2 Tìm giá trị nhỏ nhất của Px.. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho BE = DF.. Đường thẳng qua E song song với AF cắt đường thẳng qua F song son
Trang 1PHÒNG GD – ĐT HUYỆN LƯƠNG TÀI
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN THỨA Môn Toán 8 - Thời gian: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) Cho đa thức P(x) = (48x2 + 8x - 1)(3x2 + 5x + x) - 4
1) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x)
Bài 2: (2 điểm).
Cho biểu thức A =
2 3
:
với a 1;0; 2
1) Rút gọn A
2) Tìm các giá trị của a để A < 0
3) Tìm các giá trị nguyên của a để A nhận giá trị nguyên
Bài 3: (2 điểm)
Cho x , y , z là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
x y z 1 1 1 3(x y)(y z)(z x) 9
Bài 4: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD Trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho BE = DF Đường thẳng qua E song song với AF cắt đường thẳng qua F song song với AE tại H Chứng minh rằng:
1) Tứ giác AEHF là hình vuông
2) CH là tia phân giác của góc ECF
3) AC CH
ĐỀ SỐ 1
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 1
điểm
Bài 1: 1) P(x) = 4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4
= 12x2 11x 2 12x 2 11x 1 4
0,25 0,25 Đặt 12x2 11x 2 t => P(x) = (t + 1)(t - 4)
=> P(x) = 12x2 11x 3 12x 2 11x 2
0,25 0,25 2) P(x) =
2
t 3t 4 t
Bài 2: 1) A =
2
: a(a 2)(a 2) 3(a 2) a 2 (a 1)(a 2)
0,5
Rút gọn được A = 2(a 1)
a 2
2) A < 0 <=> 2 trường hợp a + 1 > 0 và a - 2 < 0 ; a + 1 < 0 và a - 2 > 0 0,25
3) Để A nguyên khi và chỉ khi a – 2 là ước của 6, a là số nguyên 0,25
Bài 3: Chứng minh bổ đề: Nếu a + b + c = 0 thì a3 b3c3 3abc 0,75
x y z 1 1 1 3(x y)(y z)(z x) 9
<=> x y y z z x x y3 y z3 z x3
<=> x y 2 z x y y z 2 x y z z x 2 y z x
0 xyz
(1)
0,5 0,5
Bất đẳng thức (1) đúng vì x, y, z là ba cạnh của một tam giác Dấu “=” xảy
ra <=> x = y = z <=> tam giác đều
0,25
Bài 4:
H
D
A
C
B
F
I E K
1) AEHF là hình bình hành 0,75
=> AE = AF và EAF 90 0
=> AEHF là hình vuông
0,5 0,25 2) kẻ HI BC ; HK CD
HKFHIE
=> HK = HI => CH là phân giác của ECF
0,5 0,5 0,25 3) Chỉ ra AC là phân giác của góc BCD
=> AC CH
0,75 0,25
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
Trang 3TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN THỨA
(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3 điểm)
Cho a + b + c = 1 và a2 b2 c2 1 1) Chứng minh rằng: nếu x y z
a b c thì xy + yz + zx = 0 2) Hãy tính giá trị a , b , c nếu cho thêm điều kiện a3 b3 c3 1
Bài 2: (2 điểm)
1) Giải phương trình (x 2)(x 2)(x 2 10) 72
2) Tìm GTLN của biểu thức: 2
x A
(x 2007)
(với x > 0)
Bài 3: (1 điểm)
Cho x , y , z là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn:
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Bài 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, trung tuyến BM và phân giác
CD cắt nhau tại một điểm Chứng minh rằng:
1) BH CM AD 1
HC MA DB
2) BH = AC
Bài 5: (2 điểm)
Cho O là một điểm nằm ở miền trong của tam giác ABC Các tia AO , BO , CO theo thứ tự cắt các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại các điểm P , Q , R
Chứng minh rằng: OA OB OC 2
AP BQ CR
ĐỀ SỐ 2
Trang 4HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 2
Bài 1: 1) Chỉ ra x y z x y z
Suy ra x y z 2 x2y2 z2 0,5
2) a b c 2 a2b2c2 0 ab bc ca 0 (1) 0,5
a b c a 2 b2 c2 1 <=> ab + bc + ca - 3abc = 0 (2) 0,5
Từ (1) và (2) kết hợp với các điều kiện của bài suy ra trong ba số a,
b, c có hai số bằng 0 và một số bằng 1
0,5
Bài 2: 1) PT <=> x2 4 x 2 10 72 0,25
Đặt x2 = t dẫn tới PT : t2 6t 72 0 t 6 ; t 12 0,5
Vì x > 0 nên
4x.2007 8028
0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2007 0,25 Vậy AMax 1 x 2007
8028
Bài 3: ĐK đầu bài <=> x y 2 y z 2 z x 2 0
0,5
<=> x y2 y z2 z x2
0
<=> x = y = z <=> tam giác đã cho là tam giác đều 0,5
Bài 4: 1) Qua A kẻ đường thẳng EF song song với BC
Chỉ ra được BH AE ; MC BC ; DA AE
Nhân vế với vế các đẳng thức suy ra điều phải chứng minh 0,25
A
H
M D
E F
Trang 52) CD là phân giác của góc C nên ta có:
DB CB
Vì MA = MC nên: HB MC DA HB DA 1
HC MA DB HC DB
0,25
Bài 5: Đặt S1SOBC ; S2 SOAC ; S3 SOAB ; S S ABC
O
A
P
Q
R
K H
Có OP OK S1 AP OP S S1 OA S2 S3
Tương tự: OB S1 S3
(2) ; OC S1 S2
Cộng vế với vế của (1) ; (2) và (3) ta được điều phải chứng minh 0,5