Một số vấn đề về vành chính qui von neumann

Mở rộng y tuong nay, Von Neumann đã phát minh ra các vành chính qui sao cho có thê tọa độ hóa những đàn modular có phần bù, và một đàn ⁄ được tọa độ hóa bởi một vành chính qui £ nếu nó đ

Đỗ Lư Công Minh

VANH CHINH QUI VON NEUMANN

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

Thành phố Hồ Chí Minh — 2009

Đỗ Lư Công Minh

VÀNH CHÍNH QUI VON NEUMANN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRAN HUYEN

Thành phố Hồ Chí Minh — 2009

MUC LUC ooo eeccecscecescesesscescsecsccsseseeseesecsseseesecseeseeascaseacacacsecsaeseeseeeeseeneees 2 Cac qui wc va ki Wi 0 3

MO DAU ussssssssssssssssssssssssoosssssssssssnsscssssscsssssssssossssesssssnsssosssssssssssssssosessees 5

Chương 1 - CÁC KIÊN THỨC CƠ BẢN .- -s s+ § 1.1 Phần tử chính qui trong vành -22s2£z+- § 1.1.1 Khái niệm về phần tử chính qui -2-< §

2.1 Các tinh chất co bản của vành chính qui 16

2.2 Médun xa ảnh trên vành chính qui . - 5-55 <s+ 29 2.3 Vành chính qui Abel ¿+ + 5+ +++++£+x+e£exxezexeereeeererex 48

Chương 3 - MỘT SỐ VÀNH CHÍNH QUI ĐẶC BIỆT 62

3.1 Vành các ma trận vuông cấp ø trên một vành chính qui 62 3.2 Vành các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert 69

KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ . -° scsscssecssscssere 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO .cssscsssscsssssssescsssscsnscssnssssssscsssscsnescssssssneeess 79

" Hầu hết các vành trong luận văn được giả sử rằng kết hợp và có đơn vị,

các vành con và đồng cấu vành cũng được cho là có đơn vị Ta hay kí hiệu # là vành voi don vi 1

" Phép chiếu tự nhiên từ vành ® đến vành thương #⁄7 được cho bởi qui luật

xi>x=x+1

" Đôi khi miền nguyên được hiểu là không cần giao hoán

» Cho vành # và số nguyên đương ø, Ä⁄ „(®) là vành các ma trận vuông cấp

7 trên Â

" Với vành ® bắt kì, ta dùng kí hiệu 7„(R) để chỉ đàn các iđêan hai phía

của ® (được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm) và ta sử dụng kí hiệu Mod - R dé chỉ phạm trù tất ca R - médun phai

= Tat cả các môđun trong luận văn đều là môđun trên một vành có đơn vị Hầu hết chúng là các môđun phải, và đo đó các đồng cấu thường được viết về phía bên trái chúng Cụ thể, môđun phải 4 trên vành R duge

xem như là một môđun trái trên End,(4) - vành các tự đồng cấu của

nó

" Nếu 4 là R - môđun, kí hiệu 8 < 4 nghĩa là 8 là môđun con cua J, va ki

hiệu 8 < 4 nghĩa là 8 là môđun con thực sự của 4

Trong trường hợp đặc biệt, nếu # là vành thì:

1< Rạ: ï là iđêan phải của R

= Voi A, B la cac môđun:

As, B: A la médun con cốt yếu của 8, nghĩa là 4¬C+0 với moi môđun con C khác 0 của Ö

ban sao cua A

Tương tự, nếu ø là một bản số vô hạn, z4 là tông trực tiếp của œ bản sao của A

" Với môđun 4 tùy ý, #4) là bao nội xạ của 44, nghĩa là môđun nội xạ bé

nhất sao cho 4 cốt yếu trong (4)

" Một R - môđun phải không suy biến Ä⁄ được hiểu theo nghĩa 3 là môđun

sao cho phần tử duy nhất của Ä⁄ bị linh hóa bởi một iđêan phải của R 1a

phần tử không.

Von Neumamn định nghĩa một vành chính qui là một vành ® với tính chất: với

mỗi phần tử øe R luén ton tai be R sao cho a=aba

Để phân biệt với những vành chính qui khác như chính qui Noether trong đại số giao hoán, lí thuyết các vành không giao hoán đã sửa đổi tên gọi và đưa

thêm “Von Neumann” vào tên gọi của loại vành đặc biệt này Tuy nhiên thực

sự có rất ít cơ hội nhằm lẫn hai khái niệm này bởi vì chúng rất hiếm khi được

nghiên cứu chung

Ví dụ điển hình về vành chính qui (Von Neumamn) là vành đầy đủ các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia

Chuyển động theo hệ tọa độ trong hình học xạ ảnh được nghiên cứu lại

trong thời gian này (1936) theo ngôn ngữ dàn, và Von Neumamn giới thiệu

vành chính qui như một công cụ đại số để nghiên cứu những dàn thuộc dạng này Dàn được Von Neumamn đặc biệt quan tâm được nảy sinh trong khi hợp tác làm việc với F.J.Murray để giải quyết các vẫn đề về đại số các toán tử trên một không gian Hilbert, mà sau này được biết đến với tên gọi đại số Von Neumann hay W” - đại số

Mặc dầu J” - đại số 4 trở thành vành chính qui chỉ khi 4 hữu hạn chiều, một vành chính qui có thể gán với 4 bằng cách làm việc với tập P(4) các phép chiếu, mỗi một phép chiếu trên 4 trở thành một lũy đẳng tự liên hợp Đối với W” - đại số hữu hạn 4, Murray và Von Neumamn sử dụng một vành chính qui # để “tọa độ hóa” P4) theo nghĩa P4) trở nên đẳng cấu tự

Mở rộng y tuong nay, Von Neumann đã phát minh ra các vành chính qui sao cho có thê tọa độ hóa những đàn modular có phần bù, và một đàn ⁄ được tọa độ hóa bởi một vành chính qui £ nếu nó đẳng cấu với dàn các iđêan phải

chính của & Như Von Neumann da chi ra, hầu hết các dàn modular có phần

bù có thể tọa độ hóa bởi một vành chính qui nào đó

Theo quan điểm lí thuyết các vành thuần túy, các vành chính qui được

xem như một chủ đề nghiên cứu bị lãng quên trong một quãng thời gian dài

Trong quyến sách kinh điển của Nathan Jacobson về lí thuyết vành:

“Structure of rings”, vành chính qui được đề cập đến chỉ trong một phần nhỏ

Tuy nhiên có thể nói rằng các vành chính qui có nhiều lợi ích xứng đáng để nghiên cứu, bởi vì chúng xuất hiện trong rất nhiều ngữ cảnh

Dùng những kiến thức đã học ở bậc Đại học và Sau đại học để tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác, với cách nhìn tổng quát hơn là một trong những mục tiêu quan trọng của học viên Ngay từ thuở sinh viên, khi làm luận văn tốt nghiệp bậc đại học, tác giả đã có địp tiếp xúc với vành chính qui Von Neumann voi dé tai “Vanh Chính Qui Von Neumann” Thế nhưng, với những hạn chế của một sinh viên lúc bấy giờ về Đại số đồng điều và các kiến thức về Đại số giao hoán, Đại số không giao hoán, tác giả đã gặp nhiều khó khăn

và chưa thể có một cái nhìn thật sự tổng quan về vành chính qui Von Neumamn Do vậy, sau khi đã được trang bị một số kiến thức mới từ khóa học

Sau đại học, tác giả quyết định tiếp tục nghiên cứu vành chính qui Von

Neumann voi mong muốn dùng những kiến thức vừa được học để tiếp tục

nghiên cứu vân đê.

Neumann” Đồng thời chú trọng việc cụ thể hóa những khái niệm liên quan vào các vành cụ thé và tìm hiểu các tính chất đặc trưng của khái niệm đó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

“_ Đối tượng nghiên cứu: Vành chính qui Von Neumann

" Phạm vi nghiên cứu: Lí thuyết vành và môđun

4 Ý nghĩa của việc nghiên cứu đề tài

Luận văn có thể xem như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên

hoặc những người mới bắt đầu quan tâm đến vành chính qui Von Neumann -

một đối tượng rất hay gặp trong nhiều ngữ cảnh khác nhau của đại số.

