Phân tích mạch điện tuyến tính phức tạp theo hàm sơ đồ kết hợp với lý thuyết mạng bốn cực sử dụng máy tính TS.. lê mạnh việt Bộ môn Trang bị điện - Điện tử Trường Đại học Giao thông Vậ
Trang 1Phân tích mạch điện tuyến tính phức tạp theo hàm sơ đồ kết hợp với lý thuyết mạng bốn cực
sử dụng máy tính
TS lê mạnh việt
Bộ môn Trang bị điện - Điện tử Trường Đại học Giao thông Vận tải
Tóm tắt: Tác giả nghiên cứu phương pháp xác định các thông số mạng bốn cực dựa theo
hμm sơ đồ viết cho ma trận dẫn nạp nút của mạch điện tuyến tính phức tạp Bμi báo đưa ra
được các biểu thức để phân tích mạch điện trên máy tính
Summary: The Author studies a method of determining Two-Ports network 's parameters,
reling on matrix algebra functions of node admittance matrix for complex linear circuit The
paper introduces expressions appling for analysis of the circuit on computer
i Đặt vấn đề dạng bμi toán
CT 2
Một mạch tuyến tính phức tạp khi chỉ cần xét hai cửa để truyền năng lượng hoặc tín hiệu đã
có những phương pháp giải truyền thống Việc xác định các thông số mạng hai cửa (bốn cực)
với sơ đồ mạch đã cho có hai cách thông dụng Một là dựa vào ý nghĩa các thông số mạng bốn
cực (Aik, Zik,Hik ) để viết các hệ phương trình và rút ra chúng Thứ hai là xác định các thông số
thông qua các chế độ đặc biệt của mạch (ngắn và hở mạch các cửa) Nếu mạch điện cho trước
là phức tạp (hàng trăm nhánh, vài chục đỉnh và mắt lưới) thì công việc trên sẽ rất khó khăn phức
tạp Phương pháp chắp nối các mạng bốn cực đơn giản lại với nhau chỉ ứng dụng có hiệu quả
đối với vài dạng mạch điện nhất định Vì thế tác giả đưa ra một phương pháp mới, có nhiều ưu
điểm, nhất là khi sử dụng nó trên máy tính Đó là phương pháp coi mạch điện phức tạp là một
mạng hai cửa (bốn cực) để truyền năng lượng hoặc tín hiệu Sau đó xác định các thông số
mạng bốn cực, nhưng chỉ cần dựa vào ma trận dẫn nạp nút của mạch với một vài biến đổi trong
chúng, ứng với chế độ hở và ngắn mạch cửa vào và cửa ra Những biến đổi này dễ dàng tiêu
chuẩn hóa khi phân tích và lập chương trình giải trên máy tính Trình tự các bước là rất rõ ràng
với các công thức lập sẵn là bất biến không phụ thuộc vào dạng phức tạp của sơ đồ mạch
điện đã cho
2 Nội dung của phương pháp gồm một số bước
2.1 Bước 1: Theo yêu cầu với sơ đồ mạch điện đã có cần xác định rõ hai cửa vào và ra
ứng với quá trình truyền năng lượng hoặc thông tin Từ đó rút nhánh cửa vào và cửa ra khỏi
mạch phức tạp để mạch điện còn lại là mạng bốn cực thụ động thể hiện trên hình 1a và b,
Trang 2i k
a b a)
Hình 1 Mạch điện phức tạp vμ mạng 4 cực tương đương
Đánh số hoặc kí hiệu chính xác đối với mọi phần tử nhánh và đỉnh trong mạch phức tạp,
đặc biệt đối với các nhánh, đỉnh vào và ra
2.2 Bước 2: Xác định ma trận dẫn nạp nút của mạch phức tạp theo biểu thức
[YD] = [A].[YN].[A]T, (1)ở đây: [YN] = là ma trận tổng dẫn nạp nhánh (chỉ có
đường chéo) mạch phức tạp theo một thứ tự phù hợp ma trận chắp nối mạch [A]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
N 2 1
Y 0
Y
0 Y
