Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 2 pdf

Hình 2.5 * Nhận xét: Mối quan hệ giữa phẳng S ánh xạ cực – không *Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace là cơ sở của một phương pháp giải tích để tìm cả đáp ứng ổn định và đáp ứng qu

ω: Phần ảo (Imaginary part)

Nếu σ, ω là các số thực thì ta gọi là số phức, còn thay đổi s là biến phức Biểu diễn biến phức s trên đồ thị như sau:

Góc q = tan-1(Gx/Gy), Chiều dương theo chiều kim đồng hồ tính từ trục thực

-Biểu diễn trên đồ thị:

Hình 2.2

Hàm liên hợp của hàm G(s) là: G (s) = Gx - j Gy

¸nh x¹ G

Một hàm phức, có biến là s = σ + jω Biến phức S phụ thuộc vào 2 đại lượng độc lập: là phần thực và phần ảo của s Để biểu diễn hàm G(s) cần có 2 đồ thị, mỗi đồ thị có 2 chiều:

- Đồ thị của jω ứng với s gọi là phẳng S

- Đồ thị của phần ảo G(S) (ImG) ứng với phần thực của G(S) (ReG) gọi là phẳng G(S)

Sự tương ứng giữa các điểm trong hai phẳng đó gọi là một ánh xạ hay biến đổi

Các điểm trong phẳng S được ánh xạ vào các điểm trong phẳng G(S) bằng hàm G

z S b

1

1

)(

)(

- Các giá trị của biến phức S = -zi làm cho G(s) = 0 được gọi là các không của G(s) (Zeros)

- Các giá trị s = - pi làm cho G(s) → ∞ được gọi là các cực của G(s) ( Poles) Các cực và các không được xác định bởi: một đại diện phần thực và một đại diện phần ảo của số phức

Biểu diễn các điểm đó trên mặt phẳng phức ( phẳng S) gọi là ánh xạ cực – không của G(s)

Ví dụ:

G(s) =

) 1 )(

1 )(

3 (

) 2 )(

1 ( 2 6

8 5

4 2 2 2 3

2

j S j S S

S S S

S S

S S

− +

− + +

− +

= + + +

−

−

Hình 2.5

* Nhận xét: Mối quan hệ giữa phẳng S ( ánh xạ cực – không)

*Phép biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace là cơ sở của một phương pháp giải tích để tìm cả đáp ứng ổn định và đáp ứng quá độ mà các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi Nên phép biến đổi Laplace chỉ dùng biến đổi cho phương trình vi phân tuyến tính Biến đổi Laplace chuyển phương trình vi phân thành các phương trình đại số nên tìm nghiệm của phương trình đại số đơn giản hơn và từ nghiệm của phương trình đại số tìm được nghiệm của phương trình vi phân

Một ưu điểm là phương pháp này có thể xử lý trực tiếp các điều kiện đầu của hệ thống như một phần của đáp ứng

- Bản chất của phép biến đổi Laplace:

Là các phép tính đạo hàm và tích phân gốc được chuyển thành các phép toán đại số thông thường đối với các ảnh, miền xác định rộng

- Hàm gốc:

Gọi hàm f(t) của biến thực t là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

1 Hàm f(t) liên tục trên từng đoạn thuộc miền xác định mà t ≥ 0

Giải thích:

Lấy [a; b] trên t ≥ 0, luôn chi được trong [a; b] một số hữu hạn khoảng nhỏ [e; x]

sao cho trong mỗi khoảng đó f(t) liên tục và tại các mút của mỗi khoảng nhỏ thì f(t)

2 Khi t →+∞ hàm f(t) không tăng nhanh hơn một hàm mũ Tồn tại M > 0;

a >0 sao cho: f(t) ≤eα.t ; mọi t >0

a gọi là chỉ số tăng của f(t)

3.f(t) = 0 khi t < 0

Điều kiện này được đưa ra vì trong ứng dụng biến số t thường là thời gian, hàm f(t)

biểu diễn một quá trình nào đó mà ta chỉ khảo sát lúc t > 0

Biến đổi Laplace là kết quả của một thuật toán chuyển đổi với một hàm thời gian f(t) để cho ta hàm G(s) của biến phức s

σσ

π ( ). .

