* Trên hình chiếu đang xét của đa diện một điểm thuộc mặt thấy của đa diện thì điểm đó thấy, một điểm thuộc mặt khuất thì điểm đó khuất.. H 7.4 Giải : Ta thấy mặt phẳng R giao với đa d
Trang 1Chương VII
BIỂU DIỄN MẶT
I MẶT ĐA DIỆN
1.1 Khái niệm về mặt đa diện
Mặt đa diện là một mặt kín được tạo thành bởi các đa giác phẳng gắn liền với nhau bởi các cạnh Các đa giác tạo thành đa diện gọi là các mặt của đa diện Các cạnh và các đỉnh của đa giác gọi là các cạnh và các đỉnh của đa diện
Trong các bài toán thường gặp đa diện có thể là những hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp, hoặc một vài đa diện bất kì như trên ( H 7.1 )
Hình 7.1
1.2 Biểu diễn đa diện
Đa diện được biểu diễn trên các hình chiếu bởi các cạnh Hình biểu diễn đó cũng được xét thấy khất, người ta quy ước theo một hướng chiếu với đa diện mặt ở phía trước theo hướng chiếu thì nhìn thấy và mặt này che khuất phần mặt ở phía sau ( Hình 7.2 ) biểu diễn tứ diện SABC Trên hình chiếu đứng đường gẫy khúc kín S1A1B1C1 là đường bao quanh hình chiếu đứng Trên hình chiếu bằng đường gẫy khúc kín S2A2B2C2 là đường bao quanh hình chiếu bằng
Muốn sét xem trong hai cạnh SB và AC cạnh nào là cạnh nhìn thấy trên hình chiếu đứng chúng ta thực hiện như sau :
Trang 2Vẽ đường thẳng chiếu đứng I J cắt SB ở I và
cắt AC ở J Theo hình vẽ theo hình vẽ ta thấy rằng
điểm I có độ xa lớn hơn độ xa của điểm J, do đó
nhìn từ ngoài vào thì đường thẳng chiếu đứng I J
sẽ cắt SB trước khi cắt AC Vậy SB sẽ là đường
thẳng thấy và AC là khuất
Tương tự bằng cách vẽ đường thẳng chiếu
bằng GH cắt SA và BC Ta sẽ xét được trong hai
cạnh SA và BC cạch nào thấy cạnh nào khuất trên
hình chiếu bằng Theo hình vẽ ta thấy cạnh SA là
thấy cạnh BC là khuất trên hình chiếu bằng
Vậy trên mỗi hình chiếu thì đường bao quanh
hình chiếu bao giờ cũng nhìn thấy được, vẽ bằng
nét liền đậm Cạnh nào có hình chiếu ở bên trong
đường bao quanh hình chiếu thì phải xét thấy khuất cạnh thấy vẽ bằng nét liền đậm, cạnh khuất vẽ bằng nét đứt
1.3 Biểu diễn điểm thuộc đa diện
+ Để vẽ điểm thuộc cạnh đa diện
ta áp dụng bài toán vẽ điểm thuộc
đường thẳng Như điểm H ( H 7.3 )
+ Để vẽ điểm thuộc mặt đa diện ta
áp dụng bài toán xác định điểm thuộc
mặt phẳng Như điểm I ( H 7.3 )
Chú ý :
* Vẽ điểm thuộc mặt bên của một
hình chóp thì điểm đó thường được gắn
vào đường thẳng đi qua điểm đó và
đỉnh chóp Điểm I ( H 7.3 )
* Vẽ điểm thuộc mặt bên của một
hình lăng trụ thì ta thường áp dụng gắn
điểm đó vào đường thẳng song song
J 1
G 1
A 1
B 1
C 1
S 1
H 1
I 1
J 1
A 1
C 1
G 1
I 1
B 1
H 1
S 1
Hình 7.2
K 2
K 1
D 2
D 1
I 2
I 1
H 2
H 1
A 1
C 2
A 2
B 2
S 2
S 1
Trang 3* Trên hình chiếu đang xét của đa diện một điểm thuộc mặt thấy của đa diện thì điểm đó thấy, một điểm thuộc mặt khuất thì điểm đó khuất
1.4 Giao của mặt phẳng với đa diện
Giao của mặt phẳng với đa diện là một
