Báo cáo toán học: "Sur la structure des C*-algebres d''''une classe de groupes de Lie " ppsx

Dans le présent travail, nous chercherons a déterminer toutes les algébres de Lie ayant la propriété MD § 1 et nous décrirons les C*-algébres des groupes de Lie connexes et simplement co

SUR LA STRUCTURE DES C*-ALGEBRES D’UNE CLASSE

DE GROUPES DE LIE

VUONG MANH SON et HO HUU VIET

INTRODUCTION

Le probléme de décrire la structure des C*-algébres des groupes localement compacts, non compacts et non commutatifs restait encore ouvert jusqu’aux der- niéres années On disposait seulement d’un résultat de J M G Fell (en 1962) sur

la structure de la C*-algébre du groupe SL(2,C) et puis de quelques résultats analogues sur les groupes SL(2, R), Spin(4,1) etc

En 1972, L G Brown, R G Douglas et P A Fillmore [2] ont construit

une théorie intéressante du K-foncteur homologique sur l’ensemble des classes d’équivalence des extensions (des suites exactes courtes) de C*-algébres D N Ziep

{14] a donné une application de cette théorie au probléme ci-dessus L’idée est de chercher les invariants topologiques dans la K-théorie homologique

Cette idée fut depuis développée par J Rosenberg [10] dans des cas analogues Puis, en 1979, G G Kasparov [7], [8] a généralisé le K-foncteur homologique,

ce qui a permis a lui et 4 J Rosenberg [11], de décrire les C*-algébres d’une classe

de groupes plus large

On voit qu’une C*-algébre peut étre décrite a aide d’un K-foncteur con- venable dans les cas ott le dual du groupe a une structure topologique “assez simple’’

La méthode des K-orbites nous donne des classes de tels groupes de Lie Plus pré- cisément, D N Ziep propose de chercher des algébres de Lie réelles résolubles ayant la propriété MD (resp MD): Toutes les K-orbites (voir, par exemple, [9]) sont de dimension nulle ou maximale (resp ou égale a la dimension de 'algèbre

de Lie considérée)

Dans le présent travail, nous chercherons a déterminer toutes les algébres de Lie ayant la propriété MD (§ 1) et nous décrirons les C*-algébres des groupes de Lie connexes et simplement connexes correspondants (§ 3) Puis nous donnerons une condition nécessaire pour avoir la propriété MD et un exemple non trivial (§ 4) Les résultats de §1, §3 appartiennent 4 H H Viet

Les résultats de § 4 appartiennent 4 V M Son

Les auteurs remercient D N Ziep pour son aide et ses encouragements

1 CLASSIFICATION DES ALGEBRES DE LIE DE TYPE MD

Dans ce paragraphe, nous démontrerons que toutes les algébres de Lie réelles résolubles de classe MD sont les algébres de Lie commutatives ou les algébres de Lie affines

Soient G un groupe de Lie réel résoluble connexe de dimension x, g l’algébre

de Lie de G ayant la propriété MD, g* l’espace dual de g Pour tout élément F

de g* nous désignerons par Q, la K-orbite contenant F, par G; le stabilisateur de F

et par gy l'algébre de Lie de G, On sait que l’algébre g, coincide avec le noyau

de la forme bilinéaire B, sur g définie par la formule:

B,(X, Y) = <F, LX, ¥))

1.1 Proposition Supposons que Valgébre de Lie g soit de classe MD et Valgébre dérivée g) == [g, 9] ne soit pas nulle Alors:

| Pour tout élément Feg* induisant un élément non nul de (g1)* on a

dim Q, =n

2 g} est une sous-algébre de Lie commutative

Preuve 1 Soit Feg* comme ci-dessus Si dimQ,;4n alors dimQ, =: 0, dimQ, == dimG — dimQ, =n, donc g; =g Autrement dit Ker B,; = g Alors

<F,[g, s> =0

CF, g'> == 0

C'est impossible d’aprés V’hypothése

2 Soit q?: + [q!, gt] Alors g? est un idéal de g et dimg? < dimg! HI existe donc Fe g* tel que Fig! 40 et Fig? = 0 Alors

dim 2, = n

dimG, = dimG — dim 9Ø; = 0

Donc

Or == 0

Remarquons que 9? ¢ gy parce que

Fi Ig", sD < CF 9?) = 0.