21

Một số hàm biến đổi Laplace sử dụng phổ biến:

Important Laplace Transform Pairs

f(t) F(s) Hàm bậc thang h(t)

tn

1S

1+

1 s F(s)

* ứng dụng của toán tử Laplace:

- Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi

- Tìm hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển tuyến tính

2.1 Hàm truyền đạt

* Định nghĩa: Hàm truyền đạt (The Transfer function) của một hệ thống tuyến tính

được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của biếu ra ( đại lượng đáp ứng ra của hệ thống) so với biến đổi Laplace của biến vào ( đại lượng tác động vào hệ thống), Với điều kiện đầu đồng nhất bằng không Hàm truyền đạt của hệ thống ( phần tử) đặc trưng cho mô tả động lực học của hệ thống

- Một hàm truyền đạt chỉ có thể xác định cho hệ thống tuyến tính, hệ thống bền vững ( tham số không đổi) Một hệ thống không bền vững thường gọi là hệ thống biến thời gian thay đổi, có một hay nhiều tham số thay đổi, và phép biến đổi Laplace không được áp dụng đối với hệ thống này

- Hàm truyền đạt thể hiện tác động vào và đáp ứng ra của trạng thái hệ thống

- Tuy nhiên, hàm truyền đạt không diễn tả thông tin về cấu trúc bên trong của hệ thống và trạng thái hoạt động của hệ thống

Để hiểu về cách xây dựng hàm truyền đạt ta có các ví dụ sau:

yd2

2

=++

Điều kiện đầu là: y(0) = 1, (0) 0

dt

dy

= , và r(t) = 1, t ≥ 0 Biến đổi Laplace:

[ s2Y(s) – s y(0) ] + 4[ s Y(s) – y(0) ] + 3 Y(s) = 2 R(s)

4s3)

4ss(s

2

2

++

++

Trong đó: q(s) = s2 +4s + 3 = ( s + 1)(s +3) = 0 là phương trình đặc trưng và d(s) = s Y(s) = [

s

2/3]3)(s

1/31)

(s

1[]3)(s

1/21)

(s

3/2

++

++

−++

−++ = Y1(s) + Y2(s) + Y3(s)

Biến đổi Laplace ngược:

y(t) =

3

2].e3

11.e

[].e2

1.e

t→∞ =

Ví dụ 2: Hệ thống cơ khí như hình vẽ ( được mô hình hoá)

Hình 2.9

−+

+

0

R(s)(s)

V

(s)Vs

Kf(s)) (M

f

(

)f (

ff

(s)

(M

2 1

1 2 1

1 2

1

1

.)

Vận tốc di chuyển của M1 chính là đại lượng ra, việc tìm V1(s) bởi ma trận nghịch

đảo hoặc nguyên tắc Cramer là:

1 1

2 2 1 1

1 2

f (K/s)) f

s ).(M f f s

(M

) (K/s)).R(s f

s (M

− +

+ +

+

+ +

2 2 1 1

1 2

f (K/s)) f

s ).(M f f s (M

(K/s)) f

s (M

− +

+ +

+

+

s s

s

2 1 1

2 2 2

1

1

1 2

2

f K) f s ).(M

s

(M

− + + +

+

+ +

Tại một thời điểm nào đó mà xác định x1(t), thì hàm truyền đạt là:

s

G(s) sR(s)

(s) V R(s)

(s)

=

=

Ví dụ 3: Hàm truyền đạt của động cơ dc

Động cơ dc là thiết bị phát động mà chuyển từ dạng năng lượng điện sang chuyển

động quay

cu(t)

d

Fd

Hình 2.10

Ví dụ 4: Cho hệ cơ học gồm một lò xo có hệ số c, một vật với khối lượng m và bộ

giảm chấn có hệ số d được nối với nhau như hình vẽ Xác định hàm truyền đạt cho

hệ cơ đó nếu tín hiệu đầu vào u(t) được định nghĩa là lực bên ngoài tác động lên vật

và tín hiệu ra y(t) là quãng đường mà vật đi được

Gọi Fc, Fm, Fd là những lực của lò xo, vật và bộ giảm chấn sinh ra khi vật di chuyển nhằm cản sự dịch chuyển đó thì:

+ d

dtdy(t)

Biến đổi Laplace: U(s) = ( c + ds + ms2 ) Y(s)

∞

−

ττ

τ .u( )d -

g(t )

Hàm g(t) được gọi là hàm trọng lượng của hệ thống Với u(t) = δ (t)

Do U(s) = 1 nên ta có y(t) = g(t)

* Hàm truyền đạt trong lĩnh vực Laplace

Trên đây mới chỉ giới thiệu hàm truyền đạt giới hạn trong quan hệ tỷ lệ vào – ra đơn giản, đó là một hình thức để mô tả đặc trưng của phần tử hoặc hệ thống Tuy nhiên

có nhiều phần tử có đáp ứng thay đổi theo thời gian Trong lĩnh vực thời gian đặc tính đó được mô tả bằng phương trình vi phân, phương trình này không trực tiếp dùng làm hàm truyền đạt được