đa giác Đỉnh của đa giác này là giao điểm
của một cạnh đa diện với mặt phẳng cắt
cạnh của đa giác là giao tuyến của một mặt
đa diện với mặt phẳng cắt
Ví dụ : Tìm giao của mặt phẳng chiếu
đứng R với khối đa diện SABC ( H 7.4 )
Giải : Ta thấy mặt phẳng R giao với đa
diện SABC tại 4 mặt phẳng đó là 3 mặt bên
SAC, SBC, SAB và mặt đáy ABC.Do đó
giao tuyến là đa giác có bốn cạnh, các cạnh
đó là giao của các mặt phẳng trên với mặt
phẳng R Các đỉnh của đa giác là giao của
các cạnh SC, SB, AB, và AC với mặt phẳng
R Nếu ta gọi các đỉnh của đa giác lần lượt
là I, N, H, K Khi đó bài toán chở nên tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu đã biết ở trên
1.5 Giao của đường thẳng với đa diện
Giao của đường thẳng với đa diện, thực chất là tập hợp các giao điểm của đương thẳng với các mặt phẳng tạo thành đa diện, mà giao của đường thẳng với măt phẳng ta đa biết cách giải ở trên
Muốn tìm giao của một đường thẳng với một đa diện, người ta thương dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Nội dung của phương pháp đó như sau:
+ Qua đường thẳng đã cho dựng mặt phẳng chiếu gọi là mặt phẳng phụ trợ + Tìm giao của mặt phẳng phụ trợ với đa diện đã cho Giao này gọi là giao phụ + Tìm tập hợp các giao điểm của đường thẳng đã cho với giao phụ Tập hợp các điểm đó là giao phải tìm
R 1
N 2
N 1
B 2
C 2
A 2
H 2
I 2
K 2
I 1
H 1≡ K 1
C 1
B 1
A 1
S 1
S 2
Hình 7.4
Trang 4Ví dụ : Xác định giao của đường thẳng d với khối chóp SABC
Giải : Dựng mặt phẳng phụ trợ là
mặt phẳng chiếu đứng R chứa đường
thẳng d Sau đó tìm các giao tuyến phụ
giữa mặt phẳng phụ trợ R với các mặt
phẳng hình chóp SAB là GE, SBC là HE
Sau đó tìm các giao điểm của các giao
tuyến phụ với đường thẳng d là I,J đó chính là giao điểm của đường thẳng d với khối chóp SABC ( H 7.5 ) và cách vẽ được thể hiện trên đồ thức ( H 7.6 )
II MẶT CONG
2.1 Mặt trụ tròn xoay
2.1.1 Hình biểu diễn
Để hình biểu diễn của mặt trụ đơn giản
người ta thường đặt mặt đáy của mặt trụ song
song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 Khi
đó hình chiếu bằng sẽ là đường tròn, hình
chiếu đứng là hình chữ nhật (H 7.7 )
Để tìm điểm thuộc mặt trụ ta gắn điểm
vào đường sinh thuộc mặt trụ Khi đó hình
chiếu bằng của điểm thuộc đường tròn hình
chiếu bằng Điểm A ( H 7.7 )
R 1 ≡ d 1
J 1
B 2
C 2
A 2
H 2
I 2
J 2
I 1 H 1
C 1
B 1
A 1
S 1
S 2
G 1
E 1
E 2
G 2
Hình 7.6
d 2
R
G
H
E I
B A
S
d
Hình 7.5
A 1
A 2
Hình 7.7
Trang 52.1.2 Giao của đường thẳng với mặt trụ
Như ta đã biết một đường thẳng cắt mặt trụ tại hai
điểm, để tìm hình chiếu của hai giao điểm này ta tìm
được ngày hình chiếu bằng của chúng chính là giao của
đường thẳng hình chiếu bằng và đường tròn hình chiếu
bằng của mặt trụ, trên ( H 7.8 ) để tìm giao điểm của
đường thẳng d với mặt trụ ta tìm được ngay hai hình
