Báo cáo khoa học: "Một cách tiếp cận mới tính sức chịu tải của nền đất trong trạng thái giới hạn" pot

Một cách tiếp cận mới tính sức chịu tải của nền đất trong trạng thái giới hạn gS.. vũ đình lai Bộ môn Sức bền Vật liệu - ĐH GTVT Tóm tắt: Tính sức chịu tải của nền đất trong trạng thái

Một cách tiếp cận mới tính sức chịu tải

của nền đất trong trạng thái giới hạn

gS vũ đình lai

Bộ môn Sức bền Vật liệu - ĐH GTVT

Tóm tắt: Tính sức chịu tải của nền đất trong trạng thái giới hạn lμ một bμi toán cơ bản của

cơ học vật rời Nó đã được giải bằng các phương pháp gần đúng hoặc phương pháp giải tích trong đó lời giải của Xôkôlôpxki lμ rất cơ bản

Trong bμi nμy, thông qua sự phân tích bằng hình vẽ trạng thái ứng suất thuần nhất ở biên môi trường vμ dựa vμo định lý về sự biến thiên trạng thái ứng suất dọc một đường trượt xoắn lôga, tác giả đã giải bμi toán trong trường hợp không xét trọng lượng bản thân môi trường một cách trực quan

Summary: The foundation load carrying capacity calculus in the limit state is a in –

coherent medium fundamental machanical problem It’s solved either by approximate or by analytical method, where the work of Sokolovski is fundamental

In this article, based on the graph analysis of a homogenous stresses state at the free or loaded straight boundary and the theorem on the stresses state variation along a logarithmic spiral slip line, the problem in the case of the weightless medium is solved directly

i đặt vấn đề

Việc tính toán sức chịu tải giới hạn của nền đất và mái đốc là một trong những bài toán cơ bản thường gặp trong thực tế xây dựng Trong những bài toán ấy, bài toán biến dạng phẳng theo tiêu chí phá huỷ của Coulomb rút lại là việc giải hệ ba phương trình dưới đây của môi trường trong trạng thái giới hạn:

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

ϕ σ

+ σ + σ

= τ + σ

ư σ

=

∂

σ

∂ +

∂ τ

= γ +

∂

τ +

∂

σ

∂

2 2 c y x 2 xy 2 y x

y xy

xy x

sin 2

4

0 y x

0 y

x

(1)

trong đó:

ϕ - góc ma sát trong;

σc - áp suất kết cấu trong;

γ - trọng lượng riêng của đất

Vì mô hình của tiêu chí Coulomb hoàn toàn tương tự như mô hình của tiêu chí Mohr trong bài toán vật rắn có biến dạng dẻo, do đó việc giải bài toán phẳng của hai môi trường này, rời và rắn, hoàn toàn tương tự và theo một tiêu chí chung thường gọi là tiêu chí Coulomb – Mohr Việc giải pháp phương trình (1) đã được B.B Sôkôlôpxki thực hiện một cách rất tổng quát trong [1] ở đây, từ việc tiếp cận bài toán theo hướng phân tích trạng thái ứng suất trong trạng thái giới hạn và dựa vào định lý biến thiên trạng thái ứng suất dọc đường trượt xoắn lôga, chúng tôi giải bài toán trong trường hợp không xét trọng lượng bản thân một cách trực quan hơn

ii một số quan hệ trong trạng thái ứng suất giới hạn

Trong bài báo này, chúng tôi tận dụng tính trực quan của việc biểu diễn một trạng thái ứng suất bằng vòng tròn Mohr Do đó ở đây qua hình 1, chúng tôi giới thiệu các quan hệ giữa các ứng suất trong trạng thái giới hạn mà người đọc có thể tính lại một cách không khó khăn

Trong trạng thái ứng suất giới hạn, ta quy ước đặt áp suất p là tổng của ứng suất với áp suất kết cấu trong σc, thí dụ p1= σc + σ1, ptb= σc + σtb, v.v…

Lấy áp suất tại mặt trượt là pT= σc + σT là thông số chính, ta có các quan hệ:

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

ϕ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

δ

=

ϕ

ư δ δ

δ

=

ϕ

ϕ

ư

= ϕ +

=

ϕ

ϕ +

= ϕ

ư

=

ϕ

=

2

2 2

T x

2 2

T x

2 T T

2

2 T T

1

2

T tb

cos

cos cos

cos cos p p

cos cos

cos

cos p

p

; cos

sin 1 p sin 1

1 p p

; cos

sin 1 p sin 1

1 p p cos

p p

m

(2)

