Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất... Gọi: x, y, z là ba kích thước hình hộp chữ nhật.. V là thể tích hình tứ diện ABCD.. Ta có: hình hộp chữ nhật AECF.GBHD chia thành 5 khôi chóp: A
Trang 1Khóa ngày 25 tháng 11 năm 2008 Môn: TOÁN
1 Điều kiện: x > -1
Biến đổi về phương trình:
Do đó: x =
2 1/ Gọi S , S , S lần lượt là diện tích các tam giác BMN,CNP,
AMP
Ta có:
Mà:
Vậy:
Ta có:
Mà:
Vậy:
Vì S , S , S có vai trò như nhau nên:
S = S = S
Diện tích tam giác MNP bằng:
=
2/ Diện tích tam giác MNP nhỏ nhất khi hàm y =
với k > 0 đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có: y’ = ( k >0)
Lập bảng biến thiên , từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
N
P M
A
Trang 2khi k = 1, khi đó y =
Do đó: Diện tích tam giá MNP đạt GTNN bằng khi k = 1
3 Ta có:
= 7ab( a + b)
= 7ab( a +b )
Theo giả thiết ta suy ra: chia hết cho
Chọn: a = 1, = ta được:
Giải phương trình ta được: b = 18 hoặc b = -19 ( loại)
Vậy cặp ( a, b) = ( 1, 18) thoả điều kiện bài toán
4 Đặt u = , v = 5 ( Đk: u > 0, v > 0 ) ta có hệ phương trình:
Vì u > 0 nên 21- v > 0 suy ra: 0 < v <
Từ (1), (2), (3) suy ra:
Đặt f(v) =
Ta có: f(0) = -265 < 0 , f(4) = 267 > 0 nên f(0).f(4) < 0
f'(v) =
f’’(v) = với mọi v
Vậy f(v) là hàm tăng trên (0; )
Do đó: f(v) = 0 có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (0; ) Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Trang 35 Ta có: với mọi a, b thuộc [a; b] (1)
Mà: f(a), f(b) thuộc [a; b] nên: (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Do đó: f(a) = a, f(b) = b hoặc f(a) = b, f(b) = a
* Nếu f(a) = a, f(b) = b thì:
f(x) x với mọi x
f(x) x với mọi x
Do đó: f(x) = x với mọi x
* Nếu f(a) = b, f(b) = a thì:
a + b – x f(x) với mọi x
a + b – x f(x) với mọi x
Do đó: f(x) = a + b - x với mọi x
Kết luận: f(x) = x hoặc f(x) = a + b - x
6 Ta có: P(x, y) =
=
=
Vậy: P(x, y) = P( y - x, -x ) = P( -y, x - y )
Do đó: (x, y) là một nghiệm nguyên của phương trình P(x, y) = n ( n nguyên dương) thì ( y-x, -x) và (-y, x – y) cũng là nghiệm
Rõ rang: 3 nghiệm này phân biệt
Thật vậy: vì nếu chúng trùng nhau thì x =y = 0
Khi đó: n = 0 Vô lí !
7 1/ Nội tiếp tứ diện ABCD trong một hình chữ nhật AECF.GBHD
( xem hình)
Gọi: x, y, z là ba kích thước hình hộp chữ nhật
V là thể tích hình tứ diện ABCD
Ta có: hình hộp chữ nhật AECF.GBHD chia thành 5 khôi chóp: ABCD và bốn khối chóp có thể tích bằng nhau là G.ABD, F.ADC, H.BDC, E.ABC
Do đó:
Trang 4Hay x.y.z = V + 4 .x.y.z
V =
Theo định lý Pitago ta có hệ phương trình xác định x, y, z :
Suy ra:
Giải hệ phương trình trên ta được:
Vậy: V =
2/
Tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là tâm I của hình cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật
Suy ra: I chính là trung điểm của đường chéo hình hộp chữ nhật
Bán kính R =
B H
D
G
I
E C
A F