Báo cáo khoa học: "Đại số gia tử mở rộng" doc

Nguyễn Văn Long Bộ môn Toán - ĐH GTVT Tóm tắt: Trong bμi báo nμy chúng tôi tiếp tục mở rộng đại số gia tử bằng cách đưa vμo 2 toán tử φ, σ với định ý lμ infimium vμ supremus của 2 tập

Đại số gia tử mở rộng

Th.S Nguyễn Văn Long

Bộ môn Toán - ĐH GTVT

Tóm tắt: Trong bμi báo nμy chúng tôi tiếp tục mở rộng đại số gia tử bằng cách đưa vμo 2 toán tử

φ, σ với định ý lμ infimium vμ supremus của 2 tập giá trị LH(X) sản sinh bởi phần tử x Điều đó chỉ ra rằng

với mỗi một phần tử của miền giá trị được sản sinh từ các phần tử nguyên thuỷ

Summarry: This paper continues our investigation on hedge algebras [2] We extend hedge

albebras by two additional operations correspending to infimum and supremum of the so-called concept

category of an element x, i.e, the set which is generated from x by means of the hedge operations It is

shown that every extended hedge algebra with a lattice of the primary generators is a lattic.

1 Mở đầu vμ các khái niệm

Xét đại số gia tử mở rộng AX = (X, G, LH, ≤)

trong đó X là tập cơ sở, G là tập các phần tử sinh,

LH là dàn phân phối các gia tử sinh tự do từ H

qua các phép toán ∧,∨ và ≤ là quan hệ thứ tự bộ

phận trên X

Ta biết rằng LH(x) là tập tất cả các phần tử

sinh được từ x nhờ tác động liên tiếp các toán tử

một ngôi trong LH Nhìn chung ta chưa biết tập

LH(x) có tồn tại cận trên và cận dưới đúng hay

không Đặc biệt nếu tập LH(x) là vô hạn thì

chắc chắn chúng không tồn tại trong X Như vậy

xuất hiện một nhu cầu tự nhiên giải bài toán làm

đầy đủ đại số gia tử AX để thu được đại số

AX = (X, G, LH, σ, φ, ≤) sao cho với mỗi phần tử

trong x ∈ X, tập LH(x) có cận trên và cận dưới

đúng trong X

Tuy nhiên động cơ thúc đẩy việc bổ sung

các phần tử giới hạn như vậy xuất phát từ yêu

cầu nghiên cứu ngữ nghĩa định lượng của các

khái niệm ngôn ngữ hay các khái niệm mờ

Giả sử AX là một đại số gia tử mở rộng

tuyến tính Khi đó một ánh xạ f: X -> [0, 1] thoả

mãn các điều kiện đã nêu trong [2] gọi là một

ánh xạ ngữ nghĩa định lượng của AX, tức là của

biến ngôn ngữ tương ứng Nhờ ánh xạ này chúng

ta có thể định nghĩa được khái niệm rất khó

xác định và khó lượng hoá trong lý thuyết tập mờ:

tính mờ của một khái niệm x∈X được xác định bởi

đường kính của tập ảnh f(LH(x)) và ký hiệu là

μ(x) Để thấy sự cần thiết phải bổ sung phần tử cận trên đúng và cận dưới đúng chẳng hạn ta hãy xét hai phần tử sinh nguyên thuỷ của một biến ngôn ngữ Trong [2] ta phải buộc chấp nhận giả

thiết rằng μ(c

-) + μ(c+) = 1, với ý nghĩa trực quan

là ta ngầm định mà chưa chứng minh rằng supremum f(LH(c-)) = infimum f(LH(c+)) = μ(c-)

Giả thiết này cũng bắt nguồn từ một trực cảm là tập f(LH(c-)) ∪ f(LH(c+)) trù mật trong đoạn [0,1]

(phần tham khảo [2])

Cũng giống cách tiếp cận giải quyết vấn

đề này trong [1], ta sẽ bổ sung thêm phần tử vào X bằng cách nhúng AX vào đại số

AX = (X, G, LH, σ, φ, ≤) với việc thêm hai toán tử

một ngôi σ, φ mà ngữ nghĩa định ý của nó là σ(x)

là cận trên đúng của tập LH(x) và φ(x) là cận dưới

đúng của tập LH(x)

