Phương trình sóng một chiều với hệ số biến thiên liên kết với điều kiện biên chứa tích phân

Hồ Chí Minh đã tận tỉnh truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.. Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán — Tin học, quý Thầy Cô thu

Lê Trường Giang

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIẾU VỚI HỆ SO

BIEN THIEN LIEN KET VOI DIEU KIỆN BIÊN

CHUA TICH PHAN

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

Thành phó Hồ Chí Minh - 2008

Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Trần Minh

Thuyết, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Thầy đã rất ân cần và tận tình

hướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu và giải đáp những thắc

mặc khi tôi gặp phải Sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán — Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tỉnh truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán — Tin học, quý Thầy Cô thuộc phòng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình

học cũng như trong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp

Tôi vô cùng biết ơn Thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng Trường THPT Trần

Hưng Đạo đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi được hoàn thành khóa học Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, chỗ dựa tinh than

trong do K(x,t), A(t), F(x,t), uạ, u, là các hàm cho trước thỏa các điều kiện

mà ta sẽ chỉ ra sau Hàm chưa biết u(x,t) và các giá trị biên chưa biết P(t) thỏa

phương trình tích phân phi tuyến sau đây

P(t) =g,(t) +2,u,(0,t) + K,|u(0,t)[” u(0,)

Trong [2], Ð.Đ.Áng và Alain Phạm đã thiết lập một định lý tồn tại và

duy nhất nghiệm cho bài toán (1) — (5) với uạ, uạ, P là các hàm cho trước, với f(u,u,) =luj” sign(u,),(0< œ< 1) (7)

Tổng quát hóa kết quả trong [2], N.T.Long va Alain Pham [3 —5, 8, 10,

11 đã xét bài toán (1), (3), (4) liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại

x =0 sau đây có dạng

u, (0, t) = g)(t) + H(u(0, t)) — jk (t—s)u(0,s)ds, (8)

[10]; k=0 [11]; H(s)=hs, với h>0[5]

Trong trường hợp H(s) = h.s, voi h > 0, bai toan (1), (2), (3), (4), (8), an

ham u(x,t) va gia tri bién chwa biét P(t) thỏa bài toán Cauchy cho phương trinh vi phan thuong nhu sau

trong dé @>0, h>0, P,, P, 1a cac hằng số cho trước ([1], [11])

Trong [1], N.T An và N.D Triều đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (1)-(4), (7), (9), (10) véi u, =u, =P, =0 va K(x,t)=K, A(t)=^ trong đó K, ^„ là các hằng số đương cho trước Trong trường hợp này bài toán (1) — (4), (9), (10) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng

Trong trường hợp (7), bài toán (1) — (4), (9), (10) mô tả sự va chạm giữa một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi

phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt

Từ (9), (10) ta biểu diễn P() theo Pạ, Pị, œ, h, u,,(0,t) va sau khi tich

(13) hay (1), (3), (4), (12) — (14)

Cac tac gia Bergounioux, Long, Alain [3], va Long, Alain, Diễm [8] đã

nghiên cứu bài toán (1), (2), (4), (8) va

trong do K, 2, K,,A, la các hằng số không âm cho trước Bài toán (1), (2), (4), (8), (3), (15) mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi

nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến

tính ở bề mặt, các ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt

Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:

Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 1, chúng tôi trình bày một số công cụ chuẩn bị, bao gồm việc

nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact

giữa các không gian hàm

Chương 2, chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của

bài toán (1) — (6) trong hai trường hợp (uạ,u,) e H'(0,1)xI(0,1),u¿()=0 và (uạ,u,)eH”(0,1)xH'(0,, uạ()=0, u,()=0 Chứng minh được dựa vào

phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm và phương pháp compact yếu Trong phần này, định lý Schauder được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xi Galerkin

Chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định và tính trơn của nghiệm bài

toán (1) — (6) trong trường hợp œ = 2.

Kế đến là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.