Mục đích của chương này là điểm lại một số khái niệm cơ bản và các kết quả đơn giản về vành chính qui Von Neumanmn Hầu hết các kiến thức được trình bày trong chương này được trích chủ yếu từ [3] theo quan điểm tóm tắt lại những kết quả chính đã đạt được khi nghiên cứu về vành chính qui Von Neumamn từ thuở luận văn sinh viên Do đó, ở đa số mệnh đề, các chứng minh không được trình bày lại

1.1 Phần tứ chính qui trong vành

1.1.1 Khái niệm về phần tử chính qui

Định nghĩa 1.1 Phần tử xe R được gọi là phan tử chính qui Von Neumann nếu tồn tại ae # sao cho xax =x

Nếu x là phần tử chính qui Von Neumann, ta còn nói vắn tắt x la phan tử

chính qui hay x chính qui

Ví dụ 1.2 a) Nếu # là vành chia thì mọi phần tử của R đều chính qui

b) Phần tử lũy đẳng là phần tử chính qui

Tiếp theo sau đây là các tính chất cơ bản nhất của phần tử chính qui trong một vành tùy ý

Mệnh đề 1.3 Phần tử xe®# là chính qui nếu và chỉ nếu iđêan phải (trái)

chính của ® sinh bởi x được sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, tức là x =eÄR

Ta kí hiệu tập tất cả các phần tử chính qui của vành # là Von(®)

Với mỗi vành Ẩ, tập Von(R) có tính chất ồn định đối với việc chọn phần

tt a cho mỗi phần tử chính qui x mà xax = x Cụ thé hon ta có:

Mệnh đề 1.4 Cho vành R và xe Von(R) Khi đó tồn tại ye Von(R) sao cho: xyx= y, yxy= y Phần tử y được gọi là phan £ứ ngược của x

Hiển nhiên một câu hỏi sẽ được đặt ra ngay tại đây là: Phần tử ngược của một phần tử chính qui có duy nhất không? Xét trong một vành chia & chẳng

hạn, ta thấy mỗi phần tử chính qui có ngược là duy nhất Trong lúc đó, đối với

phần tử lũy dang ee R, voi R là một vành tùy ý, ngoài phần tử ngược với nó

là chính nó chúng ta không thể kết luận nó còn có bao nhiêu phần tử ngược với nó Như sẽ thấy trong những phần tiếp sau của luận văn, khi xem xét vấn

đề này trong một số vành cụ thể, vấn đề duy nhất của phần tử ngược của một

phần tử chính qui trong vành phụ thuộc khá nhiều vào các tính chất của vành

đó Trong trường hợp chung nhất, ta có một kết quả cho phép mô tả mối liên

hệ cấu trúc các phần tử ngược của một phần tử chính qui như sau:

Mệnh đề 1.5 Cho vành R và xe Von(®) Chọn y là phần tử ngược của x

Nếu y'=y+s(1—xy)+(1—yx)t voi s,teR thì xy'x=x Ngược lại, nếu y' thỏa xy'x=x thì y' có dạng: y'= y+s(l—xy)+(l- yx)f

Ngoài ra, nếu y' có dạng y'= y+s(1—xy)+(1— yx)t thi điều kiện cần và đủ

để y'xy'= y' là (1— yx)(s+£—xs)(1— xy)=0, với mọi s € yRy, te Ry

Mệnh đề 1.5 mô tả cho ta một lớp đủ nhiều các phần tử ngược của một

phần tử chính qui Mối liên hệ giữa phần tử ngược y của phần tử chính qui x với phần tử chính qui x còn được thê hiện trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.6 Cho vành # và xe Von(#) Chọn y là phần tử ngược với x

Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:

(a) x+(I1-xy)®(I- yz) c Von(R)

(b) (—xy)#(I- yx) c Von(R)

(c) x+ RU- yx) c Von(R)

(d) x+(1—xy)R Cc Von(R).

Mệnh đề sau đây cho ta một điều kiện khá hữu ích để nhận biết một phần

tử chính qui Nó sẽ được sử dụng như một bổ đề hữu dụng trong các phép

chứng minh ở phần sau, cho nên ta tạm gọi nó là bổ đề 1.7

Bỗ đề 1.7 Cho vành R va x, ye R Néu x—xyx € Von(R) thi xe Von(R)

Về cấu trúc của Von(®), nói chung nếu không có thêm các điều kiện bổ sung cho vành # thì không có gì đáng nói Tuy nhiên, ta cũng có thông tin khá

lí thú sau:

Bằng cách áp dụng bố đề 1.7 va bé dé Zorn (vé tập sắp thứ tự), ta có thể chứng minh được rằng trong Von(#) có chứa một iđêan 1„(R) và idéan nay

“lớn nhất” theo nghĩa: vành thương ®/1, (R) không chứa iđêan khác 0 nằm reg trong Von(R/ J,,,(R)) reg

Mệnh đề 1.8 Mỗi vành R đều có một iđêan “lớn nhất” 7 (R) sao cho: reg

I,(R) reg < Von(R), 7_(R)+ reg Von(R)c Von(R) và vành thương ®/! (R) reg

không chứa iđêan khác 0 nằm trong Von(R/1,(R)) reg

1.1.2 Vanh Abel

Như đã nhận xét trong mục trước, nếu không có các điều kiện bổ sung cho vành # thì nói chung trên Von(#) không có một cấu trúc nào cả Mục này dành cho việc xét tới cấu trúc của Von(#), khi ® được bổ sung thêm các điều

kiện mới để trở thành một vành Abel Khái niệm về vành Abel được xác định

như sau:

Định nghĩa 1.9 Vành ® được gọi là 4ð! nếu mọi phần tử lũy đẳng của R

đều thuộc tâm của Ö

Ví dụ 1.10 a) Vành chia là vành Abel

b) Vành giao hoán là vành Abel

c) Tâm của vành R 1a vanh Abel

d) Néu R là vành không có phần tử lity linh khác 0 thì mỗi lũy

đẳng của R giao hoán với mọi phần tử của R, nói cách khác, ® là

vành Abel

Ngoài ra còn có một số ví dụ khác về vành Abel khi ta thêm vào điều kiện chính qui để chúng trở thành vành chính qui Abel - một đối tượng đáng quan tâm ở chương 2 Ta tạm dừng việc lấy các ví dụ về vành Abel để đưa ra

một điều kiện tương đương của nó:

Mệnh đề 1.11 Vành # là Abel nếu và chỉ nếu hai phần tử lũy đẳng bất kì của

® giao hoán được với nhau

Theo mệnh đề 1.11, khi làm việc với vành Abel, ta tập trung chủ yếu vào

các phần tử lũy đẳng Kết nối nhận xét này với mệnh đề 1.3 và các lưu ý ở

mệnh đề 1.4 ta trả lời được câu hỏi đặt ra trong phần nhận xét ngay sau mệnh

đề 1.4

Nếu # là vành bất kì, Von(R) chưa chắc là một nửa nhóm Chẳng hạn

như trong vành các số nguyên môđulô ø, ta khó mà mô tả nhiều về Von(Z, )

Nhưng trong trường hợp ® là vành Abel thì ta có kết quả sau:

Mệnh đề 1.12 Nếu R 1a vanh Abel thi Von(R) là một vị nhóm Hơn nữa mỗi

phần tử chính qui có một và chỉ một phần tử ngược với nó Khi đó Von(#) được gọi là vị nhóm ngược Ngược lại, nêu Von(®) là vị nhóm ngược thì R là

000=0, HII=I 444=4 555=5, 666=6, 999=9,

3

Trong Z,,;, 102 mỗi phần tử đều chính qui và có duy nhất một phần tử ngược với

nó Tuy nhiên: 28=82=6#I nên 2 và 8 không phải là nghịch đảo của

nhau, mặc dù 2 và 8 ngược nhau, duy nhất

Do đó ta thấy khái niệm phần tử ngược tuy là mở rộng của khái niệm

phần tử nghịch đảo nhưng không dễ thu hẹp khái niệm ngược về nghịch đảo

Trong [3], phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một nhóm Abel được xem xét khá cẩn thận Ta đã biết mỗi nhóm Abel có thể xem như một Z - môđun, vậy liệu các kết quả về phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một nhóm Abel có thể nào được chuyền sang vô điều kiện cho vành các tự đồng cầu của một R - môđun, trong đó R là vành có đơn vị tùy ý?

