nguyễn văn long Bộ môn Toán - ĐH GTVT Tóm tắt: Trong bμi báo nμy, chúng tôi nêu lên một vμi khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập mờ vμ trình bμy ứng dụng của nó trong bμi toán lập luận
Trang 1lý thuyết tập mờ và ứng dụng của nó
trong việc giải bài toán lập luận xấp xỉ
ThS nguyễn văn long
Bộ môn Toán - ĐH GTVT Tóm tắt: Trong bμi báo nμy, chúng tôi nêu lên một vμi khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập
mờ vμ trình bμy ứng dụng của nó trong bμi toán lập luận xấp xỉ thông qua việc tích hợp mờ đồng thời nêu lên những nét chính thu được khi xây dựng hμm ngữ nghĩa định lượng lμm tiền đề cho việc xây dựng phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử Các kết quả đó có tác dụng rất lớn trong quá trình điều khiển tự động hoá đáp ứng sự phát triển của công nghệ thông tin hiện nay
Summary: The article introduces several basic concepts of Fuzzy theory and its application to approximating by means of fuzzy integration The output is of great use in automatic control for humal life
I Mở đầu
Các hệ lôgíc cổ điển đã cung cấp cho toán học phương pháp lập luận dựa trên các giả thiết
là chính xác (nghĩa là có trị chân lý đúng hoặc sai mà thôi) Song các tri thức mà hàng ngày chúng ta có được hầu hết là không có được tính chất đó Sở dĩ như vậy là vì ngôn ngữ mà con người dùng là tập hữu hạn, trong khi thế giới quanh ta thì lại muôn hình muôn vẻ Chúng ta dùng cái hữu hạn để mô tả, thể hiện, tư duy những cái vô hạn thì ắt hẳn sẽ không tuyệt đối chính xác
được Vì vậy, nếu chỉ dừng lại ở 2 trị chân lý đúng và sai của lôgíc cổ điển thì chưa mô phỏng hết được tính chất thực của thực tế Đó là lý do mà lý thuyết tập mờ, lôgíc mờ được xuất hiện vào năm 1965 mà người khởi xướng là L Zadeh Nó đã cố gắng mô tả một cách toán học những khái niệm mơ hồ mà ta thường gặp trong đời sống (chẳng hạn: "cao", "thấp", "đúng", "sai" ) bằng một tập mờ Nhờ việc xây dựng lý thuyết tập mờ mà người ta có thể suy diễn từ khái niệm mơ hồ này đến đến khái niệm mơ hồ khác mà bản thân lôgíc kinh điển không làm được Trên cơ
sở cái gần chính xác thu được người ta có thể đưa ra những quyết định chính xác cho từng tình huống của bài toán
II Tập mờ - quan hệ mờ
1 Định nghĩa
Xét không gian tham chiếu V (tập tất cả các phần tử mà ta quan tâm)
Tập mờ A trên không gian tham chiếu V là một ánh xạ μA: V → [0,1] Nghĩa là mọi x ∈ V:
μΑ(x) = p(x) xác định ∈ [0,1] ánh xạ μA còn được gọi là hàm "thuộc vào A" (gọi tắt là hàm thuộc)
Trang 2Vậy: Tập tất cả các tập mờ là tập tất cả các ánh xạ từ V vào đoạn [0,1], ký hiệu là F(V, [0,1]) Tập này tương đối giầu về cấu trúc tính toán Vì vậy nó cho phép linh hoạt biểu thị và
mô phỏng các phương pháp tư duy, suy luận của con người
2 Phép toán trên các tập mờ
Cũng giống như tập hợp thông thường ta có các phép toán trên các tập mờ, chẳng hạn cho
F, G là 2 tập mờ trên cùng một không gian tham chiếu V, ta có:
a) Phép đồng nhất: F = G nếu ∀u ∈ V: μF(u) = μG(u)