Nếu dùng một hàm truyền đạt với biến số Laplace S, diễn tả được đặc tính động lực của phần tử hoặc hệ thống và phương pháp phân tích trong lĩnh vực thời gian ( tức

là quá trình quá độ)sẽ tương đối đơn giản giúp ta xác định đáp ứng của phần tử hoặc

hệ thống đối với một tín hiệu vào xác định

Đặc trưng của một hệ thống điều khiển, ta có phương trình vi phân tổng quát sau đây:

(pn + bn-1pn-1 + + b1p + b0) y(t) = ( ampm + am-1pm-1 + + a1p + a0 ) x(t) (2.11)

(p) L

(p) L x(t) b

p b

p b

p

a p a

p a p

a

n m

0 1 1

1 n

0 1 1

m 1 m m

+ + + +

+ + + +

Biến đổi Laplace từng số hạng của phương trình (2.11) ta có

L[pn y(t)] = sn Y(s) – I(s)n

bn-1 L[pn-1 y(t)] =bn-1 sn-1 Y(s) – I(s)n-1

am L[pm x(t)] = am sm X(s) – I(s)m

am-1 L[pm-1 x(t)] =am-1 sm-1 Y(s) – I(s)m-1

Với I(s)n, là những điều kiện ban đầu tương ứng với các biến đổi

Thay vào phương trình:

Y(s) =

(s) L

I(s) (s).X(s) L

b s b

s b s

I(s) X(s) a

s a

s a s

(a

n m

0 1 1

1 n

0 1 1

m 1 m m

+ + + +

+ +

+ + +

−

−

−

I(s) = I(s)n + I(s)n-1 + - I(s)m - I(s)m-1 là tổng những điều kiện đầu

Từ phương trình trên thấy rằng:

- các đa thức Lm (s); Ln(s) ở trong miền biến đổi s vẫn giữ nguyên như trong miền toán tử p

- Tử số của chúng cũng có dạng giống nhau, chỉ khác là ở miền s có các điều kiện đầu I(s)

- Nếu các điều kiện đầu bằng 0 thì ta có thể biến đổi Laplace của phương trình vi phân bằng cách thay s vào vị trí p, thay Y(s) vào vị trí y(t) và X(s) vào vị trí x(t) Tức là:

(s) L

n m

Vậy có mối quan hệ trong hệ thống điều khiển:

“Hàm phản ứng = Hàm truyền đạt x Hàm kích thích”

Nếu cho mẫu số của hàm truyền đạt bằng 0 ta sẽ có phương trình đặc trưng:

sn + bn-1sn-1 + + b1s + b0 = 0 trên cơ sở phương trình đặc trưng ta suy ra các đặc tính chuyển tiếp của hệ thống

- Hàm phản ứng (hàm chuyển tiếp) y(t) có thể xác định với việc biến đổi ngược hàm Y(s)

y(t) = L-1[ Y(s)] = L-1 [

(s) L

I(s) (s).X(s) L

n

Tìm y(t) theo 2 cách:

1) Dùng bảng để xác định các hàm thời gian tương ứng

2) Phân tích hàm đã biến đổi thành tổng những hàm đơn giản hơn và sau đó dùng bảng để biến đổi ngược từng số hạng

Thường dùng phương pháp 2 vì ít khi gặp các hàm đơn giản Vậy ta tìm hiểu phương pháp 2 như sau:

Y(s) =

(s) L

I(s) (s).X(s)

) (

s B

s A

= +

x n

x x

m

(s).D L

I(s).D (s).N

L

ở đây A(s) và B(s) là những đa thức của s

Để có thể chia Y(s) thành các phân thức, ta phân tích mẫu số B(s) Giả sử các nghiệm của B(s) là r1, r2, , rn Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn, nghiệm bội hay là số phức

- Nghiệm đơn:

Y(s) =

n n 2

2 1

1

r s

C

r s

C r s

C B(s)

A(s)

− + +

L-1 [

n

n r - s

C

] = Cn e n t ( t ≥ 0) Vậy,

1 1

1 q 1 q q

q

rs

C

rs

Crs

Kr)

(s

Kr)

(s

KB(s)

A(s)

−++

−

+

−++

r)(sqC

)r(s

r)(sqC

r)(s2KK

i

1 q 1

2 q 1 q

q

−

−+

+

−

−+

+

−+

1

{

2 2 r

1

{

(k) r

rt 2 rt

2 q 1 q rt 1 q

q

.eK1!