1.1 Các không gian hàm thông dụng

Chúng ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng và kí hiệu

gọn lại như sau:

VP=VQ), H™=H"Q), Hj=Hj/(0),

O=(0 0) Q¡¿=Ox(0,T)=(0,1)x(0,T), T>0

Ta dùng các ký hiệu (.„) và |||| để chỉ tích vô hướng và chuẩn sinh bởi

tích vô hướng tương ứng trên LÝ Kí hiệu ( ) cũng dùng để chỉ cặp tích đối

ngẫu giữa một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không

gian hàm Ký hiệu |||„ dé chỉ chuẩn trong không gian Banach X Ta gọi X’ la

không gian đối ngẫu của X

Cac ky hiéu L?(0,T; X), 1< p <0, là không gian Banach của các hàm

do duge u:(0,T) > X, sao cho

1.2 Cac bé dé quan trong

lượt chỉ u(x,t), Sœ0, (x,Ð, M(x, theo thứ tự

Bo, By phan xa, (1.1)

Ta dinh nghia:

W={veL”(0,T;B,) ` =v'eL*(0,T;B,)},

trong đó 0< T<œ,l<p,<œ,¡=0,]

Trang bị trên W một chuẩn như sau:

hv =o ors #ÍY Ï»azs›-

Khi đó W là không gian Banach Hiển nhiên W c L?°(0,T;B)

(i) |g„ÍL , <C, với mọi m,

(ii) g,, > g hau hết trong Q

Khi đó: g„ —>g trong Lˆ(Q) yếu

Sau cùng, chúng tôi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được áp

dụng trong nhiều bài toán biên

Trước hết ta làm một số giả thiết sau:

Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa các điều kiện (1.3) () — Phép nhúng VGH 1a compact

(1) V trù mật trongH

Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính:

(Gj) Nếu u->ău,v) tuyến tính từ V vào R với mọi veV và

v>ău,v) tuyến tính từ V vào R với mọi ue V

(j) Đối xứng nếu ău,v) =ăv,u), Vu,ve V

(jj) Liên tục nếu 3M >0:|ău,v)|< M|ul_ ||y| vỷ Vu,veV

(4j) Cudng bite néu 3ạ >0:ăv,v)Zalv., VveV

Khi đó ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.3 ([12], Định lý 6.2.1, p.137) Dưới giả thiết (1.3), (1.4) Khi

đó, tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert {w;} của H gồm các hảm riêng w;

tương ứng với giá trị riêng À sao cho

0<A, SA, S SA,S , limd, = +00

joo

ăwi,V) =i, (wiv), vveV,Vj=12

Hơn nữa, dãy iwi cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vô hướng ặ )

Chứng minh bổ dé 1.3 có thể tìm thay trong [12, Định lý 6.2.1, p 127].

SỰ TÒN TẠI VÀ DUY NHÁT NGHIỆM

trong dé K(x,t), A(t), F(x,t), up, u, 14 cdc hàm cho trước thỏa các điều kiện

mà ta sẽ chỉ ra sau Ham chua biét u(x,t) va các giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau đây

PŒ)=gạ(t)+2„u,(0,9 + K,|u(0,Đ|” u(0,)

Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ

yếu trong các không gian thích hợp nhờ một số các phép nhúng compact

Trong phần này định lý Schauder về điểm bất động được sử dụng trong việc

chứng minh tồn tại nghiệm xấp xi Galerkin

Trước hết chúng ta đặt:

0

V là một không gian con đóng của HÌ, do đó cũng là một không gian

Hilbert đối với tích vô hướng của HÌ

Khi đó ta có các bô đề sau:

Bồ đề 2.1.1 Phép nhúng VGC°([0,1]) là compact và

|*Ì-:.„p Ss hal Ss |

1

2lYla <lyl<|vl, <lvl¿ Ye: (2.1.3)

Bồ đề 2.1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng ặ,.) được xác định bởi (7), liên tục trên VxV và cưỡng bức trên V

Các bổ đề 2.1.1 và 2.1.2 là kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó

có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [6]

Chú thích 2.1.1 Ta suy ra từ (2.1.3) rằng, trên V cả ba chuẩn ||v|

|v|[,= Jăv.v) là tương đương

ả vị và

2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Ta thiết lập các giả thiết sau

