Đạo hàm, vi phân và ứng dụng của đạo hàm pot

Lecture 4 Nguyen Van Thuy ĐẠO HÀM, VI PHÂN Ứng dụng của đạo hàm... Review e e„ Định nghĩa.Định nghĩa... Ứng dụng khảo sát hàm số„ Tìm tiệm cận „ Tìm khoảng tăng, giảm „ Tìm cực trị „

Lecture 4 Nguyen Van Thuy

ĐẠO HÀM, VI PHÂN

Ứng dụng của đạo hàm

Review e e

„ Định nghĩa.Định nghĩa Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệuĐạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu f’(a), được xác định bởi

0

'( ) lim

h

f a

h

→

+ −

=

nếu giới hạn đó tồn tại

0

„ Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y=f(x) tại điểm P(a,f(a))

y ( ) ạ đ (a, (a))

y = f’(a)(x-a) + f(a)

Review e e

„ Các công thức đạo hàm cơ bản

(uα ) ' = αuα− u ', ( ) 'e u = e u u ', (ln ) 'u = u

(sin ) ' 'cos , (cos ) ' 'sin

u

(tan ) ' '(1 tan ), (cot ) ' '(1 cot )

(arcsin ) ' , (arccos ) '

(arctan ) ' , (arc cot ) '

Review e e

„ y '' = ( ') ', '''y y = ( '') ', ,y y( )n = (y(n−1)) '

„ Công thức

( )

1

1 ( 1) !

( )

n

n

−

⎛ ⎞ =

( )

( eax ) n = a en ax

( )

(sin ) sin

2

ax = a ⎛ax + n π ⎞

( )

(cos ) cos

2

n n

2

Công thức Leibniz

( ) ( ) ( ) (0)

0

!

n

k

n

k n k

−

=

−

∑

k=

Ứng dụng khảo sát hàm số

„ Tìm tiệm cận

„ Tìm khoảng tăng, giảm

„ Tìm cực trị

„ Tính lồi lõm điểm uốn

„ Tính lồi lõm, điểm uốn

„ Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến

Quy tắc L’Hospital

„ Định lý.Định lý NếuNếu có dạngf x( ) có dạng 0 , ∞ khi x→a và tồn tạikhi x→a và tồn tại

( )

'( )

f x f x( ) f x'( )

thìlim ( )

'( )

x a

f x

g x

→

x a x a

→ = →

„ Chú ý Quá trình x→a có thể thay bởi x→a+, x→a-, x→∞, x→-∞

„ Ví dụ

„ Ví dụ

x→ x ⎝ ⎠ x→ x ⎝ ⎠ x→ x ⎝ ⎠ x→

Quy tắc L’Hospital

„ Ví dụ

3 0

0

x

a L

x

→

ln

x

x

b L

x

→∞

∞

⎛ ⎞

∞

⎝ ⎠ 0

( )

1

1

x

c L

→

−

→−∞

0

f

1/(2 2) 1

x

→

1/ 0

x

→∞

Đa thức Taylor a t ức ay o

f’(0)=P’(0) f’’(0)=P’’(0)

…

f(n)(0)=P(n)(0)

2

'(0) ''(0) (0) ( ) (0)

n

n

( )

( ) (0)

(0)

k n

k

n f

∑

"

( ) k

f

x

= ∑

Đa thức Taylor a t ức ay o

f’(a)=P’(a) f’’( ) P’’( )

…

f(n)(a)=P(n)(a)

( ) 2

'( ) ''( ) ( )

n

n

( )

( )

k n

k

n

∑

"

( ) k

f

Đa thức Taylor a t ức ay o

theo x-1

f x = x − x + x +

( )

f

sau tại x=1

f x = x

Khai triển Taylor a t ể ay o

„ Xấp xỉ hàm f(x) bởi 1 đa thức theo (x-a)

( ) 2

( )

n

n

n

( )

( )

( )

k n

k

R x

n

f a

x a k

( 1)

1

0

( ) ( ) ( )

( 1)!

!

n

n n

k

k

Lagrange c x a

=

+

+ ( 1)!

n

n

n n

n

R x O x a Peano i e R x =

+

= −

x a

n

x a

→ −

Khai triển Maclaurin a t ể ac au

„ Xấp xỉ hàm f(x) bởi 1 đa thức theo x

( ) 2

( )

n

n

R x

( )

( ) ( )

(0)

n

k n

k

R x

R

n f

+

∑

( 1

0

)

( ) ( )

( )

n

k k

R x

f c

f

x k

+

=

( )

1

( )

( 1)!

n n

f c

R x x

=

+

0

( )

n

x

x

x

=

Các khai triển Maclaurin cơ bản

n

− +

= − + − + − " +

2 1

n

n

−

2! 4! (2 )!

1

n O

= − + − + − " +

1

1

n

x

= + + + + + +

1

2 3

n

n

+

+ = − + − + − " +

1! 2! 3! !

n

= + + + + + " +

2n 1

x −

Áp dụng khai triển cơ bản p dụ g a t ể cơ bả

„ Ví dụ.Ví dụ Viết khai triển Maclaurin của hàm số sauViết khai triển Maclaurin của hàm số sau đến cấp 3

( ) x

f x ( ) =

1

f x

x

−

„ f x ( ) = ex arctan x