Alors 9? = 0, done g! est commutative

1.2 Dans Ja suite nous considérons seulement le cas ot g!40 parce que si

g' = 0, g est commutative et toute K-orbite est alors de dimension zéro

LEMME (critére MD) L’algébre de Lie g satisfait a la condition MD si, et seulement si, pour tout élément non nul X de g, on a

[X, 3] = g'

Preuve Supposons que g satisfasse & MD Alors si Feg*, F lg #0 ona dimQ, =n Waprés 2.1 Done gp = 0 et Ker Bp = 0

Supposons maintenant qu’il existe un élément non nul X¥ <q tel que [X, g]#g1 Alors il existe F eg*, Flg'40 tel que <F, [X, g]> = 0 Ceci est impossible puisque: Ker B; = 0

Réciproquement, supposons que [X, g] = g' pour tout X non nul Si Fe g*, F\g' = 0 alors on a

Ker By = g

Donec gp = g dot dimG, =n et dimQ, = 0

Si Feg*, Flg'A40, alors ona Ker B,; =0 parce que [X, g] = g' pour tout:

X non nul,

Comme ci-dessus on a dimQ,; =n

1.3 Nous désignerons par ad} la restriction de lopérateur ady a g}

Lemme Si l’algébre de Lie g satisfait @ la condition MD, les opérateurs ad commutent entre eux

Preuve Prenons arbitrairement Y et Y’ dans g On a

LY,[Y, X]] + I[X, [Y YT] + [Y, IY, Y]= 0

Comme g! est commutative, pour tout Xegl

[X, [Y, Y']] = 0

Donc

Donc

1 1 1 1 ady ady: = ađy: ady.

1.4 THEOREME 1 Toute algébre de Lie réelle résoluble satisfaisant a la

condition MD est isomorphe a une des algébres suivantes:

1 Une algébre de Lie commutative

2 Lalgébre de Lie affine réelle

3 Lalgébre de Lie affine complexe

Preuve 1°¢ étape La dimension de g} est égale 4 1 ou 2

Considérons la représentation ad! de g dans l’espace g! Le critére MD dit exactement que cette représentation est irréductible De plus, les opérateurs adj (pour Y eg) commutent entre eux I] en résulte de maniére classique qu’il y a une droite complexe D de gi, = g! @, C, stable par tous les opérateurs ad}

Si D est égale 4 son imaginaire conjuguée D, on a D= 0 @gC ó 0cg

est de dimension | stable par les ad}; si D#D, ona D@ D =0@_ạC ó 0C gi

est de dimension 2 stable par les ad}

En raison de Virréductibilité, on a Ø = g! dans les deux cas

REMARQUE l IÍ faut noter que siÌ existe un espace de dimension 1

stable par les ad}, alors dimg! = 1

REMARQUE 2 Si [Z,, g'] = [Z2, 97] == 0, Z,, Z.€g, alors

[Z,, Za] == 0

En effet, d’aprés Videntité de Jacobi,

[Z:: 22] 71+ [Z: T1 Z1 + [7: Z1 Z] = 0 V7eg

Donc [[Z¡, Z2], T] = 0 parce que [Z,, T] ¢ g! En raison du critére MD, [Z;, Z:] == 0

2eme étape

1 Soit dimg! = 1

Considérons lopérateur ady:g—g! ot Xe q's X#0 D’aprés le critére

MD, ad, est surjectif Il existe donc un élément Y de g tel que

adyY¥=—X i.e [Y,X]=-X

Nous montrerons que Kerady = gi

D’aprés la remarque 2, Kerady est commutatif Si Ker ad,g}, alors il existe ¥,e Kerady, tel que Y, ¢ gt Comme [Y¡, Y] e g' on a[Y\, Y] == 4X ob scR

Il est facile de vérifier que [Y; + 4X, 9] = 0 D’aprés le critére MD, Y, + 4X :~0

ce qui est contraire a Phypothése

Donc {X, Y} est une base de g avec [Y, X] = X.