Trong bài báo này chúng tôi sẽ đưa ra một

hệ tiên đề để đảm bảo được ngữ nghĩa mong muốn của hai toán tử σ, φ và nghiên cứu những tính chất cơ bản làm rõ các mối quan hệ thứ

tự giữa các phần tử trong tập X Đây là vấn đề quan trọng vì theo các tiếp cận của đại số gia tử, ngữ nghĩa của các khái niệm của một biến ngôn ngữ được biểu thị qua quan hệ thứ tự của các phần tử

Giả sử H là tập các gia tử được phân hoạch thành hai tập H+ và H- sao cho H+ + I và H- + I tạo thành các dàn MODULAR với các phần tử đơn vị (phần tử lớn nhất) tương ứng là V, L và I là toán tử thoả mãn Ix = x với mọi x ∈ X, được gọi là toán tử

đồng nhất (hay còn gọi là toán tử “không”) Đặt

UOS = {V, L} Để tránh lặp lại trong phát biểu các

tính chất hay trong trình bày ta ký hiệu Hc hiểu

chung là H+ hoặc H-

Để thuận tiện chúng ta nhớ lại một số ký

hiệu và khái niệm: Giả sử rằng Hc là dàn modular

có độ dài hữu hạn được phân bậc bởi hàm

độ cao Khi đó mỗi H

Đối với mọi h ∈ LH, tồn tại các phân tử đơn

vị h

c có thể phân thành nhiều lớp dựa theo hàm độ cao và ký hiệu là Hic, ở đây i

chỉ độ phân bậc của lớp Hic, trong trường hợp số

phần tử của Hic lớn hơn 1 nghĩa là CardHic>1,

ta ký hiệu tập các chỉ số i này là SIc, tức là

SI

Đối với mỗi x ∈ X, nếu hx < kx và không tồn tại i ∈ SI

c = {i: Card Hic > 1} Đồng thời mỗi i ∈ SIc thì

các tập Hc

i+1, Hc

i-1 chỉ có một phần tử duy nhất, Card Hc

i+1 = Card Hc

i-1 = 1 Gọi LHic là dàn phân phối sinh tự do từ Hic nhờ các toán tử ∧, ∨ Ký

hiệu LHc = ∪LH

=

c

N

1

i

ic trong đó Nc là độ phân bậc tối

đa trong LHc, c = {+, -}, LHc hiểu chung là LH+

hoặc LH- Đặt LH = LH+ ∪ LH- Các toán tử V, L

trong H+ + I, H- + I cũng là các toán tử đơn vị

trong LH+ + I, LH- + I tương ứng

Cấu trúc đại số AX = (X, G, LH, ≤) thoả mãn

hệ tiên đề đã giới thiệu trong [3] gọi là đại số

gia tử

Xét một cấu trúc đại số

Đối với h, k ∈ LHc, h được gọi là không lớn

hơn k (ký hiệu là h ≤ k) nếu hoặc là x ≤ hx ≤ kx

hoặc là x ≥ hx ≥ kx, với ∀ ∈ X Hai gia tử h và k

được gọi là ngược nhau nếu: hx ≤ x khi và chỉ khi

kx ≥ x Hai gia tử h, k là tương thích nếu: hx ≤ x

khi và chỉ khi kx ≤ x với ∀x ∈ X Nếu x ≤ hx kéo

theo hx ≤ khx và x ≥ hx kéo theo hx ≥ khx với

∀x ∈ X thì k được gọi là positive đối với h Nếu

x ≤ hx kéo theo hx ≥ khx và x ≥ hx kéo theo

hx ≤ khx với ∀x ∈ X thì k được gọi là negative đối

với h Đối với h, k ∈ H ta nói rằng: hx <≤ kx nếu

∀m, n ∈ N, ∀ h', k' ∈ UOS ta có: V

mh’hx ≤ Vnk’kx

Biểu diễn x = hn h1u được gọi là biểu diễn

chính tắc của x đối với u nếu:

hi h1 u ≠ hi-1 h1u với ∀i ∈ N mà i ≤ n

Để thuận tiện cho việc tham khảo các chứng

minh sau này chúng ta nhắc lại các định lý sau

đây:

Định lý 1-1 (chỉ dẫn bμi báo có chứng minh)

