OPERATOR THEORY 51981, 171-194 © Copyright by INCREST, 1981 : SUR DEUX RÉSULTATS DANALYSE HARMONIQUE NON-COMMUTATIVE: UNE APPLICATION DE LA THÉORIE DES ALGEBRES DE KAC JEAN DE CANNIER
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SUR DEUX RÉSULTATS DANALYSE HARMONIQUE NON-COMMUTATIVE: UNE APPLICATION
DE LA THÉORIE DES ALGEBRES DE KAC
JEAN DE CANNIERE, MICHEL ENOCK, JEAN-MARIE SCHWARTZ
L’une des méthodes de l’analyse harmonique consiste 4 étudier certaines algé-
bres de Banach associées 4 un groupe localement compact G: M1(G) (algébre des
mesures bornées sur G), L1(G) (idéal de A4(G) formé des fonctions intégrables par
rapport a une mesure de Haar a gauche sur G), A(G) et B(G) (algébres de Fourier
et de Fourier-Stieltjes, introduites par P Eymard [5]) L’intérét de ces constructions apparait notamment 4 la lumiére des théorémes démontrés par J G Wendel [12] (resp B E Johnson [6], resp M E Walter [11] th 2, resp M E Walter [11]
th 3) énoncant que L1(G,) et L1(G,) (resp M+(G,) et M1(G,), resp B(G,) et B(G,), resp A(G,) et A(G,)) sont des algébres de Banach isgmétriquement isomorphes si
et seulement si les groupes localement compacts G, et G, sont topologiquement isomorphes
Rappelons d’autre part que les algébres de Kac forment une catégorie plus vaste que celle des groupes localement compacts, et mieux adaptée qu'elle a la théorie de la dualité non commutative Il apparait en effet qu’un nombre crois- sant de théorémes d’analyse harmonique restent vrais dans ce cadre plus général
De plus, des théorémes distincts démontrés avec des techniques différentes se révé-
lent désormais étre des corollaires d’un unique résultat, ce qui en permet une meil- leure compréhension
Ainsi, nous avons associé dans [3] 4 toute algébre de Kac K son algébre de Fourier-Stieltjes BAK) (resp son algébre de Fourier A(K), qui est un idéal bilatére
fermé de B(K)) Ces objets généralisent a la fois BG) et M11(G) (resp A(G) et L1(G));
rappelons a ce propos que si G est abélien et si G désigne son groupe dual, BG) (resp A(G)) est image, par la transformation de Fourier, de M@ 1G) (resp L(G) L’objet de ce papier est de démontrer, dans le cadre des algébres de Kac,
des théorémes analogues 4 ceux de Wendel, Johnson et Walter Plus précisément
si K, et K, désignent deux algébres de Kac, nous montrons que les algébres de Banach B(K,) et B(K,) (resp A(K,) et A(K,)) sont isométriquement isomorphes si
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et seulement si l’algébre de Kac K, est isomorphe 4 K, ou 4 Valgébre de Kac réflé- chie K% (voir [9]) Tous les théorémes précités d’analyse harmonique deviennent
alors des cas particuliers de ce résultat général
Comme Walter [11} nous utilisons les résultats classiques de R V Kadison concernant les isométries des algébres de von Neumann [7] Les techniques sont toute-
fois différentes: nous ramenons le cas des algébres de Fourter-Stieltjes & celui des
algébres de Fourier, 14 ot! Walter donne deux démonstrations semblables mais indépendantes
Nous remercions A Van Daele pour de trés utiles conversations pendant son bref séjour a Paris
