Chương 4: Độ phức tạp của các giải thuật đồ thị pps

Duy t theo chi u sâu tr c – gi i thu t quyprocedure begin n the ready stack; while the ready stack is not empty do get a vertex from the stack, process it, and add any neighbor vertex th

ph c t p c a các gi i thu t th

N i dung

1 Các gi i thu t th c n b n

I H

m t nút khác trong th M t th mà không liên thông

thì bao g m nhi u thành ph n liên thông

l p l i

Thu t ng (tt

tiên và nh cu i cùng trùng nhau t l i i t m t nh

quay v chính nó)

M t th không có chu trình c g i là cây (tree) M t

nhóm các cây không liên thông c g i là r ng ( forest )

Thu t ng (tt

các th v i ch m t s ít c nh m t i c g i là th dày

undirected graphs Trong các th có tr ng s weighted

graphs , nh ng giá tr s (tr ng s ) c g n vào m i c nh

di n t thí d kho ng cách hay chi phí

Trong th có h ng (directed graphs) các c nh l m t

chi u : m t c nh i t x sang y ch không ph i i t y sang x.Các th có h ng, có tr ng s còn c g i là các m ng

(networks)

Cách bi u di n th

Ta ph i ánh x các tên nh thành nh ng s nguyên trong

t m tr gi a 1 và V

Gi s có t n t i hai hàm:

- hàm index: chuy n i t tên nh thành s nguyên

- hàm name: chuy n i s nguyên thành tên nh

Có hai cách bi u di n th :

- dùng ma tr n k c n

- dùng t p danh sách k c n

for x: = 1 to V do /*initialize the matrix */

for y: = 1 to V do a[x, y]: = false;

for x: = 1 to V do a[x, y]: = true;

Cách bi u di n b ng t p danh sách k c n

Trong cách bi u di n này, m i nh mà n i t i m t

nh c k t thành m t danh sách k c n

(adjacency list ) cho nh ó.

program adjlist (input, output);

const maxV = 100;

type link = ↑node

node = record v: integer; next: link end;

var j, x, y, V, E: integer;

t, x: link;

adj: array[1 maxV] of link;

new(t); t↑.v: = x; t↑.next: = adj[y];

adj[y]: = t; /* insert x to the first element of

y’s adjacency list */new(t); t↑.v = y; t↑.next: = adj[x];

adj[x]:= t; /* insert y to the first element of

x’s adjacency list */end;

end

Các ph ng pháp duy t th

t hay tìm ki m trên th : vi ng m i nh/nút trong th m t cách có h th ng.

Có hai cách chính duy t th :

- duy t theo chi u sâu tr c (depth irst search )

- duy t theo chi u r ng tr c (breadt irst search).

Duy t theo chi u sâu tr c – gi i thu t quy

procedure

begin

n the ready stack;

while the ready stack is not empty do

get a vertex from the stack, process it,

and add any neighbor vertex that has not been processed

for each vertex, say n, in the graph do

if the status of n is “not yet visited” then visit(n)

val: array[1 maxV] of integer;

procedure visit (k: integer);

0;

for k: = 1 to V do val[k]: = 0; /initialize

the status of all vetices */

for k: = 1 to V do

if val[k] = 0 then visit(k)

end;

Ghi chú: M ng val[ V] ch a tr ng thái c a các nh

val[k] = 0 n u nh k ch a h c vi ng ( not yet visited ),

val[k]: = j ngh a là nh jth mà c vi ng trong quá trìnhduy t là nh k

G E

A

G E

C

A

G E

C

A

G E

C B

F A

G E

C B

F Hình 4.2 Duy t theo chi u sâu tr c

Nh v y k t qu c a gi i thu t duy t FS trên th cho

hình 4.1a v i t p danh sách k c n cho hình 4.1c là

A F E G D C G

L u ý: th t c a các nh trong các danh sách k c n có nh

h ng n th t duy t c a các nh khi áp d ng DFS

ph c t p c a duy t theo chi u sâu tr c

Tính ch t 1.1 uy t theo chi u sâu tr c m t

th bi u di n b ng các danh sách k c n òi h i th i gian t l V E.