Hơn nữa, nếu œ=2 hoặc œ >3 thì nghiệm (u,P) la duy nhất

Chứng minh Việc chứng minh được chia làm nhiều bước

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin

Xét một cơ sở trực chuẩn {w j trong V gồm các vectơ riêng w ¡ của

toán tử Laplace—ô” /ôx”,

w;()=.J2/+Aj) cos(A,x), À; =0j~D2, j=l,2, (2.2.3) Đặt

Uy (0) = Upm =), Oj); => uạ manh trong HỈ jal

Gy (t) = a yNj(t) + BN j(O)— wiry, (t—+)go()dt Pt

kl =|el,+lel, vớ fe, = sup lott

Dễ nhận thấy S là một tập con lồi đóng và bị chặn của

Y =C'((0,T,,];R”) Ap dung dinh ly diém bat động Schauder, chúng ta sẽ chứng minh toán tử U:S-—> Y được xác định bởi (2.2.15) — (2.2.19) có điểm

bất động Điểm bất động này là nghiệm của hệ (2.2.1 1)

a) Trước hết, ta chứng minh U là ánh xạ từ S vào chính nó

Trước hết, ta chứng minh U: Y —› Y Lấy ce Y, để chứng minh

UceY ching ta cần bổ dé sau

B6 dé 2.2.3: Voi ham F:[0,T] > R, FEL (0,T) thi ham

H(t) -[N, (t—1)F(t)dt €C'([0,T])

Chứng minh bỗ đề 2.2.3:

Theo dinh ly Lebesgue

F(t) >A, cosd,(t—1)F(t) khi h > 0

Lai sử dụng định lý về sự hội tụ Lesbegue, ta cũng chứng minh được

Ht(t,)—>H() với mọi dãy t„ —> t trong[0,T]

Do d6 HeC'({0,T])

Bồ đề được chứng minh xong

Str dung bé dé 2.2.3 va cac gia thiét (F), (g, ), (K), (2), (ky), (1), (2”), ching ta suy ra G, €C'([0,T];R) va (Ve); €C°([0,T,,];R) voi mọi

ceC! ([0.T,,]:R") hơn nữa từ (2.2.15) suy ra

GI, = lGl,; + IS, = sup|G@), + sup |G'), (2.2.27)

Chon M>0 va T,, >0 sao cho

Do đó, Uc|| <M Ve eS, có nghĩa là U là ánh xạ từ S vào chính nó

b) Bây giờ ta chứng minh toán tử U liên tục trên S Lấy c,d S, ta có

0

Ta thu được

Nhờ các đánh giá (2.2.30), (2.2.32), ta chỉ cần chứng minh rằng toán tử V:y->Œœ ([0.T,„];R") là liên tục trên S Ta có

(Ve),(t)-(Vd),(t) =£,,(e(t),¢'(t)) -£ (a(t), (0)

(W,c)(t) = [ J3,(—s,c(s))ds, ceeC"([0,7„];JR”) (2235) Khi đó toán tử JW, : C°([0,7,,];IR”)—> C°([0,7,,];I) là liên tục trên S

Chứng minh Bồ đề được suy ra một cách đễ dàng nhờ vào tính liên

tục đều của hàm f,, trên [0,T,„]x[—M,M]”

V:yY-Œœ ([0.T,„];R") là liên tục trên S

c) Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng tập US là một tap con compact cua

Lấy ceS, t,t'e[0,T,,] Tir (2.2.15) ta viét lai

\(Uey(t) —(Uey(t}, = [ve ()-(Ue),(t|

<|G(t)-G(t’)}, +(T,, +2) -t||Ve|, (2239)

<|GŒ)—G(|,+B(M,T)(T„ +t -t|

Tương tự, từ (2.2.21) — (2.2.24), ta cũng thu được

(Uc) '(t) — (Uc) (t}|, <|G'(t)-— Gt], + BOM, T)(A,,T,, + D|t— t}

(2.2.40)

Do USCS va tir danh gia (2.2.39), (2.2.40), ta suy ra được rằng họ các ham US= {Uc,c Ee S} là bị chặn và đẳng liên tục đối với chuẩn lÍ, của không

gian Y Áp dụng định lý Arzela-Ascoli đối với không gian Y, ta suy ra được

US 1a compact trong Y Do định lý điểm bất động Schauder nên U có điểm

bất động c eS, cũng chính là nghiệm của hệ (2.2.11) Bồ đề 2.2.1 được chứng

minh hoàn tất

Dùng bổ đề 2.2.1, hệ phương trình (2.2.5) - (2.2.7) có nghiệm

(u„(Đ,P„(Ð) trong một khoảng [0,T, ] Các đánh giá tiên nghiệm tiếp theo cho phép chúng ta lấy T„ =T với mọi m

Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm

Thế (2.2.6) vào (2.2.5), sau đó nhân phương trình thứ j của hệ (2.2.5) cho c„„'{©) và cộng các phương trình theo chi số j, ta có

