dẫn nhiệt ổn định trong vật thể hình trụ chứa nguồn nhiệt phân bố đều ThS.. Nguyễn đức huy Bộ môn Kỹ thuật nhiệt Khoa Cơ khí - Trường Đại học GTVT Tóm tắt: Bμi báo trình bμy cách giải
Trang 1dẫn nhiệt ổn định trong vật thể hình trụ
chứa nguồn nhiệt phân bố đều
ThS Nguyễn đức huy
Bộ môn Kỹ thuật nhiệt Khoa Cơ khí - Trường Đại học GTVT
Tóm tắt: Bμi báo trình bμy cách giải bμi toán dẫn nhiệt ổn định trong vật thể hình trụ chứa
nguồn nhiệt phân bố đều, điều kiện biên loại 1 vμ loại 3
Summary: The article presents the solution to stable heat conduction problem in the
cylinders with uniform heat generation, boundary conditions of the first and third classes
Trong thực tế, các vật thể hình trụ (ống trụ, cột trụ …) có vai trò rất quan trọng, đặc biệt là trong lĩnh vực xây dựng Mặt khác, việc nghiên cứu đặc tính nhiệt trong các kết cấu xây dựng ngày càng có ý nghĩa to lớn nhằm góp phần nâng cao độ bền và tuổi thọ của các kết cấu đó Tuy thế, đặc điểm truyền nhiệt trong các vật thể hình trụ cho đến nay còn chưa được nghiên cứu một cách toàn diện và đầy đủ Một trong những lý do dẫn đến tình trạng này là còn thiếu các công trình lý thuyết cũng như thực nghiệm nghiên cứu về truyền nhiệt trong các vật hình trụ Nội dung của bài báo này là thiết lập các phương trình truyền nhiệt đặc trưng đối với các vật thể có dạng hình trụ, với mục tiêu là xây dựng các cơ sở lý thuyết để xác định phương trình trường nhiệt độ và lập công thức tính mật độ dòng nhiệt đối với vật thể hình trụ (dạng vách và dạng thanh) có chứa nguồn nhiệt phân bố đều
i vách trụ
Khái niệm vách trụ ở đây được hiểu là vật thể hình trụ rỗng Xét một vách trụ đủ mỏng chứa nguồn nhiệt phân bố đều có năng suất sinh nhiệt thể tích là qv (w/m3) Đường kính trong và
đường kính ngoài của vách tương ứng là 2r1 và 2r2 (m) Hệ số dẫn nhiệt của vách là λ (w / m.0C) Cần xác định phương trình trường nhiệt độ trong vách và tính mật độ dòng nhiệt truyền qua chiều dày vách Giả thiết quá trình truyền nhiệt trong vách là ổn định
Phương trình vi phân đặc trưng có dạng:
2 2
dr
t d
+
dr
dt r
1 = λ
ưqv
(1.1)
Đặt
dr
dt = → u
2 2
dr
t d = dr
du
Do đó (1.1) trở thành:
dr
du + r
u = λ
ưqv
Trang 2
hoặc r.du+ dru =
λ
ưqv
dr r
tương đương với: d(ur) =
λ
ưqv
dr
r
Lấy tích phân sẽ được: u.r=
λ
ưqv
2
r2 + C1
suy ra:
r
C r 2
q
λ
ư
= (1.2)
hoặc:
dr
dt
r
C r 2
λ
ư
= suy ra
r
dr C dr r 2
q
λ
ư
=
Tích phân lần thứ hai sẽ được: t = v r2
4
q λ
ư + C1lnr + C2 (1.3)
Đây chính là phương trình tổng quát mô tả trường nhiệt độ trong vách trụ Các hằng số tích
phân C1 và C2 được xác định theo các điều kiện biên của bài toán
Ta có thể nêu lên vài nhận xét như sau liên quan đến sự biến thiên của nhiệt độ trong vách
trụ:
- Do
dr
dt
=
r
C r 2
λ
ư nên biến thiên của nhiệt độ trong vách phụ thuộc dấu của hằng số C1
- Nếu C1 ≤ 0 thì
dr
dt < 0 có nghĩa nhiệt độ là hàm nghịch biến trong toàn bộ chiều dày vách
- Nếu C1 > 0, phương trình
dr
dt =
r
C r 2
+ λ
ư = 0 có nghiệm:
r = r0 =
v 1
q
2
(1.4)
Tiến hành xét dấu của
dr
dt , ta được kết quả như trình bày trong bảng sau
r r0
dr
dt + 0 ư
f (rt = )
đồng biến
n
ghịch biến
Vấn đề ở đây là cần xác định tương quan vị trí giữa r0 và khoảng [r1; r2] Tùy thuộc vào
