Chương 5: Các kỹ thuật thiết kế giải thuật ppsx

Bài toán cái túi d ng phân s tta dùng gi i thu t tham lam cho bài toán cái túi d ng phân s và qui ho ch ng cho bài toán cái túi d ng 1-0... procedure DY_KNAPSACKV, W, M, X, n;/* V, W are

Ch ng 5

Các k thu t thi t k gi i thu t

N i dung

1 Qui ho ch ng

2 Gi i thu t tham lam

3 Gi i thu t quay lui

1 Qui ho ch ng

Quy ho ch ng (dynamic programming) gi i các bài toán

b ng cách k t h p các l i gi i c a các bài toán con c a bài toán ang xét

Ph ng pháp này kh d ng khi các bài toán con không c

l p i v i nhau, t c là khi các bài toán con có dùng chung

nh ng bài toán “cháu” (subsubproblem)

Qui ho ch ng gi i các bài toán “cháu” dùng chung này

m t l n và l u l i gi i c a chúng trong m t b ng và sau ó

kh i ph i tính l i khi g p l i bài toán cháu ó

Qui ho ch ng c áp d ng cho nh ng bài toán t i u

Phát bi u bài toán nhân xâu ma tr n

'‘Cho m t chu i <A1, A2, …, An> g m n matr n, v i m i

i = 1, 2, …, n, ma tr n Ai có kích th c pi-1 pi, ta m - ngo c tích này sao cho t i thi u hóa t ng s phép nhân vô

ây là m t bài toán t i u hóa thu c lo i khó.

nguyên k, 1 k < n Ngh a là, tr c tiên ta tính các chu i ma

tr n A1 k and Ak+1 n và r i nhân chúng v i nhau cho ra A1.n

Chi phí c a s m óng ngo c t i u này = chi phí tính Al k +chí phí tính Ak+1 n, + chi phí nhân chúng l i v i nhau

Di n t l i gi i m t cách quy

â , nh ng bài toán con c a ta là bài toán xác nh chi phí

t i u ng v i s m óng ngo c cho chu i Ai.Ai+1… Aj v i

t m[i, j] là t ng s t i thi u các phép nhân vô h ng c

òi h i tính ma tr n Ai j Chi phí c a cách r nh t tính

A1 n s c ghi m[1, n]

Gi s r ng s m óng ngo c t i u t ch i tích chu i Ai

Ai+l… Aj t i gi a Ak and Ak+l, v i i k < j Thì m[i, j] b ng

v i chí phí t i thi u tính Ai k và Ak+1 j, c ng v i chi phí

nhân hai ma tr n này l i v i nhau

M t c ng th c quy

M t nh n xét quan tr ng

nh n xét quan tr ng là

m óng ngo c c a xâu con A1A2 Ak bên trong s m

óng ngo c t i u c a xâu A1A2…An c ng ph i là m t s m

óng ngo c t i u''

Nh v y, m t l i gi i t i u cho bài tóan tích xâu ma tr n

ch a ng trong nó nh ng l i gi i t i u c a nh ng bài toáncon

B c th hai c a ph ng pháp qui ho ch ng là nh ngh a

tr c a l i gi i t i u m t cách quy theo nh ng l i gi i t i

u c a nh ng bài toán con

Tính nh ng chi phí t i u

vì tính l i gi i d a vào công th c cho (5.2) b ng m t

gi i thu t quy, chúng ta i th c hi n B c 3 c a qui ho chng: tính chi phí t i u b ng cách ti p c n t d i lên

B c 4 T o m t l i gi i t i u

a dùng m ng s[1 n, 1 n] xác nh cách t t nh t tínhtích xâu ma tr n M i ph n t s[i, j] ghi tr of k sao cho t i

ó s m óng ngo c t i u tách ôi xâu AiAi+1… Aj thành

hai o n t i Ak và Ak+1

Cho tr c chu i ma tr n A = <A1, A2…, An>, b ng s và các

ch s i và j, th t c quy MATRIX-CHAIN-MULTIPLY sau

ây tính tích xâu ma tr n Ai j, Th t c tr v k t qu qua

tham s AIJ

V i l nh g i ban u là

MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A,s, 1, n, A1N)

