Trên đường thẳng d qua A và vuơng gĩc với mặt phẳng ABC, lấy điểm S sao cho SA = 2a.. Trên các nửa đường thẳng Ax, Cy vuơng gĩc với P và ở về cùng một phía đối với P lấy lần lượt hai đi
Trang 1Bài 1 Cho hình chĩp tam giác SABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và
SA = a M là một điểm thay đổi trên cạnh AB Đặt ·ACM = a , hạ SH vuơng gĩc với đường thẳng CM
a) Tìm quỹ tích điểm H Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI
HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung trịn MaxV SAHC =
3
12
a
b) AK =
2
1
asin
sin
a a
+ , SK = 1 2
a sin a
+ , V =
3 2
2
24 1
a sin
( sin )
a a
+
Bài 2 Cho DABC cân tại A cĩ AB = AC = a và gĩc ·BAC 2= a Trên đường thẳng d qua A
và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a Gọi I là trung điểm của
BC Hạ AH ^ SI
a) Chứng minh AH ^ (SBC) Tính độ dài AH theo a, a
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt AK x
AI = Mặt phẳng (R) qua K và vuơng gĩc
với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác này
HD: a) AH =
2
2
4
a.cos
cos
a
a + b) S MNPQ =
2
4a x ( – )sin 1 x a
Bài 3 Cho tứ diện ABCD cĩ AB = CD = 2x ỉçç ư÷÷
2
0 < x <
2 và AC = AD = BC = BD = 1 Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng AB và CD b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đĩ
HD: b) V =
3
; MaxV = 2
9 3 khi x =
3 3
Bài 4 Trong mặt phẳng (P), cho hình vuơng ABCD cạnh a, cĩ tâm là O Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuơng gĩc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai điểm M, N Đặt AM = x, CN = y
a) Tính độ dài MN Từ đĩ chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuơng tại O là: 2xy a= 2
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuơng tại O Tính thể tích tứ diện BDMN Xác định x, y để thể tích tứ diện này bằng a3
4
HD: a) MN = 2a2+ -(x y)2 b) V =
3
6
a (x y) + , (x, y) =
2
a a;
è ø hoặc 2
a;a
è ø
Bài 5 Trong mặt phẳng (P), cho hình vuơng ABCD cạnh a Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuơng ABCD Trên đường thẳng Ox vuơng gĩc (P) lấy điểm S Gọi
ƠN TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Trang 2Khối trịn xoay Trần Sĩ Tùng
a là gĩc nhọn tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chĩp SABCD
a) Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình chĩp SABCD theo a và a
b) Xác định đường vuơng gĩc chung của SA và CD Tính độ dài đường vuơng gĩc chung
đĩ theo a và a
HD: a) V =
3
6
a tana
, S tp = a2 1 1
cosa
+
a tan
cos
a a
Bài 6 Trên nửa đường trịn đường kính AB = 2R lấy một điểm C tùy ý Dựng CH vuơng
gĩc với AB (H thuộc đoạn AB) và gọi I là trung điểm của CH Trên nửa đường thẳng It vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) tại I lấy điểm S sao cho gĩc ·ASB = 90o
a) Chứng minh tam giác SHC là tam giác đều
b) Đặt AH = h Tính thể tích V của tứ diện SABC theo h và R
2 Rh 2R h–
Bài 7 Cho hình vuơng ABCD cạnh 2a Trên đường thẳng d qua trung điểm I của cạnh AB
và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E sao cho IE = a M là điểm thay đổi trên cạnh AB, hạ EH ^ CM Đặt BM = x
a) Chứng minh điểm H di động trên một đường trịn Tính độ dài IH
b) Gọi J là trung điểm của đoạn CE Tính độ dài JM và tìm giá trị nhỏ nhất của JM
HD: a) IH =
2 4
a x a
-+ b) JM =
5
x
ỉ - ư +
5 2
a khi x =
2
a
Bài 8 Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' và điểm M trên cạnh AD Mặt phẳng (A'BM)
cắt đường chéo AC' của hình hộp tại điểm H
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh AD thì đường thẳng MH cắt đường thẳng A'B tại một điểm cố định
b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo bởi mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trong trường hợp M là trung điểm của cạnh AD
