Báo cáo khoa học: "Tính kết cấu khung phẳng và nền làm việc đồng thời có kể đến trình tự đặt tải bằng ph-ơng pháp phần tử hữu hạn" docx

Tính kết cấu khung phẳng vμ nền lμm việc đồng thời có kể đến trình tự đặt tải bằng phương pháp phần tử hữu hạn vũ văn thành Trần ngọc linh Bộ môn TĐH TK Cầu Đường - ĐH GTVT Tóm tắt: Hi

Tính kết cấu khung phẳng vμ nền lμm việc đồng thời

có kể đến trình tự đặt tải bằng phương pháp phần tử hữu hạn

vũ văn thành Trần ngọc linh

Bộ môn TĐH TK Cầu Đường - ĐH GTVT

Tóm tắt: Hiện nay nhu cầu về nhμ ở của người dân thμnh thị đang rất cao ở Hμ Nội, có

nhiều công trình xây dựng nhμ cao tầng đang được triển khai ở nhiều nơi, tuy vậy vẫn chưa đáp ứng được nhu cầu thực tế Nhưng trong tính toán thiết kế, hầu hết việc tính toán kết cấu đều

được tính toán với sơ đồ một giai đoạn, có nghĩa lμ không kể đến các diễn biến của quá trình thi công Bμi báo nμy nghiên cứu về mô hình tính toán kết cấu theo các giai đoạn thi công, từ đó

áp dụng lý thuyết để viết chương trình tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn cho các kết cấu nμy, phân tích kết quả tính vμ đưa ra những khuyến nghị cho các đơn vị thiết kế

Summary: In the design of height buildings, designers often calculate the frame and the

foundation struture separately This does’n reflect the true working model of the structure This article introduces an approach of calculating model of this problem using finite element method The authors introduce also a computer program to test and estimate the theory

I Đặt vấn đề

Kết cấu khung được sử dụng phổ biến trong các công trình xây dựng, giao thông và thuỷ lợi Đặc biệt, trong công trình xây dựng dân dụng ở nước ta hiện nay, kết cấu khung bê tông cốt thép thi công tại chỗ đã và đang được sử dụng phổ biến Móng của những công trình này thường

là móng băng, móng bè hoặc móng cọc Việc tính toán kết cấu khung và móng làm việc đồng thời và tính toán theo đúng trình tự đặt tải sẽ phản ánh sát tình hình chịu lực thực tế của kết cấu hơn so với cách tính toán thông thường là tính khung và móng riêng biệt và không kể đến trình

tự đặt tải Trong bài viết này các tác giả giới thiệu phương pháp PTHH là phương pháp mạnh cho phân tích kết cấu để áp dụng cho bài toán này Sau cùng là một số ví dụ được tính toán bằng một phần mềm do các tác giả xây dựng

II Mô hình các phần tử hữu hạn vμ ma trận độ cứng của nó

Có 2 mô hình để tính kết cấu trên nền đàn hồi Mô hình thứ nhất là mô hình sử dụng

phương pháp hệ số nền Trong phương pháp này, người ta thiết lập mối quan hệ giữa tải trọng tác dụng, phản lực giữa nền với kết cấu và chuyển vị của nền thông qua một số hệ số nào đó Các hệ số này được gọi là hệ số nền và chúng được xác định trực tiếp bằng thí nghiệm tại hiện trường hoặc gián tiếp bằng lý thuyết Mô hình một hệ số nền của Winkler và mô hình hai hệ số

nền của Pasternak là được sử dụng phổ biến nhất Mô hình thứ hai là mô hình coi môi trường

nền và kết cấu là một hệ kết cấu thống nhất, biên của hệ kết cấu này xác định bằng cách coi những điểm trong nền có chuyển vị rất nhỏ so với kích thước của kết cấu là những điểm có

chuyển vị bằng không (liên kết cứng) Bài báo này trình bày phương pháp tính kết cấu theo mô thứ nhất Còn mô hình thứ hai sẽ được trình bày trong một bài báo khác

