Báo cáo khoa học: "những đóng góp mới trong ph-ơng pháp ma trận chuyển tiếp để tính thanh và hệ thanh dạng dải" pdf

Để giải những thanh cong không gian, trước đây, chúng tôi đã đề ra những ma trận tuyển nhằm mục đích tổ chức việc tính toán, thiết lập công thức tính vec tơ trạng thái dưới dạng tường mi

những đóng góp mới trong phương pháp ma trận chuyển tiếp để tính thanh vμ hệ thanh dạng dải

gS vũ đình lai

Bộ môn Sức bền vật liệu - ĐH GTVT

Tóm tắt: Phương pháp ma trận chuyển tiếp lμ phương pháp rất hiệu quả để tính thanh

hoặc siêu thanh dạng dải Để giải những thanh cong không gian, trước đây, chúng tôi đã đề ra những ma trận tuyển nhằm mục đích tổ chức việc tính toán, thiết lập công thức tính vec tơ trạng thái dưới dạng tường minh

Trong công trình nμy, chúng tôi tiếp tục hoμn thiện phương pháp bằng cách khai thác triệt

để các mảng trong ma trận nút Điều nμy lμm cho thuật toán đơn giản hơn nhiều

Summary: New contribution in the Matrix – transfert method

Transfert – matrix method is the most effective method in the caculating of a strip shape bar or superbar Before, we have proposed different types of select matrix in order to separating the condition and unknown components, that permits to establish the formula of the state vector in explicite form

In this article, our method is more perfected by thorough exploiting all partioned matrices

in the point matrix Finally our new algorithm for the calculating of the state vector is more simple

1 vμi nét về ý tưởng hoμn thiện phương pháp

Phương pháp ma trận chuyển tiếp (MTCT) là một trong những phương pháp giải tích cơ bản để tính hệ thanh Nó đặc biệt có hiệu quả khi tính thanh dạng dải (thẳng, cong, không gian) ứng dụng vào bài toán ổn định, dao động, nó cho phép giải một loạt các trường hợp phức tạp

Được hình thành từ giữa thế kỷ trước, phương pháp MTCT đã được nhiều tác giả phát triển theo những hướng khác nhau và đã thu được nhiều kết quả [1, 2, 3, 4, 5]

Trước đây, sử dụng phương pháp này để nghiên cứu thanh cong phức tạp, chúng tôi đã

đưa ra những ma trận tuyển (ẩn và điều kiện) nhằm mục đích tổ chức việc thiết lập các phương trình tính toán [6, 7, 8, 9] Việc này làm cho phương pháp trở thành đơn giản, vectơ trạng thái của thanh được viết dưới dạng tường minh bằng một công thức Trong một chuyên đề giới thiệu gần đây, chúng tôi đã giới thiệu vectơ trạng thái của thanh bất kỳ có dạng:

' a 0 1 1 i 1 i i a i

i(s) K (s)W KL(s)N L LN W

trong đó:

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Λ

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Λ

ư

ư

ư

dj 1 a j 1 n dj a

b

Trong công trình này, với ý tưởng hoàn thiện phương pháp bằng cách giảm bớt các ma trận xuất phát tức là giảm công chuẩn bị, đã khai thác thêm các mảng chưa được sử dụng hết trong

ma trận nút, đồng thời sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh - động liên quan đến khái niệm các mômen bậc cao

Chúng tôi đã không sử dụng đến các ma trận tuyển điều kiện Td’ từ đó công thức tính véc tơ trạng thái được đơn giản hơn nhiều

ii các véc tơ vμ ma trận xuất phát

Trong các phương pháp tính dùng MTCT ngoài những ẩn ở đầu trái (gốc xuất phát để tính toán) còn có ẩn ở những liên kết ngoài cứng và liên kết trong trơn Những giá trị không biết ở

đầu phải (nút cuối thanh) thường được tính ra trong bước 2 của việc giải bài toán Trong thuật toán mới để đồng thời giải quyết thuận tiện trường hợp khi ở nút cuối có liên kết đàn hồi, các giá trị không biết tại đây dù trường hợp nào cũng được coi là ẩn và được tính trong bước 1 Như vậy

số ẩn n của hệ bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 2 lần số k của bài toán n = 2k + m, trong đó m

là số ẩn ở giữa hai nút đầu và cuối

Trong quan hệ trên, k là số lượng các yếu tố nội lực hoặc chuyển vị trên mặt cắt của bài toán, thí dụ:

- Thanh thẳng bị uốn ngang + kéo, nén k = 3

- Thanh không gian phẳng (uốn + xoắn) k = 3

- v.v

Dưới đây giới thiệu các dạng véc tơ và ma trận được sử dụng trong phương pháp Những

đại lượng này, có cái đã được trình bày trong các tài liệu nghiên cứu về phương pháp ma trận

chuyển tiếp, thí dụ ma trận nhịp Li, có cái do chúng tôi đã đề xuất trước đây, thí dụ các ma trận

tuyển Ta’ Tb Tuy nhiên, để đảm bảo tính hệ thống, chúng tôi vẫn nhắc lại cùng với những đại lượng mới hoàn thiện, đặc biệt là ma trận nút Ni

Véc tơ ẩn wa là véc tơ ghi các ẩn từ nút đầu đến nút cuối Kích thước: n

wa = { ẩn nút 0 (k) ẩncácnúttrun gian(m)

yể

u tạo

Véc tơ tu n biết Tb có kích thước (n + k

+ 1) và cấ như sau:

Ta có kích thước

bên)

t đầu (nút 0)

Ta =

Tb = {0 0 … 0 0 1}

Véc tơ tuyển biết

k + 1)*n và cấu tạo

Trong đó mảng AD phụ thuộc dạng liên

1

0

1 0

0

0 1 0

0

n - k +1

Véc tơ ẩn tính toán Wa có kích thước (n + k + 1)

(k) n nút (m)ẩn gian

Như vậy theo

Wa = Tb + TaWa

Ma trận nhịp Li có kích thước (n + k + 1

tơ trạng thái gồm 2k thành phần ở đầu (trái) một

đoạn

Li =

định nghĩa:

)2

Tác dụng của ma trận nhịp là chuyển véc

thanh đến cuối (phải) đoạn thanh đó, thể hiện bằng mảng C đồng thời cộng thêm ảnh hưởng của các yếu tố phân bố được ghép vào bởi mảng b Ma trận nhịp có dạng sau đây:

1 0

0

1 1 1

0

b 0

C

ấu tạo mảng C phụ thuộc nghiệm các phương trình vi phân cơ bản đoạn thanh giải ra với các

h thước (n + k + 1)2

1

Ni=

0

2k 2k

C

điều kiện đầu đoạn

Ma trận nút Ni có kíc

Dạng tổng quát của ma trận nút như sau:

1

1

c dụng u đây:

Mảng Đ (2k) Mảng này có tác dụng chuyển véc tơ trạng thái từ bên trái nút sang bên phải nút

. Mảng này có tác dụng đưa các yếu tố chuyển vị cưỡng bức (Δv, Δα), mômen tập trung

t (trừ nút đầu, ở đấy các ẩn đã

được

ở nút đầu) Việc gửi thực hiện bằng

ày ở nút cuối giảm đi

k giò

Nếu liên kết tại nút là đàn hồi thì mảng này được thêm phản lực liên kết ngoài đưa vào nhờ

độ cứng cv, - cα; hoặc được thêm số gia chuyển vị do có liên kết trong đàn hồi đưa vào nhờ độ mềm fv, - fα

Mảng B

hoặc lực (M, P) tại nút vào véc tơ trạng thái bên phải nút

Mảng A. Mảng này có tác dụng đưa các yếu tố ẩn tại nú

đưa vào nhờ mảng AD) vào véc tơ trạng thái bên phải nút

Mảng G. Đây là mảng gửi các điều kiện (không để điều kiện

việc chuyển số 1 của một dòng đến cột tương ứng với loại điều kiện

Vì điều kiện của nút cuối cùng không cần gửi vào mảng G nên mảng n

ng Nó có kích thước m*(n + k + 1) và cấu tạo như sau:

1 0

0 0

0 1

0 0

1

0 0

1

0 0

Như vậy kích thước ma trận nút cuối Nn có kích thước n*(n + k + 1)

được dưới dạng tường minh

iii công thức cơ bản

véc tơ ẩn tính toán Wa Chuyển tiếp véc tơ này cùng các thông số chuy

(4)

của

(6) Thay Wa bằng (3), ta được:

Vì việc sử dụng phương pháp ma trận chuyển tiếp cho phép viết

yếu tố cần tính, nên việc chuẩn bị các véc tơ ma trận xuất phát trở thành công việc chủ yếu Trong thực tế có thể lập catalô các mảng giới thiệu ở trên để người làm toán có thể tra và chuẩn bị dữ liệu một cách dễ dàng, thí dụ xem [10]

Giả sử bài toán n ẩn,

ển vị và lực đã biết nhận được ở các nút thông qua mảng B hoặc ở các đoạn thanh thông qua mảng b đến bên phải nút cuối cùng n ta được véc tơ:

Λn Wa

Véc tơ (4) gồm (2k + m) thành phần, trong đó 2k thành phần ở các dòng trên là thành phần véc tơ trạng thái bên phải nút cuối Đấy là những tổng mômen các bậc của các yếu tố tĩnh -

động của thanh đối với mặt cắt phải của nút cuối cùng Những mômen bậc cao này triệt tiêu (xem [11]) Còn m thành phần ở dưới từ 2k + 1 đến n là những điều kiện (thành phần triệt tiêu của véc tơ trạng thái) ở các nút trung gian Vì vậy ta có phương trình:

Λn Wa = 0

Từ đó, rút ra véc tơ ẩn tính toán Wa đơ

(8)

lập cá

n giản hơn nhiều so với (2):

Wa = Tb – (ΛnTa)-1ΛnTb

ng pháp MTCT dạng mới, dưới đây là thí dụ về việc thiế

c ma trận

Hình 1

Giải hệ vẽ trên hình 1

ở đây, n = 5, k = 2

wa = { v0 α0 R1 v3 α3 }

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

1 0 0 0 0 0 0 0

T

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

N

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

M 0 0 0 0 1 c 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

1 0

ư

ư

=

α

0 0 0 1 0 0 0 0

P 0 0 0 1 0 0 c

0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 1

N

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

M 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 f 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

N

3 v 3 2

2

ư

ư

=

α

iv kết luận

Như ở trên đã trình bày công thức véc tơ ẩn (8) đã được hoàn thiện bằng cách khai thác hết các mảng của ma trận nút, do đó thuật toán tính thanh có thể nói là tối giản Với công thức cơ bản này hoàn toàn có thể mở rộng cho các loại thanh và siêu thanh dạng dải, thanh cong không gian có hoặc không có nền đàn hồi, các bài toán ổn định, dao động của những thanh này…

Tài liệu tham khảo

[1] Albigès M., Coin A., Journet H Etude des structures par la méthode matricielle Eyrolles

Paris, 1969

[2] Géry P M., Calgaro J A. Les matrices - transfert dans le calcul des structures Eyrolles Paris 1973

méthode des matrices – transfert Annales de L’ Institute technique des bâtiments et des tr

kva

1972

[6] V Đ Lai. Ma trận chuyển tính thanh cong không gian Tập san KHKT Giao thông vận tải 5 - 1978

0

[3] Lacroix R. La

avaux publics 1967, 20, N 0 231 – 232, 345 – 364

[4] Pestel E C., Leckie F A. Matrix methods in Elastomechanics Mc Graw - Hill Book Company Inc New York 1963

[5] Ponomariev K K. Raxchet elementov kontrukxhij x primeneniem Ehxh VM Masinoxtroenie Mox

[7] V Đ Lai. Tính thanh cong không gian liên tục bằng ma trận chuyển Thông tin KHKT trường ĐHGT

Đường sắt và Đường bộ 4 - 1978

[8] V Đ Lai. Tính thanh cong không gian liên tục dưới tác dụng của nhiệt độ thay đổi Thông tin KHKT trường ĐHGT Đường sắt và Đường bộ 4 – 1978

[9] V Đ Lai. Ma trận chuyển ảnh hưởng của tải trọng phân bố trên thanh cong không gian Thông tin KHKT trường ĐHGT Đường sắt và Đường bộ 1 – 198

[10] Ivovich V A Perekhodnue matrixhu v dinamike uprugikh xixtem Masinoxtroenie Moxkva 1957 [11] V Đ Lai. Về phương pháp tính chuyển vị của dầm thẳng bằng các mômen bậc cao Thông báo các Trường Đại học Xây dựng và GTVT Bộ Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội 1 - 1971 Ă