Khi ra soát lại các phép chứng minh ở [3], tuyệt nhiên không cần sử dụng đến bất kì một tính chất đặc biệt nào của các Z - môđun mà # - môđun tổng quát

không có Điều này cho phép ta đưa ra câu trả lời khẳng định, nghĩa là:

1.1.3 Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một # - môđun

Cho Ä⁄ là ® - môđun phái Xét vành các tự đồng cấu của Ä :

Endz(M) ={ƒ :M —> M | ƒ là R - đồng cấu}

Mục này dành cho việc xét các phần tử chính qui trong End (M⁄) Trước

hết, về đặc trưng của các phần tử lũy đẳng, là các phần tử chính qui đặc biệt

trong End,(M), ta có:

Mệnh đề 1.14 Phần tử ƒ eEnd,(M) là phần tử lũy đăng nếu và chỉ nếu

M =Imƒ®Ke, ƒ|„„=ld.

Từ đặc trưng cơ bản của phần tử lũy đẳng được xét tới trong mệnh đề 1.14, ta có thể chứng minh được đặc trưng của một phần tử chính qui trong End,(/), thể hiện trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.15 Phần tử ƒ eEnd,(M) là chính qui nếu và chỉ nếu tổn tại sự

phân tích A⁄ thanh cac tong truc tiép: M=M,®M,=M,®M, sao cho

F \u,:M, —> Mị là một đăng cầu va ƒ |„ :M; —> M⁄; là đồng cấu không

Mệnh đề 1.15 về đặc trưng của các phần tử chính qui trong End pM) cho ta các hệ qua đáng chú ý sau:

Hệ quả 1.17 Phần tử ƒ eEnd,(Ä⁄) là chính qui nếu và chỉ nếu Imƒ và

Kerf là các hạng tử trực tiếp của M

Đáng lẽ, để kết thúc mục này, ta đưa thêm một ví đụ nữa về các phần tử

chính qui, chẳng hạn khảo sát tính chính qui đối với các toán tử bị chặn trong

không gian Hilbert nhưng vì những lí do nhất định, ta sẽ bàn luận về chúng trong chương 3

Ở mục tiếp theo, ta nhắc lại một vài khái niệm cơ bản cùng các đặc trưng đơn giản nhất về vanh chinh qui Von Neumann

1.2 Vanh chinh qui Von Neumann

1.2.1 Định nghĩa và một số vi du

Định nghĩa 1.18 Vành ® được gọi là vành chinh qui (Von Neumann) nếu

mọi phần tử của nó là phần tử chính qui

Nghĩa là: R chính qui nếu va chi néu R= Von(R)

Từ định nghĩa vành chính qui, ta đễ dang suy ra các tính chất đơn giản sau:

Mệnh đề 1.19 Trong một vành chính qui, mỗi phần tử khác 0 hoặc khả

nghịch hoặc là ước của 0

Hệ quả 1.20 Nếu vành chính qui đồng thời là miền nguyên thì nó là trường Mệnh đề 1.21 Vành chính qui # là vành chia nếu và chỉ nếu R chi cé hai phần tử lũy đẳng tầm thường

Mệnh đề 1.22 Tích trực tiếp của một họ khác rỗng các vành chính qui là

vành chính qui

Mệnh đề 1.23 Ảnh đồng cấu của vành chính qui là vành chính qui Suy ra

tính chính qui được bảo toàn qua phép đẳng cấu và vành thương của vành chính qui cũng là vành chính qui

Ta đưa ra ba ví dụ về vành chính qui, trong đó hai ví đụ đầu tiên được

trích dẫn trong [3], ví dụ cuối thuộc về kinh điền

Ví dụ 1.25 Vành các ma trận vuông thực cấp ø là vành chính qui

Vi du 1.26 Cho K la trudng va S,, , S, là các tập con hữu hạn khác rỗng

cia K Cho X,, ,X, là ø biến và đặt P(X,)=[ [(X,—k) với mỗi

keS,

i=1, ,n Khi do vành thương KỊX,, , *X,]/(hŒ,), wees P(X,)) la vanh

chinh qui giao hoan

Ví dụ 1.27 Vành các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vecto trén một vành chia là vành chính qui

That vay, goi End,(V) là vành các phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ ƒ trên vành chia D Lấy ƒ e Enđ„(V) Khi đó Im ƒ là một không

gian con của ƒ nên ta có thể chọn một cơ sở (e,), „ của nó và bổ sung vào đó

(e,)„„ đề được cơ sở cia V

Với ¡e7 chọn ð, sao cho ƒ(,)=e, và đặt ƒ'(e,) =b,

Với ¡eJ' đặt ƒ '(e)=0 Do mỗi phép biến đổi tuyến tính hoàn toàn xác định

nếu biết ảnh của một cơ sở nên ƒ'e End DV)

Bay gid, voi moi xeV: f(x)elm/f nén #@)=} 2 y, Khi đó:

(Œ'/)Œ)= £7[Ss») =>, (4).,=Ð,ƒ(,).y, =Ð,s.»,= ƒŒœ)

ieJƑ ieJƑ ieJƑ ieJƑ

Do đó ƒÿ#'ƒ= ƒ.n

1.2.2 Các điều kiện tương đương của vành chính qui

Mệnh đề 1.28 Cho vành # Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:

(a) ® là vành chính qui

(b) Mỗi iđêan phải (trái) chính của # đều sinh bởi một lũy đẳng

(c) Mỗi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh của ® đều sinh bởi một lũy đẳng

Mệnh đề 1.28 cho ta một chú ý sáng giá khi nghiên cứu các vành chính qui: tập trung vào các phần tử lũy đẳng của chúng

Để phát biểu điều kiện tương đương tiếp theo, ta cần các phần tử lũy

đẳng với tính chất đặc biệt hơn - tính trực giao

Mệnh đề 1.29 Cho {,},.r„ là họ các lũy đẳng trực giao trong vành ® (nghĩa

li e.e, =0, Wiz j) thỏa Ÿ`¿ =1 Khi đó R là vành chính qui nếu và chỉ nếu

i=l

voi méi x €e,Re, ton tai Re, yee,Re, sao cho Re, xyx=x

Sử dụng mệnh đề trên, ta có thể chứng minh được vành các ma trận

vuông cấp ø trên một vành chính qui là vành chính qui Sau đó, bằng suy luận khá đơn giản, từ các điều kiện tương đương của vành chính qui, ta thu được các tính chất của vành con, iđêan, vành các thương của vành chính qui như đã

trình bày trong [3] Thế nhưng, các tính chất này chưa thực sự đầy đủ Cho nên, ta kết thúc mục này ở đây dé chuyên sang khảo sát một cách tổng quát và

ti mi hơn các tính chất của vành chính qui trong chương 2.

