Phương pháp Gauss - Seidel vμ công thức nhiệt trở phân tố giải các bμi toán nhiệt kết cấu công trình PGS.. Trương Minh thắng Bộ môn Kỹ Thuật Nhiệt Khoa Cơ khí - Trường Đại học GTVT
Trang 1Phương pháp Gauss - Seidel vμ công thức
nhiệt trở phân tố giải các bμi toán
nhiệt kết cấu công trình
PGS TS Trịnh văn quang
KS Trương Minh thắng
Bộ môn Kỹ Thuật Nhiệt Khoa Cơ khí - Trường Đại học GTVT
Tóm tắt: Bμi báo trình bμy một phương pháp giải các bμi toán nhiệt phức tạp khi phương
pháp ma trận nghịch đảo trở nên bất lực, đó lμ phương pháp Gauss - Seidel vμ công thức nhiệt trở phân tố
Summary: The paper presents the method of Gauss - Seidel Iteration to solve the
complicated thermal problems instead of the inverse matrix method becoming powerless
i đặt vấn đề
Một trong các phương pháp có hiệu lực
để giải các bài toán nhiệt của các vật thể có
hình dáng và điều kiện biên phức tạp là
phương pháp số dùng ma trận nghịch đảo Khi
đó các nhiệt độ phải tìm nằm trong một hệ
phương trình tuyến tính, và được giải bằng
thuật toán ma trận [3] Tuy nhiên khi số
phương trình quá lớn thì phương pháp ma trận
nghịch đảo cũng hết sức phức tạp Đặc biệt
trường hợp điều kiện biên không tuyến tính,
như vật thể có trao đổi bức xạ với nguồn có
nhiệt độ xác định, thì hệ phương trình các
nhiệt độ cần tìm không còn là tuyến tính nữa
nên phương pháp ma trận nghịch đảo cũng trở
nên bất lực Vậy có thể giải các bài toán trong
trường hợp này như thế nào
Bài báo trình bày phương pháp Gauss -
Seidel và công thức nhiệt trở phân tố để giải
các bài toán phức tạp thuộc loại này
ii công thức nhiệt trở phân tố,
phương pháp gauss - seildel
A Công thức nhiệt trở phân tố
Khi xác định nhiệt độ trong vật thể bằng
phương pháp cân bằng năng lượng phân tố cần tính các dòng nhiệt đến phân tố, trong đó luôn có mặt các nhiệt trở thành phần Để thuận tiện cho tính toán có thể xây dựng công thức nhiệt trở thành phần dạng tổng quát sau
1 Bμi toán ổn định
a Điều kiện biên loại 1
Xét một hình phẳng dày 1m cho biết nhiệt độ tại biên giới (hình 1)
Hình 1 Mạng các điểm nút
Chia hình phẳng bởi một mạng các
đường vuông góc có bước mạng Δx, Δy, ứng
Trang 2với hai chiều x, y Do ổn định, nhiệt độ tại mọi
điểm trong vật không thay đổi theo thời gian
nên tổng dòng nhiệt phân tố nhận được do
dẫn nhiệt từ xung quanh đến bằng không
(hình 2) Khi đó phương trình năng lượng tại
mỗi phân tố tại điểm nút i:
Σqi = 0 (1)
Hình 2 Các nhiệt trở thμnh phần tại nút i
dẫn tới:
+ Δ
ư Δ
λ + Δ
ư
Δ
λ
1 y ) t t ( x 1 y )
t
t
(
x 1 i 3 i
(t t ) x.1 0
y 1 x ) t t
(
Δ
λ + Δ
ư Δ
λ
+
(2) Hay:
x y t t x y t t y x t t y
.