b) Phép bao hàm: F ⊆ G nếu ∀u ∈ V: μF(u) ≤ μG(u)
c) Phép hợp: H = F ∪ G là tập mờ có hàm thuộc là μF∪G xác định ∀x ∈ V: μF∪G (x) =
max{μF(x), μG (x)}
d) Phép giao: H = F ∩ G là tập mờ có hàm thuộc μF∩G (x) = min{ μF(x), μG(x)}
e) Phép lấy phần bù: F là tập mờ có hàm thuộc μF (x) = 1 - μF(x)
3 Quan hệ mờ
Đối với tập thông thường A và B ta có quan hệ R giữa A và B là tập tất cả (a, b) ∈ AxB và
thoả mãn aRb Đối với tập mờ ta cũng có khái niệm tương tự, nó phản ảnh mối quan hệ giữa 2
phần tử với nhau thông qua quan hệ mờ R
Định nghĩa: Xét U, V là 2 không gian tham chiếu Quan hệ mờ 2 ngôi R(u, v) trên tập U x V
là một tập mờ xác định trên U x V và có hàm thuộc là μR: U x V → [0,1] nghĩa là μR(u, v) ∈ [0,1]
với u ∈ U, v ∈ V
III Lôgíc mờ
Lý thuyết tập mờ được bắt đầu nghiên cứu từ năm 1965, nhưng lý thuyết lôgíc mờ mới được
chú ý và nghiên cứu từ đầu những năm 1980, động cơ vì sự thúc đẩy của các quá trình điều
khiển ở thực tế Các chíp điện tử thực hiện một cách tự động những suy luận modus ponens sẽ
được trình bày dưới đây Lôgíc mờ đã đóng góp nhiều trong việc tìm cách thức lập luận trên
những tri thức mà bản chất là mơ hồ, không chính xác trong đời sống con người
Xét A, B là tập mờ trên cùng không gian tham chiếu V x, y là các biến mờ Ta định nghĩa
các mệnh đề lôgíc mờ như sau: "x là A" được biểu thị bằng hàm thuộc là μA(x); "x không là A"
được biểu thị bằng hàm thuộc là 1 - μA(x) (hay chính là: "x là A") "x là A hay B"; "x là A và B"
được xác định tương ứng bởi các tập mờ A ∪ B; A ∩ B với các hàm thuộc là μA∪B,μΑ∩Β nói ở
phần trên Trong trường hợp A và B là các tập mờ trên các không gian tham chiếu khác nhau U,
V, ta định nghĩa mệnh đề phức hợp "x là a hay y là B" "x là A và y là B"; tương ứng với các tập
mờ: A ∪ B; A ∩ B trên tập tham chiếu U x V với các hàm thuộc tương ứng là: μA∪B, μA∩B,:
U x V → [0,1] như sau:
μA∪B(u, v) = max{ μA(u), μB(v)}, μB A∩B(u, v) = min{ μA(u), μB(v)}
Trang 3Sau cùng là mệnh đề: (nếu thì) Hay mệnh đề A → B được định nghĩa thế nào? Ta biết
rằng trong lôgíc kinh điển thì thì A → B ≡ ⎯Α ∪ Β Dựa trên lôgíc kinh điển người ta đưa ra
mô hình tương tự đối với lôgíc mờ: mệnh đề A → B chính là tập mờ có hàm thuộc là
μA→B(x) = max{1 - μA(x), μB(x)}, (luật này còn gọi là S luật) Dựa trên các định nghĩa lôgíc mờ ở
trên, ta đưa ra mô hình suy diễn mờ hoàn toàn dựa trên mô hình suy diễn kinh điển
Trong lôgíc kinh điển ta có suy diễn modus ponens:
B
B A ,
A →
nghĩa là biết A đúng, A → B đúng thì kết luận được B (B đúng) (A,
B là các tập rõ), chuyển sang lôgíc mờ ta có suy diễn modus ponens mở rộng:
B
B A ,
A →
hiểu là
"nếu x là A"; "nếu x là A thì y là B ";
"y là B"
(A, B là các tập mờ) Song cách hiểu ở đây không áp đặt hoàn toàn như hiểu kinh điển
được, vì nếu như vậy thì nội dung thu được không giúp gì trong việc lập luận dựa trên các tri thức
mờ Tuy nhiên nó "gợi ý" cho ta cách nhìn tương tự Giả sử ta có tri thức mờ "x là A thì y là B" và
