Giải bμi toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát bằng phương pháp phân ly biến số ThS.. Nguyễn đức huy Bộ môn Kỹ thuật nhiệt - ĐH GTVT Tóm tắt: Bμi báo trình bμy phương phân ly biến số
Trang 1Giải bμi toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát
bằng phương pháp phân ly biến số
ThS Nguyễn đức huy
Bộ môn Kỹ thuật nhiệt - ĐH GTVT
Tóm tắt: Bμi báo trình bμy phương phân ly biến số để giải bμi toán dẫn nhiệt không ổn
định dạng tổng quát
Summary: The article presents the separation-of-variables method of solving the problem
of unsteady conduction in general form
Như đã biết, phương trình đặc trưng của hiện tượng dẫn nhiệt là phương trình vi phân Fourier:
τ
∂t
= a ∇2t (1)
ở đây: a =
ρ
λ
c - hệ số khuếch tán nhiệt, (m
2/s);
∇2t - toán tử Laplace của nhiệt độ, trong hệ toạ độ Descartes bằng:
2 2
x
t
∂
∂
+ 2 2
y
t
∂
∂
+ 2 2
z
t
∂
∂
Hiện nay, trong các tài liệu và giáo trình Truyền nhiệt, việc giải (1) chỉ được thực hiện trong trường hợp đơn giản nhất: nhiệt độ chỉ phụ thuộc một biến không gian, có nghĩa:
t = f(x, τ) (2) Khi đó, phương trình (1) có dạng:
2 2
x
t
∂
∂
=
τ
∂t a
1
Bằng phương pháp phân ly biến số, coi t có thể được biểu diễn dưới dạng tích của 2 hàm
số độc lập: X = X(x) và T = T(τ) tức là:
t(x, τ) = X(x).T(τ) (4)
ta sẽ tìm được nghiệm tổng quát của (1) là:
t = (C1 cos kx + C2 sin kx) exp(- k2aτ) (5) Nếu nhiệt độ phụ thuộc vào 2 hay 3 biến không gian, cho đến nay vẫn phải sử dụng các phương pháp gần đúng (sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn…) để tìm phương trình trường nhiệt độ Thực ra, phương pháp phân ly biến số vẫn có thể được sử dụng để giải phương trình vi phân Fourier trong trường hợp tổng quát, khi mà nhiệt độ phụ thuộc cả 3 biến không gian:
t = f (x, y, z, τ) (6)
Trang 2Nhiều tác giả như Frank Kreith & Mark S Bohn [1], André B De Vriendt [2]… đã chứng minh rằng t có thể được coi là tích của 3 hàm: X τ = X(x, τ); Y τ = Y(y, τ); Z τ = Z(z, τ) tức là:
t(x, y, z, τ) = X(x, τ).Y(y, τ).Z(z, τ) (7)
Nếu thay biến t bằng nhiệt độ không thứ nguyên Θ =
0
θ
θ
=
L 0
L
t t
t t
ư
ư
(ở đây t0 và tL tương ứng là nhiệt độ đầu và nhiệt độ môi trường lỏng bao quanh vật, tL = const) thì (7) được viết lại thành:
0
) , z , y , x ( θ
τ θ
= 0
) , x ( θ
τ θ
0
) , y ( θ
τ θ
0
) , z ( θ
τ θ
= ΘX, τ ΘY, τ ΘZ, τ (8)
ở đây: ΘX, τ =
0
) , x ( θ
τ θ
, ΘY, τ =
0
) , y ( θ
τ θ
, ΘZ, τ =
0
) , z ( θ
τ θ
tương ứng là biến thiên nhiệt độ theo phương x, phương y, phương z ở những thời điểm khác nhau