c) Giả sử AA' = AB và MB vuơng gĩc với AC Chứng minh rằng mặt phẳng A'BM vuơng gĩc với AC' và điểm H là trực tâm của tam giác A'BM
HD: a) MH cắt A¢B tại trung điểm I của A¢B b) 1
2
1 11
V
V =
Bài 9 Cho hình vuơng ABCD cạnh bằng a I là trung điểm AB Qua I dựng đường vuơng
gĩc với mặt phẳng (ABCD) và trên đĩ lấy điểm S sao cho 2IS = a 3
a) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuơng
b) Tính thể tích khối chĩp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD)
HD: b) V = 3 3
12
a
, d = 3
2 a
Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = a, AD = 2a, AA’ = a
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C
b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số AM 3
MD = Hãy tính khoảng cách từ điểm
M đến mặt phẳng (AB’C)
c) Tính thể tích tứ diện AB’D’C
HD: a) d(AD¢, B¢C) = a b) d(M, (AB¢C)) =
2
a c) V =
3
2 3
a
Bài 11 Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a S là một điểm bất
Trang 3kỳ nằm trên đường thẳng At vuơng gĩc với mặt phẳng (P) tại A
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chĩp S.ABCD khi SA = 2a
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Ỵ CB, N Ỵ CD) và đặt
CM = m, CN = n Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một gĩc 45°
HD: a) V = pa 63 b) 2a 2–2 m n a mn( + ) + = 0
Bài 12 Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA^(ABCD)và
2
SA a= Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi Đặt gĩc ·ACM =a Hạ SN ^CM
a) Chứng minh N luơn thuộc một đường trịn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo
a và a
b) Hạ AH ^SC , AK ^SN Chứng minh rằng SC ^(AHK) và tính độ dài đoạn HK
HD: a) N thuộc đường trịn đường kính AC cố định, V = 3 2
2 6
b) HK = cos
2
1 sin
a a
+
a
Bài 13 Cho hình chĩp S.ABC cĩ các cạnh bên SA, SB, SC đơi một vuơng gĩc Đặt SA = a,
SB = b, SC = c Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N
i) Chứng minh rằng AB AC 3
AM + AN = ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C cĩ tâm O thuộc mặt phẳng (P) Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC
HD: a) SG = 1 2 2 2
3 a +b +c b) V = 1
9abc
Bài 14 Cho hình vuơng ABCD cạnh a Gọi O là giao điểm hai đường chéo Trên nửa đường
thẳng Ox vuơng gĩc với mặt phẳng chứa hình vuơng, ta lấy điểm S sao cho gĩc
· 60= °
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD
b) Gọi (a ) là mặt phẳng chứa BC và vuơng gĩc với mặt phẳng (SAD) Tính diện tích
thiết diện tạo bởi (a ) và hình chĩp S.ABCD
HD: a) d(BC, SD) = 6
3
a b) S = 2 6
4
a
Bài 15 Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x
(0 £ x £ a) Trên nửa đường thẳng Ax vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy
điểm S sao cho SA = y (y > 0)
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC)
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)
c) Tính thể tích khối chĩp S.ABCM theo a, y và x
d) Biết rằng x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chĩp S.ABCM
HD: b) d(M, (SAC)) = 2
2
x
c) V = 1 ( )
6 ya a x + d) MaxV = 3 3
8
a khi x =
2
a
Bài 16 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A; · ABC =300; SBC là tam
Trang 4Khối trịn xoay Trần Sĩ Tùng
giác đều cạnh a Mặt bên SAB vuơng gĩc với đáy ABC M là trung điểm SB
a) Chứng minh AM là đoạn vuơng gĩc chung của SB và AC Tính cosin gĩc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC)
b) Tính thể tích của hình chĩp S.ABC
3
SAB
cos = b) V = 3 2
24
a
Bài 17 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi, gĩc µ A =1200, BD = a > 0 Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy Gĩc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600 Một mặt phẳng (P) đi qua BD và vuơng gĩc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chĩp
