Báo cáo toán học: "Sur les representations et ideaux de la C*-algebre d''''un feuilletage " pdf

Nous montrons ici qu’éa toute représentation de C*V,# correspond un couple A, U ot A est une mesure transverse et U une représentation du groupoide @holonomie Théoréme 4.2.. Au sixième p

J OPERATOR THEORY 8(1982), 95 129 © Copyright by INCREST, 1982 i

SUR LES REPRESENTATIONS ET IDEAUX

DE LA C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE

T FACK et G SKANDALIS

INTRODUCTION

Soit (V, #) une variété feuilletée Dans [1], A Connes lui associe une C*-algébre C*(V, #) Cette algébre joue le rôle des fonctions continues sur l’espace compact

singulier X des feuilles de # Jl est naturel d’espérer lire certaines propriétés de

Pespace X sur C*(V, #) Nous montrons que:

1°) C*(V, #) est simple si et seulement si ¥ est muni de la topologie grossiére,

i.e si le feuilletage est minimal (Théoréme 2.6)

2°) C*(V, F) est primitive si et seulement si X a un point dense, i.e si le feuilletage est transitif (Proposition 2.8)

3°) Dans le cas moyennable, C*(V, #) a une représentation d’image les opé- rateurs compacts si et seulement si X a un point fermé, i-e si le feuilletage a une feuille

compacte

Les représentations de l’algébre des fonctions continues sur un espace compact

X correspondent a la donnée d’une mesure sur X et d’un espace de Hilbert aléatoire (de base X)

A Connes introduit dans [1] les notions analogues pour l’espace des feuilles d’un feuilletage Ce sont celles de mesure transverse et de représentation du grou- poide d’holonomie

Nous montrons ici qu’éa toute représentation de C*(V,#) correspond un couple (A, U) ot A est une mesure transverse et U une représentation du groupoide

@holonomie (Théoréme 4.2)

Dans le cas de feuilletages provenant d'une action de groupe de Lie sur une variété, les articles de Sauvageot [12] et Gootman-Rosenberg [6] donnent une description satisfaisante de l’espace des idéaux primitifs Nous généralisons leurs méthodes et leurs résultats au cadre des feuilletages (Propositions 7.3 et 7.6) L’organisation de cet article est la suivante:

Au premier paragraphe, nous fixons les notations et établissons quelques

résultats préliminaires.

Le quatriéme paragraphe établit la correspondance entre les représentations

de C*(V, #) et les couples (A, U)

Au cinquiéme paragraphe, nous étudions quelques propriétés élémentaires

đe Ïinduction

Au sixième paragraphe, nous associons à une représentation factorielle z

de C*(V, #) un idéal primitif induit dont nous prouvons au paragraphe sept qu'il

contient le noyau de z et lui est égal pour # moyennable

Nous remercions M Alain Connes qui nous a suggéré ce probléme et fait bénéficier de judicieuses remarques

1 PRELIMINAIRES

Nous reprenons essentiellement les notations de A Connes [], § 7]

Soit (V, #) une variété feuilletée compacte de classe C™ Notons pla dimension

et q la codimension de ce feuilletage Pour xe V, soit 7, la feuille passant par x Notons # le graphe de la relation d’équivalence sur V correspondant 4 la partition

en feuilles

Soit G le groupoide d’holonomie (ou graphe) du feuilletage On notera G®) -=: V l’ensemble de ses unités et G® l’ensemble des paires d’éléments composables Soient ret sles applications but et source de G dans G) = V On identifiera V4 une partie

U x {t}, pour te T sont appelés plaques de Q On notera G(Q) le groupoide de la

restriction du feuilletage 4 Q; c’est un sous-groupoide de G qui s’écrit en coordonnées locales

G(@) = U x U x T

Deux systémes de coordonnées locales Q= x 7 et Q’=U'x T dans

V sont dits compatibles si, en désignant par d (resp d’) l’application d(u, t):- t

(resp d‘(u’, t’) = 1’), il existe pour tout xe Q et tout pe Q’ tels que d(x) «= d’()),

un élément y € G tel que h(y)d, = d, (ott h(y) est le transport d*holonomie des germes

d’applications distinguées au sens de [1] en x = s(y) dans les germes d’applications

