Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI * Đặt vấn đề: - Các hệ thống tuyến tính liên tục được mô tả bởi hệ n phương trình vi phân cấp một mô tả n trạng thái của hệ thống mô hình toán hệ thốn
Trang 1Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
* Đặt vấn đề:
- Các hệ thống tuyến tính liên tục được mô tả bởi hệ n phương trình vi phân cấp một mô tả n trạng thái của hệ thống mô hình toán hệ thống viết dưới dạng ma trận
x&(t) = A x(t) + B u(t) ; xo = x(o) (3-1)
Ở đây: x ∈ ℜn, u ∈ ℜr, y ∈ ℜP tương ứng là các vectơ trạng thái, các đầu vào, các đầu ra
Ma trận hệ số An×n mô tả các mối liên hệ bên trong hệ thống Các ma trận
Bn×r , CP×n , DP×r , đặc trưng cho mối liên hệ với bên ngoài của hệ thống Nếu không
có đường dẫn trực tiếp giữa các đầu vào với đầu ra thì DP×r là ma trận zero
* Mô hình không gian trạng thái của hệ thống điều khiển gián đoạn (tuyến tính) là các phương trình sai phân
x(k+1) = Ad x(k) + Bd.u(k) , x(o) = xo (3-3)
y(k) = Cd x(k) + Ddu(k) (3-4)
3.1- Các mô hình không gian trạng thái
Mô hình không gian trạng thái của hệ thống động lực học liên tục đều có thể diễn tả hệ thống trong lĩnh vực thời gian bằng các phương trình vi phân hoặc hàm truyền dưới bốn dạng (form) sau:
- Dạng điều khiển (không gian pha) (Controller canonical form)
- Dạng quan sát (không gian quan sát) (observer canonical form)
3.2- Mô hình không gian trạng thái và các phương trình vi phân
Hệ thống động lực học cấp n được mô tả bằng phương trình vi phân cấp n
n
n
dt
)
t
(
y
d
+ an-1 n 1
1 n dt
) t ( y d
−
−
+ + a1
dt
) t ( dy
+ aoy(t) =
n dt
) t ( u d
+ bn-1 n 1
1 n dt
) t ( u d
−
−
+ + b1
dt
) t ( du
+ bou(t) (3-5)
Ta giả thiết các điều kiện đầu của hệ thống
Trang 2y(o-) ,
dt
o
dy( −)
, , n 1
1 n dt
) o ( y d
−
−
đồng thời bằng không, ta tiến hành biến đổi phương trình vi phân cấp n thành hệ n phương trình vi phân cấp 1
+ Xét phương trình vi phân cấp n sau:
n
n dt
) t ( y d
+ an-1 n 1
1 n dt
) t ( y d
−
−
+ + a1
dt
) t ( dy
+ aoy(t) = u(t) (3-6) Đổi biến theo: x1(t) = y(t)
x2(t) =
dt
) t ( dy
x3(t) = 2
2 dt
) t ( y d
xn(t) = n 1
1 n dt
) t ( y d
−
−
Tiến hành lấy đạo hàm hai vế các phương trình (3-7)
dt
) t (
dx1
= x&1 =
dt
) t ( dy
= x2(t)
dt
) t (
dx2
= x&2 = 2
2 dt
) t ( y d
= x3(t) (3-8)
)
t
(
d
)
t
(
dxn
= x&n = n
n
dt
) t ( y d
= - ao(y(t) - a1
dt
) t ( dy
- - an-1 n 1
1 n
dt
) t ( y d
−
−
+ u(t)
= - aox1(t) - a1x2(t) - - an-1 xn(t) + u(t) Vậy không gian trạng thái (3-8) viết dưới dạng ma trận
x&n-1 0 0 L L 0 1 xn-1(t) 0
x&n -ao -a1 L L L -an-1 xn(t) 1
Đầu ra được viết theo (3-7)
y(t) = [1 0 0 0] × [x1(t) x2(t) xn(t)]T (3-10) (3-9) và (3-10) được gọi là dạng chính tắc của không gian pha
Trang 3+ Đối với hệ thống được mô tả bởi phương trình (3-5) ta có:
y(t) = [(bo - aobn) (b1-a1bn) (bn-1 - an-1)] ×
[x1(t) x2(t) xn(t)]T + bn u(t) (3-11) Với: bn = 0 ta có:
y(t) = [bo b1 bn-1] × [x1(t) x2(t) xn(t)]T (3-12)
3.3- Xác định các biến trạng thái từ hàm truyền