do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chĩp
2
1 12
V
V =
Bài 18 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ các cạnh AB = AD = a, AA’ =
2
3
a
và gĩc
· BAD =600 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh rằng AC¢ vuơng gĩc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chĩp A.BDMN
HD: V =
3
3 16
a
Bài 19 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuơng gĩc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một gĩc 60o Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3
a
Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N Tính thể tích khối chĩp S.BCNM
HD: V =
27
3
10 a3
Bài 20 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, gĩc · BAD =600, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C’ là trung điểm của SC Mặt phẳng (P)
đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chĩp lần lượt tại B’, D’ Tính thể tích của khối chĩp S.AB’C’D’
HD: V =
18
3
3
a
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này
transitung_tv@yahoo.com
Trang 51 Định nghĩa và các phép tốn
· Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong khơng gian được xây dựng hồn tồn tương tự như trong mặt phẳng
· Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta cĩ: uuur uuur uuur AB BC AC+ =
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta cĩ: uuur uuur uuur AB AD AC+ =
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta cĩ: uuur uuur uuur uuuur AB AD AA+ + '=AC'
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý
Ta cĩ: IA IB uur uur r+ =0
; OA OB uuur uuur+ =2OI uur
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý
Ta cĩ: GA GB GC uuur uuur uuur+ + =0r; OA OB OC uuur uuur uuur+ + =3OG uuur
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý
Ta cĩ: GA GB GC GD uuur uuur uuur uuur+ + + =0r; OA OB OC OD uuur uuur uuur uuur+ + + =4OG uuur
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cùng phương a r r (r ¹0r)Û $ Ỵ!k R b ka:r = r
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý
Ta cĩ:
1
OA kOB
k
-uuur uuur
2 Sự đồng phẳng của ba vectơ
· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng
· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c r r, ,r
, trong đĩ a và b r r
khơng cùng phương Khi đĩ: a b c r r, ,r
đồng phẳng Û $! m, n Ỵ R: c ma nb r= r+ r
· Cho ba vectơ a b c r r, ,r
khơng đồng phẳng, xr tuỳ ý
Khi đĩ: $! m, n, p Ỵ R: x ma nb pc r = r+ r+ r
3 Tích vơ hướng của hai vectơ
· Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian:
uuur AB u AC v=r,uuur= Þr ( , )u v r r =· BAC (00 £· BAC£1800)
· Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian:
+ Cho u v r r, ¹0r
Khi đĩ: u v u v r r r r = cos( , )u v r r
+ Với u r=0r hoặc v r=0r
Qui ước: u v r r =0 + u v r r^ Ûu v r r =0
+ u r = u r2
CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Trang 6PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
1 Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọi
i j k, ,
r r r
là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa
độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz
Chú ý: r r i2 = j2 =k r2=1
và r r r r r r i j i k k j = = =0
2 Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa: u r =(x y z; ; )Û =u xi y j zk r r r r+ +
b) Tính chất: Cho a r =( ; ; ),a a a1 2 3 b r=( ; ; ),b b b k R1 2 3 Î
· a b r± =r (a b a1± 1; 2±b a2; 3±b3)
· ka r =( ;ka ka ka1 2; 3)
a b
ì = ï
ï = î
r r
· 0r =( ; ; ),0 0 0 i r=( ; ; ),1 0 0 r j =( ; ; ),0 1 0 k r=( ; ; )0 0 1
· a r
cùng phương b b r(r¹0r)
Û a kb k R r = r ( Î )
3
0
ì = ï
ï = î
· a b a b a b r.r= 1 1 + 2 2 +a b3 3
· a b r r^ Û a b a b1 1+ 2 2+a b3 3=0
· a r2=a12+a22+a32 · 2 2 2
a r = a +a +a
a b a b a b
a b
a b
cos( , )