Xét vật thể đồng chất, đẳng hướng, có dạng hình hộp chữ nhật kích thước 2Lx, 2Ly, 2Lz trong hệ toạ độ Descartes ở thời điểm đầu, nhiệt độ tại mọi điểm trong vật đều bằng t0, sau đó vật được làm nguội trong môi trường chất lỏng có nhiệt độ không đổi tL (tL< t0) Hệ số toả nhiệt giữa môi trường và bề mặt vật là α (W/m2.độ) Cần xác định phân bố nhiệt độ trong vật tại thời
điểm τ tuỳ ý, nói cách khác, cần tìm nghiệm của phương trình (1) ở dạng (6)
Với điều kiện như trên của bài toán, trường nhiệt độ sẽ đối xứng qua tâm hình hộp, vì thế có thể chọn tâm hình hộp làm gốc toạ độ
2Lx
2Ly 2Lz
Phương trình (1) có dạng:
τ
∂t
= a∇2t hoặc
τ
θ
∂
= a.∇2θ (1')
* Điều kiện đầu:
τ = 0 → t (x, y, z) = t0 → θ = t0 - tL
→
0
θ
θ
= 1
* Điều kiện biên: τ > 0
± λ
x L x
x
) , z , y , x (
m
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
τ θ
∂
= αθ(x, y, z, τ)
x L
x m
± λ
y L y y
) , z , y , x (
m
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
τ θ
∂
= αθ(x, y, z, τ)
y L
y m
± λ
z L z
z
) , z , y , x (
m
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
τ θ
∂
= αθ(x, y, z, τ)
z L
z m
Trang 3Do tính đối xứng của trường nhiệt độ qua tâm hình hộp chữ nhật (gốc toạ độ) nên ta cũng có:
0 x x
) , z , y , x (
=
⎥
⎤
⎢
⎡
∂
τ θ
∂
= 0;
0 y y
) , z , y , x (
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
τ θ
∂
= 0;
0 z z
) , z , y , x (
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
τ θ
∂
= 0
Theo kết quả nhận được khi giải phương trình vi phân Fourier:
2 2
x
t
∂
∂
=
τ
∂t a 1
như đã được trình bày trong [4]:
0
θ
θ
= ∑∞
=
δ δ δ + δ
δ
1 i
i i i i
i
b
cos cos sin
sin 2
x.exp(- δi2
2 b
aτ )
= ∑∞
=1 i i
A cos
b
i
δ
x exp(- δi2
2 b
aτ )
với
i i i
i i
cos sin
sin 2 A
δ δ + δ
δ
=
nghiệm của phương trình (1') được viết ở dạng tương tự như sau:
0
θ
θ
= ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
δ
1
x ,i 1
k
z , k y , j x ,
L cos A A
Ly
y , j
δ cos z
Lz
z , k
δ
.exp[-(
2 x
2 x ,i
L
δ
+ 2 y
2 y , j
L
δ
+ 2 z
2 z , k
L
δ
)aτ]
Nếu chỉ lấy các hệ số đầu tiên của tổng nói trên, ta có thể viết nghiệm ở dạng gọn hơn:
0
θ
θ
= A1,x.A1,y.A1, z.cos x
Lx
x , 1
δ
cos y
Ly
y , 1 δ cos z
Lz
z , 1
δ
.exp[-(
2 x
2 x , 1
L
δ
+ 2 y
2 y , 1
L
δ
+ 2 z
2 z , 1
L
δ
)aτ]
Các hệ số A1,x,A1, y, A1, z và các đại lượng δ1, x,δ1, y, δ1, z có thể được xác định nhờ các đồ thị mô tả quan hệ A1 = f(Bi); δ1 = ψ(Bi) được xây dựng sẵn trong các tài liệu [1], [2], [3],tuỳ thuộc giá trị của tiêu chuẩn Biot tính theo từng trục toạ độ tương ứng, cụ thể theo:
Bix =
λ α
Lx
Trang 4Biy =
λ
α
Ly
Biz =
λ
α
Lz Hiện nay, các bảng tính sẵn hoặc các đồ thị cho trước trong [2], [3]có thểgiúp ta đơn giản hóa rất nhiều các bước giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát bằng cách cho phép tìm
được ngay giá trị của ΘX, τ =
0
) , x ( θ
τ θ
, ΘY, τ =
0
) , y ( θ