Chương 2 MỘT SÓ VÁN ĐÈ VÈ VÀNH CHÍNH QUI

Chương này dành cho việc mô tả các tính chất của vành chính qui và một

lớp các vành chính qui đặc biệt là vành chính qui Abel Thêm vào đó, các môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui và chính qui Abel cũng được xem xét khá kĩ đề làm nổi bậc lên vai trò của các phần tử lũy đẳng trong vành

chính qui

2.1 Các tính chất cơ bản của vành chính qui

Mục đích của mục này là giới thiệu vài tính chất cơ bản của vành chính qui Điểm nhấn quan trọng là đưa ra những điều kiện cần thiết để vành là vành chính qui Trong mệnh đề 1.28 ta đã chỉ ra tính chất cơ bản nhất và có nhiều ứng dụng rộng rãi của vành chính qui, bằng cách chỉ ra các lũy đẳng

trong vành chính qui

Ở mục này, ta thường xuyên và hầu như liên tục phải sử dụng các phần

tử lũy đẳng trong vành chính qui, chẳng hạn:

Mệnh đề 2.1 Cho R 1a vành chính qui Khi đó:

(a) Tất cả iđêan một phía đều lũy đẳng

(b) Tat ca idéan hai phía đều nửa nguyên tố

(c) J(R)=0 voi J(R) 1a can Jacobson cha R

(đ) R là (phái và trái) nửa di truyền

(e) ® là (phải và trái) không suy biến

Chứng mình

(a) Lay J là iđêan phải cia R

Với xeJ,dyeR:xyx=x và do đó x=(xy)xe.J” Suy ra J = J2

(b) Dễ dàng suy ra từ (a) theo tinh chất của iđêan nửa nguyên tố

(e) Căn Jacobson không chứa các lũy đẳng khác 0

(d) Theo mệnh đề 1.28 mọi iđêan một phía hữu hạn sinh của ® đều là hạng tử

trực tiếp của # nên xạ anh

(e) Giả sử xJj=0 với xe® và J<, Rạ Tổn tại lũy đẳng eeR sao cho Re= Rx và do đó: ReJ = RxJ =0 Suy ra J <(l—e)R

Khi đó: J ¬eR =0 Do vậy eR=0 và x= xe=0 Vậy R„ không suy biến n

Trước khi nghiên cứu tính chất của iđêan trong vành chính qui ta cần định nghĩa idéan chính qui

Định nghĩa 2.2 Một iđêan hai phía J của vành ® được gọi là chính qui nếu

với mỗi xe.J, tồn tai yeJ sao cho xyx=x

Mệnh dé 2.3 Cho J <K 1a cdc idéan hai phía của vành R Khi đó: K chính

qui nếu và chỉ nếu J và K /7 đều chính qui

Chứng mình

m Nếu K chính qui thì K // chính qui

Lấy xeJ,3yeK: xyx=x Khi đó: z= yx€.J và xzx=x

Vì vậy, J chính qui

m Ngược lại, giả sử J và K /J chính qui

Lấy xeK, x+/ là phần tử chính qui của K/7 nén ton tai y+JeK/J:

3z: x— xyx =(x— xy)z(x— xy*)

Vì vậy x=x[(- yx)z(I- xy)+ y]x=xwx, với w=(l- yx)z(I—xy)+ yeK Vậy K chính qui n

Trong trường hợp đặc biệt, mệnh đề 2.3 chứng tỏ rằng mọi iđêan hai phía

trong một vành chính qui là chính qui Nhìn nhận theo lối khác, nếu J là một

iđêan hai phía trong vành ®# sao cho J va R/J chinh qui thi R chinh qui.

Phương pháp này tỏ ra hữu ích khi xây dựng các ví dụ về vành chính qui, chang han:

Mệnh đề 2.4 Tích trực tiếp con hữu hạn của các vành chính qui là chính qui Chứng mình

Ta chỉ cần xem xét trường hợp vành # là tích trực tiếp con của hai vành chính qui Khi đó ®# có các iđêan hai phía J và K sao cho J¬K =0 và R/J,R/K

đều chính qui

Do J>(J+K)/K trong vành chính qui R/ K, mệnh đề 2.3 chứng tỏ rang J

chính qui Lại theo 2.3, R/.J chính qui nên ® chính qui 1

Chú ý Tích trực tiếp con của vô hạn vành chính qui, chẳng hạn Z, không

chính qui

Trong mệnh đề 1.8, ta đã áp dụng bổ đề Zorn để chỉ ra trong vành # có iđêan ï„ (R) “lớn nhất” theo nghĩa: 1„() chính qui và vành thương reg

về 1, (R) kết hợp với tiêu chuẩn chính qui của iđêan được phát biểu trong reg mệnh đề 2.3 ta có thể chi ra được hình ánh cụ thể của 1„(R) mà trong mệnh

đề tiếp theo goi la M

Mệnh đề 2.5 Cho vành R và Ä⁄ = {xe R| RxR là iđêan chính qui} Ta có:

(a) Ä⁄ là tđêan hai phía chính qui của R

(b) Ä chứa tất cá iđêan hai phía chính qui của R

(c) Vanh thương R/M⁄ không chứa iđêan hai phía chính qui khác 0 Chứng mình

(a) Lấy x,ye⁄ Ta có RyR và (RxR+ RyR)/ RyR > RxR ! (RxR ¬ RyR)

đều chính qui Do đó, theo mệnh đề 2.3, RxR + RyR chính qui.

Vì vậy RxR+RyRCM vo6i moi x, ye M Do vay M la idéan hai phia

Di nhién M chinh qui

(b) Lay A là iđêan hai phía chính qui của # và xét xe A

Khi đó R+x® là iđêan hai phía của 4 nên chính qui Suy ra xeÄ⁄ va ACM (c) Néu A/M là iđêan hai phía chính qui trong #/M thì theo mệnh đề 2.3,

A chính qui do Ä⁄ chính qui Suy ra 4c ⁄ và 4/M/=0.1

Theo mệnh đề 2.3, iđêan của vành chính qui là chính qui Một câu hỏi

được đặt ra là vành con của vành chính qui có là vành chính qui không?

Ta xét trường các số hữu tỉ Q Vì trường là vành chính qui nên Q là

vành chính qui nhưng một vành con của Q là vành các số nguyên Z không là

vành chính qui (phần tử 2e Z không phải là phần tử chính qui vì iđêan 2⁄Z không được sinh bởi lũy đẳng nào: Z chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1)

Ví dụ trên cho ta thấy một vành con của vành chính qui chưa chắc là

vành chính qui Tuy nhiên, đối với các vành con đặc biệt, ta có:

Mệnh đề 2.6 Góc của vành chính qui là vành chính qui

Chứng mình

Với mỗi phần tử lũy đẳng ee R, góc của vành # được định nghĩa là vành con eRe Ta cần chứng minh nếu ® là vành chính qui thì e®e cũng là vành chính qui với mọi lũy đẳng e

Thật vậy, lấy xeeRe, chọn yeÑ: x=xyx Vì e là lũy đẳng nên ta có:

xe =ex =x Suy Ta: x = (xe) y(ex) = x(eye)x Đặt a = eye eeRe ta cÓ xax =x Vậy eRe là vành chính qui

Mệnh đề 2.7 Tâm của vành chính qui là chính qui

Chứng mình

Lấy R là một vành chính qui với tâm S va chon xe S.