ó ành ph n then ch t mà m t bài toán t i u hóa ph i

Nh ng bài toán con trùng l p

m t gi i thu t quy g p l i cùng m t bài toán con

nhi u l n, ta b o r ng bài toán t i u hóa có nh ng bài toáncon trùng l p

Gi i thu t quy ho ch ng l i d ng nh ng bài toán con

trùng l p b ng cách gi i m i bài toán con m t l n, c t l i

gi i vào trong m t b ng mà b ng này s c tham kh o

n khi c n

Các gi i thu t quy l m vi c t trên xu ng trong khi các

gi i thu t quy ho ch ng làm vi c t d i lên, Cách sau

h u hi u h n

Thí d ài toán chu i con chung dài nh t

chu i con subsequence) a m t chu i (sequence) là

chu i y sau khi b i m t vài ph n t

Ti u c u trúc t i u c a bài toán chu i con

1 N u xm = yn thì zk = xm = yn và Zk-1 là LCS c a Xm-1 và

Yn-1

2 N u xm yn, thì zk xm hàm ý Z là LCS c a Xm-1 và Y

3 N u xm yn, thì zk yn hàm ý Z là LCS c a X và Yn-1

ì m t LCS c a X và Y, ta có th c n tìm LCS c a X và

Yn-1 và LCS c a Xm-1 và Y Nh ng m i trong hai bài toán

con này có nh ng bài toán “cháu” tìm Xm-1 và Yn-1

G i c[i, j] là chi u dài c a LCS c a hai chu i Xi và Yj N u

i = 0 hay j = 0, thì LCS có chi u dài 0 Tính ch t ti u c u

trúc t i u c a bài toán LCS cho ra công th c quy sau:

c[i, j] = c[i-1, j-1]+1 n u i, j > 0 và xi = yj

max(c[i, j-1],c[i-1,j]) n u i,j >0 và xi yj (5.3)

begin c[i, j]: = c[i-1, j-1] + 1; b[i, j]: = “ ” end

else if c[i – 1, j] > = c[i, j-1] then

begin c[i, j]: = c[i – 1, j]; b[i, j]: = “↑” end

else

begin c[i, j]: = c[i, j-1]; b[i, j]: = “←” end

end;

0 0

0 0

0 0

Thí d Bài toán cái túi napsac

'‘M t k tr m t nh p vào m t c a hi u tìm th y có n m thàng có tr ng l ng và giá tr khác nhau, nh ng y ch

mang theo m t cái túi có s c ch a v tr ng l ng t i a là

M Bài toán cái túi là tìm m t t h p các m t hàng mà k

tr m nên b vào cái túi t m t giá tr cao nh t v i

nh ng món hàng mà y mang i.”

Bài toán này có th gi i b ng qui ho ch ng b ng cách

dùng hai b ng cost và best sau ây:

cost[i] ch a giá tr t i a mà có th th c hi n c v i m tcái túi có s c ch a i

cost[i] = cost[i – size[j]] + val[j]

best[i] ch a m t hàng cu i cùng b vào túi nh m t c

M t thí d c a bài toán cái túi

value 4 5 10 11 13

cost[k] 0 0 4 5 5 8 10 11 12 14 15 16 18 20 21 22 24 best[k] A B B A C D A C C A C C D C C j=5

Ghi Chú:

Bài toán cái túi có th d dàng gi i c n u M không l n,

nh ng khi M l n thì th i gian ch y tr nên không th ch p

ác gi i thu t t i u hóa th ng i qua m t s b c v i m t

t p các kh n ng l a ch n t i m i b c M t gi i thu t thamlam th ng ch n m t kh n ng mà xem nh t t nh t t i lúc

ó

T c là, gi i thu t ch n m t kh n ng t i u c c b v i hy

v ng s d n n m t l i gi i t i u toàn c c

Vài thí d c a gi i thu t tham lam:

- Gi i thu t Prim tính cây bao trùm t i thi u

- Gi i thu t Dijkstra gi i bài tóan nh ng l i i ng n

nh t t m t nh ngu n (single-source shortest paths

Gi i thu t tham lam

Gi i thu t tham lam cho bài toán x p l ch các

Hai thành ph n chính c a gi i thu t tham lam

ó hai tính ch t mà các bài toán ph i có có th áp d ng

gi i thu t tham lam là: (1) tính ch t l a ch n tham lam và(2) ti u c u trúc t i u