một sự kiện mờ "x là A*" Liệu có thể xác định được tập mờ B* để từ các giả thiết trên ta có "y là
B*" hay không? Quy tắc sau đây sẽ giải quyết được vấn đề đó trong suy diễn mờ
Giả thiết: "nếu x là A thì y là B", "nếu x là A*"
Kết luận: "y là B*"
Vậy B* tìm bằng cách nào, đó là vấn đề mà chúng ta cần phải giải quyết bằng lập luận xấp
xỉ
IV Lập luận xấp xỉ
1 Mô hình
a) Mô hình lập luận mờ đơn điều kiện
Giả thiết: Nếu quả ớt = đỏ thì quả ớt = chín
Quả ớt = rất đỏ Kết luận: Quả ớt = rất chín
Dựa vào đó, có ý kiến hỏi rằng: Nếu quả ớt "rất rất đỏ" thì sao? nó có thể là khái niệm khác
với khái niệm "rất rất chín" hay không? câu trả lời là khác Vì thực tế trong trường hợp này quả ớt
là "nẫu" Vì vậy mô hình đơn điều kiện chưa đủ đáp ứng được các vấn đề mà trong thực tế
thường hay xảy ra
b) Mô hình đa điều kiện
Dựa vào mô hình đơn điều kiện ta có thể tổng quát hoá mô hình thành mô hình đa điều
kiện như sau:
Trang 4Giả thiết: Nếu X = A1 thì Y = B1
Nếu X = An thì Y = Bn
X = A0 Kết luận: Y = B0
Ai, Bi (i = ⎯o, n) là các tập mờ, X là biến mờ
2 Phương pháp giải
A Phương pháp xấp xỉ dựa trên tích hợp mờ
Để giải quyết vấn đề trên ta làm các bước sau:
* Mỗi một mô tả được gắn 1 tập mờ:μAi : V → [0,1], μBi : V → [0,1] (do các chuyên gia cung
cấp)
* Mỗi mệnh đề "nếu - thì" được biểu thị thông qua quan hệ mờ như sau: Mệnh đề nếu X = Ai
thì Y = Bi được hiểu là "nếu X = μAi(x) thì Y = μBi(v)" và mệnh đề mờ này được biểu thị bằng quan
hệ mờ: Ri(u, v) = max {1-μAi(u), μBi(v)}
* Tích hợp các quan hệ mờ thu được (theo max hoặc min) chẳng hạn theo max thì kết quả
tích hợp của Ri(u,v) là: R(u,v) = {R
i
max i(u,v)}, u ∈U
* Tích hợp tập mờ Ao và tập mờ quan hệ R ta được tập mờ Bo xác định bởi hàm thuộc
μBo (v) = max{ μAo(u), μR(u,v)}
Trong thực tế, giá trị đầu vào ta phải mờ hoá thông qua các hàm đặc trưng biểu thị các tập
mờ A0, A1, , An, B1, , Bn Qua quá trình giải ta thu được đầu ra là Bo cũng là tập mờ Sau đó
khử mờ bằng các phương pháp khác nhau như maxima, trung vị, trọng điểm đối với tập mờ B0 ta
thu được giá trị số của đầu ra
B Phương pháp nội suy
Theo mô hình đa điều kiện thì mỗi một điều kiện ta thu được cặp (Ai, Bi), i =1, n giả sử biết
đầu vào là Ao, khi đó xác định đầu ra Bo thế nào để hệ điều kiện trên là tương thích một cách tối
ưu đối với Bo Bởi vậy nguyên tắc chung của nội suy là nếu Ao "gần" nào đó hơn các A
0 i
lại thì Bo cũng "gần" Bi0tương ứng hơn các Bi còn lại Do đó một cách "thô" là ta lấy Bo xấp xỉ
Để "mịn" được xấp xỉ này, phương pháp chung là đưa ra định lượng để xấp xỉ B
0
i
hệ điều kiện (Ai,Bi) và Ao Cụ thể hơn là định lượng khái niệm "gần" như thế nào? Có rất nhiều
cách tiếp cận điều này Trong các công trình mới đây chúng tôi đưa ra hai cách tiếp cận chính
sẽ được trình bày dưới đây Do phạm vi có hạn nên bài báo chỉ dừng lại ở những nét chính, mà
không đi sâu vào cơ sở lý luận thiết lập nó
Trang 5a) Phương pháp nội suy dựa trên lý thuyết tập mờ