Ch ng minh: Chúng ta ph i gán tr cho m i ph n

t c a m ng val (do ó t l v i O(V)), và xét m i

nút trong các danh sách k t c n bi u di n th (do

ó t l v i O(E)).

t theo chi u sâu tr c bi u di n b ng ma

Duy t theo chi u sâu tr c – không quy

procedure list-dfs;

var id, k: integer; val: array[1 max V] of integer;

procedure visit(k: integer);

var t: link;

begin

push(k);

repeat

k: = pop; id:= id + 1; val[k]: = id; /* change the status of k to “visited” */

t =: adj[k]; /* find the neighbors of the vertex k */.

while t <> z do begin

if val[t↑.v] = 0 then begin

push(t↑.v); val[t↑.v]: = -1 /* change the status of t↑.v to “ready” */ end

else if val[t↑.v] = -1 then shift t↑.v to the top of the stack;

t: = t↑.next end

until stackempty

begin

0; stackinit;

for k: = 1 to V do val[k]: = 0; /* initialize the

status of all vertices */

B C G F

B C A

E

Hình 4.3a DFS d a vào stack G

Duy t theo chi u r ng tr c

Khi duy t th n u ta dùng m t queue thay vì m t stack, ta s

i n m t gi i thu t duy t theo chi u r ng tr c search).

(breadth-first-procedure

procedure (

begin

n o the ready queue;

while the ready queue is not empty do

get a vertex from the queue, process it, and add any neighbor

vertex that has not been processed to the queue and

change their status to ready.

end;

begin

Initialize status;

for each vertex, say n, in the graph

if the status of n is “not yet visited” then visit(n)

procedure

var id, k: integer; val: array[1 max V] of integer;

procedure visit(k: integer);

var t: link;

begin

put(k); /* put a vertex to the queue */

repeat

k: = get; /* get a vertex from the queue */

id: = id + 1; val[k]: = id; /* change the status of k to “visited” */

t: = adj[k]; /* find the neighbors of the vertex k */

0; queue-initialze;

for k: = 1 to V do val[k]: = 0; /initialize the

status of all vertices */

for k: = 1 to V do

if val[k] = 0 then visit(k)

end;

t theo chi u sâu tr c và duy t theo chi u r ng tr c

ch khác nhau ch gi i thu t u dùng stack và gi i thu tsau dùng hàng i Do ó, ph c t p tính toán c a DFS vàBFS là nh nhau

2 th c tr ng s

Chúng ta mu n mô hình hóa nh ng bài toán th c t s d ng

nh ng tr ng s weights hay chi phí (costs) c g n vào

Bài toán th nh t là bài toán cây bao trùm t i thi u; bài toán

th hai là bài toán tìm ng i ng n nh t

Cây bao trùm t i thi u

M t cây bao trùm t i thi u minimum spanning tree c a m t

th có tr ng s là m t t p các c nh ch m t t c các nhsao cho t ng tr ng s c a các c nh là nh nh t

Cây bao trùm t i thi u không nh t thi t là duy nh t trong

h

9 14

10 4

7

2 4

8

11

Hình 4.5 Cây bao

trùm t i thi u

Gi i thu t Prim

Gi i thu t Prim là gi i thu t gi i bài toán cây bao trùm

t i thi u Gi i thu t này c ng trình bày m t chi n l c

gi i m t bài toán t i u hóa: gi i thu t tham lam

gi i t i u toàn c c cho các bài toán

Tuy nhiên i v i bài toán cây bao trùm t i thi u, ta có th

ch ng minh r ng chi n l c tham lam có th em l i

cây bao trùm v i t ng tr ng s t i thi u

Xây d ng cây bao trùm t i thi u

Gi s chúng ta có m t th vô h ng, liên thông

G = (V, E) v i hàm gán tr ng s w: E R và mu n tìm m tcây bao trùm t i thi u cho G

Có m t gi i thu t t ng quát mà t o d ng d n cây bao trùm

t i thi u m t lúc thêm m t c nh

Gi i thu t này duy trì m t t p A mà luôn luôn là m t t p

con c a m t cây bao trùm t i thi u

T i m i b c, m t c nh (u, v) c ch n thêm vào t p A

mà không vi ph m h th c b t bi n A {(u, v)} luôn luôn là

m t t p con c a m t cây bao trùm t i thi u

Gi i thu t Prim

Trong gi i thu t Prim, t p A hình thành m t c u trúc cây M t

c nh an toàn c a vào A th ng là c nh có tr ng s nh

nh t n i cây A v i m t nh không thu c v cây

Cây bao trùm kh i i t m t nút r b t k r và phát tri n cho

n khi cây ph t t c m i nh trong V T i m i b c, m t

V - A

Trong quá trình th c hi n gi i thu t này, t t c nh ng nh

c nh có tr ng s nh nh t c a nh ng c nh n i v v i m t nhtrong cây Theo qui c key[v] = n u không t n t i m t

c nh nh v y

Tr ng p[v] l u tên c a nh cha c a nh v trong cây.