[A] là ma trận chắp nối mạch có số cột đánh số là thứ tự các nhánh tương ứng với ma trận dẫn nạp nhánh ở trên Số hàng của ma trận [A] là số đỉnh của mạch điện với thứ tự tự chọn nhưng không thay đổi trong quá trình tính toán
Hình 2 Mạng 4 cực kết hợp với phương trình
điện thế nút
Nếu chọn điện thế tại một đỉnh làm mốc
có ϕj = 0 thì trong [A] mất hàng đó đi, vậy hạng
của [A] là D-1 với D là số đỉnh và N là số
nhánh của mạch điện Trong phương pháp
này chọn chuẩn một đỉnh của nhánh vào (cửa
vào) bằng không, ϕj = 0 ở hình 1 b, hình 2 là
sơ đồ tương đương với không gian đỉnh.[A]T là
ma trận chuyển vị của [A]
CT 2
2.3 Bước 3: Xác định hàm sơ đồ ở các
chế độ đặc biệt của mạch điện theo ma trận dẫn nạp nút
a Chế độ hở mạch ở cửa ra của mạng bốn cực được xác định với Im=0
Cửa ra hở mạch làm cho ma trận dẫn nạp nhánh của mạch [YN] biến thành [YN] Vh (với ký hiệu V là nhìn từ cửa vào có dẫn nạp nhánh YV khi hở mạch cửa ra ,hở mạch ứng với kí hiệu h) Trong [YN] Vh mất đi dẫn nạp nhánh Ym (nhánh ở cửa ra) Cửa ra hở mạch làm cho ma trận chắp nối [A] trở thành [A]Vh Trong [A]Vh mất đi cột thứ m ứng với nhánh ra Ym Ma trận dẫn nạp nút ở chế độ hở mạch cửa ra có biểu thức
[YD]Vh = [A]Vh.[YN]Vh [A]VhT (2)
Từ (2) theo tài liệu (1) xác định được trở kháng vào từ cửa vào V khi hở mạch cửa ra (nhánh m): Zh
VV = Vh Y
Vh jj
Δ
Δ
(3), ở đây ΔVhjj là phần phụ đại số của ma trận [YD]Vh ở hàng j và cột j (j ứng với
một đỉnh vào có ϕj ≠ 0 của nhánh YV).ΔVhY là định thức của [YD]Vh
Trang 3b Chế độ mạch hở cửa vμo mạng bốn cực, I v = 0
Cửa vào hở mạch làm ma trận dẫn nạp nhánh [YN] mất dẫn nạp nhánh cửa vào YV, còn
ma trận chắp nối [A] sẽ mất đi cột thứ V ứng với nhánh YV (nhánh vào) Lúc đó ma trận dẫn
nạp nút ở chế độ hở mạch cửa vào có biểu thức
[YD]mh = [A]mh.[YN]mh [A]mhT (4)
ở đây m ứng với kí hiệu của nhánh ra Ym khi nhìn từ đó với nhánh vào hở mạch Từ (4)
xác định được trở kháng vào nhìn từ cửa ra m, khi hở mạch cửa vào (nhánh V)
Zh
ll
mh lk
mh kk mh Y
2 1
Δ + Δ
ư Δ
ở đây ΔmhY là định thức của [YD]mh,
mh ll mh
lk
mh
kk,Δ ,Δ
ứng với nhánh ra m được nối bởi hai đỉnh k và l
c Chế độ ngắn mạch ở cửa vμo của mạng bốn cực: ϕj.=0
Lúc này vì thế ϕi đã chọn bằng “không” nên trong ma trận chắp nối [A] sẽ mất đi hàng thứ j
(đỉnh j đầu vào) và cột sẽ mất đi ở số thứ tự cột V (nhánh vào ký hiệu Yv) ở ma trận dẫn nạp
nhánh [YN] sẽ mất đi dẫn nạp nhánh YV (cửa vào) Khi đó ma trận dẫn nạp nút ở chế độ ngắn
mạch cửa vào có biểu thức :
[YD]m,ng = [A]m,ng [YD]m,ng [A]T
m,ng (6)
CT 2
ở đây ký hiệu m thể hiện mạng 4 cực nhìn từ cửa ra vào mạng khi ngắn mạch cửa vào YV
(kí hiệu ng là ngắn mạch) Từ (6) xác định được trở kháng vào nhìn từ cửa ra m khi ngắn mạch
của vào (nhánh V)
ll ng , m lk ng , m kk ng , m y
ng
Δ
=
(7)
ở đây ΔmKK,ng là định thức của [YD]m,ng; Δmkk,ng,Δmlk,ng,Δmll,nglà phần phụ đại số của [YD]m,ng
2.4 Bước 4: Tính toán của hệ số Aik của mạng 4 cực
có thể xác định được các hệ số A
h VV
ng
mm
A11 =
ng mm h
mm
h VV Z Z
Z
ư , A12 = A11 Z
ng
mm; A21 =
h VV
11
Z
A
; A22 = A11
h VV
h mm
Z
Z
(8)
Hệ số Aik ứng với phương trình sau:
Trang 4⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
m 22 m 21 v