x
t
= Δ λ Δ
ư + Δ λ Δ
ư + Δ λ Δ
ư +
Δ
λ
Δ
Viết ở dạng tổng quát:
∑ ư =
j iJ
i J
0 R
t t
(4)
Nhiệt trở thành phần trong bài toán ba
chiều trong toạ độ xyz sẽ có J = 1 ữ 6 (hình 3):
Trong đó tJ là nhiệt độ các điểm xung
quanh, ti là nhiệt độ phải tìm tại nút i; RiJ được
gọi là công thức nhiệt trở phân tố
Từ đó tính được nhiệt độ ti:
∑
∑ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
J iJ
J iJ J i
R 1 R t
b Điều kiện biên loại 2, 3:
Tại nút ở biên có các dòng nhiệt đối lưu hoặc bức xạ và dẫn nhiệt từ các phân tố bên (hình 4):
0 R
t t q
J iJ
i J i
i +∑ ư =
Hình 3 Mạng 3 chiều Hình 4 Các nhiệt trở
thμnh tại nút i tại biên
trong đó:
- ∑ i i
q là tổng các dòng nhiệt bức xạ
hoặc đối lưu tới phân tố
- ∑ ư
J iJ
i J
R
t t
là tổng các dòng nhiệt dẫn từ
phân tố bên cạnh tới
Nếu theo hướng x, tại biên có dòng nhiệt
đối lưu và bức xạ, thì dòng nhiệt đối lưu là:
qi = α(tK -ti)ΔyΔz;
Nhiệt trở đối lưu là: Ri =1/ αΔyΔz Dòng nhiệt bức xạ là:
qi = ε.σ0.( 4)
i 4
R T
T ư ΔyΔz;
Ri1 Ri2 Ri3 Ri4 Ri5 Ri6 Nhiệt trở bức xạ là:
Ri = 1/ [ ε.σ0.( 2)
i 2
R T
T + (T +R Ti )ΔyΔz] trong đó:
- tK, ti là nhiệt độ môi trường và tại nút i;
- TR, Tl là nhiệt độ tuyệt đối của nguồn
λ
Δ
Δ
Δ
z
y
x
λ Δ
Δ
Δ
z
x
y
λ Δ Δ
Δ z y
x
λ Δ Δ
Δ z x
y
λ Δ Δ
Δ y x
z
λ Δ Δ
Δ y x
Trang 3bức xạ và của nút i;
- ε độ đen của vật;
- σ0 = 5,669.10 - 8
Nhiệt độ tại nút i sẽ là:
∑
∑
∑ + ⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞
=
J iJ
J i
i i
R 1 R
t q
Như vậy thấy rằng công thức nhiệt trở
phân tố luôn có mặt khi tính nhiệt độ
2 Bài toán không ổn định
a Điều kiện biên loại 1
Với bài toán không ổn định tại mỗi nút i
sẽ có: Tổng năng lượng phân tố nhận được từ
xung quanh bằng độ tăng nội năng của phân
tố trong một đơn vị thời gian:
∑ ư = Δτư
+
j
p i 1 p i i iJ
p i p
j t t
C R
t t
(9)
trong đó:
- p là số chỉ thứ tự bước thời gian
- ∑ ư
j iJ
p i p
j
R
t
t
là tổng các dòng nhiệt tới
phân tố tại thời điểm p; Ci là nhiệt dung phân
tố: Ci =c.ρ.ΔxΔyΔz (j/độ);
- RiJ là nhiệt trở thành phần của phân tố;
j số thứ tự các nút kề bên
Từ đó rút ra nhiệt độ tại mỗi nút tại thời
điểm p +1:
J iJ i i
J iJ
P J 1
P
R
1 C
1 C R
t
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
ư + τ Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Công thức (9) tính nhiệt độ ở dạng hàm
tường, để nghiệm ổn định cần điều kiện số
hạng sau vế phải của (9) phải không âm, từ
đó phải chọn bước thời gian thoả mãn điều
kiện:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≤ τ Δ
∑
J iJ
i
R 1
C (11)
b Điều kiện biên loại 2, 3
Tại biên có đối lưu hoặc bức xạ kết hợp (7) và (9) sẽ có phương trình năng lượng tại phân tố thuộc nút i:
∑ +∑ ư = +Δưτ
j
p i 1 p i i iJ
p i p j i
i
t t C R
t t
Từ đó rút ra được nhiệt độ tại nút i ở thời
điểm p + 1:
P i
J iJ i i
J iJ
P J i
i 1
P
R
1 C
1 C R
t q