Tổn tại ye# sao cho xyx=x Đặt z = „x Chú ý rằng xzx = x

Cho reR, taco: zr = yxyr = yyrx = yyrxyx = yxyxry = yxry

Do đối xtmg, rz = yrxy = yxry = zr, do dé ze S Vi vay S'la chinh qui o

Hé qua 2.8 Mot vanh chinh qui R+0 1a kh6éng phan tich dugc (nhu mét

vành) nếu và chỉ nếu tâm của nó là trường

Chứng mình

Giả sử R không phân tích được Gọi S là tâm của # và x là phần tử khác 0 bất

kì của S Theo ménh dé 2.7, dye S: xyx=x, do đó xy là một lũy đẳng tâm

khác 0 trong ® Do ® không phân tích được nên xy =1 Vì vậy 5Š là trường Oo

Trong trường hợp đặc biệt, hệ quá 2.8 chứng tỏ rằng tâm của vành chính

qui nguyên tố là một trường

Các vành chính qui được đặc frưng hóa đồng điều bởi các vành mà mọi

môđun (trái hoặc phải) trên nó đều đẹt Vì lí do này, trường phái Bourbaki thích gọi các vành chính qui là các vành đẹt tuyệt đối

Định lí 2.9 Một vành # là vành chính qui nếu và chỉ nếu mọi 8# - môđun phải

(trái) là đẹt

Chứng mình

m Trước tiên giả sử rằng ® là chính qui

Xét R - môđun phải M Ta chứng minh với mọi iđêan hữu hạn sinh 7 của ®,

phép nhúng chính tac i: J > R cam sinh đơn cấu 1„„ ®¡: ®„ 7 —> M ®„ R

Thật vậy, theo mệnh đề 1.28, tồn tại phần tử lũy đắng yeR sao cho 7= Ry

Khi đó: R= Ry® R(I- y)

Gọi p:R —> Ry là phép chiếu chính tắc, ta có: pi=1,

Vì thế (1„ ® p)(„ ®2) =1 ®() =1 ®1, =1,„¿„ Suy ra 1„„ ®¿ là đơn cấu

m Ngược lại, giả sử mọi ® - môđun phải là dẹt

Chọn xeR, môđun R/xR là det nên ánh xa tự nhiên

là đơn ánh Vì vậy, R#z¬x# =xRx và do đó xxx Suy ra # chính qui n

Một đặc trưng khác của vành chính qui là:

Định lí 2.10 Vành ® là chính qui nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đồng thời

xay ra:

(a) ® là nửa nguyên tố

(b) Hợp của một dây chuyền bất kì các iđêan nửa nguyên tố của ® là

iđêan nửa nguyên tố

(e) ®/P là chính qui với mọi iđêan nguyên tố P của R

Chứng mình

m Nếu # chính qui, đễ có (c) Theo mệnh đề 2.1, tất cả các iđêan hai phía của

R là nửa nguyên tố, do đó (a) và (b) đúng

m Ngược lại, giả sử (a), (b) và (c) đúng

Nếu ® không chính qui, tồn tai xe R sao cho x¢xRx Chi y rằng 0 là iđêan

nửa nguyên tô của # (do (a)) sao cho x # xRz+0

Theo (b), áp dụng bố đề Zorn cho họ tất cả iđêan nửa nguyên tố 7 của R thỏa

mãn x£xRx+7, tồn tại iđêan nửa nguyên tổ /J của # là tối đại (trong các iđêan nửa nguyên tố vừa đề cập) sao cho x # xÂx +.J

Do dé, R/ J không chính qui và theo (c) thì J không nguyên tố Vì vậy, tồn

tại các iđêan hai phía 4 và 8 chứa thực sự J sao cho 4<

Dat K ={reR| rB<J} va L={reR| Kr<J}

Bởi vì 7 nửa nguyên tố, ta suy ra rằng K và L cũng nửa nguyên tố

Do (KAL) <KL<J taco KAL<J.

Rõ ràng 4<K và 8<, do đó K và L chứa thực sự J Bởi tính tối đại cua J,

tồn tại các phần tử y, zeÑ sao cho x—xyxeK và x—xzxeL

Chú ý rằng: x— x(y+z— yxz)x= x— xyx—(x— xyx)zxe K và

x—x(y+z~ yXZ)x= x— XZxT— xy(xT— xzx) e L,

nên xexÂx+ K ÙC xRx + J : mâu thuẫn

Vi vay R phải chính qui o

Hé qua 2.11 Vanh R 1a chinh qui nếu và chỉ nếu mọi iđêan hai phía của R là lay dang va R/ P 1a chinh qui với mọi iđêan nguyên tố P cia R

Rõ ràng định lí 2.10 sẽ trở nên gọn hơn nếu bỏ đi giả thiết (b), nhưng một định lí như vậy không đúng trong trường hợp tổng quát, như ví dụ ở phần tiếp

theo sau sẽ chỉ ra

Ví dụ 2.12 Tồn tại một vành nửa nguyên tố ® sao cho #/P chính qui với mọi iđêan nguyên tố P của R, nhưng # không chính qui

Xét iđêan nguyên tố P bất kì của R

Nếu ƒ,#P với n nào đó thì l- ƒ,e?P Trong trường hợp này, ta có

P=(-ƒ,)R và R/P> ƒ,R> M,(F) là chính qui

# Nếu mọi ƒ,eP thì ⁄,(K)=®ƒ,R<P Do 8A0) y a có

trong trường hợp này R/P>Ƒ' là chính qui n

Tuy nhiên, có một lớp quan trọng các vành mà dạng gọn hơn của định lí

2.10 vẫn đúng, gọi là vành không có phân tử lũy linh khác 0 Ta chứng minh

điều này trong đinh lí 2.15 Trước tiên, ta cần một định nghĩa

Định nghĩa 2.13 Một iđêan nguyên tổ đẩy đú trong một vành R là một iđêan

hai phía thực sự P sao cho #/ P là một miền nguyên (không cần giao hoán)

Bồ đề 2.14 Nếu R là vành không có phần tử lũy linh khác 0 thì mọi iđêan

nguyên tố tối tiểu của R là nguyên tố đầy đủ

Chứng mình

của các a, với thứ tự bất kì luôn bằng 0

Để chứng minh điều này, thật ra ta chỉ cần chứng tỏ rằng nếu xzðy =0 trong

R thi xbay =0

# Nếu x=y=l thì từ ab=0 ta có (ba)’ =b(ab)a =0 va do dé ba =0

Nếu x=l: (ab)y=0 > yab=0 => y(aba)=0 = (aba)y =0

=> (ba)(bay)=0 => bayba=0 => (bay) =0 => bay=0

*⁄ Trong trường hợp téng quat:

x(aby)=0 > (ab)(yx)=0 > (bay)x=0 > x(bay)=0

m Bây giờ, gọi P là iđêan nguyên tố tối tiểu bất kì của R

Một m - hệ thống trong R là một tập con X #@ sao cho 0£X và nếu

x,yeX thì tồn tại re R sao cho xyeX.

Khi đó R\ P 1a mét m - hé thong, và ta có thể chọn một z: - hệ thống tối đại X

chứa R\P

Nếu Q là một iđêan hai phía của 8 và Ó tối đại giữa tất cả các iđêan hai phía rời nhau với X thì @ là nguyên tố Do O roi R\P ta có Q<P và vì vậy

OÓ=P bởi tính tối tiểu của P

Kết quả là, P rời nhau với X, do đó X=R\P Vì vậy R\P là một m - hệ

Rõ ràng ®\PCY, do đó, theo tính tối đại của R\P ta được R\P=Y

Do vậy R\P là đóng đối với phép nhân, cho nên #/ P là miền nguyên n

Định lí 2.15 Gọi ® là vành không có phần tử lũy linh khác 0 Khi đó ® là chính qui nếu và chỉ nếu ®/P là chính qui với mọi iđêan nguyên tố đầy đủ P

cua R

Chứng mình

m Nếu ñ chính qui thì hiển nhiên #/ P là chính qui với mọi iđêan nguyên tố

đầy đủ P của R

m Giả sử rằng R/P là chính qui với mọi iđêan nguyên tố đầy đủ P của R

Nếu P là iđêan nguyên tố tối tiểu bat kì của R thì P nguyên tố đầy đủ (theo bổ

đề 2.14), do đó R/P la chinh qui Do R/ P con la mién nguyên nên R/ P 1a

một vành chia Hệ qua la, tacé R/Q 1a vanh chia véi moi idéan nguyén t6 O của R

Do mỗi idéan nửa nguyên tố của # là giao của các iđêan nguyên tố, ta suy ra tập các iđêan nguyên tố của R trùng với tập các iđêan hai phía J sao cho R/J

không có phần tử lũy linh khác 0

Kết quá là, hợp của một dây chuyền các iđêan nửa nguyên tố của R phải là nửa nguyên tố Theo định lí 2.10, # là chính qui 1