Với ∀h ∈ LH, tồn tại các toán tử đơn vị h- và

h+ sao cho h- là negative và h+ là possitive đối với

h sao cho mọi h1, hn ∈ LH, x ∈ X, ta có các bất

đẳng thức sau đây:

Vhhx ≤ hn h1hx ≤ Vh hx, nếu hx ≥ x

Vnh+hx ≤ hn h1hx ≤ Vnh- hx, nếu hx ≤ x

Hệ quả

+ và h- tương ứng là possitive và negative đối với gia tử h, đồng thời đối với mọi h1, Hn ∈ LH, mọi x ∈ X ta có:

hn h1hx ≤ Vnh+x nếu hx≥x

Định lý 2-1 (chỉ dẫn bμi báo có chứng minh)

c sao cho h, k cùng thuộc LHic thì với mọi δ, δ’ ∈ LH* ta có bất đẳng thức sau đây:

δhx < δ'kx

2 Tiên đề hoá đại số gia tử mở rộng

đầy đủ

AX = (X, G, LHe, ≤) như đã đề cập ở trên với LHe = LH ∪ {φ, σ}, nghĩa

là tập các toán tử được bổ xung thêm hai toán tử mới φ và σ Như đã trình bày ở trên, ta ký hiệu UOS = {V, L} là tập các toán tử đơn vị tương ứng của LH+ và LH- Để cho dễ hiểu, các phần tử trong UOS được ký hiệu là o hay o’ với chỉ số nếu cần Vì G là tập các phần tử sinh (generators) nên ta giả định LHe (G) = X Ký hiệu Lim (X) là tập tất cả các phần từ “giới hạn” của LH(G), nghĩa

là Lim (X) = X\LH(G) Sau này ta sẽ chứng tỏ rằng các phần tử trong Lim(X) có dạng φu hoặc

σu với u ∈ LH(G)

Bây giờ ta sẽ đưa ra một cách tiên đề hoá

đại số gia tử mở rộng đầy đủ (complete hedge algebra)

Định nghĩa 2.1

Cấu trúc đại số AX = (X, G, LHe, ≤) được gọi

là đại số gia tử mở rộng đầy đủ nếu (LH(G), G,

LH, ≤) là đại số gia tử và AX thoả mãn những tiên

đề sau:

(L1) đối với x ∈ X và mọi k ∈ LH, φx ≤ kx ≤ σx

Đặc biệt đối với mọi k, k’, h’, h ∈ LH ta có kφx ≤ k’φox và h’σox ≤ hσx

(L2) đối với mọi x ∈ X và mọi o ∈ UOS,

φx ≤ φox ≤ σox ≤ σx (L3) nếu với mọi z ∈ X và x’ ∈ LH(x) ta có x’ ≤ z thì σx ≤ z

Ngược lại nếu với mọi z ∈ X và x’ ∈ LH(x) ta

có x’ ≥ z thì φx ≥ z

(L4) nếu h là phần tử attom trong LH (tức là phần

tử nhỏ nhất trong dàn tương ứng) thì:

hx ≤ x kéo theo σhx = x

và hx ≥ x kéo theo φhx = x

(L5) đối với mọi h, k mà h ∈ LHic , k ∈ LHc

i+1 nếu

φx, σx ∈ Lim(X) thì hx ≤ kx kéo theo

σhx = φkx và hx ≥ kx kéo theo φhx = σkx σx ≥ v

Để dễ theo dõi chúng ta nêu lên một số

cách hiểu trực giác của một số tiên đề trên

Tiên đề (L1) theo một nghĩa nào đó thể hiện

rằng σ, φ có hiệu quả tác động mạnh hơn bất kỳ

toán tử nào khác trong LH

Vì φx ≤ ox và ox ≤ σx nên tiên đề (L2) phản

ánh tính kế thừa ngữ nghĩa của hai toán tử mới

σ và φ

Định lý 2

Tiên đề (L3) cho ta một cảm nhận như sau:

Theo tiên đề (L1) σx đã là cận trên của

LH(x), kết hợp điều này với tiên đề (L2) cho ta

cảm nhận σx là cận trên bé nhất của LH(x)