Với mô hình kết cấu đã chọn như trên, kết cấu sẽ được chia thành các loại phần tử hữu hạn sau:

2.1 Phần tử hữu hạn thanh 2 điểm nút

Đối với phần tử thanh liên kết hai đầu ngàm, có độ cứng chống kéo nén EF và độ cứng chống uốn EJ, các thành phần lực nút được thể hiện trên hình 1, có véc tơ chuyển vị nút { } và véc tơ lực nút { } , từ phương trình

e

δ

e

F [ ]Ke{ } { }δ e= Fe, ta dễ dàng xác định được ma trận độ cứng phần tử quen thuộc như công thức (1)

{ } ; { }

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

ϕ

ϕ

= δ

2 2 2 1 1 1

e v u

v u

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

2 2 2 1 1 1

e

M Q N M Q N

F

N1

y

x

Q1

M1

1

M2

N2

Q2 z a

Hình 1.

2

Đối với những phần tử hữu hạn thanh có liên kết ở hai đầu khác nhau ta cũng xác định ma trận độ cứng theo cách trên

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

=

a

EJ 4 a

EJ 6 0 a

EJ 2 a

EJ 6 0

a

EJ 6 a

EJ 12 0 a

EJ 6 a

EJ 12 0

0 0

a

EF 0 0

a EF

a

EJ 2 a

EJ 6 0 a

EJ 4 a

EJ 6 0

a

EJ 6 a

EJ 12 0 a

EJ 6 a

EJ 12 0

0 0

a

EF 0 0 a EF

K

2 2

2 2

3

2 2

2 3

2 3

2.2 Phần tử hữu hạn dầm 2 điểm nút trên nền đàn hồi một hệ số của Winkler

Để tìm lời giải chính xác (trùng với lời giải của phương pháp giải tích), ta sử dụng phương pháp thông số ban đầu của môn Sức bền vật liệu để xác định ma trận độ cứng [ ]Ke

Từ hệ phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn [ ]Ke{ } { }δe = Fe, ta đi xác định các số hạng kij trong [ ]Ke của phần tử hai đầu ngàm (hình 2) bằng cách lần lượt cho ngàm 1 và

ngàm 2 các chuyển vị đơn vị u = 1, v = 1 và ϕ = 1 lần l−ợt có 36 thành phần phản lực tại hai ngàm 1 và 2 chính là 36 thành phần trong ma trận độ cứng [ ]Ke cần tìm ở trên Ma trận độ cứng phần tử:

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

66 65 63

62

56 55 53

52

44 41

36 35 33

32

26 25 23

22

14 11

e

k k 0 k k 0

k k 0 k k 0

0 0

k 0 0 k

k k 0 k k 0

k k 0 k k 0

0 0

k 0 0 k

( )

2 ml ml ml

ml ml ml ml x 3

3 1 22

C D B

D C 4 B A EJ dz

0 v d Q k

−

+

=

−

=

x ml ml 2 ml

ml ml 2 ml x

2

2 1

D B C

C A D 4 EJ dz

0 v d M k

−

+

=

−

=

()

1 ml 1 ml ml

x 3

3 2

m

kB EJ dz

l v d Q

()

1 ml 1 ml 2

ml x 2

2 2

m

B M A m

kC EJ dz

l v d M

x ml ml 2 ml

ml ml ml ml x 3

3 1

D B C

D B 4 A C EJ dz

0 v d Q k

−

−

=

−

=

( )

m EJ D B C

D A C B EJ dz

0 v d M

ml ml 2 ml

ml ml ml ml x 2

2 1 33

−

+

=

−

=

()

1 ml 1 ml 2

ml x 3

3 2

m

kC EJ dz

l v d Q

()