Trên đây là một vài đặc trưng của vành chính qui tổng quát Đối với các

vành chính qui giao hoán, chúng có thê được đặc trưng hóa bởi nhiều cách

Định lí 2.16 Đối với vành giao hoán #, các điều kiện sau đây tương đương:

(a) R 1a chinh qui

(b) Moi R - médun đơn là nội xạ

(c) R khéng co phan tt lity linh khác 0 và mọi iđêan nguyên tố của ® là

Do đó J $ M⁄ Suy ra x+ y=l với xe⁄, ye.J và ta có w= ƒ(y)eR/M

Chọn ae, ta có a— ya = xa e MJ < Kef

Dođó ƒ(4)= ƒ(a)=(fW)a= wa

Do vậy ƒcó thể mở rộng đến đồng cấu R>R/M

(b) > ©):

m Trước tiên ta chứng minh rằng nếu M là iđêan tối đại của ® thì xexM, VxeM

Gia sử ngược lại dxeM/:x#£xA⁄ Khi đó x#/xM⁄zZ0 và ta có

R/M =xR/xM, do đó có một toàn cấu ƒ:xR —> R/M

Do R/M néi xa nén f có thể mở rộng đến đồng cấu g:R-—>/M⁄ và do đó

ƒ(xR) <g(M) =0: vô lí Vì vậy, kết luận ở trên là đúng

m Không mất tinh tổng quát, ta chỉ cần xét trường hợp lũy linh bậc 2

Giả sử x”=0 với 0#xeR Linh hóa tử J={reR| xr=0} là một iđêan

phải thực sự và do đó được chứa trong một iđêan phải tối đại M

Do xeJ<M, ta có xexM⁄ bởi kết luận ở trên Khi đó 3y: x=xy và

do dé 1- ye J <M Diéu nay khéng thé xảy ra!

Vì vậy, R không thê có bat kì phân tử lũy linh khác 0 nào

m Bây giò, lấy P là idéan nguyên tố cua R và gọi A⁄ là iđêan tối đại chứa P Lấy xe, ta có xexM⁄ va do dé JyeM: x(l-y)=0 vi l-y¢M nén

1-y¢P, dodo xeP Vivay M = P và P là iđêan tối đại

(c) = (đ):

Bởi vì không có 1đêan nguyên tô nào của # thực sự được chứa trong Ä, ta có MR,, là iđêan nguyên tố duy nhất của ®Rự, do đó MR„, là lũy linh

Lấy x/s €MR,,, taco (x/s)" =0 véin nao d6, do do tx” =0 voi te R\M

Khi đó (#x)” =0 và suy ra x=0 Do vậy x/s=0

Vậy MR,, =0 hay Rự là trường

(d) > (a):

Lay A là R - môđun Với bất kì iđêan tối đại M của R, ti (d) tacd A, la Ry -

môđun đẹt, hệ quả là 44 là ® - môđun dẹt Theo định lí 2.9, ® là chính qui

Ta kết thúc mục này với một định lí đảm bảo sự tồn tại của một lớp đủ rộng các vành chính qui

Định lí 2.17 Cho 4 là ® - médun phai twa ndi xa va Q = End, (A) Gọi J(Q)

la can Jacobson cua Q Khi do:

(a) J(Q)={f €Q| Kerf <, A}

(b) Q/ J(Q) 1a vanh chinh qui

(c) Néu J(Q) =0 thi Q la ty néi xạ phải

Chứng mình

(a) & (b):

a Dat K ={f €Q| Kerf <, A} va xét f, g bat ki thudc K

Boi vi Kerf 7 Kerg < Ker(ƒ - ø), ta có Ker(ƒ- g)<, 4 do đó ƒ—geXK

Lay he Q, tacé: Ker( fh) =h"'(Kerf)<, 4, do đó ƒheK

Tuong tu, Kerf < Ker(hf) nên Af eK Vậy K 1a mot idéan hai phia cua Q

m Lay ƒeK, ta có Ke/#< 4 và [Ker(1-/)]J^¬[Ke/]=0, do đó Ker(-— ƒ)=0 Khi đó 1— ƒ cảm sinh một đẳng cấu từ 4 lên (1— ƒ)4, và

đẳng cấu ngược (1- ƒ)4-—> 4 có thể mở rộng đến đồng cấu g 6Q sao cho

Vì vậy ƒgƒ— ƒ eK, do đó fef = f trong Q/K Suy ra Q/K là chính qui

Theo mệnh dé 2.1, J(Q/K)=0, do dd J(Q)=K và Q/J(Q)=Q/K là

vanh chinh qui

(c) Theo (b), @ là chính qui (do J(@)=0) và theo định lí 2.9, 4 là một Q -

môđun trái đẹt

Gọi 7 là iđêan phải bất kì của Ø và lấy ƒ eHom, (7, Ø,)

Do „4 là môđun đẹt nên ta có biểu đồ sau giao hoán:

fl J®,4 —~——+ 08,4

Chứng mình

Do 4 tựa nội xạ nên theo định lí 2.17 ta chỉ cần chứng minh J(@) =0

Lay ƒ eJ(O), ta có Ker/ <, 4 (theo 2.17)

Nếu 4 nửa đơn thì Ker/ = 4 và ƒ=0

* Nếu 4 không suy biến, bởi vì ƒ(4)> 4/Key là suy biến ta lại thu được

f=0

Vay J(Q)=0 trong ca hai truong hop 0

Trong trường hợp đặc biệt, hệ quả 2.18 chứng tỏ rằng vành các tự đồng cấu của một không gian vectơ phải là chính qui và tự nội xạ phải

Hệ quả 2.19 Nếu R là vành không suy biến phải thì vành các thương tối đại

(phải) @ là chính qui và tự nội xạ phải

Chứng mình

Do R, khéng suy biến nên E(#„) cũng vậy

Thêm vào nữa, do @ > End,(Z(R,)), hệ quả 2.18 chứng tỏ @ chính qui và tự nội xạ phải n

2.2 Médun xa ảnh trên vành chính qui

Mục này chủ yếu liên quan đến tính chất phân tích được của các môđun

xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui, một phần bao gồm những tính chất thuần túy môđun, và một phần bao gồm các lũy đăng trong vành các tự đồng

cấu hay trong vành các hệ tử

Các kết quá được chia làm bốn nhóm, liên quan đến:

(a) Dàn các môđun con hữu hạn sinh của một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh

(b) Đẳng cấu giữa các sự phân tích thành tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh

(c) Phuong phap tao thành dãy đếm được các lũy đẳng

(d) Các lũy đẳng nâng và môđun xạ ảnh hữu hạn sinh môđulô

1đêan hai phía

Trước hết, ta cần một vải sự chuẩn bị

Định lí 2.20 Nếu 4 là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui R thì

End„(4) là vành chính qui

Chứng mình

Theo mệnh đề 1.29, eM,(R)e chính qui với moi n và mọi lũy đẳng

eeM,(R) và Endz(4) = eM,(R)e nên chính qui n

Ngược lại với định lí 2.20, vành các tự đồng cấu của các môđun tổng

quát trên các vành chính qui có thể không chính qui, như ví dụ sau:

Vi du 2.21 Tén tai vanh chinh qui R va idéan hai phia J sao cho End (2z)

không chính qui

Chứng mình

Lấy trường Ƒ, đặt F =Ƒ với n=1,2,

Goi S là Ƒ - đại số con của [ [7„ sinh boi 1 va K =©F,

Vì K là iđêan của vành chính qui T1, nên X chính qui

Mặt khác, S/ K =F chinh qui do đó S chính qui

không thể là hạng tử trực tiếp của J„ Kết quả là, không tồn tại lũy đẳng

cho fgf =f Vivay End,(J,) khéng chinh qui

Ví dụ 2.22 Tồn tại một vành chính qui giao hoán ® với một môđun hữu hạn sinh A sao cho End,(A) khong chinh qui

