Hình học hoạ hình ( Pham Duy Thuỳ ) - Chương 3 potx

Đường thẳng chiếu đứng + Định nghĩa: Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1... + Định nghĩa: Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc v

Chương III

ĐƯỜNG THẲNG

I HÌNH BIỂU DIỄN CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Để biểu diễn một đường thẳng bất kỳ, người ta cũng chiếu đường thẳng ấy lên các mặt phẳng hình chiếu P1, P2 như khi biểu diễn các điểm Vì hình chiếu của một đường thẳng là một đường thẳng và được xác định bởi hai điểm, nên muốn vẽ hình chiếu của đường thẳng ta đi vẽ hình chiếu của hai điểm thuộc đường thẳng ( H 3.1 )

Hình 3.1 Giả sử ta có đường thẳng d, và A, B là hai điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đó + Điểm A có hình chiếu đứng A1, hình chiếu bằng A2

+ Điểm B có hình chiếu đứng B1, Hình chiếu bằng B2

Khi đó đường thẳng d1 xác định bởi hai điểm A1, B1 là đường thẳng hình chiếu đứng của đường thẳng d, d2 xác định bởi hai điểm A2, B2 là đường thẳng hình chiếu bằng của đường thẳng d

II NHỮNG ĐƯỜNG THẲNG CÓ VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT TRONG HỆ THỐNG MẶT PHẲNG CHIẾU

2.1: Đường thẳng đồng mức

Đường thẳng đồng mức là đường thẳng có vị trí song song với một trong các mặt phẳng hình chiếu

b

A x

A 1

A 2

X

b x

b 1

b 2

a

d

d 1

d 2

P 2

P 1

b 1

d 1

A 1

A x

b 2

A 2

d 2

a Đường bằng

+ Định nghĩa: đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bẳng P2 ( H 3.3 )

Hình 3.3 + Tính chất:

1 Hình chiếu đứng d1 song song với trục x ( đây là dấu hiệu đặc trưng để nhận biết đường bằng )

2 Đoạn thẳng thuộc đường bằng ( AB )song song và bằng hình chiếu

bằng (A2B2) ( AB // = A2B2 )

3 Góc tạo bởi đường thẳng hình chiếu bằng d2 với trục x chính là góc tạo bởi giữa đường bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng P1, góc α

b đường mặt

+ Định nghĩa: đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 ( H 3.4 )

+ Tính chất:

1 Hình chiếu bằng d2 song song với trục x ( đây là dấu hiệu đặc trưng để nhận biết đường mặt )

b

A 1

A 2

b 1

b 2

d 1

d 2

P 1

P 2

x

α

α

b 2

d 1

d 2

x

A 2

α

Hình 3.4

2 Đoạn thẳng thuộc đường mặt (AB) song song và bằng hình chiếu đứng

(A1B1) ( AB // = A1B1 )

3 Góc tạo bởi đường thẳng hình chiếu đưng d1 với trục x chính là góc tạo bởi giữa đường mặt và mặt phẳng hình chiếu bằng P2, góc β

c Đường cạnh

+ Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 ( H 3.5 )

+ Tính chất:

1 Hình chiếu đứng ( d1 ), hình chiếu bằng ( d2 ) nằm trên một đường

dóng vuông góc với trục x.( Để chỉ đường cạnh ta cần chỉ rõ hai điểm thuộc đường cạnh đó )

2 Hình chiếu cạnh ( A3B3 ) song song và bằng AB

3 Góc tạo bởi giữa d và P1 bằng góc tạo bởi d3 và trục z

( góc α)

4 Góc tạo bởi giữa d và P2 bằng góc tạo bởi d3 và trục y

(góc β )

2.2: Đường thẳng chiếu

Là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

a Đường thẳng chiếu đứng

+ Định nghĩa: Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1

b

A 1

A 2

b 1

b 2

a

d

d 1

d 2

P 1

P 2

x

β β

A 1

B 1

b 2

d 1

d 2

x

A 2

β

Hình 3.5

+ Tính chất:

1.Hình chiếu đứng suy biến thành một điểm A1≡ B1 ≡ d1

( Dấu hiệu đặc trưng cho đường thẳng chiếu đứng )

2.Hình chiếu bằng d2 vuông góc với trục x

3.Hình chiếu bằng A2B2 song song và bằng AB.( H 3.6 )

Hình 3.6

b.Đường thẳng chiếu bằng

+ Định nghĩa: Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

+ Tính chất:

1 Hình chiếu bằng suy biến thành một điểm A2 ≡ B2 ≡ d2

b

A 1

A 2

b 1

b 2

a

d

d1

d2

P 3

P 2

β

A 1

b 1

α α

Z

Y

P 1

d3

O

b 1

A 1

d1

A 2

b 2

d2

B 3

A 3

d3

Z α

β

Y

Y

d 1

d

d2

p 2

a

a1

p 1

a 2

x

b 2

b

b1

b 1

d 2

b 2

a2

x

( Dấu hiệu đặc trưng cho đường thẳng chiếu bằng )

2 Hình chiếu đứng d1vuông góc với trục x

3 Hình chiếu đứng A1B1 song song và bằng AB.( H 3.7 )

Hình 3.7

c Đường thẳng chiếu cạnh

+ Định nghĩa: Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3

+ Tính chất:

1 Hình chiếu đứng d1 và hình chiếu bằng d2 song song với trục x.( Dấu

hiệu đặc trưng cho đường thẳng chiếu cạnh )

2 Hình chiếu cạnh d3 suy biến thành một điểm A3 ≡ B3 ≡ d3

3 AB //= A1B1 //= A2B2 ( H 3.8 )

Hình 3.8

B

x

P 1

A 2 ≡ B 2 ≡ d 2

A

P 2

d

d 1

A 1

B 1

d 1

B 1

A 1

x

A 2 ≡ B 2 ≡ d 2

y

y

z

x

A 3 ≡ B 3 ≡ d 3

A 1

P 3

y

z

x

d 1

d

d 2

P 2

A

P 1

A 2

B 2

B

B 2

B 1

d 2

A 2

A 3 ≡ B 3 ≡ d 3

III SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Định lý: Điều kiện ắt có và đủ, để điểm C thuộc đường thẳng AB ( AB không

là đường cạnh ) là,các hình ch iếu của điểm C thuộc các hình chiếu cùng tên của AB ( C1 ∈ A1B1, C2 ∈ A2B2 ) ( H 3.9 )

Hình 3.9

⇒ Nếu đồ thức của điểm và một đường thẳng ( không phải là đường cạnh) thỏa mãn: hình chếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng, và chúng nằm trên một đường dóng đứng thì đồ thức này biểu diễn điểm thuộc đường thẳng trong không gian

VI VẾT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

4.1: Vết đứng của đường thẳng

+ Định nghĩa: Vết đứng ( N ) là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1

+ Tính chất: N thuộc P1 nên có độ xa bằng không ⇒ N2 thuộc trục x Vậy muốn xác định vết đứng N của đường thẳng d ta đi tìm hình chiếu bằng N2 của điểm N, N2 là giao của d2 và trục x, sau đó từ N2 ⇒ N1 ( H 3.10 )

Hình 3.10

C2

C 1

C2

C1 C

x

B2

A2

A1

B 1

B1 B

B2

x

A 2

p 1

A 1

A

p 2

P 1

M 1

d

N 2

N≡N 1

P 2

d 1

x

d 2

N≡N 1

d 1

M 1

N 2

x

d 2

4.2: Vết bằng của đường thẳng

+ Định nghĩa: Vết bằng ( M ) là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

+ Tính chất: M thuộc P2 nên có độ cao bằng không ⇒M1 thuộc trục x Vậy muốn xác định vết bằng M của đường thẳng d ta đi tìm hình chiếu đứng M1 của điểm M, M1 là giao của d1 và trục x, sau đó từ M1 ⇒ M2 ( H 3.10 )