for each v ∈ Q and w(u, v) < key[v] then

/ * update the key field of vertice v */

begin

p[v] := u; key[v]: = w(u, v) end

end

end;

2 1

2 7

2 1

2 7

2 1

2 7

2 1

2 7

11

8

4

2 1

2 7

2 1

2 7

11 8

4

2 1

2 7

2 1

2 7

11

8

4

2 1

2 7

11 8

4

ph c t p c a gi i thu t Prim tùy thu c vào cách

mà chúng ta thi công hàng i có u tiên

ph c t p c a gi i thu t Prim

Tính ch t: N u Q c thi công nh là m t heap nh phân thì

th i gian tính toán c a gi i thu t Prim là O(E lgV)

N u Q c thi công nh là m t heap nh phân, chúng ta có

th l p ra m t heap trong b c kh i t o v i chi phí th i gian

là O(V)

Vòng l p while c th c hi n V l n và vì m i thao tác

EXTRACT-MIN có ph c t p O(lgV), chi phí tính toán

cho t t c các l nh g i EXTRACT-MIN là O(VlgV)

Vòng l p for bên trong vòng l p while c th c hi n t ng

c ng O(E) l n, vì t ng chi u dài c a t t c các danh sách k

c n là 2E Vi c c p nh t khóa c a nh v trong heap t n

O(lgV) l n Nh v y, t ng chi phí tính toán c a gi i thu t

Prim là O(V lgV + 2E lgV) = O(E lgV)

3 th có h ng

Các th có h ng là các th trong ó các c nh n i v icác nút có h ng

I H

Hình 4.7 M t thí d v th có h ng

Th ng thì h ng c a các c nh bi u th m i liên h tr c

sau precedence relationship trong ng d ng c mô hìnhhóa

m t ng dây s n xu t (assembly line)

Trong ph n này, chúng ta xem xét các gi i thu t sau:

- tính bao óng truy n (transitive closure)

- s p th t topo (topological sorting)

Vì th bao óng truy n thì th ng là th dày, do ó

chúng ta dùng cách bi u di n ma tr n k c n

if a[y, j] then a[x, j]: = true;

S Warshall ra gi i thu t này n m 1962, d a trên m t

quan sát n gi n: N u t n t i m t cách i t nút x n

x n nút j

Tính ch t 5.3.1 Gi ithu t Warshall tính baoóng truy n v i chi phíO(V3).

I H

2 3

1

1 1

4 2

5

3

2 1

2 2 1

1 1

1

Gi i thích gi i thu t Floyd

Gi i thu t Floyd l p V b c trên ma tr n k c n a

Sau b c l p th y, a[x, j] s ch a chi u dài nh nh t c a

b t k l i i nào t nh x n nh j mà không i qua

nh ng nh mang ch s l n h n y Ngh a là, x và j có th

b t k nh nào nh ng nh ng nh trung gian trên l i i

T i b c l p th y, ta tính các ph n t c a ma tr n a b ngcông th c sau:

ay[x,j] = min( ay-1[x,j], ay-1[x, y] + ay-1[y, j])

Ch s y ch tr c a m t ph n t trong ma tr n a sau b c

l p th y

T p th t riêng ph n

M t quan h trên t p S mà th a hai tính ch t b t i x ng

và truy n là m t quan h th t riêng ph n partial ordering

c a S, và m t t p có trên nó m t quan h th t riêng ph nthì c g i là t p th t riêng ph n (partially order set )

coi nh là m t t p th t riêng ph n

X p th t tôpô

Cho G là m t th có h ng không chu trình M t

th t tôpô (topological sort)T c a G là m t th t

tuy n tính mà b o toàn th t riêng ph n ban u

trong t p nh V[G].

Ngh a là: n u u < v trong V (t c là n u có m t l i i

t u n v trong G), thì u xu t hi n tr c v trong th

t tuy n tính T.