Phần này giới thiệu các kỹ thuật hình thành mô hình không gian trạng thái từ hàm truyền của hệ thống thường được áp dụng trong thực tế Đó là kỹ thuật chương trình trực tiếp và kỹ thuật chương trình song song Để đơn giản ta xét với hệ thống một đầu vào một đầu ra
3.3.1- Mô phỏng HT theo dạng điều khiển chính tắc
Kỹ thuật này được sử dụng thuận lợi khi hàm truyền của thiết bị dạng đa thức không phân tích ra thừa số được
) s ( U
) s ( Y
=
o 1 1
n 1 n n
o 1 1
n 1 n
n n
a S a
S a S
b S b
S b S b
+ + + +
+ + +
+
−
−
−
Ở đây ta sử dụng biến phụ V(s)
(Tính điều khiển được của hệ thống là với một tác động vào liệu có chuyển
được trạng thái của hệ từ thời điểm đầu t o đến thời điểm cuối trong khoảng thời gian hữu hạn không?)
) s ( V
) s ( Y
= bnSn + bn-1Sn-1+ + b1S + bo (3-14a)
) (
) (
s U
s V
=
o 1 1
n 1 n
S
1
+ + +
−
(3-14b)
Sơ đồ khối mô tả hệ thống có sử dụng biến phụ V(s)
Hình 3.1
Phương trình (3-14a) được viết lại như sau:
Y(s) = bnSnV(s) + bn-1Sn-1V(s) + + b1S.V(s) + boV(s) (3-15) Điều này chỉ ra rằng y(t) là sự chồng chất của V(t) và các đạo hàm của nó vì
ta có thể trình bày (3-14a, b) dưới dạng phương trình vi phân khi điều kiện đầu đồng nhất bằng không bằng cách thay:
dt
d
; Si ≡ ii
dt
d
; V(s) ≡ v(t),
Trang 4Xây dựng mô hình không gian trạng thái của hệ thống từ các hàm truyền bằng cách
sử dụng sơ đồ mô phỏng rất thuận tiện Trong các trường hợp hệ thống
liên tục sơ đồ mô phỏng các máy tính tương tự giải các phương trình vi phân
mô tả các hệ thống động lực học sử dụng các bộ tích phân, bộ cộng bộ trừ và nhân được thực hiện như là bộ khuếch đại thuật toán Số khối tích phân phụ thuộc vào cấp của phương trình vi phân
+ Sơ đồ mô phỏng (3-14a, b) như sau:
Sử dụng kỹ thuật chương trình trực tiếp: đặt n khối tích phân nối tiếp với đầu vào tương ứng là V(n)(t) , v(n-1)(t) , , V(1)(t) , v(t)
Áp dụng (3-15) xác định y(t) bằng cách nhân đầu vào vi(t) với các hệ số bi
và cộng bằng bộ cộng ∑
+ Từ (3-14b) ta có:
v(n)(t) = u(t) - an-1 v(n-1)(t) - - a1v(1)(t) - aov(t) (3-16) Các phép trừ mô phỏng bằng mối liên hệ ngược trên sơ đồ ta có:
Hình 3-2: Sơ đồ mô phỏng kỹ thuật chương trình trực tiếp
(dạng điều khiển chính tắc)
Theo hình 3-2 ta có mô hình không gian trạng thái của hệ thống dạng điều khiển chính tắc
x&(t) = M M O O O M × x(t) + 0 × u(t)
U(t) x&n
V(n-1)
xn x& 2 x2 x&1 x1 y(t)
b1
b2
bn
-an-1
V(n)
-a1
-ao
Trang 5(3-17)
Và y(t) = [(bo-aobn) (b1 - a1bn) (bn-1 - an-1 bn)] x(t) + u(t) bn (3-18)
sử dụng hàm tf2ss)
Ví dụ: Cho hàm truyền
G(s) =
S 811 S
12131 85
97 S 463 S
996 0 S
19080 65
90 S 576 S
331 0 S 65 1
2 3
4 5
6
2 3
4
+ +
+ +
+
+ +
−
−
3.3.2- Mô phỏng HT theo dạng quan sát chính tắc
Cùng với dạng điều khiển, dạng quan sát chính tắc là quan hệ quan trọng đối với lý thuyết điều khiển hiện đại
* Quan sát được của một hệ thống là với các toạ độ đo được ở biến ra y(t)
của hệ thống liệu ta có thể khôi phục được các vectơ trạng thái x(t) trong thời gian
hữu hạn không?
