Hướng dẫn giải đề thi xác suất Câu 1.. a Các em tự giải... Kết quả này thầy đã nhắc lại khi ôn tập cho các em.. Bài 3này do các em học không kỹ thôi.. Vì{X n }là dãy các biến ngẫu nhiên
Trang 1Hướng dẫn giải đề thi xác suất Câu 1
a) Các em tự giải
b) Trường hợp P(AB) = 0 là hiển nhiên, ta chỉ cần xét trường hợp
P(AB) > 0 Khi đó P(A) > 0 và P(B) > 0 Ta chú ý rằng, với hai số thực x, y ∈ [0; 1] thì ta luôn có bất đẳng thức |x − y| 6 1, do đó, vì 0 6 P(A|B), P(A) 6 1 nên ta suy ra
|P(A) − P(A|B)| 6 1.
P (A) −P(AB)
P(B)
6 1.
Hay
Tương tự ta có bất đẳng thức
Từ (1)và (2), ta suy ra
|P(A)P(B) − P(AB)| 6 min(P(A), P(B)).
Câu 2
a) Tính được a = 2
π
Ta có
F (π/12) =
π/12
Z
−∞
f (x)dx =
−π/2
Z
−∞
f (x)dx +
π/12
Z
−π/2
f (x)dx
=
π/12
Z
−π/2
f (x)dx = a
π/12
Z
−π/2
cos2xdx
π
7π
1 8
12+
1 4π.
b) Ta có
E(X) =
+∞
Z
−∞
xf (x)dx = a
π/2
Z
−π/2
x cos2xdx = 2
π
π/2
Z
−π/2
x cos2xdx.
Vì
π/2
Z
−π/2
x cos2xdx = 0 nên E(X) = 0
Câu 3
a) Ta có
f (x, y) = ke−12 (2x 2 −4x+2+y 2 )
= ke−(x−1)2e−y22
σ √
2πe
−(t−à)2
2σ2 là hàm mật độ của phân phối chuẩn N (à, σ 2 ) nên theo tính chất của hàm mật độ ta có
+∞
Z
−∞
f (t)dt = 1hay
+∞
Z
−∞
e−(t−à)22σ2 dt = σ √
2π
Trang 2Do đó ta có
+∞
Z
−∞
e−(x−1)2dx = √
π,
+∞
Z
−∞
e−y22 dy = √
2π
Sử dụng tính chất
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
f (x, y)dxdy = 1của hàm mật độ xác suất ta có
1 =
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
f (x, y)dxdy = k
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
e−(x−1)2e−y22 dxdy
= k
+∞
Z
−∞
e−(x−1)2dx
+∞
Z
−∞
e−y22 dy
2π = k √
2π.
Suy rak = √1
2π Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X là
fX(x) =
+∞
Z
−∞
f (x, y)dy = k
+∞
Z
−∞
e−(x−1)2e−y22 dy
= ke−(x−1)2
+∞
Z
−∞
e−y22 dy = k √
2πe−(x−1)2 = √1
πe
−(x−1) 2
.
b) Ta cóX ∼ N (1, (1/ √
2) 2 ), do đóP(X > 1+
√ 2) = 1−P(X < 1+√2) =
1 − Φ1 +
√
2 − 1 1/ √
2
= 1 − Φ(2) = 1 − 0, 9773 = 0, 0227 c) VìX ∼ N (1, (1/ √
2)2)nênE(X) = 1vàVar(X) = 1/2 Theo bất đẳng thức Chebyshev
P(1 −
√
5 < X < 1 + √
5) = P(|X − 1| <√5) > 1 − 1
2( √ 5) 2 = 9
10.
Nhận xét
• Bài này có dạng tương tự như bài 14 Chương 2 nhưng phải sử dụng các tính chất
+∞
Z
−∞
e−(x−1)2dx = √
π,
+∞
Z
−∞
e−y22 dy = √
2π Các tính chất này
được suy ra từ kết quả
+∞
Z
−∞
e−(t−à)22σ2 dt = σ √
2π Kết quả này thầy đã nhắc lại khi ôn tập cho các em Bài 3này do các em học không kỹ thôi
•Bài 1b là khó nhất, để được điểm 10
Câu 4.Ta cóVar(X n ) = 9−13
2n)
2
6 9với mọin Vì{X n }là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập nên dãy {Xn} thỏa mãn luật số lớn Chebyshev
Câu 5
a) Vậy điều nghi ngờ nói trên là đúng
b) Việc điều trị bằng thuốc không có kết quả
...Z
−∞
f (x, y)dxdy = 1của hàm mật độ xác suất ta có
1 =
+∞
Z
−∞...
2π.
Suy rak = √1
2π Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X
fX(x) =