Hai tiên đề (L4) và (L5) nêu lên được tính trù

mật của miền giá trị X

3 Các tính chất cơ bản

Định lý 1

Giả sử AX = (X, G, LHe, ≤) là đại số gia tử

mở rộng đầy đủ Khi đó với mọi x ∈ X, ta có:

(i) φ(x) ≤ x ≤ σx

(ii) σx = supremum LH(x); φx = infimumLH(x)

Điều này có nghĩa là với mọi x ∈ X, tập

LH(x) có cận trên đúng và cận dưới đúng trong X

và nó chính là phần tử σx và φx

Chứng minh

(i) do h bất kỳ nên trong tiên đề (L1) chọn h

sao cho x ≤ hx khi đó x ≤ hx ≤ σx nên x ≤ σx,

tương tự ta có φx ≤ x

(ii) trước hết ta chứng minh bất đẳng thức

LH(x) ≤ σx:

Thật vậy, xét phần tử bất kỳ y ∈ LH(x)

Trong trường hợp y = x, theo (i) ta có

y = x ≤ σx

Trong trường hợp y ≠ x , nghĩa là y = δhx, ta

xét hai khả năng sau:

(a) hx ≤ x: khi đó trong đại số gia tử mở rộng, ta

luôn có LH(hx) ≤ x, và do đó kết hợp với chứng

minh trên với mọi y ∈ LH(hx) ta có y ≤ x ≤ σx

(b) hx ≥ x - giả sử y được viết lại y = hn h1hx

Theo định lý (1-1) ta có y = hn h1hx ≤ Vnh+x Mặt khác áp dụng liên tiếp n+1 lần tiên đề (L2) ta có:

σx ≥ σh+x ≥ σvh+x ≥ ≥ σvnh+x

Và do đó theo khẳng định (i) ta thu được:

nh+x ≥ y với ∀y ∈ LH(hx) Như vậy ta đã chứng minh được rằng:

LH(x) ≤ σx Theo tiên đề (L3) nếu z ≥ LH(x) thì z ≥ σx nên (ii) đã được chứng minh cho toán tử σ

Đẳng thức đối với φ trong (ii) được chứng minh hoàn toàn tương tự

(i) nếu x là điểm bất động của h ∈ LH thì nó cũng là điểm bất động của σ và φ và do đó ta có thể sử dụng thuật ngữ điểm bất động chung mà không cần nói của toán tử nào

(ii) với mọi x ∈ Lim(X), x là điểm bất động

Chứng minh

(i) do là điểm bất động của h ∈ LH nên x là

điểm bất động của mọi k ∈ LH Vì vậy LH(x) = {x}

nên ta có φx = infimum LH(x) = x và

σx = supremumLH(x) = x Vậy (i) được chứng minh

(ii) trước hết ta xét trường hợp x ∈ lim(X) và

có dạng x = σu hoặc x = φu với u ∈ LH(G) Ta chỉ chứng minh cho trường hợp x = σu là đủ Chọn

h ∈ LH sao cho x ≥ hx = hσu áp dụng liên tiếp tiên đề (L2) đối với h và h’ ta thu được:

x ≥ hσou ≥ h’σou ≥ σou (ta có thể chọn được h’ sao cho h’σou ≥ σou) Mặt khác:

σou ≥ σVou ≥ ≥ σVnou với ∀n ∈ Ν và o ∈ UOS

Vậy với ∀y = hm h1u ∈ LH(u), y sẽ thoả

mãn bất đẳng thức sau:

y = hm h1u ≤ Vm-1h+1u

Và do đó ta thu được y ≤ hσx ≤ x Theo (L3),

điều này chứng tỏ x = σu ≤ hσu ≤ x Nghĩa là

hx = x hay x là điểm bất động với x = σu và

u ∈ LH(G)

Ta xét trường hợp còn lại Vì x ∈ limX, x phải

có dạng y = km k1a với a ∈ G (vì LHe(G) = X), trong đó có ít nhất một ki ∈ {σ, φ} Gọi j là phần tử

nhỏ nhất sao cho kj ∈ {σ, φ} Theo chứng minh

trên thì φkj-1 k1a là điểm bất động và σkj-1 k1a

là điểm bất động, và do đó:

x = km kj k1a = φ kj-1 k1a

là điểm bất động

Như vậy ta đã chứng minh được rằng

∀x ∈ LimX đều là điểm bất động và có dạng σu

hoặc φu

Ta có: hu ≤ u kéo theo σx ≤ u

Định lý 3

Đối với mọi y ∈ LH(x), x ∈ X, ta có các bất

đẳng thức sau đây:

σy ≤ σx và φy ≥ φx

Chứng minh

Xét giá trị bất kỳ y ∈ LH(x) Khi đó y biểu

diễn được dưới dạng y = δx, trong đó δ là một dãy

các toán tử trong LH Lấy một phần tử bất kỳ

y’ ∈ LH(y) tức là y’ ∈ LH(δx) Khi đó y’ có dạng

biểu diễn sau: y’ = δ’δx, nghĩa là y’ ∈ LH(x) Điều

này chứng tỏ LH(y) ⊆ LH(x), và do đó ta có:

Tài liệu tham khảo

supremumLH(y) ≤ supremumLH(x)

infimumLH(y) ≥ infimumLH(x)

áp dụng định lý 1, điều này có nghĩa là:

σy ≤ σx và φy ≥ φx

Điều phải chứng minh

Định lý 4

Đối với mọi h, k ∈ LHc, mọi u ∈ X, δ ∈ LH*,

và x, y biểu diễn dưới dạng x = δhu, y = δku, ta có

hu ≤ ku kéo theo σx ≤ σy

(Tính chất tịnh tiến)

Định lý 5

Đối với mọi h ∈ LHic, k ∈ LHjc với i < j và đối

với mọi giá trị u ∈ X; mọi xâu δ, γ ∈ LH* và x, y

biểu diễn dưới dạng: x = δhu, y = γku

Ta có: hu ≤ ku kéo theo σx ≤ φy

Định lý 6

Đối với mọi giá trị x ∈ X mà tập LH(x) là hữu

hạn thì σx ∈ LH(x)

Định lý 7

Đối với mọi giá trị x ∈ X, mọi h, k ∈ LHic nào

đó mà σhx ∉ LH(hx)

σkx ∉ LH(kx) (nghĩa là σhx ∈ Lim(X),

σkx ∈ Lim(X)) ta có đẳng thức sau:

[7] N Cat Ho and H Van Nam A theory of refinement

structure of hedge algebras and its application to linguistic-valued fuzzy logic In D Niwinski &

M Zawadowski (Eds), Logic, Algebra and Computer Science, Banach Center Publications Vol 46 (PWN - Polish Scientific Publishers 1999)  

σhx = σkx

Định lý 8

Đối với mọi giá trị u ∈ X, mọi h ∈ LHc, mọi xâu γ ∈ LH* mà x biểu diễn dưới dạng x = γhu, khi

đó ta có các khẳng định sau:

Ta có: hu ≥ u kéo theo φx ≥ u

Kết luận

Bài báo này đã làm cơ sở để xây dựng hàm lượng hoá ngữ nghĩa miền giá trị của một biến ngôn ngữ Đồng thời nó cũng làm tiền đề để ứng dụng trong việc lập luận xấp xỉ mờ

[1] N Cat Ho and W Wechler Extended hedge

algebras and their application to Fuzzy logic Fuzzy Sets and Systems 52(1992), pp 259-281

[2] Nguyễn Cát Hồ, Huỳnh Văn Nam Ordered

Structure-Based Semantics of Linguistic Terms of Linguistic Variables and Approximate Reasoning, Hội nghị Quốc tế về các hệ phòng ngừa tính toán tổ chức tại Liege, Bỉ từ 9-14 tháng 8 năm 1999 (nhận

đăng trong AIP Conference Proceedings of Ame-rican Institute of Physics, USA distributed by Springer - Verlag)

[3] N Cat Ho and W Wechler Hedge algebras: an

algebraic approach to structures of sets of linguistic domains of linguistic truth variable, Fuzzy Sets and Systems, Vol 35,3, pp 281-293 (1990)

[4] Nguyen Cat Ho, Tran Thai Son On distance

between values of linguistic variable based on the structure of hedge algebras Journal of Informatics and Cybernetics Vol.11,1 (1995) (in Vietnamese)

[5] Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam A refinement

structure of Hedge Algebras, Procceding of NCST

of Vietnam, in printed

[6] Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam Lattice character

of the refinement structure of Hedge Algebras, submitted for publication in Journal of Informatics and Cybernetics