1 ml 1 ml 3

ml x 2

2 2

m

B M A m

kD EJ dz

l v d M

Nếu bỏ qua ma sát giữa nền và thanh thì ta dễ dàng tìm đ−ợc:

l

EF k

k ,

l

EF k

k11 = 44 = 41 = 14 =−

trong đó: Amz=chmz−cosmz,

(sinmz.chmz cosmz.shmz)

2 1

shmz.sinmz

2

1

(sinmz.chmz cosmz.shmz)

4

1

2.3 Phần tử hữu hạn cọc trong nền đàn hồi

Khi cọc chịu uốn, ta vẫn dùng mô hình nền của Winkler, nếu lấy trục z trùng với trục phần

tử cọc thì ta có phương trình p(z) = k.v(z) Khi cọc có chuyển vị dọc trục, giữa nền và cọc sẽ phát sinh lực ma sát dọc trục Coi nền như hệ lò xo và sử dụng phương trình:

q(z) = k0u,u(z), (3) trong đó: q(z) là lực ma sát dọc trục do chuyển vị dọc trục u(z) gây ra

kou = S.ku, với S là chu vi cọc, ku là hệ số quan hệ giữa phản lực dọc trục của nền

lên cọc và chuyển vị dọc trục cọc

Vậy ta có phương trình vi phân sau:

EF

z q z u EF

k dz

z u

2

=

( )z

q∗ là tải trọng phân bố dọc trục Thường thì trong nền q∗( )z = 0

Đặt

EF

kou

=

α , nghiệm thuần nhất của phương trình (6) có dạng:

u(z) = C1eαz + C2e-αz, (7) trong đó: C1, C2 là hai hằng số chưa biết

Với u1 = 1, ta có điều kiện sau:

Tại z = 0, u(0) = 1, tại z = l , u(l) = 0, ta tìm được:

l sh 2

e C

, l sh 2

e C

l 2

l

α α

ư

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

α

+ α α

ư

= ưαl α l αl eư α l

l sh 2

e e l sh 2

e z

Từ (8), ta tìm được:

( )

EF l sh

l ch EF dz

0 du N

k11 1

α

α α

=

ư

=

ư

()

EF l sh

EF dz

l du N

k14 2

α

α

=

ư

=

Do tính đối xứng của ma trận độ cứng phần tử, nên ta có: k44 = k11 , k41 = k14

Các số hạng còn lại của [ ]Ke được xác định như ở mục 2

Với 3 mô hình phần tử hữu hạn trình bày ở trên, việc dời tải trọng đặt trong phần tử về tải

trọng nút cũng có thể thực hiện bằng phương pháp của môn Sức bền vật liệu để có được kết quả trùng với phương pháp giải tích, phương pháp được coi là phương pháp chính xác

III Hệ phương trình cơ bản, các điều kiện biên vμ xác định nội lực phần tử

Sau khi thực hiện phép biến đổi toạ độ, sắp xếp ma trận độ cứng phần tử vào ma trận độ cứng của kết cấu và thành lập véc tơ tải kết cấu ta sẽ lập được hệ phương trình cơ bản

[ ]K'{ } { }Δ' = F' Xử lý điều kiện biên bằng cách cộng vào hệ số kii tương ứng với bậc tự do thứ i của

ma trận độ cứng với giá trị độ cứng của liên kết Giải hệ phương trình [ ]K'{ } { }Δ' = F' ta được chuyển vị nút của liên kết trong hệ toạ độ chung Ta xác định chuyển vị nút phần tử trong hệ toạ

độ địa phương từ chuyển vị nút phần tử trong hệ toạ độ chung theo công thức:

{ }Fe =[ ]Te{ }δ'e Xác định véc tơ nội lực nút của phần tử theo công thức:

[ ] [ ] [ ]Fe = KeTe{ }δ'e Nếu có nội lực phần tử thì:

{ } [ ] [ ] { } { }g

e e e e

trong đó: [ ]Fge là nội lực nút của phần tử do tải trọng trong phần tử gây ra;