L a ch n c th c hi n b i gi i thu t tham lam tùy thu cvào nh ng l a ch n ã làm cho n bây gi , nh ng nó

không tùy thu c vào b t k l a ch n trong t ng lai hay

nh ng l i gi i c a nh ng bài toán con Nh v y, m t gi i

thu t tham lam ti n hành theo ki u t trên xu ng, th c hi n

m i lúc m t l a ch n tham lam

Tính ch t ti u c u trúc t i u (Optimal Substructure)

M t bài tóan có tính ch t ti u c u trúc t i u n u m t l i

gi i t i u ch a trong nó nh ng l i gi i t i u cho nh ngbài toán con

khác bi t gi a qui ho ch ng và gi i thu t tham lam

khi dùng gi i bài toán t i u là r t t nh

Bài toán cái túi d ng 0-1 c nh nghiã nh sau

'‘M t k tr m t nh p vào m t c a hi u tìm th y n lo i món

hàng có tr ng l ng và giá tr khác nhau (món hàng th i có giá

tr vi ô la và tr ng l ng wi), nh ng ch có m t cái túi v i s c

ch a v tr ng l ng là M mang các món hàng Bài toán cái túi

là tìm m t t h p các món hàng mà k tr m nên ch n b vào cái

túi t c m t giá tr t i a v i nh ng món hàng mà y l y

i.”.

Bài toán này c g i là bài toán cái túi d ng 0-1 vì m i

Bài toán cái túi d ng phân s Fractional

knapsack proble

rong bài toán cái túi d ng phân s , tình ti t c ng nh v y,

nh k tr m có th l y i m t ph n c a m t món hàng

C hai bài toán u có tính ch t ti u c u trúc t i u

i v i bài toán cái túi d ng 0-1, xét m t t h p n ng M ký

mà em l i giá tr c c i N u ta l y món hàng th j ra kh itúi, nh ng món hàng còn l i c ng là t h p em l i giá tr l n

nh t ng v i tr ng l ng t i a M - wj mà k tr m có th l y

i t n-1 lo i m t hàng tr m t hàng th j

i v i bài toán cái túi d ng phân s , xét tr ng h p khi ta

l y ra kh i túi wj -w ký c a m t hàng th j, nh ng món hàngcòn l i c ng là t h p em l i giá tr l n nh t ng v i tr ng

l ng M – (w –w) mà k tr m có th l y i t n-1 lo i m t

Bài toán cái túi d ng phân s tt

a dùng gi i thu t tham lam cho bài toán cái túi d ng phân

s và qui ho ch ng cho bài toán cái túi d ng 1-0

gi i bài toán cái túi d ng phân s , tr c tiên ta tính h sgiá tr ti n trên m t n v tr ng l ng (vi/wi ) c a t ng m thàng

K tr m b t u b ng cách l y càng nhi u càng t t m t

hàng có h s vi/wi l n nh t Khi lo i m t hàng này ã c n

mà k tr m còn có th mang thêm c n a thì y s càng

nhi u càng t t m t hàng có h s vi/wil n nhì và c nh thcho n khi y không còn có th mang thêm n a

ình 5.6

procedure DY_KNAPSACK(V, W, M, X, n);

/* V, W are the arrays contain the values and weights of n objects

ordered so that Vi/Wi ≥ Vi+1/Wi+1 M is the knapsack capacity and X is solution vector */

B qua th i gian

s p th t cácmón hàng, gi ithu t này có

Mã Huffman

ph bi n và r t h u hi u cho vi c nén d li u, ti t ki m

t n s xu t hi n (frequency) c a m i ký t trong t p tin

c mã hóa.

Gi s chúng ta có m t t p tin 100000 ký t mà chúng

a b c d e f

T n s 45 13 12 16 9 5

Mã có chi u dài c nh 000 001 010 011 100 101

Mã có chi u dài thay i 0 101 100 111 1101 1100

b ng m t tràng bit nh phân.

di n t 6 ký t :

a = 000, b = 001, , f = 101

Mã có chi u dài thay i

mã có chi u dài thay i variable-length code có th làm

vi c t t h n m t mã có chi u dài c nh, nó cho nh ng ký thay xu t hi n nh ng mã ng n và nh ng ký t hay xu t hi n