r r r
)
3 Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa: M x y z( ; ; )ÛOM uuur =( ; ; )x y z
(x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: · M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0
· M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0
b) Tính chất: Cho A x y z( ;A A; A), ( ;B x y z B B; B)
· uuur AB=(x B-x y A B; -y z A B; -z A)
AB = (x -x ) +(y -y ) +(z -z )
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
A B A B A B
M
· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
A B A B A B
Mæç + ; + ; + ö÷
· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
A B C A B C A B C
Gæç + + ; + + ; + + ö÷
· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
II HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trang 74 4 4
A B C D A B C D A B C C
4 Tích cĩ hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
a) Định nghĩa: Cho a r =( , , )a a a1 2 3
, b r =( , , )b b b1 2 3
Chú ý: Tích cĩ hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một số
b) Tính chất:
· éëi j r r, ù =û k r; éër j k,rùû=i r; [ ]k i r,r r= j
· a b[ , ]r r ^ a r; [ , ]a b r r ^ b r
· [ , ]a b r r =a b r .sin ,r ( )a b r r
· a b r r, cùng phương Û [ , ]a b r r =0r
c) Ứng dụng của tích cĩ hướng:
· Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b r r,
và c r
đồng phẳng Û [ , ] =a b c r r r 0
· Diện tích hình bình hành ABCD: S Y ABCD = ëéuuur uuur AB AD, ùû
2
ABC
S D = ëéuuur uuur AB AC, ùû
· Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢: V ABCD A B C D ' ' ' ' = [uuur uuur uuur AB AD AA, ] '
6
ABCD
V = [uuur uuur uuur AB AC AD, ]
Chú ý: – Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc,
tính gĩc giữa hai đường thẳng
– Tích cĩ hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối
tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh
các vectơ cùng phương
[ ] [ ]
0
0 0
a b a b
a và b cùng phương a b
a b c đồng phẳng a b c
,
r
5 Phương trình mặt cầu:
· Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
( - ) + -( ) + -( ) =
· Phương trình x2+y2+z2+2ax+2by+2cz d+ = với 0 a2+b2+c2- > là phương trình d 0
mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2+b2+c2- d
Trang 8PP Toạ độ trong khơng gian Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Các phép tốn về toạ độ của vectơ và của điểm
– Sử dụng các cơng thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong khơng gian
– Sử dụng các phép tốn về vectơ trong khơng gian
Bài 1 Viết tọa độ của các vectơ sau đây:
2
a r = - +i j r r
; b r=7i r-8k r
; c r= -9k r
; d r =3i r-4r j+5k r
Bài 2 Viết dưới dạng xi yj zk r r+ + r
mỗi vectơ sau đây:
1
2
a= çỉ ; ; ư÷
r ; b ( ; ; ) r= 4 5 0- ; 4 1
0
c = çỉ ; ; ư÷
d = çỉp; ; ư÷
r
Bài 3 Cho: a r= (2 5 3; ;- ) ,b r= (0 2 1; ;- ) ,c r= (1 7 2; ; )
Tìm toạ độ của các vectơ ur với:
2
u r = a r- b r+ c r
b) u a r r= -4b r-2c r
3
u r = - b r+ c r
d) u r =3a b r- +r 5c r
u r = a r- b r- c r
u a r r= - b r- c r
Bài 4 Tìm tọa độ của vectơ xr , biết rằng:
a) a x r r+ =0r
với a r=(1 2 1; ;- ) b) a x r r+ =4a r với a r=(0 2 1; ;- )
c) a r+2x b r =r
với a r=(5 4 1; ;- ), b r=(2 5 3; ;- )
Bài 5 Cho a ( ; ; ) r= -1 3 4
a) Tìm y và z để b r=( ; ; )2 y z
cùng phương với ar
b) Tìm toạ độ của vectơ cr , biết rằng a và c r r ngược hướng và c r =2a r
Bài 6 Cho ba vectơ a r=(1 1 1; ; ,- ) b r =(4 0 1; ;- ), c r=(3 2 1; ;- )
Tìm:
a) ( )a b c r r.r
b) a b c r2( )r.r
c) a b b c c a r2r r+ 2r r r+ 2 d) 3a r-2( )a b b c b r.r r+r2r
e) 4a c b r r +r2-5c r2
Bài 7 Tính gĩc giữa hai vectơ ar và b r
: a) a r =(4 3 1; ; ,) b r = -( 1 2 3; ; )
b) a r=(2 5 4; ; ,) b r=(6 0 3; ;- ) c) a r=( ; ; ),2 1 2- b r =( ;0 - 2 2; )
d) a r=( ; ;3 2 2 3),b r=( ;3 2 3 1; ) -e) a r= -( ; ; ),4 2 4 b r =(2 2 2 2 0;- ; )
