Hình học hoạ hình ( Pham Duy Thuỳ ) - Chương 5 ppsx

GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG CHIẾU VỚI MẶT PHẲNG Bài toán : Cho mặt phẳng R xác định bởi hai đường thẳng l và d cắt nhau tại điểm O và mặt phẳng chiếu đứng ABC.. Ở đây hai điểm chung ấy là

Chương V

NHỮNG BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ

Trong chương này ta nghiên cứu các bài toán về vị trí giữa các yếu tố hình học

cơ bản Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng

I GIAO ĐIỂM CỦA MẶT PHẲNG CHIẾU VỚI ĐƯỜNG THẲNG

1.1: Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu

Bài toán 1: Cho mặt phẳng chiếu bằng ABC và một đường thẳng d Xác định

giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ABC ( H 5.1 )

Giải: gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ABC Vì ABC là mặt

phẳng chiếu bằng nên mọi điểm thuộc ABC đều có hình chiếu bằng thuộc A2B2C2

⇒ I2 thuộc A2B2C2 đồng thời I2 phải thuộc d2 ⇒ I2 là giao của A2B2C2 và d2, từ I2

⇒ I1 thuộc d1 ( H 5.1 )

Hình 5.1 Hình 5.2

Bài toán 2: Cho mặt phẳng chiếu đứng ABC và một đường thẳng d Xác định giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ABC ( H 5.1 )

Giải: gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ABC Vì ABC là mặt

phẳng chiếu đứng nên mọi điểm thuộc ABC đều có hình chiếu đứng thuộc A1B1C1

⇒ I1 thuộc A1B1C1 đồng thời I1 phải thuộc d1 ⇒ I1 là giao của A1B1C1 và d1, từ I1

⇒ I2 thuộc d2 ( H 5.2 )

C 2

I 1

B 2

A 1

B 1

A 2

d 1

d 2

I 2

C 2

d 1

B 2

A 1

B 1

A 2

d 2

I 1

I 2

II GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG CHIẾU VỚI MẶT PHẲNG

Bài toán : Cho mặt phẳng R xác định bởi hai đường thẳng l và d cắt nhau tại

điểm O và mặt phẳng chiếu đứng ABC Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng ấy?

Giải : Như ta đã biết

giao tuyến của hai mặt phẳng

là một đường thẳng Muốn

xác định đường thẳng này ta

đi xác định hai điểm chung

của hai mặt phẳng đã cho Ở

đây hai điểm chung ấy là hai

giao điểm N, M của các

đường thẳng d, l với mặt

phẳng ABC mà cách tìm ta đã

biết ở trên ⇒ NM là giao

tuyến cần tìm ( H 5.3 )

III GIAO ĐIỂM CỦA

ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT

PHẲNG

Ở trên khi tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu và giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng chiếu, ta thấy một hình chiếu của giao điểm hay giao tuyến biết được ngay Trong trường

hợp đường thẳng và mặt phẳng điều

là mặt phẳng thường Giả sử cần xác

định giao điểm I của đường thẳng d

và mặt phẳng P, ta làm như sau:

+ Qua d dựng mặt phẳng chiếu

R

+ Xác định giao tuyến MN của

P và R

+ Xác định giao điểm I của d

và MN ⇒ I chính là giao điểm cần

tìm.( H 5.4 )

C 2

N 1

B 2

A 1

B 1

A 2

d 1

d 2

N 2

M 1

l 1

l 2

M 2

O 1

O 2 Hình 5.3

N P

R

d

M

I

O

a

b

Hình 5.4

Bài toán : Cho đường

thẳng d và mặt phẳng P

xác định bởi hai đường

thẳng cắt nhau a và b tại

điểm O Xác định giao

điểm I của d và P?