(dấu trên khi px > ptb, dấu dưới khi px < ptb)

iii hai trường hợp điều kiện biên, trạng thái ứng suất vμ đường trượt

Ta đã biết trong bài toán phẳng theo tiêu chí

Coulomb – Mohr ở trạng thái giới hạn tồn tại hai họ

đường trượt α và β cùng xiên góc

Hình 1

⎟

⎠

⎞ 2 4

⎜

⎝

ư π

= μ μ

với họ đường ứng suất chính thứ nhất (hình 1)

Những họ đường trượt phụ thuộc các điều kiện

biên

Trong trường hợp tải trọng (hình 3) hoặc đối trọng (hình 2) phân bố đều, hai họ đường trượt

là hai họ đường thẳng Phân tích bằng vòng tròn Mohr, ta tính dễ dàng các góc của đường trượt:

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕ

δ +

δ + ϕ + π

= β

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕ

δ

ư δ

ư ϕ + π

= α

, sin

sin arcsin 2

2 1

, sin

sin arcsin 2

2 1

p p

p

p p

p

(3)

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕ

δ

ư δ + ϕ

ư π

= β

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕ

δ +

δ

ư ϕ

ư π

= α

, sin

sin arcsin 2

2 1

, sin

sin arcsin 2

2 1

q q

q

q q

q

(4)

Hình 2

Hình 3

iv định lý biến thiên áp suất mặt trượt dọc theo một đường trượt xoắn lôga

Trong nhiều trường hợp của bài toán giới hạn nền đất, đặc biệt trong trường hợp không xét trọng lượng bản thân, thường gặp miền trượt có dạng hình quạt, thí dụ miền OC1C2 trên hình 4a,

trong đó một họ đường trượt là những tia đồng quy Vì tính chất đẳng giao nên họ đường trượt thứ hai là những đường xoắn lôga Viết trong hệ toạ độ cực những đường này có dạng:

r = r0eθcotg 2μ hay r = r0eθtg ϕ (5) trong đó 2μ là góc giữa bán kính véc tơ và tiếp tuyến của đường xoắn lôga (hình 4 b)

Hình 4

Trong miền trượt hình quạt, trạng thái ứng suát không đồng nhất Dưới đây ta nghiên cứu quy luật biến thiên của một trạng thái ứng suất (ở trạng thái giới hạn) dọc một đường xoắn lôga Giả sử có phân tố ở trạng thái giới hạn (hình 4 c) Trên mặt AA’ có các ứng suất σθ, τθr thoả mãn phương trình cân bằng:

0 r

2 r r

∂

τ + θ

∂

σ

(6)

Với r = r0eθtg ϕ, σθ = pT - σc, τθr = pTtgϕ, sau vài phép biến đổi, ta được từ (6) phương trình vi phân thường:

0 r

dr 2 p

d T

Từ đó rút ra: pTr2 = const (7) Quan hệ trên cho ta định lý: Dọc đường xoắn lôga, áp suất mặt trượt biến đổi tỉ lệ nghịch với bình phương bán kính véc tơ Thí dụ nếu để ý 2 điểm C1 và C2 trên cùng đường xoắn lôga (hình 4 a), quan hệ (7) kết hợp với (5) cho ta tính được:

ϕ θ

=

2 1

2 2

2 TC

1

) OC (

) OC ( p

p

trong đó θ là góc giữa 2 bán kính véc tơ

V tính sức chịu tải giới hạn của nền đất vμ mái dốc

áp dụng những kết quả thu được ở trên, có thể dễ dàng tính được sức chịu tải giới hạn của nền đất và mái dốc Thí dụ có nền biến dạng phẳng và 2 dải lực phân bố (hình 5) Để đảm bảo

sự tương thích của biến dạng, nếu một giải là áp suất chủ động (P) thì dải thứ hai là áp suất bị

động (q)