Autrement dit, g est l’algébre de Lie affine réelle

2 Soit dimg* = 2

Supposons que g=gt@ L avec dimL > 2

Considérons lopérateur ady: Lg}, ot Xeg! est non nul Comme

dim Z > dimg},il existe Ye Z, YO tel que adyY==0 Nous montrerons que [Y, g'] = 0

En effet si [Y, 91] 0, alors Kerad} = RX Puisque les ad} commutent entre

eux, RY est stable par tous les ad}, Teg D’aprés la remarque 1, dimg!=1 ce

qui est impossible

Donc [Y, g1] = 0

En appliquant ce raisonnement plusieurs fois on déduit que L=L,@L,

ot dimZ, = 2 et [Z, g'] = 0 D’aprés la remarque 2, L, est une sous-algébre com-

mutative Si L,40 alors dim L, > 2 parce que toute K-orbite est de dimension

paire, donc n est paire

Considérons l’opérateur surjectif:

ady: g > g' ady: g! @ L, @ L, > gi

Si Yeg' @L, alors [Y, gt! @ L,] =0 Donc l’opérateur ady: L, > g! est

surjectif, V Ye g' ® L,\{0} Mais dim LZ, = dimg' = 2, done ady e Hom(J), g1)

On a ainsi une application linéaire

g' ® L, + Hom(Z,, 9’)

De plus, cette application transforme tout Y#0 en un isomorphisme, et en parti- culaire est injective

Il est facile de voir que ceci est impossible Donc L, =0, g=g' @L ot dim g! = dimZ = 2

Soit {Xị, Xp} une base de g' Comme ad: L -> g' est surjectif, il existe Y, de

+ tel que [Yị, X;] = %, ie ady rn XxX, Si RX, = Ker(ady —1), alors RX, serait stable pour les opérateurs ady, Teg, dot dimg! == 1 d?après la remarque 1

ce qui est impossible On en déduit que ad, == Id

1

Considérons maintenant lopérateur surjectif

ady : g —> g1

On a dim Ker ady, = 2, donc il existe Y} tel que [¥,, Y3] = 0 et que {¥%, Y3,

X,, X2} soit une base de g

6 — 1511

Comme adj, = Id, adj, ne peut pas avoir des vecteurs propres en raison du

critére MD En changeant la base de g}, on a

q —

] ou a,be R, 640

b a

0 Done {X,, Xz, fị, Y;} est une base de g avec les crochets de Lie suivants:

Pour Y, == Ws —aY,), on aad}, =: (; ¬}

° 1

[Xu X%)==0 [Y¡, Y;]—=0

(% Xi] =Xịi Ưu =3:

[Wz, Xjl=⁄¿ [Y;¿ 1;]= —X

Cest lalgèbre de Lie affine complexe

2 RAPPELS SUR LES K-GROUPES

2.1 GROUPE DE KASPAROV EXT(A, B) ({7], [8]) Considérons les extensions: des C*-algébres de la forme

ou X est Valgébre des opérateurs compacts d’un espace hilbertien

Une extension est dite scindée s'il existe un homomorphisme-section A — E L’extension (1) est déterminée d’une maniére unique par un homomorphisme

gp: A> O(B@X) ot Ø(B @ Z2) = M(B @ ⁄)/B @ Z

Deux extensions @,, @2 sont dites unitairement équivalentes s’il existe un opérateur unitaire ve M(B ®#) tel que VaeA, ¢,(a) = ug,(aju-

L’addition g, + @ est déterminée de maniére suivante:

O1 + G:A> OBQH) © WBQX)—> Ø(B @Z)

ou Phomomorphisme @ est déduit de® > &

L’ensemble des classes d’équivalence unitaire d'extensions scindées est un sous-semigroupe du semigroupe des classes de toutes les extensions D’aprés

G G Kasparov, nous désignons le quotient par Ext(d, 8) Alors deux exten- sions ~, 2 appartiennent a une ‘méme classe de Ext(A, B) si, et seulement si, elles sont stablement équivalentes, i e s'il existe des extensions scindées 6,, d telles que

@, + 6, et Py + dg soient unitairement équivalentes

Si A est nucléaire et B posséde une unité approchée dénombrable, Ext(A, B) est un groupe

2.2 K-GROUPE K„(4) Soit A une C*-algébre a élément unité Par définition, K,(A) est le groupe de Grothéndieck du semigroupe des classes d’équivalence des A-modules projectifs de type fini

Quand A n’a pas élément unité, on définit

K,(A) = Ker(Ko(A*) > Ko(C) = Z)

oti A* est déduite de A par l’adjointion d’un élément unité

Pour A=C(X) avec X¥ compact, on peut identifier K)(A) avec le groupe topologique K(X) (cf [6])

On définit les groupes K,(A) de maniére suivante

K,(A) = K,(A @ C,(R”)), Wn > 0

Le théoréme de périodicité de Bott affirme que K,(A) et K,(A) sont isomor- phes On a le théoréme suivant

THEOREME (cf [3], [8]) Pour chaque groupe de Lie résoluble connexe et simple- ment connexe G

[2 si dim G est paire

K,(C*(G)) =

Ìo si dimG est impaire

0 si dimG est paire K,\(C*(G)) =

Z si dimG est impaire

2.3 RELATION ENTRE LES GROUPES EXT ET K,, Chaque extension (1) induit une suite exacte cyclique de K-groupes:

Ky(E) —> K,(A)

đo

⁄

K,(4) —— K,(£) (On identifie les groupes K.(B) et K,(B @ %).)

Chaque élément de Ext(4, B) induit donc une paire d’homomorphismes (59, 6,) et on a ainsi un homomorphisme

y: Ext(A, B) > Hom(K,(A), K,(B)) © Hom(K,(A), Ko(B)).

THEOREME (cf [12]) Soient A et B des C*-algébres séparables et soit A une

imite inductive des C*-algébres de type 1 On a la suite exacte naturelle suivante:

0 + Ext(K (4), K)(B)) ® Ext(K,(4), K,(B)) >

> Ext(4, B) > Hom(K,(A), K,(B)) ® Hom(K,(A), Kạ(B)) > 0

3 DESCRIPTION DES C*-ALGEBRES DE GROUPES DE LIE

Dans ce paragraphe nous décrirons les C*-algébres des groupes de Lie dont

les algébres de Lie sont de classe MD

3.1 GROUPE DES TRANSFORMATIONS AFFINES DE LA DROITE REELLE

Soit

AMR = {(a,b), a,b€R, aX0}

avec le produit (a, b) (a’, b') = (aa’, b + ab’)

THEOREME (cf [14], [15]}) On a@ la suite exacte courte des C*-algébres suivantes:

0> ¬ C*(ATR) ¬ Cạ(RU R) — 0

La C*-algébre C*(AffR) correspond a l’élément Index C*(AffR) -= (1,1) dan le groupe

Ext(C,(RU R),C) = Ext(tv SN) = Z@Z

3.2 GROUPE DES TRANSFORMATIONS AFFINES DE LA DROITE COMPLEXE

Soit

AffC = {(z,@); z, ae C, #0}

avec le produit

(Z, @) (z”, 0) = (Zz, @ + za’)

THEOREME (cf [10]) On a la suite exacte courte des C*-algèbres

+œ \

03 £ > C*(AffC) > S{ LJ Ri] > 0

iz:.-00

La C*-algébre C*(AffC) correspond a élément

Index C*(AffC) =: (1, I, .)