V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

5.1: Hai đường thẳng cắt nhau

- Hai đường thẳng thường: Điều kiện ắt có và đủ để 2 đường thẳng thường cắt

nhau là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau tại những điểm trên cùng một đường dóng ( H 3.11 )

a ) b ) c )

Hình 3.11 Hình 3.11b: là cả hai đường thẳng a, b cùng nằm trên mặt phẳng chiếu đứng Hình 3.11c: là cả hai đường thẳng a, b cùng nằm trên mặt phẳng chiếu đứng, nhưng ở đây a là đường thẳng chiếu đứng

-Một trong hai đường là đường cạnh: Thì nếu hình chiếu đứng của hai đường

thẳng là hai đường thẳng cắt nhau, hình chiếu cạnh là hai đường thẳng cắt nhau, và hai giao điểm này nằm trên một đường dóng ngang, thì hai đường thẳng tương ứng

là cắt nhau trong không gian ( H 3.12 a )

Trên hình 3.12 b: AB là đường cạnh, qua hình chiếu đứng và hình chiếu bằng chúng ta không kết luận ngay được chúng có cắt nhau hay không Chúng ta có thể đi tìm hình chiếu cạnh của chúng nếu chúng thoả mãn trường hợp hình (3.12a ) thì chúng là hai đường thẳng cắt nhau trong không gian

x

b 1

x

M 2

M 1

x

a 1

a 2

b 2

M 2

M 1

a 1 ≡ b 1

a 2

b 2

M 2

M 1

a 1 ≡ b 1

a 2

b 2

a) b)

Hình 3.12

5.2: Hai đường thẳng song song

- Hai đường thẳng thường: Nếu trên đồ thức, hình chiếu đứng của chúng là hai

đường thẳng song song, hình chiếu bằng của chúng là hai đường thẳng song song, thì đồ thức đó biểu diễn hai đường thẳng song song trong không gian (H 3.13 a )

a) b) c)

Hình 3.13 Hình 3.13 b: cả hai đường thẳng a, b cùng nằm trên mặt phẳng chiếu đứng Hình 3.13 c: cả hai đường thẳng a, b cùng là đường thẳng chiếu đứng

- Hai đường thẳng là đường cạnh: Nếu trên đồ thức, hình chiếu cạnh của chúng

là hai đường thẳng song song thì đồ thức đó biểu diễn hai đường thẳng song song trong không gian ( H 3.14 a )

M 3

M 1

x

a 1

a 3

o

A 1

B 1

A 3

B 3

z

y

y

A 1

A 2

x

a 1

a 2

B 1

a 2

a 1

a 1≡ b 1

b 1

b 2

x

a 2

b 2

a 2

a 1

b 1

b 2

Hình 3.14 Trên hình 3.14 b, AB và CD là hai đường cạnh, qua hình chiếu đứng và hình chiếu bằng, chúng ta không kết luận ngay được chúng có cắt nhau hay không Chúng ta có thể đi tìm hình chiếu cạnh của chúng nếu chúng thoả mãn trường hợp hình ( 3.14a ) thì chúng là hai đường thẳng cắt nhau trong không gian

5.3: Hai đường thẳng chéo nhau

Nếu hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, thì hình chiếu của chúng không thoả mãn điều kiện cắt nhau ( song song nhau ) nói trên thì hai đường thẳng

là chéo nhau ( H 3.15 )

Hình 3.15

b 3

z

y

y

A 1

A 2

B 2

D 1

C 1

C 2

D 2

x

b 2

a 2

a 1

b 1

x

b 2

a 2

a 1

b 1

x

b 2

a 2

a 1

b 1

VI XÁC ĐỊNH ĐỘ LỚN THẬT CỦA ĐOẠN THẲNG

Giả sử có đoạn thẳng AB được biểu diễn bằng các hình chiếu A1B1 và A2B2 Bài toán đặt ra là ta đi xác định độ dài của AB theo các hình chiếu ấy