C*-ALGEBRE D'UN FEUILLETAGE 97 distinguées en y == r(y)) Posons alors

W(d', d) == {ye G | s(y) €Q, ry) €Q! et h(V) dey) = diay}

En coordonnées locales, on a W(d', d) = U' x U x T Les W(d, d'’) constituent un atlas de G munissant G d’une structure de variété feuilletée (G, v) La topologie de

G n’est pas toujours séparée; pour plus de simplicité, nous supposerons dans la suite que cette topologie est séparée, mais en indiquant dans quelles parties cette hypothése est cruciale

1.1 PROPOSITION Pour tout recouvrement de V par des ouverts trivialisants,

il existe un recouvrement plus fin par des ouverts trivialisants (Q,, .,2,) tel que l'on ait pour tous i,j tels queQ,0Q; 4 @:

i) i existe un ouvert trivialisant Q tel que QA, 9, c 9,

ii) toute plaque de Q, rencontre au plus une plaque de Q,

Preuve Soit (W;) un recouvrement de V par des ouverts trivialisants Soit

eø > 0 le nombre de Lebesgue de ce recouvrement pour une métrique sur V

i) il suffit de prendre des Q; de diamétre < 2/2

ii) résulte du Lemme p 103 de [10] (cf aussi [9], p 337)

1.2 DEFINITION Un recouvrement de V par des ouverts trivialisants (Q,, ,Q,)

vérifiant les conditions i) et ii) dela Proposition 1.1 sera dit régulier

1.3 PROPOSITION G est une réunion dénombrable d’ouverts dela forme W(d, a’);

il est donc & base dénombrable

Preuve Soit (Q,, .,2,) wn recouvrement régulier de V Pour toute suite fime (j, .,7,) đ'indices, G(Q;,)G(Q;,) Ớ(, ) est soit vide, soit un ouvert de la forme W(d, d') que nous noterons alors W(j,, ., jf) Les Wj, «5 /p) Tecouvrent

Munissons #@ de la topologie image de celle de G par l’application (r,s)

logie de W(d, a’) est donnée par r et s: Soit alors (W,) un recouvrement de G et

1.5 REMARQUE Soit (Q), ,2,) un recouvrement régulier de V par des

ouverts trivialisants Si (Wen est un recouvrement de G tel que

W, us G(Q,), H, == G(Q,),

on a dans la démonstration de 1.4:

v yeG(Q;), y(r(y)), sy) =

Soit « une section continue, strictement positive en tout point, du fibré {A ¥ sur V (densités d’ordre 1 du fibré tangent au feuilletage) Pour toute feuille 7, nous noferons #Ý Ja mesure correspondante sur¢ et pour x € V, nous noterons «* au lieu

de x“s, Soit v »= s*(«) la fonction transverse sur G associée A x; pour xe GY ~- F,

v* est la mesure provenant de «* par le revêtement s : G*¥ >/„

Soit C (0) espace des fonctions continues 4 support compact sur G Notons que, pour fe C,(G), Papplication x e V > \ f(y) dv*(y) est continue, de sorte que est aussi un systéme de Haar (cf [11], p 22)

1.6 Notation On notera @ Valgébre involutive C,(G) pour les opérations

C*-ALGBEBRE D'UN FEUILLETAGE 99

Nous aurons aussi 4 considérer C*(G), la C*-algébre enveloppante de la com- plétion de Y pour la norme

Wl, = max(sup| f(y] dv*(y), sup\ fal ara)

La C*-algébre C*(V, #) est un quotient de C*(G)

1.7 REMARQUE Soit Q =: U xX T un ouvert trivialisant Avec des notations évidentes, on a (cf [1], Proposition 7.7):

* C(W(d', d‘) est total dans C,(W(d, d')) Or, on a, en coordonnées locales:

(fe flan", 0) = _ u’, tyfy(u', uw", 8) dat(u’)

et les applications de la forme (uw, u”’, t) > f(wg(u'i(t) sont effectivement obtenues

1.9 PROPOSITION i) C*(Q, F) admet une unité approchée dans FQ)

ii) pour tout recouvrement (Q,, ,9,) de V par des ouverts trivialisants, les algébres C*(V, F) et C*(G) admettent des unités approchées dans B(Q,) + woe + BQ,)