f) a r=( ; ; ),3 2 1- b r=( ; ; )2 1 1
-Bài 8 Tìm vectơ ur , biết rằng:
a u ( ; ; ),, u b.( ; ; ),, u c( ; ; )
ỵ
r
r
6
u a( ; ; ),, u b( ; ; ),, ( ; ; )u c
-ỵ
r
r
a u ( ; ; ),, ( ; ; ),b u , ( ; ; )c u
ỵ
r
r
a u ( ; ; ),, b u.( ; ; ),, ( ; ; )c u
-ỵ
r
r
a u ( ; ; ),, b u( ; ; ), , ( ; ; )c u
ỵ
r
r
Bài 9 Cho hai vectơ a b r,r
Tìm m để:
u ( ; ; ),a mb và v ma b vuông góc( ; ; )
-í
-ỵ
r r
u ma( ; ; ),b và v( ; ; )a mb vuông góc
ỵ
r r
u ma( ; ; ),b và v( ; ; )a mb cùng phương
ỵ
r r
Bài 10 Cho hai vectơ a b r,r
Tính X, Y khi biết:
Trang 9a) a 4 b 6 a b
X a b
í
=
-ỵ
r
Y a b
í
= + ỵ
r r
c) a 4 b 6 ( )a b 1200
,
í
ỵ
X a b Y a b
,
í
ỵ
Bài 11 Cho ba vectơ a b c r, ,r r
Tìm m, n để c r r=[ ]a b,r
: a) a r=(3 1 2; ;- - ),b r=(1 2; ;m c), r=(5 1 7; ; )
b) a r=(6 2; ;- m b), r=(5; ;n -3),c r =(6 33 10; ; )
c) a r=(2 3 1; ; ,) b r=(5 6 4; ; ,) c r =(m n; ;1)
Bài 12 Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a b c r, ,r r
trong mỗi trường hợp sau đây:
a) a r=(1 1 1; ; ,- ) b r =(0 1 2; ; ,) c r=(4 2 3; ; )
b) a r=(4 3 4; ; ,) b r=(2 1 2; ; ,- ) c r=(1 2 1; ; ) c) a r= -( 3 1 2; ;- ),b r =(1 1 1; ; ,) c r = -( 2 2 1; ; )
d) a r=(4 2 5; ; ,) b r=(3 1 3; ; ,) c r =(2 0 1; ; ) e) a r=( ; ; ),2 3 1 b r = -( ; ; ),1 2 0 c r =( ; ; )3 2 4
f) a r=( ; ; ),5 4 8- b r= -( ; ; ),2 3 0 c r=( ; ; )1 7 7 -g) a r=( ; ; ),2 4 3- b r =( ; ; ),1 2 2- c r=( ; ; )3 2 1
-h) a r=( ; ; ),2 4 3- b r = -( ; ; ),1 3 2- c r=( ; ; )3 2 1
-Bài 13 Tìm m để 3 vectơ a b c r r, ,r
đồng phẳng:
a) a r=(1; ; ,m 2) b r=(m+1 2 1; ; ,) c r=(0;m-2 2; )
b) a r=(2m+1 1 2; ; m-1);b r=(m+1 2; ;m+2),c r=( ;2m m+1 2; )
c) a r=(m+1; ;m m-2),b r=(m-1;m+2;m c), r=(1 2 2; ; )
d) a r=(1 3 2; ; ,- ) b r=(m+1;m-2 1; -m c), r=(0;m-2 2; )
Bài 14 Cho các vectơ a b c u r r r, , ,r
Chứng minh ba vectơ a b c r r, ,r
khơng đồng phẳng Biểu diễn vectơ
ur theo các vectơ a b c r r, ,r
: a) (2 1 0) (1 1 2) (2 2 1)
3 7 7
u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;
-ỵ
r
4 13 6
u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;
-ỵ
r
r
c) (1 0 1) (0 1 1) (1 1 0)
8 9 1
u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;
-ỵ
r
1 6 22
u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;
í = -ỵ
r
r
e) (2 3 1) ( 1 2 5) (2 2 6)
3 1 2
u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;
-í =
ỵ
r
4 3 5
u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;
-ỵ
r
r
Bài 15 Chứng tỏ bốn vectơ a b c d r r, , ,r r
đồng phẳng:
a) a r= - -( 2 6 1; ; ,) b r=(4 3 2; ;- - ),c r = - -( 4 2 2; ; ,) d r = - -( ;2 11 1; )
b) a r=(2 6 1; ;- ),b r=(2 1 1; ;- ),c r= -( 4 3 2; ; ,) d r=( ; ; )2 11 1
-Bài 16 Cho ba vectơ a b c r r, ,r
khơng đồng phẳng và vectơ d r
Chứng minh bộ ba vectơ sau khơng đồng phẳng:
a) b c d ma nb r, , =r r r+ r
(với m, n ≠ 0) b) a c d ma nb r r, , =r r+ r
(với m, n ≠ 0)
c) a b d ma nb pc r, , =r r r+ r+ r
, (với m, n, p ≠ 0) d) b c d ma nb pc r r, , =r r+ r+ r
, (với m, n, p ≠ 0)
e) a c d ma nb pc r r, , =r r+ r+ r
, (với m, n, p ≠ 0)
Trang 10PP Toạ độ trong khơng gian Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong khơng gian Chứng minh tính chất hình học
Diện tích – Thể tích
– Sử dụng các cơng thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong khơng gian
– Sử dụng các phép tốn về vectơ trong khơng gian
– Cơng thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt
– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
· A, B, C thẳng hàng Û AB AC uuur uuur,
cùng phương Û AB k AC uuur= uuur
Û éëAB AC uuur uuur, ù =û 0r
· ABCD là hình bình hành Û uuur uuur AB DC=
· Cho DABC cĩ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngồi của gĩc A của DABC trên BC Ta cĩ: EB AB EC
AC.