tương quan đó mà nhiệt độ t có thể đồng biến, nghịch biến hoặc đạt cực đại trong phạm vi chiều
dày vách trụ
Trang 3- Dấu của hằng số C1 được xác định tùy thuộc vào mối quan hệ giữa các đại lượng thuộc
điều kiện đơn trị của bài toán
Mật độ dòng nhiệt được xác định theo định luật Fourier:
q = - λ
n
t
∂
∂ = - λ dr
dt = - λ.u = - λ (
r
C r 2
+ λ
2
qv
- C1 r
λ (w/ m2) (1.5)
Có thể thấy mật độ dòng nhiệt q = 0 chính tại giá trị r = r0 =
v 1
q
2
1 Điều kiện biên loại 1
tm 2
tm1
tm1 t
r
r1
r2
Giả sử nhiệt độ 2 mặt vách là tm1 và tm 2 Trong hệ tọa độ
trụ như hình vẽ, điều kiện biên được viết như sau:
khi r = r1 , t = tm1
khi r = r2 , t = tm 2
Thay quan hệ trên vào phương trình (1.3) ta được
C1 =
1 2
2 1 2 2 v 2 m 1 m
r
r ln
) r r 4
q ) t t
λ
ư
ư
ư
C2 = +
λ
1 v 1
4
q
1 2
2 1 2 2 v 2 m 1 m
r ln r
r ln
) r r 4
q ) t t
λ
ư
ư
Từ đó phương trình trường nhiệt độ (1.3) có dạng cụ thể như sau:
4
q
1
λ
ư
1 1
2
2 1 2 2 v 2 m 1 m
r
r ln r
r ln
) r r 4
q ) t t
λ
ư
ư
ư
hoặc: t =
1 1
2
2
1 2 2 1 v 2 m 1 m 2
1
2 1 v 1 m
r
r ln r
r ln
r
r 1 r 4
q t t r
r 1 r 4
q t
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
ư λ +
ư
ư
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
ư λ
Mật độ dòng nhiệt được xác định theo (1.5):
q = r
2
qv
- C1 r
λ Thay giá trị đã biết của C1 ta tìm được biểu thức tính mật độ dòng nhiệt q:
Trang 4q = r
2
qv +
1 2
2 1 2 2 v 2 m 1 m
r
r ln r
) r r 4
q ) t t
λ
hoặc q = r
2
qv +
1 2
2
1
2 2 1 v 2 m 1 m
r
r ln r
r
r 1 r 4
q ) t t (
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ư +
ư λ
(w / m2) (1.7)
Bán kính r0 là nghiệm của phương trình
dr
dt = 0 được xác định theo công thức:
r0 =
v 1
q
2
=
v 1
2
2 m 1 m 2 1 2 2 v
q 2 r
r ln
t t r r 4
q
λ
ư
ư
ư
1
2 v
2 m 1 m 2
1 2 2 v
r
r ln q
t t 4 r r
(1.8)
Để thuận tiện cho việc hình dung biến thiên nhiệt độ trong vách trụ chứa nguồn nhiệt, ta xét một số thí dụ cụ thể sau đây:
• Thí dụ 1: Các thông số của vách r1 = 0,2 m ; r2 = 0,3 m
λ = 2 w/m.0C ; qv = 800 w/m3
tm1 = 600C ; tm 2 = 400C
+ Tính hằng số C1: C1 =
1 2
2 1 2 2 v 2 m 1 m
r
r ln
) r r 4
q ) t t
λ
ư
ư
+ Phương trình trường nhiệt độ: Theo (1.6) t = 64 - 100r2 - 37,5 ln(5r)
+ Mật độ dòng nhiệt: Theo (1.7) q = 400r +
r 75
+ Nhiệt độ lớn nhất: Do C1 < 0 nên nhiệt độ là hàm nghịch biến trên toàn bộ chiều dày vách, suy ra tmax = tm1 = 600C
+ Đồ thị:
t0C
60
40
r (m) 0,2 0,3
q(w/m2)
0,3 0,2
r (m) 455
370
Trang 5• Thí dụ 2: Các thông số của vách r1 = 0,2 m ; r2 = 0,3 m
λ = 2 w/m.0C ; qv = 3200 w/m3
tm1 = 600C ; tm 2 = 550C
+ Tính hằng số C1: C1 =
1 2
2 1 2 2 v 2 m 1 m
r
r ln
) r r 4
q ) t t
λ
ư
ư
+ Phương trình trường nhiệt độ: Theo (1.6) t = 76 - 400r2 + 37,5 ln(5r)
+ Mật độ dòng nhiệt: Theo (1.7) q = 1600r -
r 75
+ Nhiệt độ lớn nhất: Theo (1.8) r0 =
v 1
q
2
= 0,22m ∈ [0,2; 0,3]
Như vậy nhiệt độ đạt cực đại cũng đồng thời là giá trị lớn nhất tại:
r = r0 = 0,22 m → tmax = t(r0) ≈ 610C + Đồ thị:
t0 C
0,2 0,3
r (m)
60
55
q(w/m2)
0,2 0,3
r (m)
- 55
230
• Thí dụ 3: Các thông số của vách r1 = 0,2 m ; r2 = 0,3 m
λ = 2 w/m.0C ; qv = 3200 w/m3
tm1 = 600C ; tm 2 = 800C
+ Tính hằng số C1: C1 =
1 2
2 1 2 2 v 2 m 1 m
r
r ln
) r r 4
q ) t t
λ
ư
ư
+ Phương trình trường nhiệt độ: Theo (1.6) t = 76 - 400r2 + 100 ln(5r)
+ Mật độ dòng nhiệt: Theo (1.7) q = 1600r -
r 200