Preuve i) Immédiat

ii) On peut, quitte 4 raffiner, supposer que le recouvrement est régulicr Pour tout i, soit (w/) une unité approchée dans A(Q,) de C*(Q;, F) Soit (@y, ., Op) une partition de l’unité subordonnée au recouvrement (Q,, ., 2,) Posons:

pour tout ¡, on a supp((@; sr)5/) c G(Q,)- Wt(d, d)

Pour tout c> 0, il existe une somme ñnie v ites avec /*c 20),

kế

1

supp(?) c H(d, 4), gíe 2 et |(@,°r)°/—- 3) /®g?l¡ <e (Lemme 1.8) Alors: &

Wwaf—fl= Yen iule(gon?f (ens <

1

nhị \2 (da fhe of Kn ok)

` > ip or)” (upase * gp fF ears

eT) k=)

le second membre converge vers 0 (la norme est ici celle de C"(V, #), qui coincide

1.10 PROPOSITION Supposons que G soit séparé Soient Y a V et xeV Alors, R, est faiblement contenue dans {Ry\,ey si et seulement sixe (_} $

yeY

Prewe SixێZ- Us il existe fe @ telle que f(x) 40 et f(y): = 0 pour

¥

ye G%, Ona R,(f)40 et R,(f) = 0 pour tout ye Y

Réciproquement, supposons que xe Z Soit alors (z,) une suite d’éléments convergeant vers x avec Z, cấy }„€ Y Pour ƒe Z2 et GE CAG), ona:

lim(R (fe) = CRIED

car G est séparé La proposition résulte de la densité de (fx; fe C.(G)} dans

de C*(V, #) Ceci résultera du théoréme suivant

Dans ce paragraphe, G sera toujours supposé séparé

C*-ALGEBRE D'ƯN FEUILLETAGE 101

2.1 THÉORÈME Pour une représeniation involutive mœt de 2, continue pour la topologie limite inductive sur Y, il y a équivalence entre

1) x est injective;

ii) Pour tout ouvert trivialisant Q, x|Q(Q) est injective;

iii) Pour tout x € V tel que Gt = {x}, ona

Ini > IRANI Fe);

1V) |x(ƒ)| 2 Ifllew.%) (fe)

De ce théoréme, on déduit immédiatement

2.2 COROLLAIRE La norme de C*(V,F) est la plus petite C*-norme sur Q Dans [11], J N Renault montre que la norme donnée par C*(G) est la plus grande C*-norme sur Y On peut donc prendre dans le Théoréme 2.1 une repré-

sentation a de C*(G)

Notons que 9(Q) a une seule C*-norme

Preuve du Théoréme 2.1 Les implications iv) = i) = ii) sont immédiates

iii) => iv) découle du lemme suivant et de la Proposition 1.10

2.3 LEMME L’ensemble X des points x € V tels que Gz == {x} est un Gs dense

Preuve Soit W(d,,d,) un recouvrement dénombrable de G Pour tout x,

posons £, -= {x e dom(d,) N dom(d,)|d,(x) = di(x)} et F, = E, — E, X est le

complémentaire de la réunion des F,, qui sont rares Q.E.D Pour ii) > iii), nous aurons besoin des lemmes suivants:

Soient 2 == U x Tun ouvert trivialisant et x e Q avec GZ = {x} Ona:

2.4 L—eMME Soit K un compact de G Il existe un ouvert Q' saturé dans Q

étant relativement compact, on peut supposer que (y,) converge Sa limite appartient

a G% et est donc x Ceci est absurde car G(Q) est un voisinage de x Q.E.D Soit € e C(U,) ot Ứ, est la plaque de x dans 2 telle que

\ lš@)I*dz*() = 1

102 T FACK ect G SKANDALIS

Pf) = (RAPE ED (fe CAG)

Preuve Soit g un prolongement de w 4 C*(G) Soit (x4, H,, é,) la repré-

sentation GNS associée a ø Soit fe & Soit Q’ un ouvert saturé de Q contenant x

et tel que Gon supp(f) < G(Q) (Lemme 2.4) Soit 7’ == p(Q’) et identifions U & U, Tl existe une fonction ge C,(T’), g(p(x)) == 1 telle que Ja fonction Fe 4(Q'):

Fu, u’, t) == g(t)e(u) E(u’)

soit de norme | dans C*(Q, :¥) done dans C*(G)