Không gian trạng thái của hệ thống và dạng quan sát chính tắc của nó được xác định có cấu trúc rất đơn giản
Xuất phát từ hàm truyền (3-13) ta có:
Y(s)(Sn + an-1Sn-1 + + a1S + ao) = U(s) (bnSn + bn-1Sn-1 + + b1S + bo)
(3-18) Y(s) = - n
S
1
(an-1.Sn-1 + + a1S + ao) Y(s) + n
S
1
U(s) (bnSn + + bn-1Sn-1 + + b1S + bo) (3-19)
Y(s) = - an-1
S
1
Y(s) - an-2 2
S
1
Y(s) - - a1 n 1
S
1
− Y(s) - ao n
S
1 Y(s) +
+ bnU(s) + bn-1
S
1
U(s) + + b1 n 1
S
1
− U(s) + bo n
S
1
U(s) Mối quan hệ (3-20) được thể hiện trên sơ đồ mô phỏng qua n tầng tích phân Nhãn của các tín hiệu đặt quá tầng tích phân ví dụ một khối
S
1
chỉ một tầng tích phân Tín hiệu an-2 y(t) và bn-2U(t) chỉ vượt qua hai tầng tích phân, aoy(t) và bo u(t) vượt qua n tầng tích phân
Trang 6Hình 3-3: Sơ đồ khối mô phỏng dạng quan sát chính tắc
+ Các biến trạng thái như là đầu ra của các khối tích phân quan hệ đầu ra với các biến trạng thái theo sơ đồ trên ta có:
Y(t) = xn(t) + bnu(t) (3-21)
x&1(t) = - aoy(t) + bou(t) = - aoxn(t) + (bo - aobn) u(t)
x&2(t) = - a1y(t) + b1u(t) + x1 = x1(t) - a1xn(t) + (b1 - a1bn) u(t)
x&3(t) = - a2y(t) + b2u(t) + x2 = x2(t) - a2xn(t) + (b2 - a2bn) u(t)
x&n(t) = - a1-1y(t) + bn-1u(t) + xn-1 = = xn-1(t) - an-1xn(t) + (bn-1 - an-1bn) u(t) (3-22)
Từ (3-21) và (3-22) ta dễ dàng viết dưới dạng ma trận của dạng quan sát chính tắc:
x&(t) = 0 1 L L -a2 x(t) + b2 - a2bn u(t)
(3-23)
và y(t) = [ 0 0 0 1] x(t) + bn u(t) (3-24)
Ví dụ: G(s) =
S 11 , 8 S 12131 S
8 , 94 S 463 S
996 , 0 S
19080 S
6 , 90 S 576 S
331 , 0 S 65 , 1
2 3
4 5
6
2 3
4
+ +
+ +
+
+ +
−
−
Hãy viét dạng quan sát chính tắc dưới dạng ma trận
3.3.3- Kỹ thuật mô phỏng chương trình song song
Đối với kỹ thuật này ta phân ra làm hai trường hợp: đa thức mẫu có nghiệm thực riêng biệt và có nghiệm lặp
+
bo
- ao
+
b1
- a1
+
bn-1
- an-1
b1
- a1
bn U(s)
y(s)
x&1 x2 x&n-1 xn-1 x&n xn
Trang 7a) Đa thức mẫu có hàm truyền, có nghiệm riêng biệt
Dạng không gian trạng thái này thuận tiện cho các ứng dụng kiểu này bắt nguồn từ việc khai triển hàm truyền thành tổng các phân thức Một cách tổng quát
m < n thì:
) s ( U
) s ( Y
=
) p S ) (
p S )(
p S (
) s ( P
n 2
1
m
+ +
+
=
1
1
p S
r
r
+ + + S n p n
r
+ + k (3-25)
Ở đây p1 , p2 , , pn các nghiệm riêng biệt (các cực) của đa thức mẫu của hàm truyền
