Viết phương trình đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác OAB và vuơng gĩc với mặt phẳng.
Trang 1ĐỀ KHẢO SÁT LỚP 12 MÔN TOÁN KHỐI A NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
I/.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 1 4 2 2
2
y x mx m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) khi m 1
2) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có 3 cực trị, đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị xác định một
4
Câu II(2 điểm): 1)Giải phương trình sau: 2 1 sin 2 4sin 1 1
9 (3 1) 125
Câu III(1 điểm): Tính tích phân:
2 3
2 3
( sin )sin (1 sin )sin
Câu IV(1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có cạnh AB=a,cạnh
sao cho AM=x (0<x<4a).Mặt phẳng(MBC) cắt cạnh SD tại N Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD ra thành hai phần sao cho thể tích của khối chóp SBCMN bằng 5
4 thể tích của khối BCNMAD
Câu V(1 điểm):Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=xyz.Tìm giá trị lớn nhất của :
P
II/ PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A, hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn:
Câu VIA(2 điểm):1)Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương
trình :
điểm M(-3;-2) và x A 0
2)Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A1;4; 2, B 1; 2; 4 Viết phương trình
Câu VIIA(1 điểm):Tìm số phức z thoả mãn : z 2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị
B.Theo chương trình Nâng cao
Câu VIB(2 điểm): 1)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hai đường tròn :
1
(C ) :x y 10x 0 và 2 2
2 (C ) :x y 4x 2y 20 0.Viết phương trình đường tròn đi qua các giao
điểm của C1 ; C2 và có tâm nằm trên đường thẳng (d) x+6y-6=0
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :
Trang 21 : 4
1 2
x t
Chứng tỏ rằng d d1; 2là hai đường thẳng
chéo nhau,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d d1; 2.Viết phương trình đường thẳng , biết cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC
Câu VIIB(1 điểm):Tính tổng :
……….Hết………
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT MÔN TOÁN KHỐI 12 LẦN 4 NĂM HỌC 2010-2011
Câu I.1
1
2
2
lim
2
x
x
Bảng biến thiên:
x -2 0 2
'
y 0 0 0
y
4
4 4 Hàm số đồng biến trong các khoảng: 2;0 , 2;
Hàm số nghịch biến trong các khoảng: ; 2 , 0; 2
Các điểm cực tiểu của đồ thị: ( 2; 4), (2; 4)
Điểm cực đại: (0; 4)
+ Điểm uốn của đồ thị:
3
U U
+ Đồ thị:
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu I.2
0 1
x
Để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì Phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi
dấu khi x qua 3 nghiệm suy ra điều kiện :4m0m0
Cực đại A(0; 4m2), hai cực tiểu B( 2 m; 4 m2 ), (2C m; 4 m2 )
Khi đó tam giác xác định bởi 3 điểm cực trị tạo thành là tam giác cân ABC.Gọi R là
4 ABC
AB AC BC R
S
V Khoảng cách từ cực đại đến đường thẳng qua 2 cực tiểu là :h8m2, BC4 m,
4
0,25
0,25
Trang 32 2
ABC
(16m 4 )4m m
2
Suy ra
1 1 2
m m
2
m
0,25
0,25 Câu II.1
Điều kiện:sinx 0 (*)
Với điều kiện (*) ta có:
4sin 2 sin 2 8sin 2 sin 1
6
2(2sin 1) cos 2 sin 2 (2 sin 1)(4sin 1)
Suy ra :2sinx 1 0 hoặc cos 2x 3 sin 2x4sinx1
2 6
5 2 6
2
) cos 2 3 sin 2 4 sin 1 4sin 2 sin 2 3 sin cos 0
7
(Vì sinx 0)
6
6
7
2 , 6
0,25
0,25
0,25
0,25 Câu II.2
9 (3 1) 125
.Với y=0 hệ phương trình vô nghiệm Với
0
3 3
3 3
2
2
125 125
(*)
x x
y y
Đặt u 3 ;x v 5,v 0
y
(*) trở thành
3
2
uv
2
u v
1
u v
0,25
0,25
Trang 4Với
1
5 2
2
u v
y y
Với
2
1 1
5
x
v
y y
Vậy hệ pt có hai nghiệm (x;y) là 1 5; ; 2;5
3 2 5
0,5
Câu III
(1,0 đ)
2
dx
+ Đặt
sin
u x
du dx dx
dv
x
2
x
2
2 3 3
1 sin
x x
x x
3
I
0,25
0,25
0,25
0,25 Câu IV
(1,0 đ)
D B
A
C
S
M
N
Ta có:
(MBC ) I (SAD) = MN với MN//AD ( Do AD // BC và N SD ) Khi đó
2 0
.