(un()20z() + (02,02, ) + gạ()02,(0,1)

+Äu|uz(0,Đ) + K,|u„(0,Đ|T” u„(0,90(0,)

—u„(0, of k,(t—s)u,, (0,s)ds

Tích phân từng phần (2.2.41) theo biến thời gian từ 0 đến t, chúng ta có được phương trình sau bằng vài sự sắp xếp lại

Chúng ta đánh giá về phải của (2.2.42) như sau

—2g,(t)u,,(0,t) < : #a()+e|u„(0,t) P< : g2(0+eS„Œ) — (2247)

(2.2.50)

(2.2.51)

(2.2.56)

St dung bé dé Gronwall, ching ta rut ra tir (2.2.55), (2.2.56) la

S,,(t) < M® exp(tN) < M® exp(TN®) =C,, Vte[0,T] (22.57) Mat khac tir (2.2.6), (2.2.43), (2.2.57) ta rat ra:

voi Gr là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào T

Bước 3: Qua giới hạn

Từ (2.2.43), (2.2.58) - (2.2.60) ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con của

đãy {um, Pm}, vẫn kí hiệu là {um, P„}, sao cho:

u„->u trong L*(0,T;V) yếu* (2.2.61a)

u„(0,t)—>u(0,t) tronglI7(0,T) yếu* (2.2.61c) u.,(0,t) > u'(0,t) trong L’(0,T) yếu (2.2.61d)

Ap dung bé dé vé tinh compact ctia Lions (xem [6], p.57), kết hợp với

H'(0,T)GC°([0,T]), ta có thể suy từ (2.2.61a) - (2.2.61d) rang tn tai một dãy con vẫn ký hiệu là {un}, sao cho:

u„->u trong L’(Q,) manh vaa.e trong Qy (2.2.62a)

u,,(0,t) > u(0,t) trong C°(0,T}) (2.2.62b)

P(t) =g,(t)+K,|u(0,t) “”u(0,t)— fk, (t—s)u(0,s)ds (2.2.64)

Kết hợp với (2.2.61đ), ta được

P„()=P„()+^u„(0,) — P(t) +A,u'(0,t) = P(t) (2.2.65)

trong I?(0,7) yếu

Qua giới hạn trong (2.2.5) — (2.2.7) nhờ vào (2.2.61a), (2.2.61b),

(2.2.61e), (2.2.65) ta có

dj;

a (Đ,v)+(u,,v„)+P(Đv(0)

+ (K(x, t)u(t) +A(tyu (t),v)= (F(x, t), v) , VveVv

PŒ)=g,(t)+2„u,(0,9+ Kạ|u(0,Đ|”” u(0,)

- fk, (t—s)u(0,s)ds,

Sự tồn tại nghiệm được chứng minh xong

Bước 4: Sự duy nhất nghiệm

Giả sử (u, P), (8, P) là hai nghiệm yếu của bài toán (1) — (5) thỏa u,ueL*(0,T;V); u,,u, e1I7(0,T;12)

B6 dé 2.2.3 Cho ula nghiém yếu của bài toán

Uy —Uy, +O, =0, O< x <1,0<t<T

Chứng minh của bổ đề có thé tim thấy trong [3]

Chúng ta xét hai trường hợp cua a

Trường hop 1: «=2, H,(t) = H(u(0,t)) — H(u(0,t)) = u(0, t) — u(0, t)

ax] H,(s)v'(0,s)ds

KT do 5H (u(0,s) + 0v(0, s)je|x 10,s)ds

=2 ki lãi H(u@, s) + Ov(0, s))|a 0|» (0,t)

- 2K,[Y 0508 [Ir(6t0a) + 6v(0,s)}.|0'(0,s) + ye)

Dinh ly 2.2.2 Với các giả thiết (F), (gạ ) (K”), (⁄), (kạ ) (17), (2”)

được thỏa Khi đó tổn tại một nghiệm yếu (u,P) của bài toán (1) — (5) thỏa

ue1”(0,T;H?),u,c I”(0,T;H'),u„ eI”(0,7;12)

trong d6 c,,,(t) thỏa hệ phương trình vi phan phi tuyén

(uw), (€),W,) + (Us Wie) + Pa (tw, ; (0) (2.2.78) +(K(x,t)u,, (t) + A(t)u,, (t),w;) =(F(x,t),w;)

P,,(t)= go(t) + Aon (t) + Koln (0,t)[" “u„(0,9