Vũ đình lai Bộ môn Sức bền vật liệu - ĐH GTVT Tóm tắt: Bμi báo giới thiệu một cách thiết lập ma trận độ cứng của thanh vμ siêu thanh của phương pháp phần tử hữu hạn xuất phát từ ma trậ
Trang 1lập ma trận độ cứng phần tử thanh
từ ma trận chuyển tiếp
GS Vũ đình lai
Bộ môn Sức bền vật liệu - ĐH GTVT
Tóm tắt: Bμi báo giới thiệu một cách thiết lập ma trận độ cứng của thanh vμ siêu thanh
của phương pháp phần tử hữu hạn xuất phát từ ma trận chuyển tiếp
Summary: In this paper, is introduced a efficient method for founding the Stiffness Matrix
of a bar or superbar in the finite element method from the transfert – matrix
i đặt vấn đề
Trong các tài liệu nghiên cứu hoặc giảng dạy phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) [1, 2, 3] nói chung, người ta thường sử dụng nguyên lý năng lượng để lập ma trận độ cứng (MTĐC) Riêng đối với phần tử thanh, người ta lại thường sử dụng những công thức sẵn có của Sức bền vật liệu, do đó việc lập MTĐC được dễ dàng lại chính xác Tuy nhiên, đối với phần tử thanh phức tạp, thí dụ thanh có mặt cắt biến đổi, thanh thành mỏng, … thì việc sử dụng như thế lại không
dễ dàng Nhiều trường hợp người ta lại phải trở về phương pháp năng lượng trong đó hàm chuyển vị thường là hàm gần đúng, làm cho độ cứng của phần tử cũng là gần đúng Khi đó bài toán giải bằng phương pháp PTHH chỉ đạt được độ chính xác mong muốn khi hệ được phân thành nhiều phần tử nhỏ Trong [4] tuy vẫn dùng phương pháp năng lượng nhưng các tác giả đã
sử dụng hàm chuyển vị của thanh trên nền đàn hồi là hàm đúng đã được giải ở môn Sức bền vật liệu nên đã đạt được MTCĐ “đúng”
Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu phương pháp lập MTĐC thanh hoặc thanh dạng dải phức tạp dựa vào ma trận chuyển tiếp (MTCT) của chúng Vì MTCT rút ra từ phương pháp giải tích của SBVL, nên có thể coi MTĐC của phần tử thanh hoặc siêu thanh tính theo cách này là chính xác (theo nghĩa đã được chấp nhận trong lý thuyết thanh và hệ thanh) Do ưu điểm này của MTĐC lập từ MTCT nên trong bài toán cụ thể chiều dài phần tử thanh hoặc siêu thanh không bị hạn chế mà vẫn đảm bảo độ chính xác
Ii lập mtđc thanh từ mtct
Theo lý thuyết từ MTCT ta có quan hệ giữa véc tơ chuyển vị – nội lực ở 2 đầu thanh như sau (hình 1)
{w2 W2} = LCT {w1 W1} (1) trong đó:
{Wi} = {uξliuξ2iuξ3iϕξliϕξ2iϕξ3i}: véc tơ chuyển vị tại nút i (i = 1, 2);
Trang 2{Wi} = {QξliQξ2iQξ3iMξliMξ2iMξ3i}: véc tơ lựa tại nút i (i = 1, 2);
22 21
12 11 CT
L L
L L
L = : ma trận chuyển tiếp từ nút 1 đến nút 2
Hình 1
Do véc tơ lực tại nút 2 của phương pháp MTCT có ý nghĩa là véc tơ lực ở nút 1 được chuyển tiếp đêns đầu của phần tử kế tiếp, trong khi đó, ở phương pháp PTHH, véc tơ này có ý nghĩa là véc tơ lực ở nút cuối của phần tử đang xét (hình 2), vì vậy để bảo đảm ý nghĩa đã quy định, trước khi tính toán cần đổi dấu véc tơ W2 , cũng tức là đổi dấu của các phần tử tương ứng ở ma trận LCT Khi đó ta được MTCT theo quy ước dấu mới:
22 21
12 11 L L
L L L
ư
ư
Hình 2
Thay LCT ở (1) bằng L ta viết được:
+
=
1 22 1 21 2
1 12 1 11 2
W L w L W
W L w L w
Giải hệ (2) ta rút ra:
{W1} = K11 {w1} + K12{w2} {W2} = K21 {w1} + K22{w2} hay:
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
2 1
22 21
12 11
2 1
2
1
w
w K K
K K w
w K W W
Trang 3trong đó Kij (i, j = 1, 2) là những ma trận thành phần của MTĐC cần tìm:
(4)
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
ư
=
+
ư
=
=
ư
=
ư
ư
ư
ư
1 12 22 22
11 1 12 22 21 21
1 12 12
11 1 12 11
L L K
L L L L K
L K
L L K
iii thí dụ thiết lập mtđc
Phần tử dầm có mặt cắt không đổi trên nền đμn hồi Winkler:
MTCT của dầm (xem [5]):
A m
B D m
k C m k
mD 4 A C m
k B m k
EJm
B EJm
C A
mD 4
EJm
C EJm
D m
B A
L
3 2
2
2
2 3
CT
ư
ư
ư
ư
ư
ư
ư
áp dụng (4) ta rút ra dạng cuối cùng của MTĐC của phần tử dầm:
mQ
N m 2 P m 2 X
Đ
mD 8 C m 8 mQ
C m 8 B m 8 N m 2 P m 2
M
EJ K
2 3
2
2 3
2 3
ư
ư
ư
=
Trong những quan hệ trên:
k: hệ số nền ở đáy dầm, m = (k/4EJ) Λ (1/4): hệ số dầm nền,
A = chml.cosml,
B = (sinml.chml cosml.shml),
2
1
C = shml.sinml,
D = (sinml.chml cosml.shml),
4
M = ch2ml + cos2ml, N = ch2ml – cos2ml,
P = sh2ml + sin2ml, Q = sh2ml – sin2ml
Vì mục đích minh hoạ thí dụ trên đã được tính bằng chữ Trong thực tế, các siêu phần tử có thể phức tạp hơn, khi đó việc lập MTCT sẽ phải thực hiện bằng số ngay từ đầu, sau đó có thể viết dưới dạng tường minh biểu thức quan hệ chuyển tiếp giữa véc tơ chuyển vị – nội lực ở 2 mặt cắt đầu và cuối của thanh phức tạp (siêu phần tử) [6], rồi từ MTCT của biểu thức lập được MTĐC theo các quan hệ (4)
Trang 4Tài liệu tham khảo
[1] J H Argiris Recent advances in matrix methods of structural analysis Pergamon press Oxford 1964
(bản dịch tiếng Nga)
[2] Hồ Anh Tuấn, Trần Bình Phương pháp phần tử hữu hạn Nhà xuất bản KH và KT Hà Nội 1978 [3] Nguyễn Xuân Lựu Phương pháp phần tử hữu hạn Giáo trình Trường Đại học Giao thông Vận tải Hà
Nội, 2000
[4] Vũ Văn Thμnh, Lương Xuân Bính Kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp giải tích để
nâng cao độ chính xác phương pháp phân tích kết cấu Tạp chí KH và CN Xây dựng Bộ xây dựng Số 3/2000
[5] Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi Sức bền vật liệu Nhà xuất bản GTVT Hà Nội, 2002 [6] Vũ Đình Lai Mở đầu về phương pháp ma trận chuyển tiếp Chuyên đề Cao học Đại học Giao thông
vận tải Hà Nội, 1999 Ă