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ Δτ
ư + τ Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
(13)
Điều kiện ổn định cũng như công thức (11) trên
Như vậy có thể thấy trong mọi trường hợp
để tính nhiệt độ luôn cần tới công thức nhiệt trở phân tố, và khi đó việc tính toán sẽ trở nên thuận tiện và gọn gàng hơn
B Phương pháp Gauss - Seidel
Nội dung cơ bản của phương pháp này là cách tính lặp Từ các phương trình tính nhiệt
độ trong các trường hợp trên, thấy rằng nhiệt
độ tại mỗi nút ở dạng hàm tường cuả nhiệt độ của các nút còn lại đối với bài toán ổn định, và
là hàm tường của nhiệt độ của các nút còn lại
ở thời điểm trước đối với bài toán không ổn đinh Nghĩa là có n phương trình để tính n nhiệt độ phải tìm Bởi vậy phương pháp Gaus- Seidel bao gồm các bước sau:
1 Lập hệ phương trình nhiệt độ dạng hàm tường cho các nút
2 Trừ một nhiệt độ tại nút 1 (hoặc nút m nào đó định tính trước tiên), tất cả nhiệt độ tại các nút còn lại cho giá trị ban đầu tio bất kỳ, cũng có thể cho bằng không (tio = 0)
Trang 43 Thay các giá trị tio đã cho vào để tính
ra nhiệt độ t1 tại nút 1 (hoặc m)
4 Thay t1 mới nhận được vào các phương
trình còn lại, tính dần ra các nhiệt độ ở các nút
tiếp theo Khi được một giá trị nhiệt độ mới
phải sử dụng ngay trong các phương trình còn
lại Nghĩa là mọi phương trình luôn phải nhận
được giá trị mới nhất nếu có, cho đến phương
trình cuối cùng
5 Quá trình tính được tính lặp lại lần 2,
lần 3 với các giá trị nhiệt độ mới nhất
6 Quá trình tính lặp sẽ được dừng khi
nào chênh lệch nhiệt độ tại mọi điểm ở hai lần
tính sát nhau nhỏ tới mức đủ chấp nhận
Với sự trợ giúp của các phần mềm tính
toán hiện nay, việc tính theo phương pháp
Gauss - Seidel rất thuận tiện
C Thí dụ minh hoạ
+ Thí dụ 1: Giải bài toán ổn định hai chiều
điều kiện biên
loại 1:
Một dầm
bêtông, tiết diện
ngang có hình
dạng như hình
bên có Δx = Δy
Biết nhiệt độ tại các cạnh và góc của tiết diện
như trên hình vẽ Xác định nhiệt độ tại các
điểm bên trong 1, 2, 3, 4, 5, 6
Giải:
Do Δx = Δy, theo (4) các nhiệt trở thành
phần của mọi phân tố đều bằng nhau là
R
ij = 1/λ, nên từ (5) sẽ có:
tij = (ti1 ti2 ti3 ti4)
4
Bước 1: Tại các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6 viết
được 6 phương trình nhiệt độ dạng hàm tường
sau:
t1 = (t2 + 60 + 100 +50 ) / 4 (a)
t2 = (t1 + t3 + t5 + 100 ) / 4 (b)
t3 = (t2 + t4 + t6 + 100 ) / 4 (c)
t4 = (t3 + 100 + 80 +70 ) / 4 (d)
t5 = (t2 + t6 + 50 + 40 ) / 4 (e)
t6 = (t3 + t5 + 70 + 40 ) / 4 (g) Bước 2: Cho t2 = 0; t3 = 0; t4 = 0; t5 = 0;
t6 = 0;
Bước 3: Thay t2 = 0 vào (a) tính được
t1 = 52, 50
Bước 4: Thay t1 = 52,5 (giá trị mới) và
t3 = 0; t5 = 0 vào (b) tính được t2 = 38,125 tiếp tục như vậy sẽ tính được t3; t4; t5; t6 thứ tự
như sau: 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328
32.0313 44.1406.
