ứng dụng phương pháp VZ giải bμi toán dao động của toa xe PGS.. Lê quang hưng Bộ môn Cơ kết cấu Khoa Công trình - Trường ĐHGTVT Tóm tắt: Phương pháp VZ lμ phương pháp đơn giản, không c
Trang 1ứng dụng phương pháp VZ giải bμi toán dao động của toa xe
PGS TS Lê văn doanh
Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa Cơ khí - Trường ĐHGTVT
KS Lê quang hưng
Bộ môn Cơ kết cấu Khoa Công trình - Trường ĐHGTVT
Tóm tắt: Phương pháp VZ lμ phương pháp đơn giản, không cần để ý tới lực tác dụng
tương hỗ chưa biết, thuận lợi trong quá trình chuẩn hoá tính toán Thông qua việc nghiên cứu bμi toán dao động tự do của toa xe hμng bằng hai phương pháp: sử dụng phương trình Lagrăng loại 2 vμ phương pháp VZ để chứng tỏ tính đơn giản vμ chính xác của phương pháp nμy
Summary: Method VZ is a simple method without considering unknown support
interaction and convenient for the process of calculation normalization of commodity wagon by applying Lagrang equation 2 and method VZ approve the simplicity and accuracy of this method
i Nội dung
Xác lập phương trình vi phân dao động của thùng toa xe hàng trong mặt phẳng thẳng đứng dọc và xác định tần số tự do của toa xe
Sơ đồ tính:
Hình 1.
trong đó:
- m, J là khối lượng và mô men quán tính của thùng xe
m,J
C
Z
l 2 l 1
ϕ
1
1
m,J
C
Z
l 2 l 1
ϕ
1
1
- K1, K2 độ cứng tổng cộng theo phương thẳng đứng của giá chuyển trước và sau
- β1, β2 hệ số cản giảm chấn của giá chuyển trước và sau
- l1, l2 khoảng cách từ trọng tâm toa xe tới cối chuyển trước và sau
Trang 2a Sử dụng phương trình Lagrăng loại 2 lập phương trình vi phân chấn động và xác
định tần số tự do
Từ hệ chấn động trên ta có:
2
2
1 Z m 2
1
T= & + ϕ&
2 2 2 1
2
1 l Z 2
1
ϕ + β + ϕ
ư
β & & & &
=
2 2 2 1
2
1 l
Z K 2
1
ϕ + +
ϕ
ư
Z m Z dt
d &&
&⎟⎠=
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
; ⎟⎟= ϕ
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ϕ
∂
∂
&&
& J dt
d
( ư ϕ) (+β + ϕ)
β
=
∂
∂∅
&
&
&
&
& 1Z l1 2Z l2
Z
( ư ϕ)+β ( + ϕ)
β
= ϕ
∂
∂∅
&
&
&
&
& l1Z l1 2l2 Z l2
( ư ϕ)+ ( + ϕ
=
∂
Π
∂
2 2 1
K
( ư ϕ)+ ( + ϕ
ư
= ϕ
∂
Π
∂
2 2 2 1
l
Phương trình Lagrăng 2 có dạng:
0 q q q
T dt
∂
Π
∂ +
∂
∂∅
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
&
Thay vào phương trình (1) và biến đổi ta có:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= ϕ +
+
ư +
ϕ + +
ư +
ϕ
= ϕ
ư +
+ + ϕ
ư + + +
0 ) l K l (K )Z l K l (K ) l l ( Z ) l l (
J
0 ) l K l (K )Z K (K ) l l ( Z ) (
Z
m
2 2 2 2 1 1 1
1 2 2 2
1 2 2 1 1 1
1 2 2
1 1 2 2 2
1 1
1 2 2 2
1
&
&
&&
&
&
&&
β β β
β
β β β
β
(2)
Phương trình (2) viết dưới dạng ma trận:
[ ]M{ }q&& +[ ]β{ }q& +[ ]K{ }q =0
trong đó:
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= J 0
0 m
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
β + β β
ư β
β
ư β β + β
= β
) l l ( ) l l (
) l l ( ) (
2 2 2 2 1 1 2 2
1 2 2 2 1
;
[ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
ư
ư +
=
) l K l K ( ) l K l K (
) l K l K ( ) K K ( K
2 2 1 2
1 2 2
1