Trước tiên ta đưa ra khái niệm phản ánh độ "gần nhau" của hai tập mờ dưới dạng đã chuẩn
hoá [1] Sau đó tính "độ gần "nhau nhỏ nhất từ Ao đến các Ai Dựa vào hệ điều kiện ta sẽ tìm
được tập mờ Bo tương ứng với Ao bằng cách sử dụng phương pháp tích hợp mờ
b) Phương pháp nội suy dựa trên đại số gia tử
Như nói ở trên, vấn đề là phải đưa ra định lượng để xấp xỉ Bo Khác với cách tiếp cận ở
phần a/, trong phần này chúng tôi đưa ra định lượng dựa trên đại số gia tử bằng cách xây dựng
một cơ sở chặt chẽ cho hàm ngữ nghĩa định lượng Dựa vào hàm ngữ nghĩa định lượng này ta sẽ
có phương pháp lập luận xấp xỉ bằng nội suy dựa trên đại số gia tử
b1 Xây dựng hàm độ mờ - hàm ngữ nghĩa định lượng
Giả sử ta có đại số gia tử mở rộng đầy đủ AX* = (X*, H, G, ≤, σ, φ) trong [2]
Định nghĩa 1: Một ánh xạ f được gọi là ánh xạ ngữ nghĩa định lượng (hay còn gọi làm hàm
ngữ nghĩa định lượng) của X* nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
Q1) f là song ánh;
Q2) f bảo toàn thứ tự trên X*, tức là x < y kéo theo f(x) < f(y), và f(0) = 0, f(1) = 1;
Q3) ∀x ∈ X*, f(φx) = infimum f(H(x)) và f(σx) = supremum f(H(x))
Q4) ( ( ( ) ) )
( ) ( )
(fHx )
d
hx H
f
d
= ( ( ( ) ) )
( ) ( ) (fHy )
d
Hy H f d
với h ∈ H, x, y bất kỳ ∈ DOM (X*)
Định nghĩa 2: Một hàm fm : X* → [0,1] được gọi là một độ đo tính mờ của biến ngôn ngữ X*,
nếu nó có các tính chất sau:
F1) fm là một độ đo đầy đủ trên X*, nghĩa là fm(c-) + fm(c+) = 1 và ∀u ∈ X*, ∑{f
∈H
h
m(hu) :
h ∈ H} = fm(u);
F2) Nếu x là một khái niệm chính xác, nghĩa là H(x) = {x}, thì fm(x) = 0 Đặc biệt ta có: fm(0)
= fm(W) = fm(1) = 0;
F3) ∀x, y ∈ X*, ∀h ∈ H, ta có
) x ( f
) hx ( f
m
( )y f
hy f
m
m , nghĩa là tỷ số này không phụ thuộc vào
một phần tử cụ thể nào và do đó ta có thể ký hiệu nó bằng μ(h) và được gọi là độ đo tính mờ
của gia tử h
Từ định nghĩa 2 ta thấy fm có các tính chất sau:
Mệnh đề: Mỗi một độ đo tính mờ fm của các khái niệm và μ(h) của các gia tử thoả mãn các
tính chất sau:
1) fm(hx) = μ(h) fm(x), ∀x ∈ X*;
Trang 62) fm(c) + fm(c) = 1;
≠
ư
p
0
i,
q
i
m(hic) = fm(c), với c ∈ {c_, c+};
4) ∑ f
≠
ư
p
0
i,
q
i
m(hix) = fm(x);
5) Độ đo tính mờ của gia từ μ phải thoả mãn các đẳng thức: ∑ư μ(h
ư q
1 i
i) = α và ∑ μ(h
= P
1 i
i) = β, với α, β > 0 và α + β = 1
Định nghĩa 3: (Hàm sign) Hàm dấu sign: X* → {-1, 0, 1} là ánh xạ được định nghĩa đệ quy
như sau, trong đó h và h' là các gia tử bất kỳ và c ∈ {c_, c+):
a) Sign(c_) = -1, Sign(c+) = +1,
b) Sign(h'hx) = -sign(hx) nếu h'hx ≠ hx và h' là âm tính đối với h (hoặc đối với c, nếu h = I và
x = c);
c) Sign(h'hx) = sign(hx) nếu h'hx ≠ hx và h' là dương tính đối với h (hoặc đối với c, nếu h = I
và x = c);
d) Sign(h'hx) = 0 nếu h'hx = hx
Từ định nghĩa, dễ dàng thu được tính chất của hàm sign như sau:
Với mọi gia tử h ∈ H và x ∈ DOM(X*) Nếu sign(hx) = 1 thì hx > x và nếu sign(hx) = -1 thì
hx < x
Định nghĩa 4: Cho các tham số fm(c+), fm(c-) và μ(h) với h∈H (trong đó fm(x) là độ mờ của
AX*) Hàm v: DOM(X*) → [0,1] được xác định như sau:
i) v(w) = θ = fm(c-); v(c-) = θ- α.fm(c-); v(c+) = θ + α fm(c+)
ii) v(hjx) = v(x) + sign(hjx) {∑ f
= j
1 i
m(hix) - ω(hjx) fm(hjx)} với 1 ≤ j ≤ p
và v(hjx) = v(x) + sign(hjx) ∑ f
ư j 1 i
m(hix) - ω(hjx).fm(hjx)}với - q ≤ j ≤ -1
Trong đó ω(hjx) =
2
1
[1 + sign(hjx) sign(hphjx) (β - α)] ∈ {α, β}
Định lý 1: i) Hàm v: DOM(X*) → [0,1] là hàm ngữ nghĩa định lượng
ii) Hàm độ mờ fm(x) của AX* thoả mãn: fm(x) = d[v(H(x))]
Hệ quả: Với mọi hàm fm(x) là độ đo mờ của AX*, luôn tồn tại hàm ngữ nghĩa định lượng f: DOM(X*) → [0,1] sao cho d f[H(x))] = fm(x)
Trang 7Định lý 2: Giả sử AX* = (X*, H, G, ≤, σ, φ) là đại số gia tử mở rộng đầy đủ, sinh tự do, (nghĩa
là mọi x ∈ X*, mọi h ∈ H* thì hx ≠ x) ánh xạ f : X* → [0,1] là hàm ngữ nghĩa định lượng Khi đó
fm(x) = d[f(H(x))] là hàm độ đo tính mờ của AX*
Dựa trên hàm ngữ nghĩa định lượng v trong định nghĩa 4 ta sẽ đưa ra phương pháp nội suy sau đây
b2 Phương pháp nội suy
Xét mô hình đa điều kiện IV (b) Gọi là các đại số gia tử sinh ra từ các giá trị ngôn ngữ tương ứng xuất hiện trong mô hình Khi đó mỗi mệnh đề "nếu thì" sẽ xác định một điểm trong tích để các , và tập các điểm này sẽ thuộc đường cong mờ trong không gian
Y~ ,
X~
Y~ x
Y
~
x
X
~
Gọi fx, fy là các hàm định lượng ngữ nghĩa tương ứng của khi đó điểm ∈ ứng với mệnh đề thứ i trong mô hình đa điều kiện sẽ được định lượng tương ứng với ∈ [0,1] x [0,1] Và như vậy đường cong mờ chuyển thành đường cong thực C trong không gian hai chiều R x R Bài toán lập luận xấp xỉ mờ được chuyển về bài toán nội suy thông thường thông qua hàm định lượng ngữ nghĩa trong đại số gia tử
Y~ , X
~ (~xi,~yi) X~xY~
( ) ( ) (fx~i f~yi )
C~
b3 So sánh hai phương pháp
(+) Phương pháp nội suy dựa trên đại số gia tử cho ta một cách trực quan, rõ ràng về cách thức giải bài toán Phương pháp này cho sai số nhỏ
(+) Phương pháp nội suy bằng lý thuyết mờ: có nhiều yếu tố gây sai số như: xây dựng hàm thuộc, chọn giải nghĩa mệnh đề "nếu thì" bằng quan hệ mờ, chọn toán tử kết nhập các quan
hệ, chọn phép tính hợp để có output, chọn phương pháp khử mờ
V Kết luận
Các phương pháp lập luận xấp xỉ đối với mô hình đa điều kiện mờ cho phép chúng ta xác
định được giá trị của biến cần tìm một cách xấp xỉ dựa trên một loạt các dữ kiện không chính xác
Ai, Bi ứng dụng kết quả xấp xỉ B0 thu được để điều khiển các quá trình tự động hoá trong thực tế
- một mô hình không thể thiếu được trong thời đại công nghệ hoá thông tin hiện nay Việc tìm kiếm các giải pháp xấp xỉ sao cho đạt hiệu quả cao là một vấn đề mà chúng ta luôn luôn đặt ra Cùng với việc đó, bài báo đã trình bày tóm tắt các kết quả xây dựng hàm ngữ nghĩa định lượng
và khẳng định quá trình lập luận toán học chặt chẽ mà các công trình trước đây chỉ dừng lại ở mức trực cảm, áp đặt
Tài liệu tham khảo
[1] Trường thu "hệ mờ và ứng dụng" Hà nội 8-2000
[2] Làm đầy đủ đại số gia tử trên cơ sở bổ sung các phần tử giới hạn (Gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học, tháng 12 năm 2002) Ă