I H

theo th t sau:

J K L M A G H I F E D B C

S p th t tôpô1 (Ph ng pháp

Có vài ph ng pháp s p th t tôpô

Ph ng pháp 1

Ý t ng c n b n là tìm m t nút không có nút i sau (no

successor) lo i b nó ra kh i th và a nó vào m t danh

sách

L p l i quá trình này cho n khi th r ng thì s sinh ra m tdanh sách o ng c danh sách này ta s c th t tôpô.Algorithm:

while aph has a node with no successors do

remove one such node from the graph and

add it to the end of a list

if the loop terminates with the graph empty

then the list shows the reserse of a topological order

else the graph contains a cycle

I H

D E F I H G A M L K J

Hình 4.8 S p th t tôpô b ng ph ng pháp 1

Start with nodes with no predecessor, put them in the stack.

while the stack is not empty do

if the node at top of the stack has some successors

then

push all its successors onto the stack

else pop it from the stack and add it to the list

8 5

nh i tr c p[v] mà là m t nh khác hay là NIL Gi i thu tgán tr cho thu c tính p sao cho d y các nh i tr c xu t

phát t nh v s cho ra l i i ng n nh t t s n v

Ta g i d[v] là c l ng l i i ng n nh t (shortest path estimate).

Quá trình n i l ng m t c nh (u, v) bao g m vi c th xem ta có

th c i thi n l i i ng n nh t n v mà ang tìm th y b ng cách iqua u và n u nh v y, ta c p nh t d[v] và p[v] M t b c n i l ng

s làm gi m c l ng l i i ng n nh t d[v] và c p nh t thu c

tính p[v]

Nh ng l i i ng n nh t v s n i l ng

v

v Relax(u,

(

ì 4.10: S n i l ng c a m t c nh

Trong gi i thu t sau ây, ta dùng hàng i có u tiên Q

ch a t t c các nh trong V-S, l p khóa theo thu c tính d Và

Gi i thu t Dijkstra

procedure dijkstra(G, w, s);

/* G is a graph, w is a weight function and s is the source node */begin

for each vertex v ∈ V[G] do /* initialization */

begin d[v]: = ∞; p[s]: = NIL end;

d[s]: = 0; S: = ∅; Q: = V[G]

while Q is not empty do

begin

u: = EXTRACT-MIN (Q); S: = S ∪ {u};

for each vertex v ∈ Adj [u] do /* relaxation */

if d[v] > d [u] + w(u, v) thenbegin d[v]: = d[u] + w(u, v); p[v]: = u endend

end

-S a vào t p S, nó th c s s d ng chi n l c tham

lam

• Gi i thu t tham lam th ng không m b o em l i l i gi i

t i u trong tr ng h p t ng quát, nh ng i v i bài toánnày, gi i thu t Dijkstra th c s em l i nh ng l i i ng n

nh t

• Gi i thu t Dijkstra t ng t nh gi i thu t Prim dùng

tính cây bao trùm t i thi u Nó c ng dùng m t hàng i có

nh ó vào t p, và i u ch nh l i tr ng s c a nh ng nhcòn l i bên ngoài t p

Gi i thu t Dijkstra

M t thí d

10

0 0

5

2 3

10

5

2 3

(s, : <s, x, u> (s, v : <s, x, u, v>

(s, x : <s, x> (s, y : <s, x, y, y>

í , m i thao tác EXTRACT-MIN t nO(V), và có t t c |V| thao tác nh v y, do ó ta có m t chiphí tính toán cho thao tác này là O(V2)

nh trong các danh sách k c n dj[v] c xét úng m t

l n trong su t ti n trình c a gi i thu t

Vì t ng s nh trong t t các các danh sách k c n là |E|, có

t t c |E| b c l p cho vòng l p for, v i m i l n l p t n O(1)

Th i gian tính toán c a gi i thu t là

O(V2 + E) = O(V2)

ph c t p c a gi i thu t Dijkstra

• à ó ê

ú , m i thao tác EXTRACT-MIN t n chi phí O(lgV),

và có t t c |V| thao tác này, do ó ta có t ng chi phí cho

thao tác EXTRACT-MIN là O(VlgV)

Phép gán d[v]: = d[u] + w(u, v) òi h i m t thao tác c p

nh t khóa c a nh v trong heap và nó t n O(lgV) Có t t c

|E| thao tác nh v y Do ó t ng th i gian tính toán c a gi ithu t là

O(V lgV + E lgV)

ph c t p c a gi i thu t Dijkstra