m 12
11
I A U A I
I A U A U
(9)
nó phù hợp với mạng 4 cực hình 1 và 2
Việc sử dụng phương trình dạng [A]ik (9), hoặc biến đổi sang các dạng khác (Z), [H] rất quen thuộc Song từ [A]ik đễ dàng phân tích được mạch điện
3.Ví dụ ứng dụng
Cho mạch điện tuyến tính phức tạp có graf của nó vẽ ở hình 3 Với tín hiệu vào ở nhánh 12
và nhánh thu tín hiệu là nhánh 24 hãy phân tích mạch điện theo phương pháp vừa trình bày
CT 2
Hình 3 Mạng điện phức tạp với 1 nguồn vμo, cần tìm 1 đáp ứng ra
Giải bài toán: Bước 1: Tách nhánh Y12, Y24 ra khỏi mạch điện, phần còn lại là mạng 4 cực, cần phải tìm Aik của nó, như hình 4
Đánh số nhánh từ Y1 đến Y28, và 16 đỉnh, vì sự đặc biệt của nhánh vào và ra nên trên hình
vẽ ký hiệu các đỉnh j và i là đỉnh của nhánh vào, đỉnh k và l là hai đỉnh của nhánh ra, chọn thế ϕi
= 0 Chiều vẫn hiểu là lập được nó dòng điện trên các nhánh phải chọn đầy đủ để lập ma trận chắp nối [A] ,nhưng ở ví dụ này không đánh dấu hết vẫn hiểu là lập được nó
Hình 4 Mạng 4 cực tương đương với mạch phức tạp
Trang 5+ Bước 2: Xác định
[YN] ở đây đã sắp xếp
thứ tự có chú ý các dẫn
là nhánh ra – nhánh Y12
là nhánh vào, còn các
nhánh tiếp trên là các
nhánh liên quan tới các
đỉnh ra l (có nhánh Y28,
Y12) đỉnh k (Y23, Y11) và
nhánh vào liên quan
đỉnh J (Y13, Y1) Còn
là các nhánh hoàn
toàn không nối tới các nhánh vào và ra (các đỉnh j, k, l)
*
N
Y
[YN] =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
24 12 28 22 23 11 13 1
* N
Y
Y 0
Y Y Y Y Y
0 Y
Y
Ma trận chắp nối [A] được thành lập với số cột có thứ tự các nhánh phù hợp với cách sắp
mạch điện nhưng sắp xếp các đỉnh vào và ra ở cuối của ma trận theo thư tự j, k, l
Nhánh 1 13 11 23 22 28 12 24 Nút
[A] = [A] [Nút\Nhánh] =
k j i
A*
1 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 1
0
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ư
ư
ư
ư
ư
ư
CT 2
ở đây, A* là một phần của ma trận [A] nó tương ứng với ma trậnYN* của [YN] ở trên Cách
thành lập A* và YN* là quen thuộc với kĩ sư sẽ không dẫn giải ở đây
[YN] có 28 hàng và cột, [A] có 15 hàng và 28 cột
Bước 3: Xác định các hàm sơ đồ ở các chế độ đặc biệt của mạch
a Chế độ hở mạch cửa ra I 24 = 0
Lúc đó có các ma trận sau:
[A]12,h =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ư
ư
ư
ư
ư
0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1
*
o
o A
A*
A*
[YN]12,h=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
12 28 22 23 11 13 1
*
0
0 0
Y Y
Y o
Y Y Y Y
Y N
Trang 6[A]12,h : mất cột ứng với nhánh Y24, [YN]12,h : mất cả cột và hàng Y24
Từ đó tìm ra dạng [YD] 12,h = [A] 12,h [YN] 12,h [A]T
12,h
( )⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ +
+ +
28 22
23 11
12 13 1
T
*
* N
*
Y Y 0
0 0
0 Y
Y 0
0
0 0
Y Y Y 0
0 0
0 A
Y A
Theo biển thức (3) tìm đ−ợc hàm sơ đồ :
h , 12 Y
h , 12 jj h
12 , 12
Z
Δ
Δ
b Chế độ hở mạch cửa vμo:
Với I12 = 0 Lúc đó có các ma trận sau:
Nhánh 1 13 11 23 22 28 24
[A]24,h=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1
*
o
o A
; A*
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
24 28 22 23 11 13 1
*
0
0 0
Y Y
Y o
Y Y Y Y
YN
[YN]24,h=
CT 2