On a ø(Ƒ): : @(F) = 1 dot

Tal Pep ~ cọ *

ef) = tol f)Eo cu) ae (to( F% f # tia ị cá =

= OF % f # F) == (RA Fe fe FES) Q.E.D Alors

Fin de la démonstration du Théoréme 2.1, Soit x une représentation de C*(G) dont la restriction 4 @(Q) soit fidéle pour tout Q Soit x ¢ V avec G¥ = {x} Soit

« comme dans le Lemme 2.5 La restriction de x 4 C*(Q, F) étant fidéle, m peut

étre considéré comme un état de n(C*(Q, #)) Soit @ un prolongement de w a

m(C*(G)) (cf [8], Proposition 3.1.6., p 43) Posons g = @on On a nm, > : (nx) on

Or, R, est irréductible et 7, est équivalente a R, Q.E.D 2.6 THÉOREME C?(W, #7) est simple si et seulement sỉ 2 est ninùnal

Preuve Sil existe une feuille “, non dense, la représentation R, nest pas fidéle (Proposition 1.10), et C*(V, #) nest pas simple

Supposons inversement que ¥ soit minimal Soit x une représentation de C*(V, #); montrons que sa restriction 4 C*(Q, ¥) est fidéle Le Théoréme 2.1 (Œ) = ¡v)) donnera le résultat

Pour tout ouvert trivialisant Q, il existe un ouvert Q, saturé dans Q tel que le noyau de 2'C*(Q, F) soit égal A C*(Q,, #) [(C*(Q, F) est isomorphe à Cạ(7) @ # đ?aprẻs [1], Proposition 7.7 a] Soit Y¥ l'ensemble des x € V tels qu’il existe un voi- sinage V, de x dans G pour lequel x(f) = 0 pour f continue a support dans V,,

C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE 103

X est ouvert et Q, XN Q;X est donc saturé dans tout ouvert trivialisant, donc

dans V Comme & est engendré par les 2(Q’), (ef Proposition 1.8), il existe un Q’ avec x|C*(Q’, #)40 Done X#V Par minimalité, YAO et 2|C*(Q,F) est

2.7 EXEMPLES

2.7.1 Solent V une variété compacte, @ un diféomorphisme đ°Ánosov dc

classe C® et ¥ le feuilletage stable correspondant Supposons que est transitif

# est alors minimal et C*(V, ¥#) est simple (Théoréme 2.6)

Soit « le difféomorphisme de classe C® de V x R défini par

a(x, t) = (eX), f 1),

ct soit W le quotient de V x R par laction de Z Le fibré TF & TR définit par

passage au quotient un feuilletage minimal sur W

Il y a de holonomie et les méthodes de Sauvageot, et Gootmann-Rosenberg sont inefficaces La C*-algébre associée est cependant simple

2.7.2 Soit [ le groupe fondamental d’une surface de Riemann M de genre

22 I agit sur le revétement universel de M, qui est le disque de Poincaré D Consi- dérons aussi [F comme sous-groupe dense de SU(2) et soit V = [\D x SU(2), muni du feuilletage ¥ par disques de Poincaré Cc feuilletage est minimal et C*(V, F) est simple Notons que, I n’étant pas moyennable, C*(G) n’est pas simple

Une autre propriété topologique des feuilletages peut se traduire sur C*(V, F) Rappelons qu'un feuilletage ¥ est (topologiquement) transitif s'il admet une feuilie dense ou, de fagon équivalente, si tout ouvert saturé non vide de V est dense 2.8 Proposition C*(V, F) est primitive si et seulement si F est transitif Preuve Si F est transitif, ’ensemble des x e V avec Z, dense est un Gs dense (c'est intersection des Ũ, ou U, est une base de la topologie de V et U, Je saturé

de U, dans V) D’aprés le Lemme 2.3, il existe x ¢ V tel que 7, soit dense et G% = {x}

D’aprés [1] (Proposition 7.5.b), R, est irréductible et d’aprés 1.10, elle est fidéle

Si F% n’est pas transitif, il existe deux ouverts saturés non vides disjoints U,, U, de V Pour fi, fo, g € G, supp(f;) < Gi ona /ñ*g*# = 0 Pour x repré- sentation irréductible, on a z(ƒ/¡) = 0 ou m(ƒ§) = 0 Q.E.D

3 MESURES QUASIL-INVARIANTES ET FEUILLETAGES

Nous étudions, en vue des paragraphes suivants, la notion de mesure quasi- invariante dans les feuilletages

3.1 Dérmirrons i) On dira qu’une mesure yp sur V est quasi-invariante

si te vet go v sont équivalentes (cf [11, Définition 1.3.2., p 30}).