Hình 5

Tính sức chịu tải là tính quan hệ giữa P và q, hay nói cách khác là xét sự cân bằng của miền trượt tương ứng với các điều kiện biên về lực là P và q ở đây ta chọn áp suất mặt trượt pT

là thông số đặc trưng cho trạng thái ứng suất để tìm quan hệ giữa P và q Thí dụ trên hình 5, ta chọn Cq trên miền trượt thuần nhất III, tại đó qx = σc + q Theo (2) ta có:

q

2 q 2 q

c Tq

cos

cos cos

cos q p

δ

ϕ

ư δ +

δ +

σ

= Tại miền trượt I, px = σc + P Cũng theo (2):

q

2 q 2 p

c p

cos

cos cos

cos P p

δ

ϕ

ư δ

ư δ +

σ

= τ

Theo (8) ta rút ra:

δ

ϕ

ư δ

ư δ +

σ

= δ

ϕ

ư δ +

δ +

p

2 p 2 p

c q

2 q 2 q

cos

cos cos

cos P cos

cos cos

cos

trong đó θ là góc ở đỉnh miền trượt hình quạt tính theo (3), (4):

θ = π - βp - αq (10) hay:

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

ư ϕ

δ

ư δ + δ

ư π

= θ

ϕ sin

sin arcsin sin

sin arcsin 2

q

Dưới đây là hai trường hợp đặc biệt:

Trường hợp 1: (hình 6a) Mái dốc có góc nghiêng γ, q = 0, δq = 0

c tg 2 2 p 2 p

p

cos cos

cos

cos )

sin 1 (

ϕ

ư δ

ư δ

δ ϕ

+ σ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

γ

ư ϕ

δ

ư δ

ư π

=

sin

sin arcsin 2

p

Trường hợp 2: (hình 6b) δq = 0

c tg 2 2

p p

p

cos

sin sin

cos cos ) sin 1 )(

q (

ϕ

⎟

δ ϕ + + σ

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

ϕ

δ

ư δ

ư π

= θ

sin

sin arcsin 2

Hình 6

Công thức (12) thường được tính sẵn và lập thành bảng tính theo dạng dưới đây:

pgh = Nqq + Ncc trong đó c= σctgϕ Các hệ số của bảng rút ra từ (12):

ϕ θ

ϕ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

δ ϕ +

2

p 2 2

p p

cos

sin sin

cos cos ) sin 1 (

Nc = (Nq - 1)cotgϕ

Vì các bản tính trước đây, thí dụ ở [4, 5] có nhiều chỗ chưa chính xác nên ở đây chúng tôi giới thiệu các kết quả tính đúng từ các quan hệ (14) (đã làm tròn với 2 số thập phân)

ϕ (0)

Nq

Nc

1,57

6,49

2,47 8,34

3,49 10,98

6,40 14,83

10,66 20,72

18,4 30,12

33,30 46,12

64,20 75,31

134,87

Nq

Nc

1,24

2,72

2,16 6,57

3,46 9,13

5,56 12,53

9,17 17,53

15,63 25,34

27,86 38,35

53,70 61,63

108,23

Nq

Nc

1,50

2,84

2,84 6,88

4,65 10,01

7,63 14,26

12,94 20,68

22,77 31,09

42,37 49,31

85,16

Nq

Nc

2,94

3,64 7,27

6,12 10,99

10,37 16,23

18,12 24,46

33,26 38,45

65,58

Nq

Nc

3,00

4,58 7,68

7,96 12,05

13,94 18,48

25,39 29,07

49,26

Nq

Nc

3,03

5,67 8,09

10,24 13,19

18,70 21,10

35,93

Nq

Nc

3,02

6,94 8,49

13,11 14,43

25,24

Nq

Nc

2,97

8,43 8,86

16,81

Nq

Nc

2,28

10,20

Nq

Nc

Tài liệu tham khảo

[1] B B Xôkôlôpxki Xtatika xputsei xredu Goxudarxtvennoe izdatelxtvo tekniko – teoritsexkoi literatur− –

Moxkva 1954

[2] F Schlosser Eléments de Mécanique des sols Presses de l’ ENPC Paris

[3] L M Katsanov Fundamentals of the theory of plasticity Mir publishers Moscow, 1974

[4] H A Tx− – tovich Cơ học đất NXB Nông nghiệp, Nhà xuất bản Mir, Hà Nội, Mascơva, 1987

[5] Lê Quý An, N C Mẫn, H V Tân Tính toán nền móng theo trạng thái giới hạn NXB KHKT – Hà Nội,

1976

[6] Vũ Đình Lai, N X Lựu, B Đ Nghi Sức bền vật liệu NXB Giao thông vận tải Hà Nội, 2002 Ă