Mã phi t Prefix

â ch xét nh ng cách mã hóa mà không có mã c a ký tnào là ti n t (prefix) c a mã c a m t ký t khác Nh ng cách

mã hóa nh v y c g i là mã phi ti n t (prefix-free-code)

Mã phi ti n t và cây nh phân

Bi u di n cho m t mã phi ti n t là m t cây nh phân v i m inút lá t ng ng v i các ký t c cho

Chúng ta phân gi i m t mã nh phân cho m t ký t nh là

sang con bên trái” và 1 ngh a là “r sang con bên ph i”

Mã t i u c a m t t p tin th ng c bi u di n b ng m t

c y nh phâ n y (full binary tree) M t cây nh phân y

là m t cây nh phân mà m i nút không ph i lá có haicon

N u C là t p ký t mà t ó các ký t l y ra, thì cây nh phâncho mã phi ti n t t i u có úng |C| nút lá, m i nút lá cho

m t ký t , và úng |C|-1 nút n i

58

a:45 b:13 c:12 d:16 e:9 f:5

14 86

14 28

0

0 1

1 0

0

1

e:9 f:5

14

30 0

d:16

1 b:13

Mã phi ti n t và cây nh phân tt

Cho m t cây T t ng ng v i m t mã phi ti n t , chúng ta có

th tính t ng s bit c n mã hóa m t t p tin

V i m i ký t c trong t p ký t C, dùng f(c) ký hi u t n s

xu t hi n c a c trong t p tin và dT(c) là chi u dài c a mã cho

ký t c Thì s bit òi h i mã hóa t p tin là

c C

Mà chúng ta coi là chi phí c a cây nh phân T

Huffman ã xu t m t gi i thu t tham lam c u t o m t

mã phi ti n t t i u c g i là mã Huffman (Huffman

code)

Gi i thu t t o m t cây nh phân T t ng ng v i mã t i utheo ki u t d i lên Gi i thu t b t u v i m t t p g m |C|nút lá và th c hi n m t chu i g m |C| tác v tr n t o ra cây cu i cùng

dùng nh n di n hai i t ng có t n s nh nh t tr n

l i v i nhau

K t qu c a vi c tr n hai i t ng là m t i t ng m i mà

C u t o mã Huffman

e:9 f:5

14

30 0

d:16

1 b:13

14

d:16 b:13

c:12

b:13 c:12

14

b:13 c:12

25

e:9 f:5

14

30 0

d:16 1

(f)

14

30 0

d:16

1 b:13

m i tác v làm vi c trên heap òi h i O(lgn), vòng l p

này óng góp chi phí O(nlgn) vào th i gian tính toán.

Nh v y, th i gian tính toán c a gi i thu t HUFFMAN

Gi i thu t quay lui

ph ng pháp t ng quát gi i quy t v n : thi t k

gi i thu t tìm l i gi i cho bài tóan không ph i là bám theo

m t t p qui lu t tính tóan c xác nh mà là b ng cách

th và s a sai (trial and error)

Khuôn m u thông th ng là phân rã quá trình th và s a

sai thành nh ng công tác b ph n Th ng thì nh ng côngtác b ph n này c di n t theo l i quy m t cách

thu n ti n và bao g m vi c th m dò m t s h u h n nh ngcông tác con

Ta có th coi toàn b quá trình này nh là m t quá trình tìm

ki m (search process) mà d n d n c u t o và duy t qua m t

Cho m t bàn c n n v i n2 ô M t con hi p s – c di

chuy n tuân theo lu t ch i c vua – c t trên bàn c t i

if not successful then erase previous recordingend

end

until (move was successful) ∨ (no more candidates)

procedure ( ; x,y : index; var q: boolean);

var u, v: integer; q1 : boolean;

begin initialize selection for moves;

repeat let u, v be the coordinates of the next move ;

if (1≤u≤n) ∧ (1≤v≤n) ∧ (h[u,v]=0) then

begin h[u,v]:=i;

begintry(i + 1, u, v, q1); if ¬ q1 then h[u,v]:=0end

else q1:= trueend

until q1 ∨ (no more candidates);

q:=q1

ho t a c a hi n hành <x, y>, có 8 kh n ng ch n ô k

ti p <u, v> i t i Chúng c ánh s t 1 n 8 nh sau:

7 6

8 5

⊕

1 4

2 3

a,b: array [1 8] of integer;

h: array [index, index] of integer;

procedure ( ; x, y: index; var q:boolean);

var k,u,v : integer; q1: boolean;

try(i+1, u,v,q1);

if ¬ q1 then h[u,v]:=0 end

else q1:=true end

until q1 ∨ (k =8);

q:=q1

1,2,2; b[1]:= 1;

for j:=1 to n dowrite(h[i,j]:5);

writelnend

else writeln ( NOSOLUTION’)

end

Th t c quy c kh i ng b ng l nh g i v i t a kh i u x0,

y0 , t ó chuy n i b t u.