104 T FACK et G SKANDALIS

ii) De plus, s'il existe un homomorphisme borélien 6 du groupoide G dans

R} tel que ð(# s v) = po v, on dira que pz est de module 5,

3.2.2 Solent ¿ et deux mesures équivalentes sur V On a:

i) ©st quasi-invariante sỉ et seulement sĩ ¿ Ï'est

ii) est de module 6 si et seulement si yx’ est de module 8’ ot ổ{2) =

= d(~A(r(y)A(s(y))71, avec A une détermination borélienne de 1 ate

ụ 3.2.3 Soient @ -= U x Tun ouvert trivialisant, et une mesure sur @ les

conditions suivantes sont équivalentes:

i) est quasi-invariante

it) Si wp = \B,dA@) est une désintégration de yu, alors Ø, est équivalente a la

T mesure de Lebesgue sur U, pour /4-presque tout f

11) Tl existe une fonction borélienne f sur Q, f(x) > 0 pour tout xe Q telle que pt’ = f~ 14 soit invariante, i.e vérifie yw’ 6 v <= pl’ e V,

La condition (iii) montre que y¢ admet pour module (f or)(f es)73

3.3 PROPOSITION Soit yo une mesure sur V Les conditions suivantes sont équivalentes :

i) Jl existe un homomorphisme borélien 6: G + R* tel que p soit de module 8; ii) La mesure wt est quasi-invariante ;

ili) Il existe un recouvrement rếgulier (O\, ., Q„) avee HỊQ, quasi-invariante pour tout i

Preuve i) = ii) = iii) est immédiat

Soient 2 une mesure sur V et (Q,, ., Q,) un recouvrement régulier tel que feQ,; soit quasi-invariante La démonstration de iii) = i) repose sur les lemmes suivants:

3.4 LEMME Soient Q un ouvert de V, et N un borélien p-négligeable, saturé dans Q Alors, le saturé N de N dans V est un borélien p-négligeable

C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE 105

Preuve Soit J Yensemble des suites finies 7 = (7,, ., 7,) d’entiers inférieurs

Il en résulte que N est borélien Montrons que N, est négligeable Pour

T= (iy ey ty) Ot Lo = (iy ey ies tear), On a:

Nự = s(G”! n G3, ))

Comme N, est saturé dans 2, , il suffit (par récurrence) de prouver que N,, est

p-négligeable, pour i= 1,2, ., Or, GY NG(Q,) est wo v négligeable, et donc

jee v négligcable Or, pour x € My, (GX N G(Q,))~1 n’est pas v*-négligeable Q.E.D

Pour j= 1,2, .,m, soit w; une mesure équivalente 4 |, et invariante dans 2; (cf Remarque 3.2.3 iii)) Soit (g;) une partition de Punité subordonnée aux Q,

106 ‘ T FACK et G SKANDALIS: Cette définition ne-dépend pas de i, ef-on a:

OC )O(Pe) == O72) pour 71, 72 © G(Q;)

3.6 Lumme ff existe un borélien saturé négligeable N tel que, pour tout X€N et toute suite finie (yy,° , Vy) avec 4, € G(Q;,) CE TH )gìm Ấy ÔN Git O(y,) O(9,) == 1

’ Preuve.* Pour toute suite finie J = (4, .,%) avec ipo i, et Me CƠN 2y avec 7 € G(Q;,) posons 0,(7): = 601) 0(y,) Ceci est indépendant de la

décomposition y -= y, y,, 6 étant un homomorphisme sur G(Q.)

