Một bờ dốc với hệ số an toàn 1.5 và độ lệch chuẩn 0.5 sẽ có xác suất phá hoại cao
hơn bờ dốc với hệ số an toàn 1.2 và độ lệch chuẩn 0.1
Chỉ số tin cậy cung cấp nhiều ý nghĩa hơn khi đo độ ổn định so với hệ số an toàn Chỉ số tin cậy (β )được suy từ(μ )và độ lệch chuẩn (σ )của các phép thử hệ số an toàn:
β= σ
ư
Chỉ số tin cậy có quan hệ với xác suất phá hoại thông qua hàm phân bố xác suất Mối quan hệ của chỉ số tin cậy với xác suất phá hoại trong phân bố chuẩn của hệ số an toàn
CT 2
1
0.1
0.001 0.0001 0.01
Chỉ số tin cậy
Hμm quan hệ xác suất phá hoại vμ chỉ số tin cậy với hệ số an toμn phân bố chuẩn
IV Kết luận
Trên cơ sở phân tích xác suất ổn định bờ dốc cho ta thấy:
- Hệ số an toàn thực tế chỉ cho biết mức độ nguy hiểm hiện tại của bờ dốc đất một cách tương đối Nó không cho biết mức độ nguy hiểm hiện tại của bờ dốc do các tham số đầu vào khác nhau
Trang 6- Với phân tích xác suất, hai chỉ số hữu ích để đánh giá độ ổn định và mức độ nguy hiểm
của bờ dốc đó là xác suất phá hoại và chỉ số tin cậy
Tài liệu tham khảo
[1] Lý thuyết xác suất và thống kê Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật, Hà nội 1995
[2] Phương pháp thống kê trong cơ học xây dựng Nhà Xuất bản Xây dựng, 1965
[3] Các phương pháp lý thuyết xác suất và lý thuyết độ tin cậy trong tính toán công trình Nhà xuất bản
Xây dựng, 1982 Ă
CT 2