[A]24,h : mất cột ứng với nhánh Y12, [YN]24,h: mất cả hàng và cột Y12 Theo biểu thức (4) [YD] 24,h = [A] 24,h [YN] 24,h [A]T
24,h
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ +
−
− +
+ +
24 28 22 24
24 24
23 11
13 1
T
*
* N
*
Y Y Y Y
0 0
Y Y
Y Y 0
0
0 0
Y Y 0
0 0
0 A
Y A
Theo biểu thức (5) tìm Zh
24,24: Zh
24,24 = ( 24 , h)
ll h , 24 lk h , 24 kk h , 24 Y
2
Trang 7c Chế độ ngắn mạch cửa vμo ϕj = ϕi =0
Có các ma trận sau:
[YN]24,ng =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
24 28 22 23 11 13 1
*
0
0 0
Y Y
Y o
Y Y Y Y
YN
,
[A]24,ng=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ư
ư
ư
ư
ư
1 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0
0
*
A
A*
,
[YN]24,ng : mất cả cột và hàng Y12, [A]24,ng : mất hàng j và cột Y1
Theo (6) có [YD] 24,ng = [A] 24,ng [YN] 24,ng [A]T
24,ng
[YD]24,ng=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ +
ư
ư +
+
24 28 22 24
24 24
23 11
T
*
* N
*
Y Y Y Y
0
Y Y
Y Y 0
0 0
A Y A
CT 2
Từ (7) xác định tổng trở ngắn mạch cửa vào, ta có hàm sơ đồ:
Zng 24,24 = ( 24 , ng)
ll ng , 24 lk ng , 24 kk ng , 24 Y
2
+ Bước 4: Tính toán các hệ số Aik của mạng 4 cực
Theo các biểu thức (8) có:
A11 =
ng 24 , 24
h
24 , 24
h 12 , 12
Z Z
Z
ư ; A12 = A11 Z
ng 24,24; A21 =
h 12 , 12
11 Z
A
; A22 = A11
h 12 , 12
h 24 , 24
Z
Z
Các phép toán ma trận sẽ được thực hiện dễ dàng trên máy Chương trình giải có sơ đồ
thuật toán trên hình 5
4 Kết luận
ở phương pháp này có một vài thao tác kĩ sư khi xét mạch điện phức tạp là xác định cửa
vào và cửa ra, đánh số thứ tự các nhánh và nút,từ đó lập ma trận chắp nối [A] và ma trận dẫn
nạp nhánh [YN] Còn lại việc tính toán các biểu thức với các điều kiện khác nhau khi thay đổi kết
cấu ma trận dẫn nạp nhánh [YN] và ma trận chắp nối [A] đều thực hiện trên máy Hiện nay có
Trang 8thể sử dụng chương trình ứng dụng MATLAP để giải sẽ rất hiệu quả
Bắt đầu
Xác định các cửa vào ra
[YN] [A]
CT 2
Hình 5 Thuật toán giải mạch
Thuật toán tính các thông số mạng bốn cực (hai cửa) A1k từ ma trận chắp nối [A] và ma trận
một số hàm sẵn có trong MATLAB.Phương pháp này rất thuận lợi đối với những người nghiên cứu, thiết kế chế tạo để thực nghiệm, hiệu chỉnh, sửa chữa các mạch điện tuyến tính (hoặc giả tuyến tính) truyền năng lượng, tín hiệu trên hai cửa
Tài liệu tham khảo
[1] Ionkin P.A Treoricheckie acnovưi electrochecknhikie Macơva "Scola vưskia "1976
[2] Nguyễn Bình Thμnh Cơ sở lý thuyết mạch Đại học Bách Khoa Hà Nội 1971
[3] Lê Mạnh Việt Lý thuyết mạch điện Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội 2001
[4] Charles M.Close.The Analysis of Linear Circuits Harcourt, Brace & World , Inc.1966.Ă
Bỏ Y nhánh cửa ra
Bỏ cột ứng với nhánh ra
Bỏ cột ứng với nhánh vào
Bỏ cột Y nhánh vào và hàng ứng đỉnh vào
[YN]vh [A]vh
Bỏ Y nhánh vào
Bỏ Y nhánh vào
[YD]vh=[A]vh.[YN]vh.[A]T
vh [YD]mh=[A]mh.[YN]mh.[A]T
mh [YD]m,ng=[A]m,ng.[YN]m,ng.[A]T
m,ng
Zhmm=
mh Y
mh ll
mh lk
mh
Δ
Δ + Δ
ư Δ
Zng
mm=
ng , m Y
ng , m ll
Zh
VV =
Vh Y
Vh jj
Δ
Δ
Δ + Δ
ư Δ
A11 =
ng mm
h mm
h VV Z Z
Z
ư , A12 = A11 Z
ng
mm; A21 =
h VV
11
Z
A
; A22 = A11
h VV
h mm
Z
Z
Dùng Aik phân tích mạch