L’ensemble G(Q;).- G(Q;,) est ouvert et invariant 4 gauche et a droite par G(Q;): il existe donc un ouvert saturé Q dans nh tel que G(Q;) 1 GQ, 1 (2; )-

:= G(Q)

Posons A, := {yceG(Ø)[ð,()#ðG@9)} L’ensemble A, cst borélien, invariant

a gauche et a droite par G(Q); il existe done un borélien saturé N, dans Q tel que

A, -= GIN GQ)

Pour f= fietfree #f,, fe BQ) et fre AQ; ), on a:

Vuid org) = ụ (y~!)ô(y~1) dụ, e v(y) == ụ £ # /,Œ) dự e VỆ) =

= 0798/79 dy’ o v(y)

et donc (Lemme 1.8) N, est négligeable On prend N = Ly Q.E.D

7

Fin de la démonstration de la Proposition 3.2 Posons

Š(y) == 0(y,) O(,) SỈ y =7 y @ŒN

Alors, 6 est clairement borélien et d’aprés [1, Proposition 7.12], il existe une mesure

transverse localement finie A de module o telle que yp’ == A,

3.7 REMARQUE La mesure transverse A étant supposée construite, le Lemme 3.4 résulte alors de [1, Proposition 2.8.b]

Le lemme suivant nous sera utile au § 7:

3.8 LEMME Soit A une mesure transverse de module 6 Alors, il existe un homomorphisme borélien 6’ tel que:

i) ð() = | pour r) == 5);

ii) A est de module 6’.

C*-ALGEBRE D'UN FEUILLETAGE 107

Preuve ii) ờquivaut a Texistence d’un borờlien saturờ A-nờgligeable N avec O(y):= 6'(p) si rly) ờN L’ensemble N= {xe Vj 6|Gơ41} est clairement borờlicn Comme 6 est un homomorphisme, N est saturờ Pour Q ouvert trivialisant, soit

8:={ycŒ130(y) e GQ) avec r(p(y)) = r(y) et s(@()) = s0}

B est borờlien dans G

Posons fe-: A, Soit f une fonction borờlienne bornờe & support compact sur G On a:

V0) dito v(y) = S; /ựy)du s v0)

ct done

On en conclut que d(y) = d(p(y)) pour jpev-presque tout y de B Soit

B's 2 {ye Bl d(y) 44(p(y))} B’ est po v-nờgligeable et invariant a gauche et a droite

par G(Q) Donc, pour x dans r(B’), B’ West pas v*-nờgligeable et r(B’) est alors v-nờgligeable Comme r(B’) = NQQ, N est nờgligeable Il suffit de modifier 6

4 DESINTEGRATION D’UNE REPRESENTATION

La dờsintờgration d’une reprờsentation de C*(G), et donc de C*(V, F) a

dờja ờtờ obtenue par P Hahn [7] et J.N Renault [11], Thờorờme 1.21, p 65 et Lemme p 69] dans le cadre gờnờral des groupoides localement compacts, moyennant

de faibles hypothờses

Cependant, dans le cadre du graphe d’un feuilletage, cette dờsintờgration se fait non seulement ờlờmentairement mais aussi rờguliđờrement (cf Thờorờme 4.2 ci-dessous) en utilisant la structure locale du groupoide d’holonomie

4.1 DEFINITION (cf [1, Dờfinition 4.1]; comparer avec [11, Dờfinition 2.1.6.,

p 52] Nous appellerons reprờsentation borờlienne de G un couple (H, U) ot H est un champ borờlien (de base V) d’espaces de Hilbert ect U un champ borờlien dđunitaires ĩ(y) : Hy > Huy vờriiant

U()U(y) = U(yy)_ pour tout (7, ype G

Le but de ce paragraphe est d’ờtablir le rờsultat suivant:

4.2 THEOREME Soit x une reprờsentation non dờgờnờrờe de C*(G) dans un espace de Hilbert # Alors, il existe une mesure transverse A de module 6 et une

Examinons tout d’abord la situation locale Soient Q =: U x T un ouvert

trivialisant et x une représentation de C*(2, #) d’espace essentiel %

4.3 PROPOSITION, i) II existe une mesure 4 sur T et un champ borélicn (Her despaces de Hilbert tels que, en posant pt = N dA(t), da représentation i est équi-

et de la décomposition des représentations des C*-algébres commutatives Q.E.D

On se fixe dans la suite une représentation non dégénérée 2 de C“(G)

Soient @ˆ°:+ U'xX T' « Q:= UXT deux ouverts trivialisants de V Notons zy

et 1g les restrictions de 2 4 C*(Q, #) et C*(Q’, F), Vespaces essentiels Hy et Hr