Nous utilisons les constructions et notations de [4], [8], [9], [2] et [3] En parti- culier dans ce quisuit, K = (M,T, x, ) désigne une algébre de Kac, K- (M, r, 2, Ø) Valgébre de Kac duale, 4 la représentation de Fourier de K, W Vunitaire fonda- mental associé à K, z la représentation universelle de A7, dans son algébre de von Neumann enveloppante W*(K), et xz,, la représentation de Fourier de B(K) Rap- pelons encore, en vue du paragraphe 3 ci-dessous, que W*(K) se munit d’une
structure dalgébre de Hopf-von Neumann involutive a Vaide du coproduit
Øs„„„ et de involution sy ((3], 2.15)
Enfin, soit M@ une algébre de von Neumann, ,, son prédual; pour a dans M@
et w dans M,,, on notera a-@ l’élément de M,, défini par
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1.2 LEMME Soient My, M, des algébres de yon Neumann, Py, Pz et Q des projecteurs de M,, My, et M, © Mo, respectivement Si
(Q, 0, @ on> < CP, @ Po, O, @ Oy) pour tous @, € (M,)# et w2€(M,)$, on a
Soit €€ 4, © Hz tel que (P; © Py) £ = 0 Etant donné que
(PA, © Pra) = [PH @U— Pr) # JOLT — PH, @ PH 2|®
@ [(I — P,j)Z) ©Œ— P)Z,1
€ est la limite d’une suite convergente d’élément de la forme S ễ,; @ Nj,
i=1 ott (P; ® Ps) (€; ®@ 4) =0 pour tout / En utilisant (+), on trouve QC == 0
Par conséquent, on a
(PH) @ Px.) < (OH, @H#)},
ce qui achéve la démonstration
1.3, Lemme Soient K une algébre de Kac, P et Q deux projecteurs du centre de M tels que
PLO>I
T(P)> P@P, P= «(P)
F(QO> COE, O=x(Q)
Alors l'un au moins des projecteurs P et O est égal a1
Démonstration D’aprés [4], 5.1.5, on sait que
T†(P)@1(@aP)=P@P,
đó
T(P)[ữ — P) P]= 0
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et, a fortiori, comme J — Q < P par hypothése,
1.4, LEMME Solent K une algébre de Kac et P un projecteur du centre de M
tel que F(P) < P ®I (resp F(P) < I © P) Alors P est égal 40 ou L
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PY, = {P; P projecteur du centre de A2; tel que /p soít un homomorphisme d’algébres
(ii) /; est un isomorphisme de Jordan de M, sur Mg
(iii) i/ existe un projecteur R tel que REP, et 1 — REAP,
Démonstration D’aprés le théoréme 7 de [7], on a (i), et application ide M,
dans M, définie par
I(x) == WD)*I(x)
pour tout x¢ M,, est un isomorphisme de Jordan En utilisant (i), on en déduit (ii) L’assertion (iii) résulte alors du Théoréme 3.3 de [10]
Remarquons que pour tout P de F,( (resp ,), fp est un homomorphisme (resp
antihomomorphisme) involutif, puisque tout isomorphisme de Jordan est involutif par définition
1.7 LEMME Soient P dans P, (resp P,) et Q un projecteur central de M, tel que Q < P Alors Q appartient a P,(resp F,)
Démonstration Cela résulte trivialement du fait que pour tout x de M,, ona
Io(x) = Ip(x)Q
1.8 LEMME L’ensemble A, (resp P,) est réticulé
Démonstration Ul suffit de prouver que si P et O appartiennent 4 A, le projec- teur P + OQ — PO appartient a F,
Íp.o_po(Œ®)Íp.o_pg@3) = Ip, o-po(XY),
et donc P + Q — PQ appartient 4 A,
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Le cas de FY, est identique
1.9 Lemme L’ensemble A, (resp F,) posséde un plus grand élément
Démonstration D’aprés 1.8, Vensemble A, est filtrant croissant et posséde donc une borne supérieure S, qui est faiblement adhérente 4 A, On va montrer que S, appartient 4 A,
Soient x et » dans M, Ona
Is, (xy) = Kay)" Sy =
2 ISOMETRIES DES PREDUAUX DES ALGEBRES DE KAC
Solent K, et K, deux algébres de Kac On considére dans ce qui suit une bijec- tion linéaire isométrique multiplicative T de M,,, sur M,, On notera / sa transposé qui est donc une bijection linéaire isométrique et ultrafaiblement continue de M4, sur M,