[ ]Te là ma trận biến đổi toạ độ của phần tử thanh thẳng 2 điểm nút

Để xác định nội lực và chuyển vị của mặt cắt bất kỳ trong phần tử, ta dùng phương pháp thông số ban đâù của môn SBVL Có được các kết quả trên, ta có thể vẽ được các biểu đồ nội lực và chuyển vị các kết cấu

IV Tính kết cấu có kể đến trình tự đặt tải

Ta quan sát ví dụ sau: Một ngôi nhà

có kết cấu khung bê tông như trên hình 2a Người ta xây dựng dần theo trình tự Móng –T1 – T2 – T3 – T4

Hình 2a.

Thời gian cách giữa các bộ phận là

21 ngày Như vậy khung được hình thành qua 6 giai đoạn Nếu tổ hợp tải trọng lâu dài là trọng lượng bản thân thì sơ đồ tính thực tế gồm 4 sơ đồ (Hình b, c, d, e) sau:

Như vậy, trọng lượng bản thân của các tầng thi công trước sẽ không ảnh hưởng đến kết cấu của tầng thi công

sau Kết quả cuối cùng là tổng kết quả của các trường hợp tính Còn nếu ta đi tính một lần cho sơ đồ cuối cùng (hình 2a) thì sẽ không phản ánh được quá trình đặt tải thực tế

Để giải quyết bài toán này, có thể làm theo các bước sau:

Bước 1 – Mô tả số liệu cho sơ đồ kết cấu hoàn thiện cuối cùng như các bài toán tính kết cấu không kể đến trình tự đặt tải bình thường khác

Bước 2 - Phân chia các bài toán theo đúng trình tự đặt tải (trình tự thi công)

Bước 3 - Tính toán nội lực từng sơ đồ tính và cộng các kết quả này lại ở các phần tử tương ứng

Các tác giả đã xây dựng chương trình tính để giải quyết bài toán trên Chương trình có nhiều tính năng tiện lợi cho người dùng mô tả kết cấu, tính toán và biểu diễn kết quả

Hình 2b

Hình 2c

Hình 2d

Hình 2e

V Ví dụ tính toán, phân tích kết quả vμ kết luận

Ví dụ về tính kết cấu nhà khung 11 tầng, kết quả tính ở bảng dưới Chạy chương trình tính theo 3 sơ đồ: sơ đồ 1 tính theo một giai đoạn thi công với móng cứng (hiện nay các đơn vị thiết

kế thường sử dụng sơ đồ này), sơ đồ 2 tính theo nhiều giai đoạn thi công với móng cứng, sơ đồ

3 tính theo nhiều giai đoạn thi công với kết cấu móng và nền làm việc đồng thời

Nhận xét kết quả Trong ví dụ này thì

Các thanh đứng (cột):

• Lực dọc tính theo Sđ1 nhỏ hơn Sđ2 và Sđ3 Đối với thanh dưới cùng (11, 22, 33) thì giá trị nội lực chênh lệch giữa các sơ đồ là (18, 22, 18 %) Giá trị sai số tăng dần từ thanh trên xuống thanh dưới

• Phần tử 14, 15 (ở giữa) thì nội lực tăng, giảm không đáng kể

• Có một số thanh mô men đổi dấu

Các thanh ngang (dầm):

• Các thanh phía trên thì: Sđ1 > Sđ2 và Sđ3 Thanh trên cùng (54,55) có nội lực chênh lệch giữa các sơ đồ là 16.13, 20.90 % đối với mô men và 4.44, 5.75 % đối với lực cắt)

• Các thanh phía dưới: Sđ1 < Sđ2 và Sđ3 (thanh số 34,35)

• Các thanh ở giữa có giá trị nội lực chênh lệch nhỏ

• Giá trị tuyệt đối các giá trị nội lực chênh lệch của các thanh phía trên lớn hơn các thanh phía dưới về mô men và lực cắt (do thanh phía dưới có lực dọc lớn hơn)