chiếu bằng của giao điểm là A2, B2.Từ hình chiếu bằng
này ta tìm được hình chiếu đứng A1, B1 A, B chính là
giao điểm của đường thẳng d với mặt trụ
2.1.3 Giao của mặt phẳng với mặt trụ
Khi mặt phẳng giao với mặt trụ, tuỳ theo vị trí
tương đối giữa mặt phẳng và mặt trụ mà ta có các dạng
giao tuyến khác nhau:
+ Khi mặt phẳng song song với trục của mặt trụ ta
có giao tuyến là hình chữ nhật
+ Khi mặt phẳng vuông góc với trục của trụ ta có giao tuyến là đường tròn + Khi mặt phẳng nghiêng với trục của trụ và cắt tất cả các đường sinh ta có giao tuyến là đường elíp
2.2 Mặt nón tròn xoay
2.2.1 Hình biểu diễn
Để hình biểu diễn của mặt nón đơn
giản người ta thường đặt mặt đáy của mặt
nón song song với mặt phẳng hình chiếu
bằng P2 Khi đó hình chiếu bằng sẽ là
đường tròn, hình chiếu đứng là một tam giác
cân (H 7.9)
Để vẽ điểm thuộc mặt nón ta áp dụng
bài toán gắn điểm vào đường sinh của nón
điển A ( H 7.9 ) Hoặc gắn vào đường tròn
song song với mặt đáy Điểm B ( H 7.9 )
A 2
A 1
B 2
B 1
Hình 7.9
A 2
A 1
B 2
d 1
B 1
Hình 7.8
d 2
Trang 62.2.2 Giao của đường thẳng với mặt nón
Trường hợp đường thẳng là đường thẳng chiếu thì ta dễ dàng tìm được một hình chiếu của giao điểm việc tìm hình chiếu còn ta đã biết cách tìm, ( H 7.10 ) Trường hợp đường thẳng là đường thẳng thương ta phải sử dụng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường thẳng đó và đi qua đỉnh của nón, ( H 7.11 )
Trên ( H 7.11 ) chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đỉnh S Sau đó ta tìm giao tuyến NT của mặt phẳng phụ trợ với mặt phẳng đáy ⇒ S2I2, S2J2, chính là giao tuyến phụ với nón từ đây ta dễ dàng tim được A2, B2 ⇒ A1, B1
2.2.3 Giao của mặt phẳng với mặt nón
Khi mặt phẳng giao với mặt nón, tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt nón mà ta có các dạng giao tuyến khác nhau:
+ Khi mặt phẳng vuông góc với trục của nón giao tuyến là đường tròn
+ Khi măt phẳng nghiêng với trục của nón và cắt tất cả các đường sinh giao tuyến là đường elíp
d 1 ≡ B 1≡ A 1
A 2
B 2
d 2
Hình 7.10
A 2
d 1
B 2
Hình 7.11
d 2
A 1
B 1
I 2 J 1 T 2
N 2
S 2
S 1
Trang 7+ Khi mặt phẳng chứa đỉnh nón giao tuyến tam giác cân
+
+
2.3 Mặt cầu
2.3.1 Hình biểu diễn
Hình biểu diễn của mặt cầu luôn luôn là các
đường tròn có cùng bán kính với mặt cầu
Để tìm hình chiếu của điểm thuộc mặt cầu ta
gắn điểm vào các đường tròn trên mặt cầu thuộc
các mặt phẳng song song với một trong các mặt
phẳng hình chiếu Điểm A trên ( H 7.12 ) là ta gắn
vào đường tròn song song với mặt phẳng hình
chiếu bằng
2.3.2 Giao của đường thẳng với mặt cầu
Nếu đường thẳng là đường thẳng chiếu thì việc tìm là dễ dàng ( H 7.13 )
Nếu đường thẳng là đường thẳng thường, thì ta không thể chỉ dùng mặt phẳng phụ trợ để tìm giao điểm được, mà ta phải áp dung phương pháp này với phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu ( H 7.14 )
A 2
A 1