Linclusion Q' < Q détermine une application (localement un homéomor-

phisme) g : T’ > T par la relation U’ x {t} ¢ Ux{g(n)}}

La Proposition 4.3 donne des désintégrations (A, H, tp, Wp)et(’, H's ta, Woe),

ot Wy (resp Wg’) est un unitaire qui entrelace zp et Hp (resp Ty et Za) On a:

C*-ALGEBRE D'UN FEUILLETAGE 109

@

Preuve Hg est Pespace essentiel de zy et \ AY, duu, f) est celui de Rarcona',¢):

La i) en découle

ii) et iii) expriment Tunicité (4.3, ii)) en considérant les décompositions

Dans tout ce qui suit, on se fixe:

1) un recouvrement régulier de V par des ouverts trivialisants (Définition 1.2)

Q,, 22, .,8,,

2) une représentation non dégénérée x de C*(G) dans un espace de Hilbert

de restriction z, a C*(Q;, #) d’espace essentiel # ;,

3) des décompositions (A;, H;, W,;, 7,) de x; données par la Proposition 4.3

4.5 COROLLAIRE Soient Q;,;=Q;NQ; et Wi; = W,MW” : W,,nZ,) >

iii) |@Q;; ef 14'Q;; son équivalentes,

iv) i existe un champ borélien (V;j(X))xe 24; d’opérateurs jt;-presque partout unitaires V;(x) : Aj, rand Fit, Gù x = (H¡, tị) = (H;, f;), teÌs que:

6 telle que p= A,

Pour x € V, soit j(x) le plus petit entier j tel que x € Q; Posons H, = Ayx) 1 six >: (u, t) dans Q,,) Pour x € V et j tels que x € Q,, on pose

V(x) = Vj, jy) (avec Vigan) = 1).

(WE |WE) =O = (#6) sĩ @,nQ, = Ø (Corollaire 4.5 i))

5i @,n@,#Ø, soit @ un ouvert trivialisant contenant @,U @,, et H2 Punitaire

i) si xEQ,NQ,, alors V; (x) est unitaire,

ii) st x€Q;NQ,NQ, alors V, (x)V;, (x) = Vy, (3)

Preuve Pour tout i,j, soit N;,; l’ensemble des xe Q,NQ; tels que E; ;(x)

ne soit pas unitaire C’est un borélien saturé p-négligeable dans 9; 2; (cf Corollaire 4.5, iv) a)) Soit N, ¡,¡ son saturé dans V Pour i,j,k, ona:

W,W?\W,(; n2; nZ,) = W,W?W,W}|W( ; n2; n ;)

C*-ALGÈBRE D'UN FEUILLETAGE 111

(Wn SWE) = \ £80 FUE nO) pour fe 2(2)

4.8 Lemme J! existe un borélien saturé A-conégligeable X, < X tel que, pour tout x € X, et toute suite finie (y,, ., y,) avec 7; € G(Q;,) et yy =X,

on ait:

O(y,)U(y_) Uy) = 1

Preuve Pour toute suite finie J = (i4, ,7,) avec ij =i, et p= Yr Vy

avec y;€ G(Q;,), posons U,(y) = U(y,) U(y,) Ceci est indépendant de la

décomposition y =: y, y,, U étant un homomorphisme sur G(Q;) N G*

L’ensemble G(Q;) G(Q,,) est ouvert et invariant a gauche et a droite par G(Q; ); il existe donc un ouvert saturé Q dans Q: tel que G(Q;) -G(Q;,) n G(Q;) =

=: G(Q)

Pour f=f,*fpx #f,, fe FQ) et fre B(Q,) ona:

(Wal fW*O), = \/60ã0)-7 Uld)E gy d*(9) -

et

1

(Wal fy") Walt) ele = \7 (SQ)? UME sy AV")

pour €¢ \" FT, dui(x) Et le lemme se démontre comme le Lemme 3.6 Q.E.D,

>

4.9 Fin de la démonstration de 4.2 Pour x é Ấy posons H, ==.0 Pour ÿ e Gro

il existe py, -.-5 Yes VE G(Q;,) tels que y =?;¡ y; Posons U(y) = U(y,) U(y,) Le champ U est clairement borélien La représentation a et la représen- tation (A, U) coincident sur Q(Q;) et donc sur tout @ (Lemme 1.8) Q.E.D