Quay lại cách lập đồ thức của

đoạn thẳng AB ( H 3.16 ) Ta thấy

được rằng AB là cạnh huyền của tam

giác vuông ABA* vuông ở A*, và có

cạnh AA* song song và bằng A1B1,

cạnh BA* bằng hiệu độ xa của hai

điểm A, B

Do đó việc xác định độ lớn của

đoạn thẳng AB đưa về việc xác định

cạnh huyền của tam giác vuông nói

trên

Tương tự ta thấy AB cũng là

cạnh huyền của tam giác vuông ABB* vuông ở B*, và có cạnh BB* song song và bằng A2B2, cạnh AB* bằng hiệu độ cao của hai điểm A, B

Hình 3.17 Hình 3.18

Trên hình 3.17, độ dài của đoạn thẳng AB là A2B*, là cạnh huyền của tam giác vuông mà một cạnh là hình chiếu bằng A2B2, và cạnh còn lại là B*B2 bằng hiệu độ cao của hai điểm A và B là A1B0

Trên hình 3.18, độ dài của đoạn thẳng AB là A2B* là cạnh huyền của tam giác vuông mà một cạnh là hình chiếu bằng A2B2, và cạnh còn lại là B*B2 bằng hiệu độ cao của hai điểm A và B là A1B0

x

P 2

P 1

B *

A

B 2

A 2

B 1

A 1

Hình 3.16

x

A*

B 2

A 1

B 1

B*

A 1

B 2

A 2

x

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1 Trình bày cách biểu diễn một đường thẳng?

2 Phát biểu điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng ?

3 Cho điểm A ( A1, A2 ), điểm C ( C1, C2 ), qua A vẽ đoạn thẳng AB song song với mặt phẳng hình chiếu bằng biết AB có độ dài bằng 25mm, và nghiêng với mặt phẳng hình chiếu đứng góc 30° ( H 3.16 a).Qua C vẽ đoạn thẳng CD song song với mặt phẳng hình chiếu đứng biết CD có độ dài bằng 30mm, và nghiêng với mặt phẳng hình chiếu đứng góc 45° (H 3.16 b)

Hình 3.16

4 Cho hai đường thẳng bất kỳ a ( a1, a2 ) và b ( b1, b2 ) hãy vẽ đường thẳng hình chiếu đứng c, đường thẳng hình chiếu bằng d, cắt cả hai đường thẳng a và b? ( H 3.17 )

Hình 3.17 Hình 3.18

5 Cho đường thẳng a tìm trên a các điểm : ( H 3.18 )

+A có độ cao bằng 0 +C có hai hình chiếu trùng nhau

+B có độ xa bằng 0 +D có hai hình chiếu đối xứng nhau qua trục x

6 Xác định độ dài cạnh của đoạn thẳng AB? ( H 3.19 )

x

A 1

A 2

x

A 1

A 2

x

b 2

a 2

a 1

b 1

x

a 2

a 1

6 Cho hai đường thẳng bất kì a ( a1, a2 ) và b ( b1, b2 ) và hình chiếu đứng M1

của điểm M Tìm hình chiếu bằng M2 biết M thuộc đường thẳng c song song với a

và cắt b ( H 3.20 )

Hình 3.19 Hình 3.20

7 Qua điểm N vẽ đường bằng b ( b1, b2 ) cắt đường thẳng a? ( H 3.20 )

8 Cho hình chiếu đứng của hai điểm A và B, hình chiếu bằng của hai điểm C

và D, hãy tìm các hình chiếu còn lại của A, B, C, D biết rằng cả bốn điểm đó đều thuộc một đường thẳng? ( H 3.21 )

9 Cho điểm A ( A1, A2 ), đường thẳng b ( b1, b2 ) và c ( c1, c2 ) Hãy vẽ qua A đường thẳng cắt cả b và c? (H 3.22 )

Hình 3.20 Hình 3.21 Hình 3.22

x

b 2

a 2

a 1

b 1

M 1

M 1

a 1≡ a 2

M 2

x

D 2

A 1

B 1

C 2

A 1

A2

b 1

b 2

c 1

c 2

x x

x

B 1

A 1

A 2

B 2