Giải : Qua d dựng

mặt phẳng chiếu đứng R

⇒ D1 ≡ R1, dễ dàng thấy

rằng mặt phẳng R cắt b tại

N, cắt a tại M ⇒ N1, M1

lần lượt là giao của d1 với

b1 và a1 khi đó ta tìm

được N2, M2 thuộc b2, a2

⇒ M2N2 cắt d2 tại I2 ⇒ I1 ( H 5.5 )

IV GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, thường chỉ cần xác định hai điểm chung thuộc mặt phẳng đó Ta có một điểm chung như thế bằng cách tìm giao điểm của một đường thẳng bất kỳ của mặt phẳng này với mặt phẳng kia Do vậy việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có thể đưa về việc giải liên tiếp hai lần bài toán xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng mà ta vừa nghiên cứu ở trên

Dưới đây ta trình bầy một phương pháp khác để tìm điểm chung của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng P và Q,

trong đó mặt phẳng P được xác

định bởi hai đường thẳng song

song e và g, mặt phẳng Q được

xác định bởi hai đường thẳng

cắt nhau h và f ( H 5.6 )

Để có một điểm chung của

hai mặt phẳng P và Q ta cắt P

và Q bằng một mặt phẳng R

+ R cắt P theo giao tuyến

AB ( Trong đó A là giao của đường thẳng e và mặt phẳng R, B là giao của đường thẳng g với mặt phẳng R )

I 2

b 2

d 2

d 1 ≡ R 1

I 1

x

M 2

N 2

N 1

M 1

O 1

O 2

a 2

a 1 b 1

Hình 5.5

T

U

k N M

S

B

D

Q

f

Hình 5.6

+ R cắt Q theo giao tuyến CD ( Trong đó C là giao của đường thẳng h và mặt phẳng R, D là giao của đường thẳng f với mặt R )

Hai đường thẳng AB và CD cùng thuộc mặt phẳng R nên phải cắt nhau tại một điểm I, tất nhiên I là điểm chung của P và Q Để có được điểm chung thứ hai K ta làm tương tự ( H 5.6 ) Cắt P và Q bằng mặt phẳng thứ hai S

+ S cắt P theo giao tuyến MN ( Trong đó M là giao của đường thẳng e và mặt phẳng R, N là giao của đường thẳng g với mặt phẳng R )

+ S cắt Q theo giao tuyến UT ( Trong đó U là giao của đường thẳng f và mặt phẳng R, T là giao của đường thẳng h với mặt R )

⇒ IK là giao tuyến cần tìm giữa mặt phẳng P và Q

Nhưng mặt phẳng phụ trợ R và S là những mặt phẳng bất kỳ Tuy nhiên ta phải chọn chúng thế nào để có

thể vẽ được giao tuyến của

chúng với mặt phẳng P và

Q, thông thường ta dùng

các mặt phẳng phụ trợ là

các mặt phẳng chiếu mà

việc vẽ giao tuyến của

chúng với mặt phẳng

thường ta đã biết

Trên ( H 5.7 ) trình

bày cách vẽ giao tuyến IK

trên đồ thức của hai mặt

phẳng P và Q nói trên, ở đây ta chọn mặt phụ trợ R là mặt phẳng chiếu đứng mà hình chiếu đứng là đường thẳng R1, và S là mặt phẳng hình chiếu bằng mà hình chiếu bằng là đường thẳng S2

V QUY ƯỚC VỀ THẤY KHUẤT TRÊN ĐỒ THỨC

Như chung ta biết khi quan sát các hình thực tế, chẳng hạn khi nhì hai tấm phẳng cắt nhau, một tấm màu xanh và một tấm màu đỏ, ta chỉ nhìn thấy một phần của tấm màu xanh và một phần tấm màu đỏ, còn những phần còn lại thì bị khuất Để hình biểu diễn cũng gây cho người xem ấn tượng giống như ấn tượng có được khi quan xát thực tế về mặt hình dáng, trên đồ thức người ta cũng biểu diễn sự thấy khuất theo những quy ước sau

e 2

g 2

I 2

C 2

D 2

B 2

A 2

K 2

K 1

x

R 1

g 1

e 1

A 1

S 2

Hình 5.7

5.1 Xét thấy khuất trên hình chiếu đứng

Người quan xát đứng ở phía trước mặt phẳng hình chiếu đứng Khi xét thấy khuất người quan xát xem như đứng ở xa vô tận trên hướng thẳng góc với mặt phẳng ấy