Trang 3{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ϕ
= Z
Khi xác định tần số tự do của hệ ta bỏ qua ảnh hưởng của lực cản bộ giảm chấn
Do đó ta có:
[ ]Mì &&{ }q +[ ]K{ }q =0 (3) nghiệm có dạng: qi = aisin ω t; thay vào phương trình (3) ta có:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ư
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
ư
ư +
0
0 0
0 )
( ) (
) (
) (
2
1 2
2 2 2 2 1 1
2
2
1 2 2 2
1
a
a J
m l
K l K l K l
K
l K l K K
K
để phương trình (4) có nghiệm không tầm thường ta có:
0 M K det ưω2 = hay:
0 J l K l K l K l K
l K l K m K
K
2 2 2 2 2 1 1
2 2
1 2 2 2
2
ω
ư +
ư
ư ω
ư +
từ đó tìm được tần số dao động tự do:
21 12
2 22 11 22
11 2
,
2
a a 2
a a
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
=
trong đó:
m
K K
11
+
m
l K l K
12
ư
=
J
l K l K
21
ư
J
l K l K a
2 2 2 2 1 22
+
=
b Sử dụng phương pháp VZ thiết lập phương trình vi phân dao động và xác định tần
số tự do
Khi xác định tần số tự do của hệ, bỏ qua ảnh hưởng của lực cản giảm chấn nên ta có phương trình vi phân dao động dưới dạng ma trận (phương trình (3))
Trong đó theo phương pháp VZ ta có:
V
a M M
V
a K K
Trong đó [Ma]; [Ka] là ma trận khối lượng cơ sở và độ cứng cơ sở
Từ hệ thống dao động trên hình 1 ta có thể xác định được hai ma trận trên, với qui ước dấu: Dấu ⊕ khi lò xo chịu kéo
Dấu \ khi lò xo chịu nén
Trang 4[ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
= J 0
0 m
Ma ; [ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ư
ư
ư
=
2 1
2 1 a
l K l K
K K K
[MV] và [KV] là ma trận hệ số của ma trận [Ma] và [Ka], tức là ta có:
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 1 0
0 1
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ư
ư
ư
=
2 1 V
l l
1 1 K
thay vào (7) ta có:
[ ] [ ][ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
J 0
0 m
1 0
0 1
J 0
0 m
M M
[ ] [ ][ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
ư
ư +
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ư
ư
ư
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ư
ư
ư
=
=
2 2 2 1 1 2
1 2 2
1
2 1
2 1
2 1
T V a
l K l K l K l K
l K l K K K
l 1
l 1 l K l K
K K
K K K
thay vào (3) ta có phương trình vi phân dao động:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ϕ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
ư
ư +
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ϕ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0 Z l K l K l K l K
l K l K K K Z j 0
0 m
2 2 1 2
1 2 2 1
&&
&&
Phương trình tần số:
0 J l K l K l K l K
l K l K m K
K
2 2 2 2 1 1
2
1 2 2
2 1
= ω
ư +
ư
ư ω
ư +
và từ đó rút ra tần số tự do của hệ ω1,2 hoàn toàn giống như (6)
ii Kết luận
Giải bài toán dao động bằng phương pháp VZ đơn giản, chính xác và cho kết quả hoàn toàn giống như kết quả giải bằng phương pháp sử dụng phương trình Lagrăng loại 2 hoặc sử dụng nguyên lý Dalămbe
Tài liệu tham khảo
[1] PGS TS Lê Văn Doanh Một phương pháp xác định ma trận độ cứng của hệ dao động có hữu hạn
bậc tự do Tạp chí khoa học GTVT