τ θ
, ΘZ, τ =
0
) , z ( θ
τ θ
theo các giá trị tương ứng của các cặp số (Bix, Fox), (Biy, Foy), (Biz, Foz)
Để minh họa phương pháp nói trên, ta xét một thí dụ cụ thể sau:
Cho một khối nước đá hình hộp chữ nhật kích
thước 0,2 ì 0,06 ì 0,1 m, có nhiệt độ trong toàn khối ở
thời điểm đầu t0 = -150C, hệ số dẫn nhiệt λ = 2,2
W/m.độ, nhiệt dung c = 1930 J/kg.độ, khối lượng riêng
ρ = 913 kg/m3 Khối nước đá tiếp xúc với môi trường
không khí có nhiệt độ 220C, hệ số toả nhiệt giữa
không khí và bề mặt khối nước đá α = 30 W/m2độ
Cần tính nhiệt độ tại bề mặt khối nước đá sau 1 phút
2Lx= 0, 2 m
2L y = 0, 06 m 2L z = 0, 1 m
Ta có quan hệ: Θ= ΘX, τ.ΘY, τ.ΘZ, τ
• Xác định ΘX, τ:
- Tính Bix =
λ
α.Lx
= 2 , 2
1 , 0 30 = 1, 36
- Tính Fox: Trước hết tính hệ số khuếch tán nhiệt a
a = ρ
λ
c = 1930.913
2 , 2
= 1,25.10-6 m2/ s
Fox =
2 x L
a τ =
2 6
1 , 0
60 10 25 ,
1 ư
= 0,0075
- Tra bảng: được ΘX,τ = 0,885
• Xác định Θy,τ:
- Tính Biy =
λ
α.Ly
= 2 , 2
03 , 0 30
= 0,41
- Tính Foy =
2 y
L
a τ
=
2 6
03 , 0
60 10 25 ,
1 ư
= 0,083
Trang 5- Tra bảng: được Θy,τ = 0,88
• Xác định Θz,τ:
- Tính Biz =
λ
α.Lz
= 2 , 2
05 , 0 30
= 0,68
- Tính Foz =
2 z L
a τ =
2 6
05 , 0
60 10 25 ,
1 ư
= 0,03
- Tra bảng: được Θz,τ = 0,88
• Tính tích Θ= ΘX,τ.ΘY,τ.ΘZ,τ = 0,85.0,88.0,88 = 0,685
• Tính nhiệt độ t:
L 0
L
t t
t t
ư
ư
=
22 15
22 t
ư
ư
ư
= 0,685 → t = - 3,30C
Bằng phương pháp trên, có thể tính được nhiệt độ tại mọi điểm của khối nước đá tại thời
điểm bất kỳ bằng cách thay các giá trị toạ độ và thời gian tương ứng
Cũng có thể giải bài toán ngược (cho trước nhiệt độ, yêu cầu tính thời gian) bằng cách tính hoàn toàn tương tự
Cần lưu ý rằng với dữ kiện như trường hợp trên, ta không thể dùng phương pháp nhiệt độ
đồng nhất (phương pháp quy tụ) để tính nhiệt độ của khối nước đá bởi lý do như sau:
Do chiều dài quy ước L của khối nước đá bằng: L =
S
V
= 0,015 m nên tiêu chuẩn Biot của
nó có giá trị: Bi =
λ
α L
=
2 , 2
015 , 0 30
= 0,2 Giá trị này không đáp ứng điều kiện của phương pháp nhiệt độ đồng nhất (Bi ≤ 0,1) nên không được phép áp dụng phương pháp đó
Phương pháp phân ly biến số kết hợp với việc sử dụng các bảng tính và đồ thị cho sẵn sẽ giúp cho việc giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định dạng tổng quát trở nên đơn giản và chính xác hơn nhiều so với các phương pháp gần đúng đã biết
Tài liệu tham khảo
[1] Frank Kreith & Mark S Bohn, "Principles of heat transfer", West Publishing Company, 1993
[2] André B De Vriendt, "La transmission de la chaleur", Gaetan Morin éditeur, 1990
[3] D Sivoukhine, "Téplopérédatra", Vưshaia Skola, 1988
[4] Nguyễn Đức Huy, "Bài giảng môn học Kỹ thuật nhiệt", 2002Ă