+ Nhiệt độ lớn nhất: Theo (1.8) r0 =
v 1
q
2
= 0,35 m ∉ [0,2; 0,3]
Trang 6Suy ra nhiệt độ đồng biến trên đoạn [0,2; 0,3] do đó tmax = tm 2 = 80C
+ Đồ thị:
2 Điều kiện biên loại 3
lỏng có nhiệt độ tL Hệ số toả nhiệt giữa chất lỏng và mặt ngoài vách là α Mặt trong vách được cách nhiệt hoàn toàn Vách được làm nguội trong chất lỏng
Khi đó điều kiện biên loại 3 được viết như sau:
- Tại mặt trong: 0
dr dt
2 r r
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Thay vào (1.2) ta tìm được C1 = vr12
2
q λ
- Tại mặt ngoài:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
λ
=
+ +
λ
ư
=
ư α
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ λ
=
=
=
2 1 v 1
2 2 1 2 2 v 2 m
L 2 m 2 r r 2
r r
r 2
q C
) 3 1 ( theo C r ln C r 4
q t
t t dr
dt q
Từ đó tìm được giá trị của C2 bằng:
C2 = tL +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ư λ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ư
2 1
2 2 2
2 1 2
2
r 1 r
r r 1 2 q
Thay các giá trị của C1 và C2 vào (1.3) sẽ tìm được phương trình trường nhiệt độ trong trường hợp đang khảo sát: t = v r2
4
q λ
ư + C1lnr+ C2
t = tL +
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ư α
λ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ư λ
2
2 1 2 2
2
2 1 2
2
2 2 v
r
r 1 r
2 r
r ln r
r 2 r
r 1 r 4
q
(1.9)
t0C
0,2 0,3 60
80
r (m)
q(w/m2)
0,2 0,3
- 186
- 680
r (m)
Trang 7Mật độ dòng nhiệt tại mặt ngoài vách trụ được tính theo công thức Newton - Richman:
) t t (
2 r
2 2 v 2 r r 2
r
r
r 2
q dr
dt
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ λ
=
=
=
= vr2
2
q
-
2
r
1
v r 2
q
2 1 2 2 v
r
r r 2
(1.10)
lỏng có nhiệt độ tL Hệ số toả nhiệt giữa chất lỏng và mặt trong vách là α Mặt ngoài vách được cách nhiệt hoàn toàn Vách được làm nguội trong chất lỏng
Khi đó điều kiện biên loại 3 được viết như sau:
- Tại mặt ngoài: 0
dr dt
2 r r
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Thay vào (1.2) ta tìm được C1 = v r22
2
q λ
- Tại mặt trong:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
λ
=
+ +
λ
ư
=
ư α
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ λ
=
=
=
2 2 v 1
2 1 1 2 1 v 1 m
L 1 m 1 r r 1
r r
r 2
q C
) 3 1 ( theo C r ln C r 4
q t
t t dr
dt q
Từ đó tìm được giá trị của C2 bằng:
C2 = tL +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ư λ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ư
2 2
2 1 1
2 2 1
2
r 1 r
r r 1 2 q
Thay các giá trị của C1 và C2 vào (1.3) sẽ tìm được phương trình trường nhiệt độ trong trường hợp này: t = v r2
4
q λ
ư + C1lnr + C2
t = tL +
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ư α
λ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ư λ
2
1 2 1 1 2
1 2 2
1
2 1 v
r
r 1 r
2 r
r ln r
r 2 r
r 1 r 4
q
(1.11)
Mật độ dòng nhiệt tại mặt trong vách trụ được tính theo công thức Newton-Richman :
) t t (
1 r
1 1 v 1 r r 1
r
r
r 2
q dr
dt
ư
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ λ
=
=
=
= v r1
2
q
-
1
r
2 v
r 2
q
2 2 2 1 v
r
r r 2
(1.12)
Trang 8c Trường hợp nhiệt toả ra ở cả 2 mặt vách: Xét trường hợp vách trụ tiếp xúc với cùng một chất lỏng ở cả 2 mặt vách Nhiệt độ chất lỏng là tL, hệ số toả nhiệt giữa chất lỏng và mặt vách là
α Vách được làm nguội trong chất lỏng