- Sơ đồ khối mô phỏng dạng này như sau:
(Dạng modal chính tắc)
Hình 3-4: Sơ đồ khối mô phỏng kỹ thuật lập trình song song
Mô hình không gian trạng thái theo sơ đồ khối này như sau:
x&(t) = 0 1 L L L x(t) + M u(t) (3-26)
y(t) = [ k1 k2 kn ] x(t) (3-27)
b) Đa thức mẫu có nghiệm lặp
+ x&x&2 2 1/S x2 r2
- p2
+ x&1 1/S x1 r1
- p1
+ x&n 1/S xn rn
- pn
M u(t)
Trang 8Khi hàm truyền có cực thực lặp Giả thiết cực p1 lặp r lần
) s ( U
) s ( Y
=
) p S ) (
p S ( ) p S (
) s ( N
n 1
r
r
Dạng khai triển của nó là:
) s
(
U
) s
(
Y
=
1
11 p S
k
1
12 ) p S (
k
1
r 1 ) p S (
k + + S rp1r1
k +
+ + + + S npn
k +
Hình 3-5: Sơ đồ mô phỏng dạng Jordan chính tắc
3.3.4- Các mô hình của hệ thống gián đoạn
(tương tự trong sơ đồ chỉ thay khối
S
1
≡ Z-1 )
3.4 Xác định hàm đáp ứng từ phương trình trạng thái
3.4.1 Hệ thống điều khiển liên tục
Phương trình trạng thái của hệ theo (3.1) và (3.2)
Nghiệm của (3.1):
x(t) = eAt x(0) + ∫t e At B u d
0
) ( τ τ (3-28)
y(t) = C eAt x(0) + C.∫t e At B u d
0
) ( τ τ + D u(t) (3-29) y(t) = y (t) + y (t)
x&r+1 xr+1
- p1
M u(t)
- pn
k1r+1 x&r xr
- p1
- p1
- p1
x&1
x1
k1r+1
Trang 9Đáp ứng quá độ: Là đáp ứng của hệ thống không phụ thuộc vào kích thích u(t) mà
do các điều kiện đầu của hệ ( trạng thái ban đầu) Gọi là dao động tự do của hệ thống
Đáp ứng ổn định: Đáp ứng phụ thuộc vào u(t) Đặc trưng cho quá trình cưỡng bức của u(t) làm cho hệ thống ổn định
3.4.2 Hệ thống điều khiển gián đoạn
Phương trình trạng thái được biểu diễn ở (3-3) và (3-4)
Nghiệm của phương trình (3-3):
x(k) = Ak-k0 x(k0) + ∑−
=
−
−
1 1
0
) (
n
k j
j
A (3-30)
y(k) = C Ak-k0 x(k0) + C.∑−
=
−
−
1 1
0
) (
n
k j
j
A + D.u(k) (3-31)
3.4.3 Các phương pháp tìm đáp ứng
Tìm ma trận trạng thái: eAt
- Toán tử Laplace:
Áp dụng công thức: eAt = l-1 [ (SI - A)-1]
- Phương pháp Sylvester:
Dựa vào trị riêng của ma trận A: Tìm trị riêng bằng cách tìm nghiệm của phương trình sau det (λI - A) = 0, giải phương trình được các nghiệm: λ1, λ2, , λn
Ta có: eAt = α0(t).Ι + α1(t).Α + α2(t).Α2+ + αn(t).An
Trong đó: Các hệ số α0(t), α1(t), α2(t), , αn(t) xác định từ hệ phương trình sau
α0(t) + α1(t).λ1 + α2(t).λ2
1 + + αn(t).λ 1
1n− = eλ1t
α0(t) + α1(t).λ2 + α2(t).λ2
2+ + αn(t).λ 1
2 −
α0(t) + α1(t).λn + α2(t).λ2
n+ + αn(t).λn− 1