.t.eK

2)!

(q

.e.tK1)!

(q

.e.t

1 0

r s

C

r s

C jb a s

C jb

a s

-C B(s)

A(s)

− + +

−

+ +

A(s)[

lim])r) (srjb).(sa

jb).(sa

(s

A(s)jb)

a

[(s

lim

n 1

jb a s n 1

K(a+jb) =

jb a

s→ lim +

)) (

1(

)(4

n

r S r s

s A

).(

).(

(

)(

r s jb a s jb a s

s A

−

−+

.(

2

)(

1 s r n

r s a

s A

s→ lim − [

)).(

(

)(

1 s r n

r s

s A

)(

s B

s A

]s=a−jb Các trị số k(a+jb) và k(a-jb) là các số phức liên hợp

Ta cần thể hiện các số này trên hình vẽ:

Từ bảng laplace ta xác định hàm chuyển tiếp

y ) = c.e(a+jb).t+Co.e(a−jb).t+C1.er1 t+ +Cn.ernt

=

b

1

[k(a+jb)].eat.sin((α+bt)+C1.er1 t+ +Cn.ernt

Phương trình trên thể hiện hàm điều hoà sin tắt dần theo hàm mũ, xuất phát từnghiệm phức liên hợp Phần ảo b là tàn số dao động tắt dần Thời gian của mỗi dao động là

a>0 a<0

Cách khác xác định đáp ứng thời gian:

Đáp ứng thời gian có thể xác định bằng cách tìm các cực của G(s) X(s) vì

Y(s) = G(s) X(s) và ước lượng tìm các hệ số của các phân thức của biểu thức Y(s) tại các cực đó Các hệ số có thể xác định bằng đồ thị nhờ một ánh xạ cực – không của Y(s) ánh xạ này được dựng từ ánh xạ cực – không của G(s) và cộng thêm các cực- không của X(s)

Các bước :

G(s) =

)p(s

)z(s.b

i n 1 i

i m 1 i m

)(Im

s G

s G

Trong hình a) có một cực –pi và một không – zi và một biến phức S Vectơ tổng s +

zi là vectơ bắt đầu từ không – zi và kết thúc tại s, vectơ s + pi bắt đầu từ cực – pi và kết thúc tại s

Độ lớn của C = bm

pi)s(cña vectolín

é

§

zi)(scña vectolín

)z(s.b

i n

1 i

i m 1 i m

z ).(s z (s b

2 1

2 1

m

+ +

+

Trường hợp c): C2 =

) p ).(s p (s

z ).(s z (s b

2 1

2 1

m

+ +

Áp dụng biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân tuyến tính là phần quan trọng nhất trong nghiên cứu trạng thái quá độ của các hệ tuyến tính thuộc lĩnh vực thời gian

Tuy vậy giải phương trình vi phân để phân tích trạng thái động lực của hệ thống (tức là trong lĩnh vực thời gian) khá phức tạp đối với các hệ không đơn giản Nhưng phương pháp phân tích đáp ứng tần số ( thuộc lĩnh vực tần số) có thể đánh giá được tính năng của hệ mà không cần giải phương trình vi phân Phương pháp đáp ứng tần

số phân tích các tính năng của hệ xem như một hàm của tần số của tín hiệu vào dạng sin mà không phải là khảo sát đáp ứng thời gian thực tế Cũng có thể nói phương pháp đáp ứng tần số phân tích đáp ứng dạng sin ổn định của hàm truyền của

hệ

Phương pháp này có nhiều ưu điểm:

- Cho phép ta ước lượng được dãy tần số ảnh hưởng đến tính năng của hệ

- Dễ chỉ cho ta biện pháp thay đổi hệ để đạt các tính năng yêu cầu trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển Bằng đồ thị có thể chỉ cho ta biện pháp phán đoán vấn đề bằng các phương trình vi phân Nếu các phương trình đã được giải nhưng đáp ứng không đạt yêu cầu thì không dễ quyết định được biện pháp thay đổi hệ thống để đạt chất lượng mong muốn Phương pháp tần

số đã vượt qua được hạn chế đó

- Đáp ứng có thể xác định bằng thực nghiệm cũng tốt không thua kém tính toán giải tích Ưu điểm này rất quan trọng khi mô tả các phần tử của hệ bằng các phương trình vi phân