Chứng mình

Chon truéng F, dit F,=F voi n=1,2, va goi R là Ƒ - đại số con của

| T7, sinh bởi 1 va @F, Theo vi dy 2.21, R la vanh chinh qui

Chọn một phan ti xe] ]F,\R va dit B=R+xR, A=ROB

Dinh nghia f ¢ End,(A) theo qui luat: f(r, b) =(0, r)

Cha y rang f(A)=0@R 1a mét médun con cét yếu thực sự của O@B, ta

suy luận theo 2.21 rằng không thê tồn tại g e End (4) sao cho ƒgƒ = ƒ

Vi vay End, (A) không chính qui n

Ta xem 2.21 và 2.22 như một cảnh báo: không phải mọi vành được kết hợp với vành chính qui theo một phương thức “hợp lí” nào đó thì nhất thiết

phải chính qui

Từ định lí 2.20 ta thu được một kết quả hay được sử dụng như sau:

Định lí 2.23 Nếu 4 là một môđun phải xạ ảnh trên vành chính qui R thi mọi môđun con hữu hạn sinh của 4 là hạng tử trực tiếp của 4

Chứng mình

Ta có thể đồng nhất 4 với một môđun con của một R - môđun phải tự do Z

Lấy B là môđun con hữu hạn sinh cua A, ta suy ra rằng F có một hạng tử trực

tiếp tự do G hitu hạn sinh chứa Ö

Ta chỉ cần chứng minh Ö là hạng tử trực tiếp của Œ, khi d6 B 1a hạng tử trực tiếp của Ƒ và đo đó cũng là của 4

Chon n là số nguyên dương sao cho Ö có thể được sinh bởi z phần tử, nhúng

G vào một # - môđun phải tự do hữu hạn sinh H voi H 1a médun cd co sở gồm ít nhất z phần tử

Khi đó tồn tai f ¢End,(H) sao cho fH =B Theo dinh lí 2.20, End,(H)

chinh qui, do dd cé ge End,(H) sao cho fef = f Hé qua la, fg là một lũy dang va _feH = ƒH = B hay B là hạng tử trực tiếp của G n

Hệ quá 2.24 Gọi 4 là một môđun phải trên vành chính qui ® và lẫy ø là một

số nguyên đương Nếu 4 có thể được sinh bởi ø phần tử thì mọi môđun con hữu hạn sinh của 4 cũng vậy

Chứng mình

Chọn toàn cấu chiếu ƒ :wÑ„ —> 4

Nếu Z là môđun con hữu hạn sinh của 4 thì tồn tại một môđun con hữu hạn sinh C <nR, sao cho f(C)=B Theo dinh li 2.23, Œ là hạng tử trực tiép cua

nR, Vi vay, C co thé được sinh bởi ø phần tử và 8= ƒ(C) cũng vậy n

Ta xem xét kết quả đầu tiên của mục này: Dàn các môđun con hữu hạn

sinh của một môđun xa ảnh hữu hạn sinh

Định nghĩa 2.25 Cho A la médun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui R

Ta sit dung ki hiéu L(A) dé chi tập tất cả môđun con hữu hạn sinh của 4, sắp

thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm

Chú ý rằng theo mệnh đề 1.28, r(R„) chỉ bao gồm tất cả iđêan phải

chính của R Sử dụng những bổ đề sau, ta chứng tỏ rằng tập sắp thứ tự bộ

phan L(A) that su la dan

Bồ đề 2.26 Cho 4 là môđun xạ ảnh hữu han sinh trén vanh chinh qui R va B

là ® - môđun xạ ảnh Lấy ƒ eHom,(4, 8) Nếu C là môđun con hữu hạn

sinh của Ö thì ƒ'(C) là hữu hạn sinh và là một hạng tử trực tiếp của 4 Chứng minh

Theo định lí 2.23, C là một hạng tử trực tiếp của 8, do đó 8/C xạ ảnh

Nếu ø là đồng cấu chiếu tự nhiên 8 —> 8/ C thì theo một ứng dụng khác của

2.23, gf (A) 1a một hạng tử trực tiếp của B/C, do đó gf (A) xa anh

Suy ra, f'(C) =Kergf 1a hang tit truc tiép của 4 và do đó hữu han sinh o

Bỗ đề 2.27 Cho 4 là môđun xạ ảnh trên vành chính qui Nếu B,, , B, la cdc

môđun con hữu hạn sinh của 4 thì Z, “¬ ¬ 8„ hữu hạn sinh

Chứng mình

Ta chỉ cần xét trường hợp ø =2

Nếu ƒ:B,—> 4 là đồng cấu nhúng thì 8,8, = ƒ '(B,) hữu hạn sinh theo

bé đề 2.26 n

Định lí 2.28 Nếu 4 là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên một vành chính qui thì

L(A) la dan modular c6 phan bu V6i B, Ce L(A), tacd BVC=B+C và BAC=BOC

Chứng mình

Do 8#¬CeL(4) (theo 2.27), ta cũng có BC L(4) và B¬C=BAC

Do đó L(A) 1a mot dan

m Mặt khác, các phép toán trên dan L(A) la + và A, ta suy ra L(A) modular

m Lay Be L(A), dinh lí 2.23 cho ta 4= 8@C với C< 4, do đó C là phần

bù của Z trong (4) Do vậy L(4) là dàn có phần bù n

Theo định lí 2.28, L(A) 1a dan modular cé phan bu va ta c6 thé ding

L(4) để nghiên cứu L(Z,) trong dod T=End,(A) theo nghĩa có một dang

cấu dàn gitta L(Z,) va L(A) nhu sau:

Mệnh đề 2.29 Cho 4 là môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui

R và đặt 7T = End„(4) Khi đó:

(a) Có một đẳng cầu dàn ø: L(Z,) > L(A) cho béi qui luật ø(J) = ZA.

V6i Be L(A), tacd p (B)={ff €T| f(A) < B}

(b) Voi J, K e L(T,), tacd J=K nếu và chỉ nêu ø(J) = ø(K)

(c) Với J, K eLŒ;), ta có J < K nếu và chỉ nếu ø(J) < ø(K)

Chứng mình

(a) Lấy J e LỨ,), ta có J =eT' với lũy đẳng ee7, do đó J4=eAe L(4)

Vì vậy, qui luật ø(J) = J4 cho ta một ánh xạ đơn điệu ø: L7) — L(A)

Lấy BeL(4), đặt /(B)={ƒ eT| ƒ(4<®}

Do 8=z4 với lũy đẳng ee7 ta có /(B)=eT e LŒ,)

Vì vậy, ta có một ánh xạ đơn điệu ự : L(4) —> Lứ;)

Nếu e là một lũy dang bat ki trong T thi g(eT)=eA và wo(eT)=eT Vi vay

yg là ánh xạ đồng nhất trên L(Z,).Nguoc lai, y(eA)=eT va py(eA) =e

Do vậy ø và ự là các ánh xạ ngược của nhau, do đó đều là đẳng cấu dàn

(b) Tồn tại lũy đẳng e7, lũy đẳng ƒ e7 sao cho J =e? và K= ƒT

Khi đó Jj>K nếu và chỉ nếu tồn tại phần tử xee7ƒ va ye fTe sao cho

xy=e và yx= ƒ Điều này chỉ xảy ra nếu và chỉ nếu e4z> /⁄4, nghĩa là,

ø(J)>ø(K)

(c) Chứng minh tương tự (b) n

Riêng đối với dàn các iđêan phải và trái chính của ®, ta có kết quả:

Định lí 2.30 Nếu # là vành chính qui thì qui luật ø(7) ={x e ®| xJ =0} định

nghĩa một phản đẳng cấu dàn ø: L(R,) > L(,R) Phan dang cau ngugc cho

boi qui lwat: g'(K) = {xe R| Kx= 0}

Chứng mình

Lấy J eL(R,), đặt ø(J)= {xe R| xJ =0}.