dans le groupe

Ext(a Ũ Ri}, c)>=x( Vv si)= Z@Ze

í=—cœ

3.3 GROUPE SIMPLEMENT CONNEXE DES TRANSFORMATIONS AFFINES DE LA DROITE RÉELLE

Soit

—

AffR = {(a, b); a, be R}

Le produit est donné par la formule:

(a, b) (a’, b') = (a+ a’, b+ eb’)

THEOREME (cf [10]) On a la suite exacte courte des C*-algébres suivantes

0+ % > C*(AMR) > C,(R) = 0

Cette suite exacte correspond a l’élément Index C*(AffR) = 1 dans le groupe

Ext(C,(R), C) & Ext(S4) & Z

3.4 GROUPE SIMPLEMENT CONNEXE DES TRANSFORMATIONS AFFINES DE LA DROITE COMPLEXE

Soit

—

AfC = {Œ,œ); z,(œc C}

avec le produit (2, w)(z’, ow’) = (z+ 2’, wo + eo’)

a

Proposition Le dual du groupe AffC (l’espace des représentations unitaires

———_—_

irréductibles de AffC) se compose de deux sous-ensembles suivants:

1 Le sous-ensemble fermé X, des représentations unitaires de dimension Ì

U, (Ae R®) qui est homéomorphe a R?

2 Le sous-ensemble ouvert X_ des représentations unitaires irréductibles de dimension infinie T, (a € S1) qui est homéomorphe a S1,

Preuve Il est clair que N= {(0, w), ae C} est un sous-groupe invariant commutatif avec le dual N =C

mee

Le groupe AffC opére sur N par la formule

Pi atl

sớ,) = Xaez ob g=(z, @) <A£C, XE N

Donc dans l’espace dual WN, il y a deux orbites {0} et C\{O} Les représentations

unitaires de dimension 1, U,, correspondant 4 l’orbite {0} sont les prolongements de

la représentation triviale du sous-groupe invariant NV:

U,(z, w) = eRe24, (z,@)e APC, AEC + R.

D’aprés ([4], 3.6.3) ensemble X, de ces représentations est fermé dans le dual de AffC On vérifie facilement X, = R°

Prenons maintenant 7%, dans l’orbite C\ {0} Le stabilisateur Gz, est l’ensembie

{(i2an, h), ne R, he C}

_

Les représentations unitaires irréductibles de dimension infinie de AffC sont induites par les représentations S de Gy, telles que S|N ~ x, Doncelles sont induites par les représentations S,,

S,(G22n, h) =: exp(iReh 2nna) oll we S3

Désignons ces représentations par T,, «¢ S' L’ensemble X, des 7,, x S}, est

mnt

ouvert dans le dual de AffC parce que X, est fermé De plus comme Gy, est un

_—

sous-groupe invariant de Aff C, X, est homéomorphe a S' d’aprés ([5], Theorem 4.4) THEOREME 2 On a la suite exacte courte suivante

(2) 0 > C(S1) @ # > C*(AfEC) > C,(R*) - 0

Preuve D’aprés ([4], 18.1) le dual de AffC et le spectre de C*(AffC) sont identiques

Conservons Jes notations de la proposition ci-dessus

Posons J == (_} Kerz Comme Xj est fermé, J est un idéal bilatére fermé avec

„eX 1

le spectre iz X,2 S' Donec daprés ((4], 10.5.4) on a Fe C(S', #) Or

C(S!, #) = C(S*) @ & (voir par exemple [I3], d'ó on a 7 C(S) @

Considérons maintenant la sous-C*-algébre quotient C*(AffC)/Z Son spectre

X, est homéomorphe a R* Pour tous g, yw e C* (AffC), U,eX1, ona

U¿( + — ÿ* @) = UL 9)UAP) — U;(W)U,(@) = 0

Donc

gx=p—wWweoel

@ + = Ứ*@ (mod J)

a

Donc C*(AffC)/T est commutative d’ot on a

C*(ARC)JT > C((C°(Af#CJD^) <Œ¿(R®,.