=
-uuur uuur
AC.
=
uuur uuur
· A, B, C, D khơng đồng phẳng Û AB AC AD uuur uuur uuur, ,
khơng đồng phẳng Û éëAB AC AD uuur uuur uuur, ùû ¹0
Bài 1 Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của điểm M:
· Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz · Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
a)M( ; ; ) 1 2 3 b) M( ; ; )3 1 2- c) M( ; ; )-1 1 3- d) M( ; ; )1 2 1-
e) M( ; ; )2 5 7- f) M( ;22 15 7- ; ) g) M( ; ; )11 9 10- h) M( ; ; ) 3 6 7
Bài 2 Cho điểm M Tìm tọa độ của điểm M¢ đối xứng với điểm M:
· Qua gốc toạ độ · Qua mp(Oxy) · Qua trục Oy
a) M( ; ; ) 1 2 3 b) M( ; ; )3 1 2- c) M( ; ; )-1 1 3- d) M( ; ; )1 2 1-
e) M( ; ; )2 5 7- f) M( ;22 15 7- ; ) g) M( ; ; )11 9 10- h) M( ; ; ) 3 6 7
Bài 3 Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:
a) 1 3 1A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) B 0 1 2 C 0 0 1 b) 1 1 1A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )B -4 3 1 C -9 5 1
c) 10 9 12A( ; ; ), (B -20 3 4; ; ), (C -50 3 4; ; )- - d) A( ; ;-1 5 10- ), ( ; ; ), ( ; ; )B 5 7 8- C 2 2 7-
Bài 4 Cho ba điểm A, B, C
· Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác
· Tìm toạ độ trọng tâm G của DABC
· Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
· Xác định toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngồi của gĩc A của DABC trên BC Tính độ dài các đoạn phân giác đĩ
· Tính số đo các gĩc trong DABC
· Tính diện tích DABC Từ đĩ suy ra độ dài đường cao AH của DABC
a) 1 2 3A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- B 0 3 7 C12 5 0 b) A( ; ; ), ( ;0 13 21 B11 23 17- ; ), ( ; ; )C 1 0 19
c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 4 7- B -5 3 2- C1 2 3- d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )4 2 3 B -2 1 1- C 3 8 7
e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 1 2- B1 2 1- C -1 1 3- f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )4 1 4 B 0 7 4- C 3 1 2-
g) A(1 0 0; ; ,) ( B 0 0 1; ; ,) ( C 2 1 1; ; ) h) 1 2 6A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- B 2 5 1 C -1 8 4
Bài 5 Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm:
a) A( ; ; ) , 3 1 0 B( ; ; )-2 4 1 b) 1 2 1A( ; ; ), ( ; ; )- B11 0 7 c) A( ; ; ), ( ; ; )4 1 4 B 0 7 4-
d) A( ; ; ), ( ; ; )3 1 2- B1 2 1- e) A( ; ; ), ( ; ; )3 4 7- B -5 3 2- f) A( ; ; ), ( ; ; )4 2 3 B -2 1 1-
Bài 6 Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm:
a) 1 1 1A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )B -1 1 0 C 3 1 1- b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )-3 2 4 B 0 0 7 C -5 3 3
c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 1 2- B1 2 1- C -1 1 3- d) A( ; ; ), ( ;0 13 21 B11 23 17- ; ), ( ; ; )C 1 0 19
e) 1 0 2A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )B -2 1 1 C 1 3 2- - f) 1 2 6A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- B 2 5 1 C -1 8 4
Bài 7 Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M
· Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? · Tìm tọa độ điểm M