.sin 60
S ABCD
a b
2
S ABC S ACD S ABCD
a b
Mà: .
.
4
4
S MBC
S ABC
.
12
S MBC
2
.
S MNC
S ADC
.
3 4 48
S MNC
-0,25
0,25
Trang 5Dẫn đến : . 3 4( )(8 )
48
S BCNM SMBC SMNC
48
BCNMAB
4
S BCNM BCNMAB
4a
x = (Nhận) 3
32a
3
KL : x = 4a
3
0,25
0,25
Câu V
P
ab+bc+ca=1 và
2
P
1a ab bc ca a (ab a)( c)
Với các đẳng thức tương tự ta cĩ
P
7
4
MaxP Khi yz 7x 15
0,25
0,25
0,25
0,25 Câu
VIA.1
(1,0 đ)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn ( C) nội tiếp hình vuơng ABCD cĩ phương
trình :x22y32 10
Xác định tạo độ các đỉnh của hình vuơng biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua
điểm M(-3;-2) và x A 0
Phương trình đường thẳng đi qua M(-3;-2) cĩ dạng ax by 3a2b0.Đường trịn
(C) cĩ tâm I(2;3) và bán kính R 10 nên:
10 a b a b 10(a b ) 25(a b) (a 3 )(3b a b) 0 a 3b
Hay b=-3a Do đĩ pt (AB) là x-3y-3=0 hoặc pt (AB) là 3x-y+7=0
TH1:(AB) x-3y-3=0 Gọi A(3t+3;t) vì A cĩ hồnh độ x A 0 nên t>-1 và do
1
t
t
.V ì t>-1 nên
TH2:(AB) 3x-y+7=0 Gọi A(t;3t+7) vì A cĩ hồnh độ x A 0 nên t>0 và do
2
t
t
(loại)
0,5
0,25
0,25
Câu
VIA.2
(1,0 đ)
Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 4; 2, B 1; 2; 4 Viết phương trình
đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác OAB và vuơng gĩc với mặt phẳng
Trang 6
1; 4; 2
1; 2; 4
OA
OB
uuur
uuur
mặt phẳng (OAB) :2xy z 0
( , , )
H a b c là trực tâm tam giác OAB nên :
0
5
2
5 2
a
c
2 5 :
2 5 2
x t
Với mọi điểm K ta đều có:
MA MB KA KMuuuruuuur KBuuurKMuuuur KA KB KM KM KAuuuur uuuruuurKB
MA MB KA KM
KA không đổi nên 2 2
của K trên mặt phẳng (OAB )
M OAB t t t t
Vậy M(0;3;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
VIIA
(1,0 đ)
Gọi số phức z=a+bi
Theo bài ra ta có: 2 2
a b a b
Vậy số phức cần tìm là: z=2 2+( 1 2)i; z= z=2 2+( 1 2)i
0,25 0,25
0,25
0,25 Câu
VIB.1
(1,0 đ)
Gọi A,B lần lượt là giao điểm của hai đường tròn (C1)và (C2) suy ra toạ độ của A và
B thoả mãn hệ :
10 0
0,25
Trang 72 2
4 1
1
7 10
3
x x
y x
x
y
.Vậy A(2;4) ,B(1;-3)
tròn ( C) cần tìm đi qua 2 điểm A,B nên ta có:IA=IB=R
(Có: IAuur (6a 4; 4 a), IBuur (6a 5; 3 a))
(6a 4) (4 a) (6a 5) ( 3 a) R
(6a 4) (4 a) (6a 5) ( 3 a)
36a 48a 16 16 8a a 36a 60a 25 9 6a a
2a = -2 a = -1
Lúc đó : I(12; -1), R 100 25 5
Vậy :(C ): (x - 12)2 + (y + 1)2 = 52
0,25
0,25
0,25 Câu
VIB.2
(1,0 đ)
1 2
x t
suy ra d1đi qua điểm A(0;4;-1) và có một vtcp
1 (1; 1; 2)
vtcp uuur2(1; 3; 3) Ta có uuurAB(0; 2;1) và u u1, 2 9;5; 2
ur uur
suy ra
1 2
, 9.0 ( 2).5 1.( 2) 12 0
AB u u
uuur ur uur
.Vậy d1và d2là hai đường thẳng chéo nhau
1 2
,
55
,
AB u u
d d d
u u
uuur ur uur
ur uur
+)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3
Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)
Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0
Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)
0,25
0,25
0,25
0,25 Câu
VIIB
(1,0 đ)
Tacó
2010
0
k
2010
0
k
Trang 8 (1 ) (1 ) 20101 20103 3 20105 5 20102009 2009
2
Lấy tích phân 2 vế của (1) với cận từ 1 đến 2 ta được:
2
Vậy:
2011 2011
4022
0,5
0,5