H[x0,y0]:= 1; try(2, x0, y0, q) Hình 5.3.1 trình bày m t l i gi i t c v i v trí <1,1> v i n = 5.

23 12

3 13

11 22

2

20

21 10

1

thí d trên ta i n v i m t ki u “gi i quy t v n

” m i:

c i m chính là

“b c h ng v l i gi i y và ghi l i thông tin

v b c này mà sau ó nó có th b tháo g và xóa i khi phát hi n r ng b c này ã không d n n l i

gi i y , t c là m t b c i d n n “ tình th b

t c ”(dead-end) (Hành vi này c g i là quay lui

-bactracking.)

record it;

if solution incomplete thenbegin

if not successful then cancel recordingend

enduntil successful ∨ no more candidates

end

Khu n m u t ng quát c a gi i thu t quay lui

procedure try (i: integer);

var k : integer;

begin k:=0;

repeat k:=k+1; select k-th candidate;

if acceptable then begin

record it;

if i<n then begin

try (i+1); (5.3.4)

if not successful then

cancel recording end

end until successful ∨ (k=m) end

à toán này ã c C.F Gauss kh o sát n m 1850,

nh ng ông ta không hoàn toàn gi i quy t c.

“ Tám con h u c t vào bàn c sao cho không có con h u nào có th t n công con h u nào ”.

Dùng khuôn m u hình 5.3.1, ta s có c m t th

t c sau cho bài toán 8 con h u:

Bài toán 8 con h u

procedure (i: integer);

Lu t c : M t con h u có th t n công các con h u khác n m trên

cùng m t hàng, cùng m t c t hay là cùng ng chéo trên bàn c Cách bi u di n d li u

Làm cách nào di n t 8 con h u trên bàn c ?

var array 1 8] of integer;

a: array[1 8] of Boolean;

b: array[b1 b2] of Boolean;

c: array[c1 c2] of Boolean;

v i

x[i] ch v trí c a con h u trên c t th i;

a[j] cho bi t không có con h u trên hàng th j;

b[k] cho bi t không có con h u trên ng chéo th k;

c[k] cho bi t không có con h u trên ng chéo th k.

Vi c ch n tr cho các m c b1, b2, c1, c2 c xác nh

b i cách mà các ch s c a các m ng b và c c tính Hãy chú ý r ng trên cùng m t ng chéo chi u t t

c các ô s có cùng giá tr c a t ng hai t a i +j, và trên cùng m t ng chép chi u diagonal, t t c

các ô s có cùng giá tr c a hi u hai t a (i j ).

Nh v y, phát bi u setqueen c tinh ch nh sau:

a[j]:=false; b[i+j]:=false;c[i-j]:=false;

Phát bi u removequeen c chi ti t hóa nh sau:

a[j] = true; b[i+j] = true ; c[i-j] := true

safe c di n t nh sau:

try (i+1, q);

if ¬ q then begin

a[j]:=true; b[i+j]:=true;

c[i-j]:=true end

end else q:=true end

until q ∨ (j=8) end {try};

H H

H

H H

end

rong gi i thu t m r ng, n gi n hóa i u ki n d ng

c a quá trình ch n, phát bi u repeat c thay th b ng phát

if a[j] ∧ b[i+j] ∧ c[i-j] then begin

hai l i gi i ó c li t kê trong b ng sau:

Cây kh ng gian tr ng thái

! ti n di n t gi i thu t quay lui, ta xây d ng c u trúc cây ghi nh ng l a ch n ã c th c hi n C u trúc cây này

c g i là cây không gian tr ng thái (state space tree) haycây tìm ki m (search tree)

! Nút r c a cây di n t tr ng thái u tiên tr c khi quá