Do J=eR với lũy đẳng ee R, ta có ø(J)= R—e)eL(„R)

Với lũy đẳng bất kì ee R, ta có ø(eR) = R(I— e) và wo(eR) =eR Vi vay yo

là đồng nhất trên 7(#„) và bằng đối xứng, øw/ là đồng nhất trên L(,R)

Do vậy ø và ngược nhau và chúng là các phản đẳng cấu dàn n

Ta chuyên sang sự phân tích thành tổng trực tiếp của các môđun xạ ảnh

trên vành chính qui Kết quả quan trọng nhất thuộc về định lí 2.35 với nhiều

áp dụng rộng rãi ở mục tiếp theo khi nghiên cứu phổ nguyên tố của vành chính qui Abel

Trước tiên ta phân tích mỗi môđun xạ ảnh với tập sinh đếm được thành

tổng trực tiếp các môđun con cyclic

Mệnh đề 2.31 Cho 4 là môđun phái xạ ảnh với tập sinh đếm được trên vành chính qui 8 Khi đó 4 là tổng trực tiếp các môđun con cyclic với mỗi hạng tử

trực tiếp đẳng cấu với một iđêan phải chính của Ä

Chứng mình

A,/A,_, cyclic véi moi n=1, 2,

Theo định lí 2.23, tồn tại phân tích A,=A,,®B, voi moi n=1, 2, và ta

suy ra rang A=@B, Décé B, cyclic voi moi n=1, 2,

Bởi Z, là hạng tử trực tiếp của 4 nên B, xa anh và đẳng cấu với một iđêan phải chính của 8 n

Hầu hết vấn đề về sự phân tích các môđun xạ ảnh trên vành chính qui bao gồm việc so sánh hai sự phân tích (khác nhau) của cùng một môđun Theo định lí 2.33 chỉ ra, bất kì hai sự phân tích thành tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên một vành chính qui phải có thành phần đẳng cấu nhau Để chứng minh kết quả này ta cần một bổ đề

Bỗ đề 2.32 Cho 4,, , 4, là các môđun xa ảnh trên một vành chính qui va B

là một môđun con hữu hạn sinh của 44 ® ® 4 Khi đó tồn tại sự phân tích:

A.=4,® A„ với mỗi ¡=l, ,z sao cho 4,® ® 4=8@ 4,@® ® 4„, và

A, ® 04,, =B

Chứng mình

m Trong trường hợp ø =1, có sự phân tích 4, = 8 ® 41, và ta đặt 4; = B

m Với >1, giả sử bô đề đúng với ø— 1

Gọi p:4® ®A4 >4 và g:4@® @®@A>4,@® @4, là các phép

chiếu thông thường

Taco q(B) là hữu hạn sinh và do đó xạ ảnh (định lí 2.23) Suy ra dãy khớp:

Khi đó 4; = BO A, là hữu hạn sinh Do đó 44 = 4, ® 4; với 44, nào đó

Sử dụng giả thiết qui nạp trong trường hợp ø—1, ta thu được phân tích

A,=A,®A, V6i i=2, ,n sao cho 4,® 0 A, =q(B) OA, @ 0 A, va

A, ® 0 A, =q(B)

Chú ý rằng 4, ® ® 4„; =(BAA)Oq(B)=ZB

Quan sat q(B)=(1- p)B< B+ A, ta có:

A,® 0A,=q(B)+(4, ® 04,)SB+4+(A, ® 04,,)

và do vậy, 4, ® ® 4,= 8+ 4+(44,® ® A)

F = p(F)< p(A, ® ® 4,4) = Ay, do vay F< 4,04, =0

Định lí 2.33 Cho 44 ® ® 4, > 5, ® ® Z, là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui Khi đó tồn tại phân tích 4,= 4„ ® ® 4„ với ¡ =], ,n sao cho 44, ® ® 4„=B, với j=l, ,k

Chứng mình

m Với k=1, ta chỉ cần lấy 4, = 4, với mọi ¿

m Với k=2: Có sự phân tích 4, ® ® 4, = Œ ®C; với C, = B,

Theo bố đề 2.32, tồn tại phân tích 4, = 4, ® 4; với mỗi ¡ sao cho:

Hơn nữa, cả 4,,® ® 4„ và C, đều là phần bù của C; trong 4,® ® 4,

nên ta được 41, ® ® 4, = Œ = Ö,

m Với k>2, giả sử định lí đúng với k—

Theo trường hợp k=2, tồn tại phân tích 4, = 4, ®C; với mọi ¡=], ,7: sao

Hệ quả 2.34 Cho 44 ® ® 4, < B8, ® ® Z, là các môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên một vành chính qui Khi đó:

(a) Tén tại phân tích 4=4,® ®4, với ¡=l, ,m sao cho

A,® 04, <B, voi j=l, ,k

(b) Tén tai phan tich B,=B,® @B, voi /=l, ,k sao cho

A=B,® 0B, voii=1, ,.n-lva A,<B,,® OB,,

Chứng mình

Ta phải có 4, ® ® 4,® 4,,>,® ® B, với 4,., nào đó

(a) Theo định lí 2.33, tồn tại phân tích 4,= 4, ® ® 4, với ¿=l, ,+l

(b) Lai theo định lí 2.33, nhưng vai trò của 4, và Ö, được hoán đổi, ta có

phân tích 8, = B,® ®,„„ với j=1, ,k sao cho B,@® ® B,,z A, voi

i=1, ,m+]

mọi /

Trên vành chính qui R, mệnh đề 2.31 chứng tỏ mỗi môđun phải xạ ảnh

hữu hạn sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp các iđêan phải chính của R Hơn thế

nữa, sử dụng tính chất đẳng cấu của định lí 2.33, ta có thể phân tích hai R -

môđun phái xạ ảnh hữu hạn sinh bat kì thành các tổng trực tiếp sao cho các

iđêan phải chính của ® tương ứng giống nhau, như sau đây:

Định lí 2.35 Cho 44, , 4, là các môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh trên một

vành chính qui R Khi đó tồn tại các lũy đẳng trực giao ø, ,e, 6® và các số

nguyên không âm ứ„ (với ¡=I, ,z ; j=I, ,k) sao cho é,+ +¿ =l và

mỗi 4 >/„(e,R) ® ®/„(e,R)

Chứng mình

Theo mệnh đề 2.31, R có các iđêan phải chính J,, ,J„ sao cho mỗi 4, đẳng cấu với tông trực tiếp các J i

Với mỗi J,, ta cũng có iđêan phải chính K, sao cho ®„ = J, ® K,

Vì vậy, ta có m sự phân tích của môđun #ạ Áp dụng định lí 2.33 z—1 lần,

ta thu được một phân tích Ñ„ = 1, ® ® 1„ (k = 2”) sao cho mỗi J, (và mỗi

K,) đẳng cấu với tổng trực tiếp của &/2 các L„ Do ® chính qui nên tồn tại

các lũy đẳng trực giao ¢,, ,e, ¢R sao cho e,+ +¢, =1 vamdi eR=L,

Chú ý rằng A, đẳng cấu với tổng trực tiếp các 7 „ (với các bản sao thích hợp),

ta kết luận tồn tại các số nguyên không âm ¿„ như đã yêu cầu o

Nếu 4 là môđun phải xạ ảnh trên vành chính qui ® thì định lí 2.23 chứng

tỏ rằng các môđun con hữu hạn sinh của 4 luôn có dạng #4, trong đó e là một

lũy đẳng trong End„(4) Một cách tổng quát hơn, một họ hữu hạn bất kì các

môđun con hữu hạn sinh độc lập của 4 có thể thu được bằng cách này bởi các lũy đẳng trực giao trong End (4)

Mệnh đề 2.36 Cho 4 là môđun phải xạ ảnh trên vành chính qui ® và gọi B, B„ là các môđun con hữu hạn sinh độc lập của 4 Khi đó:

(a) Tén tại lũy đẳng ee End„(44) sao cho e4= B, ® ® B,

(b) Với mọi lũy đẳng e như trong (a), tồn tại các lũy đẳng trực giao

e., , eEndg(4) sao cho + +e,=e và œA4=ÐB, với mỗi

i=l, ,n

Chứng mình