Ta có hệ phương trình viết cho mật độ dòng nhiệt ở 2 mặt vách như sau:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
ư +
ư λ +
=
ư α
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
ư +
ư λ +
=
ư α
=
=
=
1
2 2
2
1
2 2 1 v 2 m 1 m 2 2 v L 2 m 2 r r
1
2 1
2
1
2 2 1 v 2 m 1 m 2 1 v L 1 m 1 r r
r
r ln r
r
r 1 r 4
q t t r 2
q t t q
r
r ln r
r
r 1 r 4
q t t r 2
q t t q
Giải ra đối với 2 ẩn là tm1 và tm2, ta đưa được bài toán về trường hợp điều kiện biên loại 1 như đã xét ở trên
Có thể thấy rằng do giả thiết nhiệt truyền từ cả 2 mặt vách đến chất lỏng bao quanh (có nghĩa chiều dòng nhiệt tại 2 mặt là ngược nhau) nên chắc chắn nhiệt độ của vách sẽ đạt cực đại tại giá trị r0 ∈ (r1; r2), tại đó
dr
dt = 0 → q (r0 ) = 0
ii thanh trụ
Khái niệm thanh trụ ở đây được hiểu là vật thể hình trụ đặc Xét thanh trụ đường kính R, hệ
số dẫn nhiệt λ, chứa nguồn nhiệt phân bố đều có năng suất sinh nhiệt thể tích là qv
1 Điều kiện biên loại 1
Biết nhiệt độ bề mặt thanh trụ là tm Giả thiết tại trục của thanh, gradient nhiệt độ bằng
dr
dt
0
r
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Từ biểu thức (1.2): u.r= r
dr
dt =
2 r
qv 2 λ
kết hợp với giả thiết: 0
dr dt
0 r
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Có thể suy ra: C1 = 0 do đó (1.2) trở thành:
dr
dt =
2 r
qv λ
λ
ưqv
2 rdr
Trang 9t = - v r2 4
q
λ + C2
Điều kiện biên: khi r = R thì t = tm từ đó tính được C2 = tm+ v R2
4
q λ Phương trình trường nhiệt độ trong thanh trụ có dạng:
= - t v r2
4
q
λ + C2 = - v r2
4
q
λ + tm+ v R2
4
q λ
= t tm+ (R r )
4
ư
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ư λ
2 2
v
R
r 1 R 4
q
(2.1)
Rõ ràng là khi r = 0 thì t đạt giá trị lớn nhất bằng tmax = t x= 0 = tm+ v R2
4
q λ Mật độ dòng nhiệt bằng:
q = - λ(
dr
dt ) = r 2
qv
- C1 r
λ
= r 2
qv (2.2)
Như vậy q đạt giá trị lớn nhất khi r = R, qmax = R
2
qv
2 Điều kiện biên loại 3
Chất lỏng bao quanh thanh trụ có nhiệt độ và hệ số toả nhiệt tương ứng là tL và α Giả sử thanh trụ được làm nguội trong môi trường lỏng
Ta có hệ phương trình sau:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
ư α
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ư λ +
=
=
=
) t t ( q
R 2
q q
R
r 1 R 4
q t t
L m R r
v R r
2 2
v m
Giải hệ đó ta sẽ tìm được phương trình trường nhiệt độ trong thanh trụ:
t = tL +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ư α
λ + λ
2 2
v
R
r R 2 1 R 4
q
(2.3)
Nhiệt độ bề mặt thanh trụ được xác định theo công thức: tm = R
2
qv
α + tL
Mật độ dòng nhiệt tại bán kính r bất kỳ bằng:
q = - λ(
dr
dt ) = r 2
qv
- C1 r
λ
= r 2
qv (2.4)
Trang 10iii Kết luận
Khảo sát quá trình dẫn nhiệt trong vách trụ chứa nguồn nhiệt là lĩnh vực nghiên cứu có ý nghĩa to lớn cả về phương diện lý thuyết cũng như thực tế Chúng tôi hy vọng bài báo này sẽ là một trong những đề xuất cụ thể nhằm góp phần hoàn thiện hóa các cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu toàn diện bài toán truyền nhiệt
Tài liệu tham khảo
[1] André B De Vrient "La transmission de la chaleur " Gaởtan Morin éditeur,1990
[2] Frank Kreith, Mark S.Bohn "Principles of heat transfer" West Publishing Company,1993
[3] B.N Yudaev "Teplopredatra" Moskva Vưshaia Schola, 1973
[4] Đặng Quốc Phú, Trần Thế Sơn, Trần Văn Phú "Truyền nhiệt " Nhà xuất bản Giáo dục, 1999♦