2.2 Đại số sơ đồ khối

Sơ đồ khối là một trong các dạng mô hình toán của hệ thống điều khiển, trên sơ

đồ thể hiện đại lượng vào – ra của hệ thống và các tính chất của hệ thống

Một số chuyển đổi cơ bản để rút gọn các sơ đồ khối phức tạp

1 Tổ hợp các khối nối tiếp

Hình 2.14

+ +

+

GA

Sơ đồ tương đương là: C = A G + B G = G ( A + B)

4 Di chuyển điểm tụ về bên trái một khối

<=> R G

1+GH

CB

-E -

+ R

G1

H

C B

G2

+

E +

C.H E

* Sơ đồ khối dạng chính tắc:

ư Hình 2.22

B E

H

Các đại lượng sau cần xác định rõ:

G: Hàm truyền tuyến thuận

H: Hàm truyền tuyến phản hồi

G

±

* Hệ phản hồi đơn vị:

Một hệ phản hồi đơn vị là một hệ trong đó tín hiệu phản hồi cơ bản B bằng đầu ra

C Đây là một trường hợp đặc biệt hay gặp trong thực tế và là sự so sánh trực tiếp giữa đầu ra và đầu vào chuẩn Vì lúc này khối phản hồi có giá trị đơn vị là 1 nên hàm truyền mạch kín là:

G+

Trường hợp này xảy ra khi đầu ra mô phỏng lại đầu vào chuẩn Bất kỳ hệ phản hồi nào nếu chỉ có các phần tử tuyến tính trong tuyến phản hồi đều có thể đặt dưới dạng một hệ phản hồi đơn vị bằng cách dùng chuyển đổi 4, ta được sơ đồ khối sau:

H U

C(R)

G2

G1

R +-

* Hệ có nhiều tín hiệu vào ra :

Nhiều hệ có nhiễu U, hoặc có nhiều tín hiệu vào ( nhiều kích thích ) đồng thời với tín hiệu vào chuẩn R, chúng áp lên hệ tại các điểm khác nhau và mang lại cho hệ những tính năng khác nhau

Khi trong một hệ tuyến tính có mặt nhiều tín hiệu vào ta phải xử lí từng tín hiệu độc lập với nhau, sau đó dựa trên nguyên lí chồng chất cộng đại số các đáp ứng cá biệt của từng tín hiệu với nhau ta sẽ được tín hiệu ra tổng cộng của hệ khi mọi tín hiệu đồng thời tác động lên hệ

Có nghĩa là ta giả thiết từng tín hiệu vào tác dộng riêng biệt đến hệ ( các tín hiệu vào còn lại giả thiết bằng không ) lần lượt làm như vậy với từng tín hiệu vào, sau đó thực hiện một phép cộng đại số các đáp ứng nói trên, để tìm đáp ứng riêng của từng tín hiệu vào, đôi khi cần đến thủ thuật rút gọn sơ đồ khối về dạng chính tắc bằng cách dùng một trong bảy chuyển đổi trên

2 1

G G

G G

+ Cho R = 0 , chỉ có đầu vào U ta có sơ đồ sau

.2.11

G G

.

2 1 + ).R + G G H

G

.

G

.

Ví dụ 2 : Hệ có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra

Tmà C1, C2 = ?

Hình 2.29

G1

R1 +

-G2

-G2.G3.G4

+

+

R1

C1

G1

R1 +

-G2

G4

G3

R2

+

-C12

G2

R2 +

G2

-+

R2

G1

+ Trước hết bỏ qua C2, hệ thống chỉ còn một đầu ra C1

Đầu tiên bỏ qua R2 = 0 :

Hình 2.30 ⇒ C11 = 4 3 2 1 1 G G G G 1 G − .R1 Bỏ qua R1= 0, hệ thống còn R2và C12

Hình 2.31

C12 = 2

4 3 2 1

4 3

.G G G

G

1

.G G G

−

−

Vậy đầu ra C1 do R1 và R2 tác động là: C1 = C11 + C12 =

4 3 2 1

1 G G G G 1

G

G2

R1 +-

G3

G1.G2-

1

4 3

1

.R G G

2 4 3 1 1 1

.G G G G 1

.R G G G R G

4 2

.G G G

G

1

.G G G

2 4 G G G G

1

.R G

−

Vậy đầu ra C2 do R1, R2 tác động là:

C2 = C21 + C22 = 1

4 3 2 1

4 2

.G G G G 1

.G G G

−

−

+

4 3 2 1

2 4 G G G G 1

.R G

− = 41 2G1.G12.G23.G44 1

.R G G G R G

−

−

Ví dụ 3: Rút gọn sơ đồ khối về dạng chính tắc