Bước 5: Kết quả tính lặp sau 8 lần viết theo ma trận hàng t = [t1 t2 t3 t4 t5 t6] như sau:
(1) 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406 (2) 62.0313 57.1484 68.1055 79.5264 47.8223 56.4819
Hình 5 Chia mạng tiết diện
ngang dầm bêtông
(3) 66.7871 70.6787 76.6718 81.6679 54.2902 60.2405 (4) 70.1697 75.2829 79.2978 82.3245 56.3808 61.4197 (5) 71.3207 76.7498 80.1235 82.5309 57.0424 61.7915 (6) 71.6875 77.2133 80.3839 82.5960 57.2512 61.9088 (7) 71.8033 77.3596 80.4661 82.6165 57.3171 61.9458 (8) 71.8399 77.4058 80.4920 82.6230 57.3379 61.9575
Bước 6: Sai số tuyệt đối 2 lần cuối tương
ứng là: 0.0366 0.0462 0.0259 0.0065
0.0208 0.0117 là quá nhỏ nên có thể dừng phép tính lặp
Nếu tính theo phương pháp ma trận nghịch đảo, nhiệt độ các điểm tương ứng sẽ
là: 71.8630 77.4380 80.5120 82.6310
57.3340 61.9500
Các bài toán thực tế có số nhiệt độ phải tìm lên tới hàng trăm thì phương pháp ma trận nghịch đảo rất phức tạp, khi đó phương pháp Gauss - Seidel tỏ rõ ưu thế hơn rất nhiều
+ Thí dụ 2: Giải bài toán không ổn định
Trang 5tại biên có nguồn bức xạ với nhiệt độ xác định
Tường một căn phòng làm việc có bề dày
30 cm, chiều cao khá lớn 6m Tường có các
thông số nhiệt: hệ số dẫn nhiệt λ = 2,5 W/m độ,
nhiệt dung riêng c = 800 J/kg độ, khối lượng riêng
ρ = 1800 kg/m3, độ đen ε = 0,65 Nhiệt độ ban
đầu mặt tường bên trong phòng là 270C, bên
ngoài tiếp xúc với không khí mặt tường có
nhiệt độ 350C Hệ số toả nhiệt của tại mặt
ngoài tường α = 25 W/m2độ Bỗng căn phòng
đột ngột bị cháy, nhiệt độ ngọn lửa trong
phòng lên tới 10000C Để đánh giá trạng thái
phá huỷ của tường phòng, cần phải xác định
diễn biến phân bố nhiệt độ của tường Đây
cũng là bài toán cháy cơ bản trong công trình
xây dựng
Hình 6 Chia lớp tường phòng
Giải: Do chiều cao tường rất lớn so với
bề dày nên dòng nhiệt truyền theo hướng bề
dày x là chính Khi đó bài toán là một chiều
không ổn định t = f(x,τ) Chia bề dày tường
thành 6 lớp, mỗi lớp có Δx = 0,05m Bên trái là
trong phòng có nhiệt độ cao, tường nhận bức
xạ qR là chính, bỏ qua đối lưu Bên phải là
ngoài trời nhiệt độ thấp nên chỉ kể đến đối lưu
qK mà không tính bức xạ
áp dụng điều kiện ổn định (10), tính Δτ
tại các điểm 1 ữ 7 như sau:
Tính Ci:
Ci = CρΔVi; C1 = 800.1800.0,05/2 = 36000;
C2 = 800.1800.0,05 = 72000; C3 = C4 = C5 = C6;
C7 = C1;
Tính Δτi:
Điểm 1:
Σ(1/R1j) = ε.σ0.( 2)
1 2
R T
T + (T +R T1) + λ/Δx = 0,65ì5,67ì10-8ì(12732+3002)ì ì (1273 + 300)+2,5/0,05 = 149,1643;
vậy Δτ1 ≤ 3600/149,1643 = 241,3446s;
Điểm 2, , 6:
Σ(1/R2j) = λ/Δx + λ/Δx = 2ì(2,5/0,05) = 100;
Vậy Δτ2 ≤ 7200/100 = 720s;
Δτ3 = Δτ4 = Δτ5 = Δτ6 = Δτ2 = 720s
Điểm 7:
Σ(1/R7j) = α + λ/Δx = 25 + 50 = 75;
có Δτ7 ≤ 3600/75 = 480s;
Như vậy chỉ cần chọn Δτmax = 240 s là đủ Tuy nhiên để phép tính có mức chính xác đủ cao, chọn Δτmax = 120 s Từ (13) xác định được phương trình nhiệt độ tuyệt đối tại các điểm:
Điểm 1:
+ +
ư
2 4
P 1 10 1
P
1 1,2285.10 T ) 0,16666.T
+0,8334.T1P+322,6181 (14)
Điểm 2, 3, ,6 (i = 2 6):
p 1 i
P i p
1 i 1
P
(15)
Điểm 7:
6564 , 25 T 75001 , 0 T 16666 , 0
(16) Sau khi lấy giá trị nhiệt độ ban đầu (p = 1) nằm trên đường thẳng giữa hai nhiệt độ 300K và 308K, thay vào các phương trình (14), (15), (16), tính được nhiệt độ tại các
vị trí sau 50 thời điểm Phân bố nhiệt độ trong tường tại các thời điểm trên được biểu diễn trên đồ thị, hình 7
P i
T
(Xem tiếp trang 39)