• Đối với một số thanh, giá trị chênh lệch này rất lớn (hàng nghìn %), nh−ng thực ra giá trị nội lực tuyệt đối lại rất nhỏ nên giá trị chênh lệch về nội lực giữa các sơ đồ tính là không có ý nghĩa gì

(N)

Biểu đồ lực cắt (Q) Kết cấu

Sơ đồ

Kết cấu

Biểu đồ lực dọc (N)

Biểu đồ mô men (M) Biểu đồ lực

cắt (Q)

Giá trị chênh lệch nội lực giữa giữa sơ đồ tính 1 vμ sơ đồ tính 2 nhỏ hơn giữa sơ đồ tính 1 vμ sơ đồ tính 3

Ta có thể giải thích các kết quả trên như sau: cấu kiện được thi công trước thì tham gia nhiều sơ đồ tính hơn cấu kiện thi công sau nó, do vậy nó phải chịu tải trọng tổng cộng nhiều hơn

so với khi chỉ tính theo một giai đoạn thi công (sơ đồ tính 1) nên thường có nội lực lớn hơn Những cấu kiện thi công sau cùng sẽ có giá trị nội lực nhỏ hơn so với tính theo sơ đồ một giai

đoạn thi công Các cấu kiện được thi công ở giữa thời gian thi công hai nhóm cấu kiện (thi công

đầu tiên và cuối cùng) nội lực tính được từ các sơ đồ tính chênh lệch không đáng kể

Nhận xét về sơ đồ tính

- Sơ đồ tính 2 phản ánh sự làm việc thực tế của kết cấu đúng hơn sơ đồ tính 1

- Sơ đồ tính 3 phản ánh sự làm việc thực tế của kết cấu đúng hơn sơ đồ tính 1 và 2

Kết luận

Việc tính toán kết cấu khung phẳng và nền làm việc đồng thời theo mô hình nhiều giai đoạn thi công phản ánh đúng thực tế và cho kết quả chính xác hơn so với cách tính một giai đoạn thi công mà hiện nay các đơn vị thiết kế thường tính Sự chênh lệch về kết quả tính nội lực giữa hai mô hình này là đáng kể thậm chí kết quả có thể trái dấu Qua kết quả nghiên cứu trên, các tác giả của bài báo này khuyến nghị nên dùng mô hình tính toán này trong thiết kế

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Xuân Lựu, Phương pháp phần tử hữu hạn, Giáo trình cao học trường Đại học Giao thông Vận

tải Hà Nội

[2] Vũ Văn Thμnh Tính mạng dầm trên nền đàn hồi hai hệ số bằng phương pháp phần tử hữu hạn”, Luận

văn thạc sĩ kỹ thuật

[3] Trần Ngọc Linh, Tính toán móng cọc bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Đề tài nghiên cứu khoa học

sinh viên năm 2000

[4] Trần Ngọc Linh “Tính toán khung phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn”, Đề tài nghiên cứu khoa

học sinh viên năm 2000 Ă

ảnh hưởng của vận tốc

(Tiếp trang 63) [6] Hoμng Hμ Xác định hệ số động lực của hoạt tải trong tính toán công trình cầu Chuyên đề NCS, 1998 [7] Hoμng Hμ, Vũ Đình Hiền Một số vấn đề về phương pháp tính hệ số động lực (1 + μ ) trong thiết kế các

công trình cầu dầm giản đơn BTCT trên đường ôtô theo tiêu chuẩn mới 22TCN-272-01 Tạp chí GTVT, 10/2002

[8] Nguyen van Khang, Hoang Ha, Vu van Khiem, Do Xuan Tho On the transverse vibration of

beam-bridges under the action some moving bodies In “IUTAM Symposium on Recent development in Non-linear Oscillations of Mechanical Systems”, pp 187-195, Klwer, Dordrecht - 2000

[9] Glen V Berg Vibration of Structures and Machines Springer - Verlag, New York USA - 1993Ă