2.1 Lemme L’opérateur I(T) appartient au groupe intrinséque de Kg (cf [8],
1.10)
Démonstration Soient @ et w’ dans Mz, On a, successivement:
(PUD), © @o'> =<K),o* o> =
= {LT (0 *0')> =
= (1, T(@) * Tia’) = par hypothése
= <1), T(œ) © Tio’) =
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D’aprés 1.6 (), /() # 0, d’ou Ie résultat
2.2 LEMME Avec les notations de 1.5, on a, pour tout projecteur P du centre de M,
(/p),(@) = TUT) P -o), OF Moy,
Cp étant ultrafaiblement continue, on peut considérer sa transposée
CUp)at Mex, > My»)
Démonstration On a, pour tout x de M,,
Dénonsiration Soient w et w' đans M;¿ On a
(Us, @ls, MPC), OB a"y = (1), (ds, )a(@) © Us, Ja(@’)> =
= <I, (x), TUU)*8,: 0) @TUG)*S,- @')> = d’aprés 2.2
== (x, T(1(1)*8, @)*T ID *5,:0') =
== <1,f(((D*®Sạy @)*(()*Sy:@))) = par hypothése
= (U(x), UZ)* Sy + ox)" Sy + 0") =
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On en déduit (i) par linéarité, continuité et densité
La démonstration de (ii) est identique
2.4 COROLLAIRE Avec les notations de 1.10, on a
G) F(S,) > S, @ S,
(ii) P(S,) > ` &@ Sy
Démonstration Soit @ le projecteur du centre de AZ, tel que I’.(Q) soit le sup-
port central de S, @ S, dans le commutant de P,(M,) (On aen effet S, © S,€
eM, @ M; < (F,(M,)y.) On notera & Visomorphisme entre les algébres involutives
est un unitaire de M, © 12 ạ› ©f, pour tons ( đe NÃ;„ et Ö de Min, ona
(Remarquons que ly et Ly p%, sont des homomorphismes normaux de M, dans M3.) Démonstration, On a
U* = (1D)* @D [hh @ 0 (Wy) + Ứy gã @ Ð (W?)]
et done
U*U = ID)* @D le @)MWF) + (ves BY WEW)I UD 6 1) =
= (D* @ Dk @)T OD) + Urs @)C ODIO @D=
= ()* @1)(R @7+(ï— R @D00G() @1J)= đaprèsl.5etl.6()
Trang 9L’ANALYSE HARMONIQUE NON-COMMUTATIVE 179
ce qui achéve la démonstration
2.6 COROLLAIRE L’application T est involutive
Démonstration, Avec les notations de 2.5, on a
4(T(@)) = (@ @ iV) =
= 7 @®a@)(cU)
L’opérateur oU étant unitaire dans M, @ M,, et Vapplication A,T étant multipli-
cative, il résulte de [3], 2.9.) que oU est un 146-cooycle En appliquant [3], 2.10,
on obtient alors que 4,7 est une représentation (involutive) de M2; comme J,
est involutive et injective, on en déduit le corollaire
2.7 LEMME, Soit w dans Moy On a
Trang 10180 JEAN DE CANNIERE, MICHEL ENOCK ct JEAN-MARIE SCHWARTZ
2.8 COROLLAIRE On a, avec les notations de 1.5 et 1.10:
(i) 2h = Ixy
(ii) %(S_) = Sp
(ili) %2(S,) = S,
Démonstration Soient x dans M, et @ dans M,, On a
(xel)(x), OY = (Hel (x*)*, o> = d’aprés 1.6()
Soient P dans A,, x et » dans My Ona
Leys) = [ay lUD)*xfP) = d’aprés 1.5
= #2IIp@i(y)2@))] =
== ⁄a(p⁄4(y)px¡(x)) = par hypothése
= (Helps (x))(%al pa) =
= (Xabi (X))H2(P Hala (V) ea(P) =
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Ainsl x;(P) appartient 4 A, Donec, d’aprés 1.10, on a
4o( Sy) s Sh
et, comme x, est involutif, on obtient (it)
L’assertion (iii) se démontre de la méme manieére
2.9 THEOREME Soient K, et K, deux algébres de Kac On suppose quwil existe
une bijection linéaire isométrique multiplicative T de Palgébre de Banach Moy sur Palgébre de Banach M,,, Alors K, est isemorphe & &, ou Ky (cf [9], U.4) Plus précisément, st | désigne la transposée de T, on a:
(i) (WZ) appartient au groupe intrinséque de Kg
(ii) Pune au moins des deux assertions suivantes est vraie:
1) Papplication l, de M, sur M, définie par
est un isamorphisme d’algébres de Kac de K, sur K, (en particulier, |, est un homomor-
phisme d’algébres de von Neumann)
2) |, est un antihomomorphisme d’algébres de von Neumann et l'application de M,
sur My définie par
x + J;Í(Dl@)*J: (x € My)
est un isomorphisme d’algébres de Kac de K, sur Kj
Démonstration D’aprés 1.10, 2.4.(i) et (ii), 2.8.(i1) et (iii), le couple de
projecteurs (S,, S,) définis en 1.10 vérifie les hypothéses du Lemme 1.3 appliqué
a K, L’un des deux projecteurs S,, et S, vaut done £
Supposons S,=/ Alors Papplication /, est multiplicative, involutive @aprés 1.6.(1), bijective et normale par construction; elle vérifie
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est linéaire, multiplicative, involutive d’aprés 1.6 (ii), bijective et normale de M, sur M, par construction Enfin, elle vérifie
Poly = (fy @ IDL, daprés 2.3.(i) et [9], H.4 Mol p= [yey d’aprés 2.8.(i) et [9], U4
D’aprés [8], IV.4, / est un isomorphisme d’algébres de Kac de K, sur Kj
Ainsi (il) est démontré; (i) a été démontré en 2.1
2.10 LEMME Soit K une algébre de Kac, et K' Palgébre de Kac commutante ((9], TE.4) Soit w dans M,; on note w’ P élément de Mj, défini par
_ “X,@0 3 = CJ/x*J, (0> (xe 47)
En notant 2' la représentation de Fourier du prédual My, on a
A'(@') == 2(a)
Démonstration, Solent « et y dans # Pour tout «de 44’, ona
6X5 (Wg) = CIN*S, Oyg> = (IN*Ty| 0) = (xSet| J)
Soient également B et d dans # Ona
(B| A'((@,,.)') 6) = (Wy © f)| Ja @ 6) = d’aprés [4], 2.1.5.(a), et ce qui précẻde
2.11 LEMME On se place dans le deuxiéme cas du (it) du Théoréme 2.9
On note 1; Pisomorphisme de K, sur Kj qui y est défini Pour tout wo de My, on a, avec les notations de 2.10,
/)„(@') = TUD)* a).
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Démionstration SoIt x dans Äñ; on a
(x, (,(@3š = CHO), "> = C(x) wy = <x, (yl) = <x, TUMD* + @)> daprés 2.2, d’ott le résultat
2.12 COROLLAIRE Sotent K, et Ky deux algébres de Kac On suppose qu'il existe une bijection linéaire isométrique multiplicative T de Palgébre de Banach May,
sur Palgébre de Banach M,,, Alors Ñ, est isomorphe @ Ñ, ou a Ke (cf [9], IT.6)
Plus précisément, si | désigne la transposée de T, on a:
(i) 1D) appartient au groupe intrinséque de Ky
(ii) i existe un isomorphisme d’algébres de Kac ® de Ñ, sur K, ou Ky (dans
le premier cas I, est un homomorphisme d’algébres de von Neumann de M, sur Mo, dans le second cas cest un antihomomorphisme) tel que, pour tout ade Moy, on ait
(B ppy(4a(o))) = A(T) (ot Bar désigne TVautomorphisme de M, implémenté par I(1) — cf [8] 1.9 et [2], § 2)
Démonstration Plagons-nous dans le premier cas de 2.9(1) Alors /, est un
isomorphisme de K, sur Ky L’isomorphisme dual i, de K, sur K, est défini, pour tout m de Af,,, par
Í(2;(@)) = 2((,)„(@}) = d’aprés [4], 6.2.2
Or, d’aprés [1], 2.6(b), on a
HB (Al) = HAMM: 0) = A(T)
d’aprés 1.6(i) et ce qui précéde Le théoréme est donc vérifié pour ® = a hy
Placons-nous maintenant dans le deuxi¢me cas de 2 2.201) Alors i; est un isomorphisme de K, sur Kj L’isomorphisme dual i’ 7, de KS sur K, (cf [9], 11.5) sera aussi, trivialement, un isomorphisme de K, sur Ky D’aprés [4], 6.2.2, il est
défini pour tout w’ de (M3), par
PAM @'Y) == A((7)„(@) (notations de 2.10)
En utilisant les Lemmes 2.10 et 2.11, cela s’écrit aussi
?⁄(2;(®)) = 2(Œ)* - œ)).