Hình biểu diễn đều là vật thể đục, mặt phẳng hình chiếu cũng là mặt phẳng đục Vậy điểm nào nằm phía sau mặt phẳng hình chiếu đứng là điểm khuất Hai điểm cùng tia chiếu đứng điểm nào có độ xa lớn hơn sẽ là điểm nhì thấy trên hình chiếu đứng Điểm A là điểm nhìn thấy trên hình chiếu đứng ( H 5.8 )

Hình 5.8 Hình 5.9

5.2 Xét thấy khuất trên hình chiếu bằng

Người quan xát đứng ở phía trên mặt phẳng hình chiếu bằng Khi xét thấy khuất người quan xát xem như đứng ở xa vô tận trên hướng thẳng góc với mặt phẳng ấy

Hình biểu diễn đều là vật thể đục, mặt phẳng hình chiếu cũng là mặt phẳng đục Vậy điểm nào nằm phía dưới mặt phẳng hình chiếu bằng là điểm khuất Hai điểm cùng tia chiếu bằng điểm nào có độ cao lớn hơn sẽ là điểm nhì thấy trên hình chiếu bằng Điểm C là điểm nhìn thấy trên hình chiếu bằng ( H 5.9 )

Ví dụ: Cho đường thẳng a và tấm phẳng tam giác CDE Vẽ giao điểm của đoạn

thẳng với tấm phẳng và chỉ phần thấy, phần khuất của đoạn thẳng

Việc xác định giao điểm của đoạn thẳng a với mặt phẳng CDE ta đã biết trên hình 5.10 giao điểm I được xác địmh bằng cách dùng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu đứng chứa đường thẳng a Để xét thấy, khuất của đoạn thẳng ta chú ý rằng điểm I là điểm thấy trên các hình chiếu

x

B 2

A 1 ≡ B 1

C 1

D 1

C 2 ≡ D 2

Xét thấy, khuất trên hình

chiếu đứng:

Gọi M, N là hai điểm

cùng tia chiếu đứng, ở đây M

thuộc đường thẳng a, N thuộc

DE Vì độ xa của điểm M nhỏ

hơn độ xa của điểm N nên M

là điểm khuất do đó phần

đoạn IM là phần khuất, phần

còn lại của đoạn

Xét thấy, khuất trên hình

chiếu bằng:

Gọi T, S là hai điểm

cùng tia chiếu bằng, ở đây T

thuộc đường thẳng a, S thuộc

CD Vì độ cao của điểm S

nhỏ hơn độ cao của điểm T nên S là điểm khuất do đó phần đoạn IT là phần khuất, phần còn lại của đoạn thẳng là thấy

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1 Trình bày các bước giải bài toán xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng ?

2 Trình bày các bước giải bài toán

xác định giao tuyến của mặt phẳng với mặt

phẳng ?

3 Tìm giao điểm của đường thẳng

chiếu bằng a và mặt phẳng P xác định bởi

hai đường thẳng cắt nhau d và b ( H 5.11 )

4 Vẽ giao tuyến của mặt phẳng ABC

với mặt phẳng chiếu bằng Q cho bằng hai

vết mα và nα ( H5.12 )

5 Tìm giao điểm của đường thẳng d

với mặt phẳng Q cho bởi hai đường thẳng song song b và f ( H 5.13 )

a 2

I 2

C 2

D 2

M 2

E 2

N 2

T 1

x

a 1

D 1

C 1

I 1

S 1

E 1

M 1 ≡ N 1

S 2 ≡ T 2

Hình 5.10

d 2

a 2

x

d 1

a 1

b 2

b 1

Hình 5.11

6 Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Q cho bởi đường thẳng b

và điểm A

7 Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng Q cho bởi điểm A và trục x

A 2

C 2

n α

m α

A 1

B 1

B 2

C 1

x

Hình 5.12

d 2

x

d 1

f 1

b 1

f 2

b 2

Hình 5.13

b 2

d 2

A 2

x

b 1

d 1

A 1

Hình 5.14

d 2

A 2

x

d 1

A 1

Hình 5.15